專題06 相似、銳角三角比與平面向量（解析版）

專題06相似、銳角三角比與平面向量（36題）一、單選題1．（2023·上海寶山·統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)D、E分別在的邊、的延長(zhǎng)線上，，，設(shè)，那么用向量表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先證明，從而推出，則，由，可得．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，向量的計(jì)算，證明，從而推出是解題的關(guān)鍵．2．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考二模）如圖，已知正方形的頂點(diǎn)D、E在的邊上，點(diǎn)G、F分別在邊上，如果，的面積是32，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是（

）A．4 B．8 C． D．【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)A作于H，交于M，如圖，先利用三角形面積公式計(jì)算出，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則，再證明，則根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得方程，然后解關(guān)于x的方程即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作于H，交于M，∵的面積是32，，∴，∴，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則，∵，∴，∴，，解得∶，即這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是4．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2023·上海松江·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)G是的重心，四邊形與面積的比值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，根據(jù)三角形中位線定理以及中線的性質(zhì)可得，，，從而得到，進(jìn)而得到，繼而得到，，可得，再由，即可．【詳解】解：如圖，連接，∵點(diǎn)G是的重心，∴點(diǎn)D，E分別為的中點(diǎn)，∴，，，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，即四邊形與面積的比值是．故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，熟練掌握三角形的重心，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．4．（2023·上海嘉定·統(tǒng)考二模）如圖，已知點(diǎn)D、E分別在的邊、上，，，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得，與是同高，故底之比等于，從而得出面積之比．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵和的高相同，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，高相等的兩個(gè)三角形的面積之比等于底之比是解題的關(guān)鍵．二、填空題5．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考二模）如圖，已知在中，點(diǎn)D是邊AC上一點(diǎn)，且．設(shè)，，那么向量______．（用的形式表示，其中x、y為實(shí)數(shù)）【答案】【分析】先求解，，再根據(jù)可得答案．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是平面向量的線性運(yùn)算，熟練的掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．6．（2023·上海松江·統(tǒng)考二模）如圖，已知在矩形中，點(diǎn)在邊上，且，設(shè)，那么＝________（用、的式子表示）．【答案】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，根據(jù)已知條件得出，根據(jù)三角形法則即可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴∵，∴∵，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，平面向量的線性計(jì)算，熟練掌握三角形法則是解題的關(guān)鍵．7．（2023·上海嘉定·統(tǒng)考二模）如圖，在中，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)，且．設(shè)，，那么____．(用、表示)【答案】【分析】根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：由題意知故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的線性運(yùn)算．解題的關(guān)鍵在于明確各向量之間的關(guān)系．8．（2023·上海崇明·統(tǒng)考二模）已知梯形中，，，設(shè)，，那么可用、表示為________．【答案】/【分析】連接，利用三角形法則，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：連接，則：，∵，，∴，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性計(jì)算．熟練掌握三角形法則，是解題的關(guān)鍵．9．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考二模）我們規(guī)定：兩個(gè)正多邊形的中心之間的距離叫做中心距，在同一個(gè)平面內(nèi)有邊長(zhǎng)都為6的正三角形和正方形，當(dāng)它們的一邊重合時(shí)，中心距為_____．【答案】或【分析】分兩種情況，結(jié)合正方形和正三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：如圖，在正方形和正三角形中，連接交于點(diǎn)O，正三角形的中線交于點(diǎn)F，則點(diǎn)O，P分別正方形和正三角形的中心，在正方形和正三角形中，，，，∴點(diǎn)O，E均在的垂直平分線上，∴點(diǎn)E，O，P，G四三點(diǎn)共線，∵正方形和正三角形的邊長(zhǎng)都為6，∴．∴，∴，∴；即中心距為；如圖，在正方形和正三角形中，連接交于點(diǎn)O，正三角形的中線交于點(diǎn)F，則點(diǎn)O，P分別正方形和正三角形的中心，在正方形和正三角形中，，，，∴點(diǎn)O，E均在的垂直平分線上，∴點(diǎn)E，O，P，G四三點(diǎn)共線，∵正方形和正三角形的邊長(zhǎng)都為6，∴．∴，∴，∴；即中心距為；綜上所述，中心距為或．故答案為：或【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形和正三角形的性質(zhì)，解直角三角形，利用分類思想解答是解題的關(guān)鍵．10．（2023·上海靜安·統(tǒng)考二模）如圖，已知四邊形中，點(diǎn)、、分別是對(duì)角線、和邊的中點(diǎn)．如果設(shè)，，那么向量______（用向量、表示）．【答案】【分析】先證明分別是的中位線，從而得到，，則．【詳解】解：∵點(diǎn)、、分別是對(duì)角線、和邊的中點(diǎn)，∴分別是的中位線，∴，∵，，∴，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中位線定理，向量的運(yùn)算，證明分別是的中位線是解題的關(guān)鍵．11．（2023·上海崇明·統(tǒng)考二模）在六張卡片上分別寫有6，，3.1415，，0，六個(gè)數(shù)，從中隨機(jī)抽取一張，卡片上的數(shù)為無(wú)理數(shù)的概率是________．【答案】【分析】先求出無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)，再根據(jù)概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：，∴6，，3.1415，，0，六個(gè)數(shù)中，是無(wú)理數(shù)，共2個(gè)；隨機(jī)抽取一張卡片，共有6種等可能的結(jié)果，其中卡片上的數(shù)為無(wú)理數(shù)，有2種等可能的結(jié)果，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查概率．熟記特殊角的三角函數(shù)值，掌握無(wú)理數(shù)的定義，概率公式，是解題的關(guān)鍵．12．（2023·上海金山·統(tǒng)考二模）如圖，已知、分別是的邊、上的點(diǎn)，且，聯(lián)結(jié)，如果，，當(dāng)時(shí)，那么________．（用含、的式子表示）【答案】【分析】利用平行線分線段成比例定理，向量的計(jì)算解答即可．【詳解】∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，向量的計(jì)算，熟練掌握定理，向量的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．13．（2023·上海閔行·統(tǒng)考二模）如圖，在菱形中，，，如果將菱形繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)A恰好落在菱形的初始邊上的點(diǎn)E處，那么點(diǎn)E到直線的距離為___________．【答案】3【分析】如圖，旋轉(zhuǎn)、菱形的性質(zhì)可知，，則，，，，根據(jù)E到直線的距離為，計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖，菱形繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后為菱形，由旋轉(zhuǎn)、菱形的性質(zhì)可知，，∴，，∴，∴，∴E到直線的距離為，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，正弦等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．14．（2023·上海閔行·統(tǒng)考二模）閱讀理解：如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)內(nèi)角、滿足，那么我們稱這個(gè)三角形為特征三角形．問(wèn)題解決：如圖，在中，為鈍角，，，如果是特征三角形，那么線段的長(zhǎng)為___________．【答案】【分析】由題意可分：①設(shè)，則在上截取一點(diǎn)D，使得，此種情況不符合題意；②設(shè)，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F，然后根據(jù)三角函數(shù)及勾股定理可進(jìn)行求解．【詳解】解：由題意可分：①設(shè)，則在上截取一點(diǎn)D，使得，如圖所示：∴，∵，∴，∴為鈍角，故不存在；②設(shè)，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F，如圖所示：∵是特征三角形，即，且，∴，∴平分，∴，∵，∴，設(shè)，則有，∴，∵，∴在中，由勾股定理得，解得：，∴；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)及勾股定理，熟練掌握三角函數(shù)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．15．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考二模）如圖，將矩形紙片沿對(duì)角線折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，與邊相交于點(diǎn)F．如果，那么的正弦值等于_____．【答案】【分析】通過(guò)證明得到，，在中，根據(jù)勾股定理列出等量關(guān)系式，得出邊之間的關(guān)系，即可求解．【詳解】解：∵，∴設(shè)，∵由沿折疊得到，∴，，在和中，，∴，∴，，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理可得：，即，整理得：，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的折疊問(wèn)題，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，以及解直角三角形的方法和步驟．16．（2023·上海嘉定·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，，以點(diǎn)C為圓心，R為半徑作圓，使A、B兩點(diǎn)一點(diǎn)在圓內(nèi)，一點(diǎn)在圓外，那么R的取值范圍是____．【答案】/【分析】求出線段、，再根據(jù)點(diǎn)與圓得位置關(guān)系判斷即可．【詳解】解：∵在中，，，，∴，∴，∵以點(diǎn)C為圓心，R為半徑作圓，使A、B兩點(diǎn)一點(diǎn)在圓內(nèi)，一點(diǎn)在圓外，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解直角三角形，勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出，．17．（2023·上海金山·統(tǒng)考二模）已知中，，，，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，如果點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)恰好落在線段上，那么的最大值為________．【答案】【分析】過(guò)A點(diǎn)作于點(diǎn)G，先解直角三角形求出，，然后利用面積求出，當(dāng)與G重合時(shí)最小，即最大，求出最大值即可．【詳解】解：如圖，過(guò)A點(diǎn)作于點(diǎn)G，∵，，，∴，則，又∵，∴∵點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，∴，又點(diǎn)恰好落在線段上，∴當(dāng)與G重合時(shí)最小，即最大，∴最大值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，軸對(duì)稱的性質(zhì)，掌握垂線段最短是解題的關(guān)鍵．18．（2023·上海寶山·統(tǒng)考二模）如果一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角與滿足，那么我們稱這樣的三角形為“倍角互余三角形”．已知在中，，，，點(diǎn)D在邊上，且是“倍角互余三角形”，那么的長(zhǎng)等于__________．【答案】或【分析】分兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，利用，列式計(jì)算即可求解；當(dāng)時(shí)，即是的角平分線，利用角平分線的性質(zhì)以及勾股定理即可求解．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，即，是“倍角互余三角形”，則∴∴∴；當(dāng)時(shí)，，即，是“倍角互余三角形”，此時(shí)是的角平分線，作于E，則，∵，∴，∴，∵，，，，∴，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，解得．綜上，的長(zhǎng)等于或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了正切函數(shù)的定義，角平分線的性質(zhì)以及勾股定理，分情況討論是解題的關(guān)鍵．19．（2023·上海黃浦·統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)G是的重心，設(shè)，，那么用、可表示為________．【答案】【分析】如圖，先根據(jù)向量的減法法則求出，根據(jù)D點(diǎn)是邊的中點(diǎn)求出，再由向量的加法法則求出，然后根據(jù)G是的重心即可求出．【詳解】如圖，D點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，G是的重心，∵，，∴∵D點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴，∴，∵G是的重心，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的重心，向量的計(jì)算等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．20．（2023·上海崇明·統(tǒng)考二模）如圖，已知在兩個(gè)直角頂點(diǎn)重合的Rt△ABC和Rt△CDE中，，，，，將繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在邊上時(shí)，聯(lián)結(jié)，那么________．【答案】【分析】利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)，分別求出的長(zhǎng)，證明，得到，推出，在中，利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，，，，∴，，，，∴，∴，，∴，設(shè)，則：，∴，在中，，即：，解得：或（不合題意，舍去）；∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查含30度的直角三角形，銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方程．熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，證明三角形相似，是解題的關(guān)鍵．21．（2023·上海閔行·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在直線上，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)P是x軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)B在反比例函數(shù)圖象上，聯(lián)結(jié)和．如果四邊形是矩形，那么k的值是__________．【答案】【分析】當(dāng)，，即，如圖，連接交于，過(guò)作于，則，，是中點(diǎn)，在中，由勾股定理求的值，證明，則，求的值，進(jìn)而可得的點(diǎn)坐標(biāo)，將點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求解值即可．【詳解】解：當(dāng)，，即，如圖，連接交于，過(guò)作于，∴，，∵四邊形是矩形，∴是中點(diǎn)，在中，由勾股定理得，∵，，∴，∴，即，解得，∴，，∴，將代入得，，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．22．（2023·上海崇明·統(tǒng)考二模）如圖，和都是等邊三角形，點(diǎn)D是的重心，那么________．【答案】【分析】如圖，延長(zhǎng)交于，由題意得，，則，由，可得，計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于，∵點(diǎn)D是的重心，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∵和都是等邊三角形，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了重心，等邊三角形的性質(zhì)，正弦，相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．23．（2023·上海金山·統(tǒng)考二模）如圖，已知、是的中線，和交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，那么的值等于________．【答案】/【分析】過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)F，利用三角形相似的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理計(jì)算即可．【詳解】過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)F，∴，，∵，∴，，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，解得（舍去），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，熟練掌握三角形相似的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．24．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考二模）如圖，過(guò)的重心G，設(shè)向量，那么向量_____（結(jié)果用、表示）【答案】【分析】由，，根據(jù)三角形法則，即可求得，再由點(diǎn)G是的重心，根據(jù)重心的性質(zhì)，即可求出結(jié)果．【詳解】解：∵過(guò)的重心G，∴是的中線，∵，∴，∵，∴，∵點(diǎn)G是的重心，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量與三角形重心的知識(shí)，掌握三角形法則與三角形重心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題25．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考二模）計(jì)算：．【答案】【分析】先根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角銳角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，再計(jì)算，即可求解．【詳解】解：【點(diǎn)睛】本題主要考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角銳角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，二次根式的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．26．（2023·上海松江·統(tǒng)考二模）如圖，四邊形中，．(1)如果，求的值；(2)如果，求四邊形的面積．【答案】(1)1(2)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，可得四邊形是矩形，從而得到，繼而得到，再由銳角三角函數(shù)，即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，可得四邊形是矩形，從而得到，設(shè)，則，在中，利用勾股定理求出x的值，再根據(jù)四邊形的面積，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，設(shè)，則，在中，，∴，解得：，即，四邊形的面積．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．27．（2023·上海嘉定·統(tǒng)考二模）計(jì)算：【答案】【分析】根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則，特殊角的三角函數(shù)值以及零指數(shù)冪進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】．【點(diǎn)睛】考查了實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、分母有理化、特殊角度的三角函數(shù)值等考點(diǎn)的運(yùn)算．28．（2023·上海寶山·統(tǒng)考二模）計(jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值，二次根式的混合運(yùn)算，即可求解．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查了負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值，二次根式的混合運(yùn)算，掌握相關(guān)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．29．（2023·上海靜安·統(tǒng)考二模）如圖，已知、分別是平行四邊形的邊、上的高，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，且．(1)求證：四邊形是菱形；(2)當(dāng)，時(shí)，求的余切值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用等面積法證明即可；（2）可設(shè)，則，在中，由勾股定理得，，解方程求出，則．【詳解】（1）證明：∵、分別是平行四邊形的邊、上的高，∴，∴，又∵，∴，∴平行四邊形是菱形；（2）解：∵，∴設(shè)，∵四邊形是菱形，∴，在中，由勾股定理得，∴，解得（負(fù)值舍去），∴，在中，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，求余切值，熟知菱形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．30．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考二模）已知：如圖，是的外接圓，平分的外角，，，垂足分別是點(diǎn)M，N，且．(1)求的度數(shù)；(2)如果，，求的半徑長(zhǎng)．【答案】(1)；(2)；【分析】（1）先證明平分，然后由角平分線的定義，即可求出的度數(shù)；（2）由弦心距和弦的關(guān)系，得到，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，由等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理，以及勾股定理，即可求出的半徑．【詳解】（1）解：∵平分的外角，∴，∵，，．∴平分，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴是等腰三角形，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，如圖：∵平分，∴，，∵，∴，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，角平分線的性質(zhì)定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的進(jìn)行解題．31．（2023·上海松江·統(tǒng)考二模）如圖，已知正方形，、分別為邊、的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)．(1)求證：；(2)連接，求正弦值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）證明，進(jìn)而得出，則，根據(jù)平行線分線段成比例即可得證；（2）根據(jù)得出，設(shè)，則，，在中，，進(jìn)而根據(jù)正弦的定義即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，∵、分別為邊、的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵,∴，∴，即，∵，∴，∴，∴；（2）解：如圖所示，連接，∵又∵，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，在中，，∴，∴，在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，正切的定義，求角的正弦值，熟練掌握是正方形的性質(zhì)以及三角函數(shù)的定義解題的關(guān)鍵．32．（2023·上海嘉定·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，圓O經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，圓心O在線段上，點(diǎn)C在圓O內(nèi)，且．(1)求圓O的半徑長(zhǎng)；(2)求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)D，連接，設(shè)圓O的半徑長(zhǎng)為r，則，利用正弦函數(shù)列式計(jì)算即可求解；（2）先求得，在，利用三角函數(shù)的定義求得和的長(zhǎng)，再利用勾股定理求解．【詳解】（1）解：設(shè)圓O的半徑長(zhǎng)為r，延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)D，連接，則，又，∴，設(shè)，則有，因?yàn)?，所以，解得，?jīng)檢驗(yàn)，是方程的解；∴圓的半徑長(zhǎng)為5；（2）解：過(guò)點(diǎn)B作的垂線垂足為E，由（1）得，則，解得，，解得，所以，所以【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接三角形，經(jīng)過(guò)圓的直徑構(gòu)造的三角形為直角三角形，添加輔助線再利用三角函數(shù)求解．33．（2023·上海金山·統(tǒng)考二模）如圖，已知在中，，，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．(1)求的正弦值；(2)求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)M，根據(jù)三線合一性質(zhì)，勾股定理計(jì)算，根據(jù)正弦定義計(jì)算即可．（2）過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)N，根據(jù)正弦，余弦計(jì)算，，求得，，后證明四邊形是平行四邊形，計(jì)算即可．【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)M，∵，，∴∴，∴．（2）過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)N，連接∵，∴，∵，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)，勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，熟練掌握三角函數(shù)，勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．34．（2023·上海崇明·統(tǒng)考二模）如圖，已知在中，，