新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)知識(shí)總結(jié)歸納（全國(guó)卷地區(qū)適用）(文科)

新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)知識(shí)總結(jié)歸納（全國(guó)卷地區(qū)適用）（文科）

引言

1.課程內(nèi)容：

必修課程由5個(gè)模塊組成：（文科+理科）

必修1：集合、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)（指、對(duì)、幕函數(shù)）

必修2：立體幾何初步、平面解析幾何初步。

必修3：算法初步、統(tǒng)計(jì)、概率。

必修4：基本初等函數(shù)（三角函數(shù)）、平面向量、三角恒等變換。

必修5：解三角形、數(shù)列、不等式。

以上是每一個(gè)高中學(xué)生所必須學(xué)習(xí)的。上述內(nèi)容覆蓋了高中階段傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和

基本技能的主要部分，其中包括集合、函數(shù)、數(shù)列、不等式、解三角形、立體幾何初步、

平面解析幾何初步等。不同的是在保證打好基礎(chǔ)的同時(shí)，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了這些知識(shí)的發(fā)生、

發(fā)展過(guò)程和實(shí)際應(yīng)用，而不在技巧與難度上做過(guò)高的要求。此外，基礎(chǔ)內(nèi)容還增加了向

量、算法、概率、統(tǒng)計(jì)等內(nèi)容。

選修課程有2個(gè)系列：

系列1：由4個(gè)模塊組成。（文科）

選修1—1：常用邏輯用語(yǔ)、圓錐曲線與方程、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用。

選修1—2：統(tǒng)計(jì)案例、推理與證明、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)、框圖。

選修4~4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程。

選修4—5：不等式選講。

系列2：由5個(gè)模塊組成。（理科）

選修2—1：常用邏輯用語(yǔ)、圓錐曲線與方程、空間向量與立體幾何。

選修2—2：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，推理與證明、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)。

選修2—3：計(jì)數(shù)原理、隨機(jī)變量及其分布列，統(tǒng)計(jì)案例。

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程。

選修4—5：不等式選講。

2.重難點(diǎn)及考點(diǎn)：

重點(diǎn)：函數(shù)，數(shù)列，三角函數(shù)，平面向量，圓錐曲線，立體幾何，導(dǎo)數(shù)

難點(diǎn)：函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)）、圓錐曲線

高考相關(guān)考點(diǎn)：

必做題部分：

⑴集合與簡(jiǎn)易邏輯:集合的概念與運(yùn)算、簡(jiǎn)易邏輯、充要條件

⑵函數(shù)：映射與函數(shù)、函數(shù)解析式與定義域、值域與最值、反函數(shù)、三大性質(zhì)、函數(shù)圖

象、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用

⑶數(shù)列：數(shù)列的有關(guān)概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)列的應(yīng)用

⑷三角函數(shù)：有關(guān)概念、同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式、和、差、倍、半公式、求值、化簡(jiǎn)、證

明、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用

⑸平面向量：有關(guān)概念與初等運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積及其應(yīng)用

⑹不等式：概念與性質(zhì)、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、絕對(duì)值不等式、

不等式的應(yīng)用

⑺直線和圓的方程：直線的方程、兩直線的位置關(guān)系、線性規(guī)劃、圓、直線與圓的位置

關(guān)系

⑻圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、軌跡問(wèn)題、圓

錐曲線的應(yīng)用

⑼直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體：空間直線、直線與平面、平面與平面、棱柱、棱錐、球、

空間向量

（10）復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算

（11）導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)的概念、求導(dǎo)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；定（微）積分（理科）

?概率與統(tǒng)計(jì)：概率、方差、抽樣；分布列、期望、正態(tài)分布（理科）

?排列、組合和概率：排列、組合應(yīng)用題、二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用（理科）

選作題部分：

⑴坐標(biāo)系與參數(shù)方程：極坐標(biāo)、直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化；極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程及參數(shù)方

程的轉(zhuǎn)化；極坐標(biāo)和參數(shù)方程的應(yīng)用。

⑵不等式選講：含兩個(gè)及以上的絕對(duì)值的不等式的解法；幾個(gè)著名不等式的應(yīng)用。

《必修1》第一章集合與函數(shù)概念

1、集合的基本概念

(1)集合的概念：把一些元素組成的總體叫做集合(簡(jiǎn)稱集)；

(2)集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無(wú)序性；

⑶集合的三種表示方法：自然語(yǔ)言法、列舉法、描述法.

2、集合的運(yùn)算

(1)子集：若集合A的任意一個(gè)元素都是集合5的元素，則A=

真子集：若AqB,且AwB,則AuB；

。是任何集合的子集，。是任何非空集合的真子集.

(2)交集：A(~\B={A|XGei?}

(3)并集：A<JB-{X|XGG

3、集合的常用運(yùn)算性質(zhì)

⑴Ac0=。；AoA—A；

(2)AD0=A；A<JA-A；

(3)Ac(C")=。；Au(C")=U；Ct,(Q,A)=A；

(4)補(bǔ)集：若U為全集，A=U,則C“A=且A}；

⑸A=8oAc6=AOAD6=B；

(6)C0(AcB)=(Q,A)5QB)；G(AuB)=(C〃A)c(JB)；

⑺如圖所示，用集合A、6表示圖中I、II、HI、IV四個(gè)部分所表示的集合

分別是Ac5；G(AcB)；Cfi(AnB)；Cy(Au5).

(8)card(A2B)=card(A)+card(B)-card(AcB).

4、常見(jiàn)數(shù)集及其表示符號(hào)

N：自然數(shù)集；N*心正整數(shù)集；Z：整數(shù)集；。：有理數(shù)集；R：實(shí)數(shù)集

C：復(fù)數(shù)集

5、已知集合A有〃(〃21)個(gè)元素，則它有2"個(gè)子集，它有2"-1個(gè)真子集，它有2"-1個(gè)

非空子集，它有2"-2非空真子集.

6、函數(shù)和映射的概念

函數(shù)映射

兩集合A、B設(shè)4、8是兩個(gè)非空數(shù)集設(shè)A、8是兩個(gè)非空集合

按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系了,使對(duì)于按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系了,使對(duì)于

對(duì)應(yīng)關(guān)系

集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B

中都有唯一確定的數(shù)/(X)和它對(duì)應(yīng)中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)

稱對(duì)應(yīng)f：A^B為從集合A到集合稱對(duì)應(yīng)/：為從集合A到集合

名稱

8的一個(gè)函數(shù)B的一個(gè)映射

記法y=f(x),x&A對(duì)應(yīng)了:4fB是一個(gè)映射

7、函數(shù)的定義域、值域

(1)定義域：函數(shù)y=/(x),xe4中，x叫做自變量，自變量x的取值集合叫做函數(shù)的定

義域；

(2)值域：所有函數(shù)值構(gòu)成的集合｛Ry=/(x),xeA｝叫做這個(gè)函數(shù)的值域.顯然，值域

是集合8的子集.

(3)兩個(gè)函數(shù)只有當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)法則都分別相同時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)才相同.

注意：函數(shù)與映射的區(qū)別與聯(lián)系：(1)函數(shù)是特殊的映射，其特殊性在于集合A與集合

B只能是非空數(shù)集，即函數(shù)是非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映射；

(2)映射不一定是函數(shù)，只有從A到8的一個(gè)映射是數(shù)集，則這個(gè)映射才是函數(shù).

8、函數(shù)的三要素：定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則.

9、函數(shù)的表示方法主要有：列表法、解析法和圖象法.

10、分段函數(shù)：若函數(shù)在其定義域的不同子集上，，因定義域不同而分別用幾個(gè)不同的式

子來(lái)表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).

注意：分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的

并集，分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù).

11、求函數(shù)解析式的方法主要有：

①代入法；②換元法；③待定系數(shù)法；④圖象法；⑤列方程組法；⑥配湊法等.

12、求函數(shù)值域的方法主要有：

①直接(觀察)法；②配方法(針對(duì)二次函數(shù))；③換元法；④分離常數(shù)法；⑤反解法；

⑥判別式法等.

13、函數(shù)的單調(diào)性

(1)單調(diào)性定義：給定區(qū)間。上的函數(shù)y=/(x),若對(duì)任意而,&€。，當(dāng)％＜當(dāng)時(shí)，都有

f(xi)＜f(x2),則/(X)為區(qū)間。上的增函數(shù)；當(dāng)用＜々時(shí)，都有/&)＞/(巧)，則/3)

為區(qū)間。上的減函數(shù).

注意：?jiǎn)握{(diào)性與單調(diào)區(qū)間密不可分，單調(diào)區(qū)間是定義域的子區(qū)間.

(2)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：

證明函數(shù)的單調(diào)性一般從定義入手(以后將會(huì)學(xué)習(xí)用“求導(dǎo)”的方法證明函數(shù)單調(diào)性)，

利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟是：①設(shè)元(取量)：任取和馬€。，且令王＜々；

②作差：計(jì)算/(2)-/(々)并化簡(jiǎn)整理；

③判號(hào)(判斷整理結(jié)果的符號(hào))；④結(jié)論(利用單調(diào)性定義判斷.

14、與單調(diào)性有關(guān)的結(jié)論

(1)若/(x),g(x)均為某區(qū)間上的增(減)函數(shù)，則f(x)+g(x)為某區(qū)間上的增(減)函數(shù)；

⑵若“X)為增(減)函數(shù)，則-/(幻為減(增)函數(shù)；

(3)y=/[g(x)]是定義在M上的函數(shù)，若/⑶與g(x)的單調(diào)性相同，則y=/[g(x)]是增

函數(shù)，若/(x)與g(x)的單調(diào)性相反，則y=/[g(x)]是減函數(shù)(同增異減的原則)；

(4)若函數(shù)/(x)在閉區(qū)間b,可上是減函數(shù)，則/(x)的最大值為了⑷，最小值為了(份，值

域?yàn)?/p>

15、函數(shù)的最值

設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)M滿足：①對(duì)于任意xw/,都有

②存在xoW/,使得/,(Xo)=M,那么稱M是函數(shù)y=/(x)的最大值；類比定義y=f(x)的

最小.值.

16、函數(shù)的奇、偶性：(對(duì)于函數(shù)/(x),其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)

(1)如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有/(-幻=-/(幻，那么函數(shù)/(幻是奇函數(shù)；

⑵如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個(gè)龍，都有/(-x)=/(x),那么函數(shù)/(x)是偶函數(shù)；

也就是說(shuō)：y(-x)+/(x)=Oo函數(shù)/(X)是奇函數(shù)，/(-x)-/(x)=Oo函數(shù)/(X)是奇函

數(shù).

17、奇、偶函數(shù)的性質(zhì)

(L)奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；

⑵若奇函數(shù)/(x)在x=0處有意義，則/?(0)=0；

(3)若奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上分別單調(diào)，則其單調(diào)性相同；若偶函數(shù)在關(guān)于

原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上分別單調(diào)，則其單調(diào)性相反；

⑷奇士奇=奇；偶±偶=偶；奇、奇=偶；偶、偶=偶；奇x偶=奇.

18、函數(shù)的周期性

⑴周期函數(shù)定義：對(duì)于函數(shù)y=/(x),如果存在一個(gè)非零串?dāng)?shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)

的任何值時(shí)，都有/*+T)=/(x),那么就稱函數(shù)y=/(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)

的周期；

(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)y=/(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的的正數(shù)，那么這

個(gè)最小正數(shù)就叫做/(%)的最小正周期.

19、函數(shù)的圖象

(1)利用描點(diǎn)法作圖：

①確定函數(shù)的定義域；②化解函數(shù)解析式；

③討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性)；④畫出函數(shù)的圖象.

(2)利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：

要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、基函數(shù)、三角函

數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象.

①平移變換

y=)/>0,左移個(gè)單位,y=/(x+〃)y=￡>0,上移左個(gè)單位

f(x〃<0,右移川個(gè)單位f(x)k<0,下移|川個(gè)單位

②伸縮變換

y=/(*)4霽申>y=/M)

()<A<1,縮

y=/(x)A>1,伸^■y=Af(x)

③對(duì)稱變換

y=/(x)—=y=義—沙=f

y=/(x)原點(diǎn)>y=_/(_x)y=f(x)>y=f-'工

去掉y軸左邊圖象

y=fM保留了軸右邊圖象，并作其關(guān)于y軸對(duì)稱圖象

保留X軸上方圖象、、,Q]

y=/(x)將斕)下方圖象翻折上去'u⑺|

(3)識(shí)圖

對(duì)于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱性等方面研

究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系.

(4)用圖

函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問(wèn)題提供了"形''的直觀性，它是探

求解題途徑，獲得問(wèn)題結(jié)果的重要工具.要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法.

(5)有關(guān)函數(shù)對(duì)稱性的幾個(gè)重要結(jié)論

函數(shù)自身的對(duì)稱性

①函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)A(a,b)對(duì)稱的充要條件是f(x)+f(2a-x)=2b

②函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱的充要條件是/(a+x)=/(a-x)，即

f(x)=f(2a-x)

兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱性

③函數(shù)y=f(x)與y=2Z?-/(2a-x)的圖像關(guān)于點(diǎn)A(a,b)成中心對(duì)稱

④函數(shù)y=f(x)與y=(2。-x)的圖像關(guān)于直線x=”成軸對(duì)稱

⑤指數(shù)函數(shù)y=a\a>0,且aw1)圖像與對(duì)數(shù)函數(shù)y=log“x(a>0,且a/1)圖像關(guān)于直線

y=x對(duì)稱

⑥三角函數(shù)的圖像對(duì)稱問(wèn)題詳見(jiàn)《必修4》第一章三角函數(shù)

《必修1》第二章基本初等函數(shù)

IN根式的概念：一般地，如果九"=。，那么x叫做。的〃次方根，其中〃>1,且〃￡N*.

負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根；0的任何次方根都是0,記作祗=0.

當(dāng)“是奇數(shù)時(shí)，幅=a,當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)，'47^\a\=\a320)

-a(a<0)

2、分?jǐn)?shù)指數(shù)募

m_____

正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)基的意義，規(guī)定：a"=y[a^(a>0,m,neN*,n>1),

11.八-*

Qn—--二_(Cl>0,"7,〃￡Nr,〃>1)

-VtF

an、

注意：0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)暴等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)暴沒(méi)有意義.

3、有理數(shù)嘉的運(yùn)算性質(zhì)

(l)ar-as=ar+s.⑵(/)'=/；(3)(。份‘=(其中。,。〉04,56。).

4、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(1)指數(shù)函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)>=優(yōu)(4>0,且awl)叫做指數(shù)申然其中x是自變量，函

數(shù)的定義域?yàn)镽.

注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍:ae(0,l)u(l,+oo).

(2)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

a>\0<(7<1

V-

\

IL?

n,fl

定義域R定義域R

值域(0,+8)值域(0,+8)

在H上單調(diào)遞增在R上單調(diào)遞減

非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)

函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)(0,1)函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)(0,1)

注意：利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出:

①在［a,。］上,/(x)="(a>0,且"1)值域是或［f(b\f(a)］；

②若XHO,則/(x)wl；f(x)取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)xeR；

③對(duì)于指數(shù)函數(shù)/(x)=優(yōu)(a>O,月.awl),總有f(X)=a.

5、對(duì)數(shù)的概念：一般地，如果/=N(a>O,awl),那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，

記作：x=k)g〃N(其中。叫底數(shù)，N叫真數(shù)，bg“N叫對(duì)數(shù)式)

說(shuō)明：①注意底數(shù)的限制：a〉0且awl；②/=Nolog〃N=x；③注意對(duì)數(shù)的書

寫格式.

6、兩個(gè)重要對(duì)數(shù)：

①常用對(duì)數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù)IgN；②自然對(duì)數(shù)：以無(wú)理數(shù)e=2.71828…為底的對(duì)數(shù)的

對(duì)數(shù)InN.

7、指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化：若d=N,則6=log“N(N>0,a>0,a聲1)

8、對(duì)數(shù)恒等式

①L&N=N(a>0且N>0)；②log“a"=人(a>0且,Z?GR).

9、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則(a>0,awl,,Af>0,N>0)

寐值真數(shù)

①loga(M-N)=logaM+log?N

a'=JV<=>loga=b

②log”(?)=bg“M-log,,Nt___t

③log“(N)"=〃log“N

10、換底公式：logbN=g5#(a>0,aw0/>0,bwl,N>0).

log*

n

推論：①log""log"=l②log(,b-log,,c=logflc③log((?b=loguZ?

?log,,b"=—log/?

11、對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(1)對(duì)數(shù)函數(shù)的概念

函數(shù)y=log“x(a>0,且a聲1)叫做的弊圖裂，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0,+8),

值域是R.

注意：①對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別，如：y=21og2x,

y=log5|都不是對(duì)數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對(duì)數(shù)型函數(shù)；

②對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)底數(shù)的限制：(a>0,且。工1)；對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)真數(shù)x的限制：x>0.

(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

a>\0<a<1

■

11

Q..1O1

?

-

定義域(0,+8)定義域(0,+8)

值域?yàn)镽值域?yàn)镽

在R上遞增在R上遞減

函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)(1,0)函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)(1,0)

12、嘉函數(shù)

(1)器函數(shù)的概念

一般地，形如>=^(。€/?)的函數(shù)稱為基函數(shù)，其中a為常數(shù).

(2)暮函數(shù)性質(zhì)歸納

①所有的基函數(shù)在(0,+oo)都有定義并且圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1)；

②a>0時(shí)，幕函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間［0,+8)上是增函數(shù).特別地，當(dāng)。>1時(shí),

事函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)0<c<l時(shí)，事函數(shù)的圖象上凸；

③。<0時(shí)，幕函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,+8)上是減函數(shù).在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向原

點(diǎn)時(shí)，圖象在y軸右方無(wú)限地逼近y軸正半軸，當(dāng)尤趨于+8時(shí)，圖象在x軸上方無(wú)限地

逼近x軸正半軸.

《必修1》第三章函數(shù)的應(yīng)用

1、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

(1)函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)y=/(x)(xe￡>),把使/(x)=0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)

y=/(x)(xe。)的零點(diǎn).

(2)函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)就是方程/(x)=0實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)丁=/(%)

的圖象與x軸交點(diǎn)的帙坐標(biāo).

即：方程/(x)=0有實(shí)數(shù)根=函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)=函數(shù)y=/(x)有零點(diǎn).

(3)函數(shù)零點(diǎn)的求法

①(代數(shù)法)求方程.f(x)=0的實(shí)數(shù)根；

②(幾何法)對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y=/(x)的圖象聯(lián)系起來(lái)，

并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn).

2、二次函數(shù)的零點(diǎn)：二次函數(shù)丁=以2+―+?。#0).

(1)A>0,方程依2+區(qū)+。=0有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二

次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

(2)A=0,方程o?+法+。=0有兩相等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，二

次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn).

(3)A<0,方程ox?+Z?x+c=O無(wú)實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)無(wú)零

點(diǎn).

3、函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在定理)

如果函數(shù)/(x)在閉區(qū)間同上連續(xù)，且/(a)與/S)異號(hào)(即/(辦/(。)<0),那么在

開區(qū)間(a/)內(nèi)至少有函數(shù)的/(x)一個(gè)零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)/(a</<份使/(%0)=。.

推論：若函數(shù)/(x)在閉區(qū)間可上嚴(yán)格單調(diào)，且/(x)圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，則

/(a)./S)<0=>函數(shù)/(x)在［a,b］上只有一個(gè)零點(diǎn)(唯一零點(diǎn)的證明依據(jù))。

注意：若函數(shù)/(x)在閉區(qū)間㈤上連續(xù)，且函數(shù)/(x)在閉區(qū)間上不單調(diào),

則/(a)-/(。)>0無(wú)法說(shuō)明函數(shù)f(x)在上沒(méi)有零點(diǎn)。

4、函數(shù)的模型

收集數(shù)據(jù)

不

符

合

實(shí)

際

符合實(shí)際

用函數(shù)模型解釋實(shí)際問(wèn)題

《必修2》第一章空間幾何體

1、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征

（1）棱柱：定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公

共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。

分類：①以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等；②以側(cè)

棱是否垂直于底面作為分類標(biāo)準(zhǔn)分為直棱柱和斜棱柱。

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱A8CDE-A力C力Z'或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱

AD\

幾何特征：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形；側(cè)棱平

行且相等；平行于底面的

截面是與底面全等的多邊形。

（2）棱錐

定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的

幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等。

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五四棱錐

幾何特征：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其面積比等于頂

點(diǎn)到截面距離與高的比的

平方。

（3）棱臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如四棱臺(tái)ABC。-AB'C'D'。

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形；②側(cè)面是梯形；③側(cè)棱交于原棱

錐的頂點(diǎn)。

（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成

的幾何體。

幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側(cè)面

展開圖是一個(gè)矩形。

（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的

幾何體。

幾何特征：①底面是一個(gè)圓；②母線交于圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。

（6）圓臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分。

幾何特征：①上下底面是兩個(gè)圓；②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開圖是

一個(gè)弓形。

（7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體。

幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。

2、空間幾何體的三視圖

正（主）視圖（一束平行光線從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)（左）視圖（從左向

右）、

俯視圖（從上向下）

注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長(zhǎng)度；

俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度；

側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。

3、空間幾何體的直觀圖——斜二測(cè)畫法

斜二測(cè)畫法特點(diǎn)（橫不變、縱減半）：①原來(lái)與x軸平行的線段仍然與x平行且長(zhǎng)度不變;

②原來(lái)與y軸平行的線段仍然與y平行，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半。

4、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積

（1）幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。

（2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長(zhǎng)，為高，力'為斜高，/為母線）

S直棱柱側(cè)面積=chS圓錐錐側(cè)面積—ml

臺(tái)側(cè)面積=0+R））RS圓柱表=2勿,O+/））

S圓錐表=次0+/））S圓臺(tái)表=萬(wàn)（Y+八/+4/+々2）

(3)柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式

%=Sh%拄=Sh^7r~r=-SI

^=l^K.=1(S'+V?S+5)/2聯(lián)合=g(S+卮+S)/i=g?(rkrR+R)/7

(4)球體的表面積和體積公式：S球面=4萬(wàn)R?V球=g成''

《必修2》第二章點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系

1、平面的基本性質(zhì)

(1)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).

⑵公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

⑶公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共

直線.

(4)公理2的三個(gè)推論

推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面.推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直

線有且只有一個(gè)平面.推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線有且只有一個(gè)平面.

2、空間中兩直線的位置關(guān)系

f［平行

(1),位置關(guān)系的分類：(共面直線1相交

I異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)

(2)異面直線所成的角

①定義：設(shè)。是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)。作直線把，與少

所成的銳角(或直角)叫做異面直線。與b所成的角(或夾角)；②范圍：(0,5.

⑶平行公理(公理4)和等角定理

公理4(平行公理)：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

②等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

3、空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系

⑴直線與平面的位置關(guān)系有相交、平行、在平面內(nèi)三種情況.

(2)平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況.

4、直線與平面平行的判定與性質(zhì)

判定

性質(zhì)

定義定理

a--------b-------a-------FEA

圖形Z—/

a//a,au°,

條件ar\a=（/）。ua,bQa,a//baIIa

aC0=b

結(jié)論a//ab//aaca=（/）a//h

5、面面平行的判定與性質(zhì)

判定

性質(zhì)

F定義定理

//7

圖形zWD

/a///

au[3,bu0,aC\b=p,a//(3,aC\y=

條件aC(3=(/)a//P,au§

a//a,b//aa,pCy=b

結(jié)論a//(3a//pa//ba//a

垂線

垂足

垂面

6、直線與平面垂直

(1)直線與平面垂直的定義

如果直線/與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說(shuō)直線/與平面a互相垂直，記作/_La.

(2)直線與平面垂直的判定定理

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

1

一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條若/_Lcr,/工b,aua,bua,且

相交直線都垂直,則該直線與acb=P,貝！J/_La

此平面垂直

7、直線與平面所成的角

(1)如圖，一直線P4和一平面a相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫做/

這個(gè)平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)A叫做斜足,過(guò)斜線上斜足以外的一/7/

點(diǎn)向平面引垂線P0,過(guò)垂足。和斜足A的直線4。叫做斜線在這個(gè)平面上——

的射影,平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個(gè)平面所

成的角.

(2)一條直線垂直于平面，稱它們所成的角是直角；一條直線在平面內(nèi)或一條直線和平面

平行，稱它們所成的角是0。的角，于是，直線與平面所成角的范圍是［0。,90。］.

8、二面角

從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這

兩個(gè)半平面叫做二面角的面.如右圖：可記為或Q-A8-P.

9^二面角的平面角

在二面角的棱上任取一點(diǎn)。，以點(diǎn)。為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直棱的射線，則

兩條射線構(gòu)成的角叫做二面角的平面.如圖：平面角NAOB,范圍：［0。,180。］

規(guī)定：二面角的大小可以用它的平面角來(lái)度量，二面角的平面角是多少度，就說(shuō)這個(gè)二

面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.

10、平面與平面垂直

⑴定義：一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面

互相垂直，平面a與尸垂直，記作aJ■尸.

⑵判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直.

11、直線與平面垂直的性質(zhì)定理

垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.

12、平面與平面垂直的性質(zhì)定理

兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直.

《必修2》第三章直線與方程

1、直線的傾斜角

（1）傾斜角的定義：當(dāng)直線/與x軸相交時(shí)，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線/向上方

向之間所成的角a叫做直線/的傾斜角.特別地，當(dāng)直線1與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它

的傾斜角為0°.（2）傾斜角的范圍：［0。,90。］

2、直線的斜率

（1）定義：傾斜角不是90。的直線，它的傾斜角a的正切值叫做這條直線的斜率，記為k,

即k=tana,aG［0°,90O）U（90O,180°）.

（2）過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式：直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P2（x2,y2）,其斜率

k=———（%,w/）?

3、直線方程的五種形式

名稱方程的形式常數(shù)的幾何意義適用范圍

（石,M）是直線上一定

點(diǎn)斜式

y-y=k（x-xx）不垂直于X軸

點(diǎn)，左是斜率

攵是斜率，b是直線在

斜截式y(tǒng)=kx+by軸上的截距（縱截不垂直于X軸

距）

y-yx-x./,、（七,必）,（々,火）是直線

兩點(diǎn)式■{=（%2#%，%豐X）不垂直于X軸和y軸

%一y上兩定點(diǎn)

〃是直線在X軸上的

不垂直于x軸和y軸，

截距式/+2=1（加0）非零截距，b是直線在

ab且不過(guò)原點(diǎn)

y軸上的非零截距

一般式Ar+Sy+C=O（A2+B2^0）A,B,C為系數(shù)任何直線

4、兩條直線平行與垂直的判斷

/j：Ax+gy+G=0（4，與不同時(shí)為0）；l2：Ax+&y+G=。不同時(shí)為0）.

（1）當(dāng)/"〃2時(shí)o4員一兒片=0且4。2-&。尸0（或AC-4C產(chǎn)0）.

（2）當(dāng)4與4重合時(shí)044一A2與=0且耳G—82G=0（或2cl=o）.

（3）當(dāng)4_1_4時(shí)=A4+4B2=O.

5、兩點(diǎn)間的距離公式

若6（X］，X）P2（x2,y2）,則山閭=J（X1—工2）2+（,一必尸

6、點(diǎn)到直線的距離公式:

點(diǎn)P（x°，%）到直線/：Ax+By+C^O的距離d=的+8%+。|

VA2+B2

7、兩條平行直線的距離公式

兩平行直線Ar+為+G=0與Ax+為+。2=0間的距離d=|Gy

\lA2+B-

《必修2》第四章圓與方程

1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

設(shè)圓心坐標(biāo)為(。力)，半徑為，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

特別地，當(dāng)圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2+/=r2

2、圓的一般方程

(1)當(dāng)。2+后2一4/7>0時(shí)，方程-+y2+陵+回+尸=0叫做圓的一般方程，

其中圓心為(-2,-￡)半徑為電三三E.

222

(2)用待定系數(shù)法求圓的方程的大致步驟

①根據(jù)題意選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；②根據(jù)條件列出關(guān)于。力,r或D,E,F的方程組;

③解出a力/或Z),E,F,代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.

3、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d,半徑為r.

d<rn點(diǎn)P在圓內(nèi)d=rn點(diǎn)P在圓上d〉r=>點(diǎn)P在圓外

4、直線與圓的位置關(guān)系

(1)代數(shù)法：

直線與圓的方程聯(lián)立消去y(或x)得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，此方程的判別

式為A,則

直線與圓相交<=>△>()直線與圓相切u>A=O直線與圓相離。A<0

(2)幾何法:

設(shè)圓的半徑為，圓心到直線的距離為，則

直線與圓相交直線與圓相切od=r直線與圓相離

5、圓與圓的位置關(guān)系

圓與圓有五種位置關(guān)系，分別是外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含.

6、圓與圓位置關(guān)系的判定

⑴幾何法：若兩圓的半徑分別為4,G，兩圓的圓心距為d,則兩圓的位置關(guān)系的判斷方

法如下：

位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含

0o

圖示孝電

d與八,々卜-r2\<d<r20<d<-r\

d>q+弓d=4+三d=k-旬2

的關(guān)系

⑵代數(shù)法

聯(lián)立兩圓的方程組成方程組.

則方程組解的個(gè)數(shù)與兩圓的位置關(guān)系如下：

7、過(guò)圓上一點(diǎn)（%,%）的圓的切線方程的求法

先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率左,再由垂直關(guān)系得切線的斜率為-工，由點(diǎn)斜式可得切線方

k

程.如果斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程y=y?；騲=x0.

8、過(guò)圓外一點(diǎn)（x°,y。）的切線方程的求法

設(shè)切線方程為依尤-/），由圓心到直線的距離等于半徑建立方程，可求得攵，也

就得切線方程.當(dāng)用此法只求出一個(gè)方程時(shí)，另一個(gè)方程應(yīng)為x=x0,因?yàn)樵谏厦娼夥ㄖ?/p>

不包括斜率不存在的情況，而過(guò)圓外一點(diǎn)的切線有兩條.一般不用聯(lián)立方程組的方法求

解.

9、求切線長(zhǎng)最小值的兩種方法

①（代數(shù)法）直接利用勾股定理求出切線長(zhǎng)，把切線長(zhǎng)中的變量統(tǒng)一成一個(gè)，轉(zhuǎn)化成函數(shù)求

最值；②（幾何法）把切線長(zhǎng)最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成圓心到直線的距離問(wèn)題.

10、一般地過(guò)直線4x+By+C=O與圓C:/+y2+樂(lè)+3+/=。交點(diǎn)的圓系方程可設(shè)

為：x2+y2+Dx+Ey+F+A（Ax+By+C^Q,然后再由其他條件求出X,即可得圓的方

程.

11、一般地過(guò)圓a：d+y+Q無(wú)+4y+片=0與圓G：/+/+。泌+馬丁+工=0的交

點(diǎn)的圓的方程可設(shè)為/+y2++4y+片++y2+3》+當(dāng)）,+?）=0（丸工一1）,然后

再由其他條件求出/I,即可得圓的方程.

12、兩圓相交時(shí)，公共弦所在的直線方程

若圓G：Y+V+nx+gy+G=0與圓G：x2+y2+O/+E2y+K=0相交，則兩圓公

共弦所在直線的方程為（R-3?+（&-七2"+6-B=o?

13、公共弦長(zhǎng)的求法

①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長(zhǎng).

②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成的直角三

角形，根據(jù)勾股定理求解.

14、求弦長(zhǎng)的兩種方法

涉及直線被圓截得的弦長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)，解法有以下兩種：

①由于半徑長(zhǎng)r,弦心距d,弦長(zhǎng)/的一半構(gòu)成直角三角形，所以利用勾股定理

儲(chǔ)+（夕=/求解.

②聯(lián)立直線與圓的方程，消元得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得

到兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）之間的關(guān)系，代入兩點(diǎn)間距離公式求解.此解法很煩瑣，一般

不用.

《必修3》第一章算法初步

1、算法概念：

在數(shù)學(xué)上，現(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計(jì)算機(jī)來(lái)解決的某一類問(wèn)題是程序或步

驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成.

2、算法的特點(diǎn)：

(1)有限性：一個(gè)算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無(wú)限的.

(2)確定性：算法中的每一步應(yīng)該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果，而不應(yīng)

當(dāng)是模棱兩可.

(3)順序性與正確性：算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個(gè)步驟只能有一

個(gè)確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進(jìn)行下一步，并且

每一步都準(zhǔn)確無(wú)誤，才能完成問(wèn)題.

(4)不唯一性：求解某一個(gè)問(wèn)題的解法不一定是唯一的，對(duì)于一個(gè)問(wèn)題可以有不同的算法.

(5)普遍性：很多具體的問(wèn)題，都可以設(shè)計(jì)合理的算法去解決，如心算、計(jì)算器計(jì)算都要

經(jīng)過(guò)有限、事先設(shè)計(jì)好的步驟加以解決.

3、程序框圖基本概念：

(1)程序構(gòu)圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說(shuō)明

來(lái)準(zhǔn)確、直觀地表示算法的圖形。一個(gè)程序框圖包括以下幾部分：表示相應(yīng)操作的程序

框；帶箭頭的流程線；程序框外必要文字說(shuō)明。

(2)構(gòu)成程序框的圖形符號(hào)及其作用

程序框名稱功能

表示一個(gè)算法的起始和結(jié)束，是任何流程圖不

起止框

可少的。

表示一個(gè)算法輸入和輸出的信息，可用在算法

7輸入、輸出框

Z^中任何需要輸入、輸出的位置。

賦值、計(jì)算，算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公

—處理框式等分別寫在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處理框

內(nèi)。

判斷某一條件是否成立，成立時(shí)在出口處標(biāo)明

判斷框

“是”或“Y”；不成立時(shí)標(biāo)明“否”或“N”。

(3)算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)。

4、輸入語(yǔ)句

圖形計(jì)算器

格式

INPUT"提示內(nèi)容”；變量INPUT”提示內(nèi)容”，變量

5、輸出語(yǔ)句

圖形計(jì)算器

格式

PRINT"提示內(nèi)容”；表達(dá)式Disp“提示內(nèi)容”，變量

6、賦值語(yǔ)句(了解)

圖形計(jì)算器

變量=表達(dá)式格式表達(dá)式f變量

7、條件語(yǔ)句

(1)條件語(yǔ)句的一般格式有兩種：IF—THEN—ELSE語(yǔ)句和IF—THEN語(yǔ)句。

(2)

圖1圖2

(3)IF—THEN語(yǔ)句的一般格式為圖3,對(duì)應(yīng)的程序框圖為圖4

IF條件THEN

語(yǔ)句

ENDIF(圖3)

8、循環(huán)語(yǔ)句

循環(huán)結(jié)構(gòu)是由循環(huán)語(yǔ)句來(lái)實(shí)現(xiàn)的。對(duì)應(yīng)于程序框圖中的兩種循環(huán)結(jié)構(gòu)，一般程序設(shè)計(jì)語(yǔ)

言中也有當(dāng)型(WHILE型)和直到型(UNTIL型)兩種語(yǔ)句結(jié)構(gòu)。即WHILE語(yǔ)句和

UNTIL語(yǔ)句。

(1)WHILE語(yǔ)句的一般格式是對(duì)應(yīng)的程序框圖是

否

(2)UNTIL語(yǔ)句的一般格式是對(duì)應(yīng)的程序框圖是

DO

循環(huán)體

LOOPUNTIL條件

9、輾轉(zhuǎn)相除法

也叫歐幾里德算法，用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下:

(1)：用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到一個(gè)商跖和一個(gè)余數(shù)/；(2)：若&=0,

則n為m,n的最大公約數(shù)；若凡加，則用除數(shù)n除以余數(shù)凡得到一個(gè)商，和一個(gè)余數(shù)

%;(3)：若%=0,則以為m,n的最大公約數(shù)；若&W0,則用除數(shù)4除以余數(shù)用得

到一個(gè)商S?和一個(gè)余數(shù)R?;……

依次計(jì)算直至=0,此時(shí)所得到的Ki即為所求的最大公約數(shù)。

10、更相減損術(shù)

我國(guó)早期也有求最大公約數(shù)問(wèn)題的算法，就是更相減損術(shù)。在《九章算術(shù)》中有更相減

損術(shù)求最大公約數(shù)的步驟：可半者半之，不可半者，副置分母?子之?dāng)?shù)，以少減多，更相

減損，求其等也，以等數(shù)約之.

翻譯為：(1)：任意給出兩個(gè)正數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，用2約簡(jiǎn)；若不是,

執(zhí)行第二步.

(2)：以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。

繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個(gè)數(shù)(等數(shù))就是所求的最大公約數(shù).

11、輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別

(1)都是求最大公約數(shù)的方法，計(jì)算上輾轉(zhuǎn)相除法以除法為主，更相減損術(shù)以減法為主,

計(jì)算次數(shù)上輾轉(zhuǎn)相除法計(jì)算次數(shù)相對(duì)較少，特別當(dāng)兩個(gè)數(shù)字大小區(qū)別較大時(shí)計(jì)算次數(shù)的

區(qū)別較明顯.

(2)從結(jié)果體現(xiàn)形式來(lái)看，輾轉(zhuǎn)相除法體現(xiàn)結(jié)果是以相除余數(shù)為0則得到，而更相減損

術(shù)則以減數(shù)與差相等而得到.

12、秦九韶算法與排序

(1)秦九韶算法概念：

外)=。僅+?！?1/4...+。1%+。0求值問(wèn)題

,,n1

f^x)=anx+an-ix-+....+aix+ao

=(an^l'x+an-\xn~2+....+ai)x+ao

=((爐-3+.…+㈤x+ai)x+a()

=(...(anx+an-\)x+an-2)x+...+ai)x+ao

求多項(xiàng)式的值時(shí)，首先計(jì)算最內(nèi)層括號(hào)內(nèi)依次多項(xiàng)式的值，即也=a”x+a“i

然后由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值，即

V2=VlX+an-2V3=V2X+an-3..

這樣，把n次多項(xiàng)式的求值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求〃個(gè)一次多項(xiàng)式的值的問(wèn)題。

(2)兩種排序方法(了解)：直接插入排序和冒泡排序

①直接插入排序

基本思想：插入排序的思想就是讀一個(gè)，排一個(gè)。將第1個(gè)數(shù)放入數(shù)組的第1個(gè)元素中，

以后讀入的數(shù)與已存入數(shù)組的數(shù)進(jìn)行比較，確定它在從大到小的排列中應(yīng)處的位置.將

該位置以及以后的元素向后推移一個(gè)位置，將讀入的新數(shù)填入空出的位置中.(由于算

法簡(jiǎn)單，可以舉例說(shuō)明)

②冒泡排序

基本思想：依次比較相鄰的兩個(gè)數(shù),把大的放前面，小的放后面.即首先比較第1個(gè)數(shù)和第2

個(gè)數(shù)，大數(shù)放前，小數(shù)放后.然后比較第2個(gè)數(shù)和第3個(gè)數(shù)......直到比較最后兩個(gè)數(shù).第一趟結(jié)

束,最小的一定沉到最后.重復(fù)上過(guò)程，仍從第1個(gè)數(shù)開始，到最后第2個(gè)數(shù)……由于在排序

過(guò)程中總是大數(shù)往前，小數(shù)往后,相當(dāng)氣泡上升，所以叫冒泡排序.

13、進(jìn)位制

概念：進(jìn)位制是一種記數(shù)方式，用有限的數(shù)字在不同的位置表示不同的數(shù)值。可使用數(shù)

字符號(hào)的個(gè)數(shù)稱為基數(shù)，基數(shù)為n,即可稱n進(jìn)位制，簡(jiǎn)稱n進(jìn)制?，F(xiàn)在最常用的是十

進(jìn)制，通常使用10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字0-9進(jìn)行記數(shù)。對(duì)于任何一個(gè)數(shù)，我們可以用不同的進(jìn)

位制來(lái)表示。比如：十進(jìn)數(shù)57,可以用二進(jìn)制表示為111001,也可以用八進(jìn)制表示為71、

用十六進(jìn)制表示為39,它們所代表的數(shù)值都是一樣的。

一般地，若k是一個(gè)大于一的整數(shù)，那么以k為基數(shù)的k進(jìn)制可以表示為：

…4%的(0<a”<k,04<k),

而表示各種進(jìn)位制數(shù)一般在數(shù)字右下腳加注來(lái)表示，如111001⑵表示二進(jìn)制數(shù),34⑸表示5

進(jìn)制數(shù).

《必修3》第二章統(tǒng)計(jì)

1.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

（1）總體和樣本

總體：在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，把研究對(duì)象的全體叫做總體.

個(gè)體：把每個(gè)研究對(duì)象叫做個(gè)體.

總體容量：把總體中個(gè)體的總數(shù)叫做總體容量.

為了研究總體x的有關(guān)性質(zhì)，一般從總體中隨機(jī)抽取一部分：4看,當(dāng)…，當(dāng)研究，我們稱

它為樣本.其中個(gè)體的個(gè)數(shù)稱為樣本容量。

（2）簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，也叫純隨機(jī)抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊(duì)等，完

全隨機(jī)地抽取調(diào)查單位。特