上海高中2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)五模試卷含解析

上海高中2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)五模試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)，滿(mǎn)足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．若x,y滿(mǎn)足約束條件的取值范圍是A．[0,6] B．[0,4] C．[6, D．[4,3．已知當(dāng)，，時(shí)，，則以下判斷正確的是A． B．C． D．與的大小關(guān)系不確定4．已知為一條直線(xiàn)，為兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則5．設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前項(xiàng)和為，，且，則（）A．128 B．65 C．64 D．636．已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓的圓心，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A． B． C． D．27．已知復(fù)數(shù)，若，則的值為（）A．1 B． C． D．8．記其中表示不大于x的最大整數(shù)，若方程在在有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍()A． B． C． D．9．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A． B．2 C．3 D．10．國(guó)家統(tǒng)計(jì)局服務(wù)業(yè)調(diào)查中心和中國(guó)物流與采購(gòu)聯(lián)合會(huì)發(fā)布的2018年10月份至2019年9月份共12個(gè)月的中國(guó)制造業(yè)采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)(PMI)如下圖所示.則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．12個(gè)月的PMI值不低于50%的頻率為B．12個(gè)月的PMI值的平均值低于50%C．12個(gè)月的PMI值的眾數(shù)為49.4%D．12個(gè)月的PMI值的中位數(shù)為50.3%11．在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)與軸正半軸所成的最小正角為，則等于()A． B． C． D．12．設(shè)為虛數(shù)單位，為復(fù)數(shù)，若為實(shí)數(shù)，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線(xiàn)（，）的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，過(guò)F作x軸的垂線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于點(diǎn)P，Q.若為直角三角形，則該雙曲線(xiàn)的離心率是______.14．已知平行于軸的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)：的兩條漸近線(xiàn)分別交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若為等邊三角形，則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_____.15．若函數(shù)(a＞0且a≠1)在定義域[m，n]上的值域是[m2，n2](1＜m＜n)，則a的取值范圍是_______．16．已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)為，且經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，，且.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）已知等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an；（2）設(shè)bn＝an?3n，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，已知曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線(xiàn)的普通方程和直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；（2）若射線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為（）.設(shè)與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，求.20．（12分）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)．（1）若的最小值為，求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求的面積．21．（12分）如圖所示，在四棱錐中，∥，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn).（1）證明：∥面；（2）若，且，面面，求二面角的余弦值.22．（10分）已知在平面直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù).).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，曲線(xiàn)與直線(xiàn)其中的一個(gè)交點(diǎn)為，且點(diǎn)極徑.極角（1）求曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程與點(diǎn)的極坐標(biāo)；（2）已知直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為，直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交于點(diǎn)(異于原點(diǎn))，求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

首先繪制出可行域，再繪制出目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)可行域范圍求出目標(biāo)函數(shù)中的取值范圍.【詳解】由題知，滿(mǎn)足，可行域如下圖所示，可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最小值，故目標(biāo)函數(shù)的最小值為，故的取值范圍是.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線(xiàn)性規(guī)劃中目標(biāo)函數(shù)的取值范圍的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】解：x、y滿(mǎn)足約束條件，表示的可行域如圖：目標(biāo)函數(shù)z=x+2y經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)，函數(shù)取得最小值，由解得C（2，1），目標(biāo)函數(shù)的最小值為：4目標(biāo)函數(shù)的范圍是[4，+∞）．故選D．3、C【解析】

由函數(shù)的增減性及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用得：設(shè)，求得可得為增函數(shù)，又，，時(shí)，根據(jù)條件得，即可得結(jié)果．【詳解】解：設(shè)，則，即為增函數(shù)，又，，，，即，所以，所以．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的增減性及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬中檔題．4、D【解析】A.若，則或，故A錯(cuò)誤；B.若，則或故B錯(cuò)誤；C.若，則或，或與相交；D.若，則，正確.故選D.5、D【解析】

根據(jù)，得到，即，由等比數(shù)列的定義知數(shù)列是等比數(shù)列，然后再利用前n項(xiàng)和公式求.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列是等比數(shù)列，又因?yàn)?，所以?故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的定義及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.6、B【解析】

求出圓心，代入漸近線(xiàn)方程，找到的關(guān)系，即可求解.【詳解】解：，一條漸近線(xiàn)，故選：B【點(diǎn)睛】利用的關(guān)系求雙曲線(xiàn)的離心率，是基礎(chǔ)題.7、D【解析】由復(fù)數(shù)模的定義可得：，求解關(guān)于實(shí)數(shù)的方程可得：.本題選擇D選項(xiàng).8、D【解析】

做出函數(shù)的圖象，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象在有7個(gè)交點(diǎn)，而函數(shù)在上有3個(gè)交點(diǎn)，則在上有4個(gè)不同的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知方程在上有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則在上有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)時(shí)，；當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)時(shí)，，可知當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與的圖象在上有4個(gè)交點(diǎn)，即方程，在上有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù)，利用函數(shù)零點(diǎn)和方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的基本思想，屬于中檔題.9、A【解析】

由奇函數(shù)定義求出和．【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，.又當(dāng)時(shí)，，.故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，掌握奇函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．10、D【解析】

根據(jù)圖形中的信息，可得頻率、平均值的估計(jì)、眾數(shù)、中位數(shù)，從而得到答案.【詳解】對(duì)A，從圖中數(shù)據(jù)變化看，PMI值不低于50%的月份有4個(gè)，所以12個(gè)月的PMI值不低于50%的頻率為，故A正確；對(duì)B，由圖可以看出，PMI值的平均值低于50%，故B正確；對(duì)C，12個(gè)月的PMI值的眾數(shù)為49.4%，故C正確，；對(duì)D，12個(gè)月的PMI值的中位數(shù)為49.6%，故D錯(cuò)誤故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查頻率、平均值的估計(jì)、眾數(shù)、中位數(shù)計(jì)算，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

設(shè)直線(xiàn)直線(xiàn)與軸正半軸所成的最小正角為，由任意角的三角函數(shù)的定義可以求得的值，依題有,則，利用誘導(dǎo)公式即可得到答案.【詳解】如圖，設(shè)直線(xiàn)直線(xiàn)與軸正半軸所成的最小正角為因?yàn)辄c(diǎn)在角的終邊上，所以依題有,則，所以，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

可設(shè)，將化簡(jiǎn)，得到，由復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，可得，解方程即可求解【詳解】設(shè)，則.由題意有，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)、除法運(yùn)算，由復(fù)數(shù)的類(lèi)型求解對(duì)應(yīng)參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】

根據(jù)是等腰直角三角形，且為中點(diǎn)可得，再由雙曲線(xiàn)的性質(zhì)可得，解出即得.【詳解】由題，設(shè)點(diǎn)，由，解得，即線(xiàn)段，為直角三角形，，且，又為雙曲線(xiàn)右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，且軸，，可得，，整理得：，即，又，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，是?？碱}型.14、2【解析】

根據(jù)為等邊三角形建立的關(guān)系式，從而可求離心率.【詳解】據(jù)題設(shè)分析知，，所以，得，所以雙曲線(xiàn)的離心率.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線(xiàn)的離心率的求解，根據(jù)條件建立之間的關(guān)系式是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).15、(1，)【解析】

在定義域[m，n]上的值域是[m2，n2]，等價(jià)轉(zhuǎn)化為與的圖像在(1，)上恰有兩個(gè)交點(diǎn)，考慮相切狀態(tài)可求a的取值范圍.【詳解】由題意知：與的圖像在(1，)上恰有兩個(gè)交點(diǎn)考查臨界情形：與切于，．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，把已知條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).16、【解析】

設(shè)以直線(xiàn)為漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)的方程為，再由雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)，能求出雙曲線(xiàn)方程．【詳解】解：設(shè)以直線(xiàn)為漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)的方程為，∵雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)，∴，∴雙曲線(xiàn)方程為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線(xiàn)方程的求法，考查拋物線(xiàn)、雙曲線(xiàn)簡(jiǎn)單性質(zhì)的合理運(yùn)用，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）根據(jù)題目所給遞推關(guān)系式得到，由此證得數(shù)列為等比數(shù)列，并求得其通項(xiàng)公式.然后利用累加法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）利用錯(cuò)位相減求和法求得數(shù)列的前項(xiàng)和【詳解】（1）已知，則，且，則為以3為首相，3為公比的等比數(shù)列，所以，.（2）由（1）得：，，①，②①－②可得，則即.【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)遞推關(guān)系式證明等比數(shù)列，考查累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查錯(cuò)位相減求和法，屬于中檔題.18、（1）.（2）【解析】

（1）先設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d（d＞0），然后根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及已知條件可列出關(guān)于d的方程，解出d的值，即可得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)an；（2）先根據(jù)第（1）題的結(jié)果計(jì)算出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，然后運(yùn)用錯(cuò)位相減法計(jì)算前n項(xiàng)和Tn.【詳解】（1）由題意，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d（d＞0），則a4a5＝（1+3d）（1+4d）＝11，整理，得12d2+7d﹣10＝0，解得d（舍去），或d，∴an＝1（n﹣1），n∈N*.（2）由（1）知，bn＝an?3n?3n＝（2n+1）?3n﹣1，∴Tn＝b1+b2+b3+…+bn＝3×1+5×31+7×32+…+（2n+1）?3n﹣1，∴3Tn＝3×31+5×32+…+（2n﹣1）?3n﹣1+（2n+1）?3n，兩式相減，可得：﹣2Tn＝3×1+2×31+2×32+…+2?3n﹣1﹣（2n+1）?3n＝3+2×（31+32+…+3n﹣1）﹣（2n+1）?3n＝3+2（2n+1）?3n＝﹣2n?3n，∴Tn＝n?3n.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，以及運(yùn)用錯(cuò)位相減法計(jì)算前n項(xiàng)和.考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，方程思想，錯(cuò)位相減法的運(yùn)用，以及邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.屬于中檔題.19、（1）曲線(xiàn)的普通方程為；直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為（2）【解析】

（1）利用消去參數(shù)，將曲線(xiàn)的參數(shù)方程化成普通方程，利用互化公式，將直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）根據(jù)（1）求出曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程，分別聯(lián)立射線(xiàn)與曲線(xiàn)以及射線(xiàn)與直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程，求出和，即可求出.【詳解】解：（1）因?yàn)椋閰?shù)），所以消去參數(shù)，得，所以曲線(xiàn)的普通方程為.因?yàn)樗灾本€(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為.（2）曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.設(shè)的極徑分別為和，將（）代入，解得，將（）代入，解得.故.【點(diǎn)睛】本題考查利用消參法將參數(shù)方程化成普通方程以及利用互化公式將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，還考查極徑的運(yùn)用和兩點(diǎn)間距離，屬于中檔題.20、（1）的值為或.（2）【解析】

（1）分類(lèi)討論，當(dāng)時(shí)，線(xiàn)段與拋物線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)上的射影為，當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，能取得最小值，利用拋物線(xiàn)的焦半徑公式即可求解；當(dāng)時(shí)，線(xiàn)段與拋物線(xiàn)有公共點(diǎn)，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求解.（2）由題意可得軸且設(shè)，則，代入拋物線(xiàn)方程求出，再利用三角形的面積公式即可求解.【詳解】由題，，若線(xiàn)段與拋物線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，即時(shí)，設(shè)點(diǎn)在拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)上的射影為，則三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，的最小值為，此時(shí)若線(xiàn)段與拋物線(xiàn)有公共點(diǎn)，即時(shí)，則三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，的最小值為：，此時(shí)綜上，實(shí)數(shù)的值為或.因?yàn)?，所以軸且設(shè)，則，代入拋物線(xiàn)的方程解得于是，所以【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線(xiàn)的焦半徑公式、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系中的面積問(wèn)題，屬于中檔題.21、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）根據(jù)題意，連接交于，連接，利用三角形全等得，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求得平面的法向量，進(jìn)而可得二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：連接交于，連接，，≌，且，面面，面，（2）取中點(diǎn)，連，.由，面面面，又由，以分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，為面的一個(gè)法向量，設(shè)面的法向量為，依題意，即，令，解得，所以，平面的法向量，，又因二面角為銳角，