高中數(shù)學基礎(chǔ)知識二

解析幾何

1.直線的傾斜角

（1）定義：當直線/與X軸相交時，取X軸作為基準，X軸正向與直線/向上方向之間所成的

角叫做直線/的傾斜角.當直線/與x軸平行或重合時,規(guī)定它的傾斜角為0。.

（2）范圍：直線/傾斜角的范圍是［0,兀）.

2.斜率公式

（1）若直線/的傾斜角aW90。，則斜率k=tana.

（2）P］（x“％）,P,（X2,竺）在直線/上，且巾金乃，則/的斜率々=及三上

X2-X\

3.直線方程的五種形式

名稱方程適用范圍

）

點斜式y(tǒng)—Xo不含直線x=x0

斜截式不含垂直于X軸的直線

y—yi_x—xi不含直線x=x\（由w、2）和直線y=y

兩點式

y2-y\x2—x1（）儼”）

截距式4+{=]不含垂直于坐標軸和過原點的直線

ab

Ar+B>+C=0

一般式平面直角坐標系內(nèi)的直線都適用

（儲+FLO）

【思考辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確（請在括號中打“J”或“X”）

（1）根據(jù)直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置.（V）

（2）坐標平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率.（X）

⑶直線的傾斜角越大，其斜率就越大.（X）

⑷直線的斜率為tana,則其傾斜角為a.（X）

（5）斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等.（X）

（6）經(jīng)過定點4（0,6）的直線都可以用方程y=fcv+b表示.（X）

（7）不經(jīng)過原點的直線都可以用2+方=1表示.（X）

⑻經(jīng)過任意兩個不同的點尸1（片,〉1）,「2（必，”）的直線都可以用方程丁1）（必一為）=。一即）02

一yi）表示.（V）

1.圓的定義

在平面內(nèi)，到定點的距離等于定長的點的集合叫圓.

2.確定一個圓最基本的要素是圓心和半徑.

3.圓的標準方程

(x—a)2+(y—如2=,(->0),其中(“，為圓心,二為半徑.

4.圓的一般方程

/+/+"+￡>+尸=0表示圓的充要條件是迂土史二絲泗，其中圓心為(一夕一D，半徑

一。2+君2-4產(chǎn)

「=2

5.確定圓的方程的方法和步驟

確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟為

(1)根據(jù)題意，選擇標準方程或一般方程；

(2)根據(jù)條件列出關(guān)于a,b,r或。、E、尸的方程組；

(3)解出〃、氏r或。、E、尸代入標準方程或一般方程.

6.點與圓的位置關(guān)系

點和圓的位置關(guān)系有三種.

圓的標準方程(X—“尸+。一加2=/，點M(xo，y0)

(1)點在圓上：恤—")2+(口一。)2=J;

(2)點在圓外：(電一af+C-Q—力2>,；

(3)點在圓內(nèi)：。一”)2+(即一

【思考辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.(V)

(2)已知點A(x”yi),8(x2,72)>則以AB為直徑的圓的方程是(x—xD(x—通)+。-yi)(y—竺)

—0(J)

(3)方程Ax+B^+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是A=CW0,B=0,D2+E^-

4AF>0.(V)

(4)方程f+2ax+)?=0一定表示圓.(X)

(5)圓f+2x+y2+y=0的圓心是(1,；)(X)

⑹若點M(xo,泗)在圓/+/+以+或+/=。外，則/+/+①0+均，0+/>0.(4)

I.判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法

(1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑〃的大小關(guān)系.

火廣。相交；d=/0相切；相離.

>00相交;

(2)代數(shù)法：，第=0?ilW;

A=b—4ac

<00相離.

2.圓與圓的位置關(guān)系

設(shè)圓。1：（X—4|）2+（y—仇）2=片（廠|>0）,

圓。2：（X—。2—+（7-岳產(chǎn)=3（『2>0）.

方法代數(shù)法：聯(lián)立兩圓方程組

幾何法：圓心距d與/?”萬的關(guān)系

位置關(guān)成方程組的解的情況

外離力無解

外切d=.+.一組實數(shù)解

相交1———I<d<q+n兩組不同的實數(shù)解

內(nèi)切d=\r\—r^riW㈤一組實數(shù)解

內(nèi)含OWdvl——嗖為#r2)無解

【知識拓展】

1.圓的切線方程常用結(jié)論

⑴過圓f+y2=J上一點p（xo，澗）的圓的切線方程為X（>r+yoy=J.

（2）過圓（x—a）2+（y—6）2=/上一點P（xo,%）的圓的切線方程為（刈一4）（了一60+（比一/?）&—〃）

=/.

（3）過圓￥+尸=/外一點M（xo，兒）作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為小+如占尸

2.圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論

（1）兩圓的位置關(guān)系與公切線的條數(shù)：①內(nèi)含：0條；②內(nèi)切：1條；③相交：2條；④外切：

3條:⑤外離：4條.

（2）當兩圓相交時，兩圓方程（f,y?項系數(shù)相同）相減便可得公共弦所在直線的方程.

【思考辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確（請在括號中打“J”或“X”）

（1）'“=1”是“直線x—y+&=0與圓x?+y2=i相交”的必要不充分條件.（X）

（2）如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數(shù)解，則兩圓外切.（X）

（3）如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交.（X）

（4）從兩圓的方程中消掉二次項后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方

程.（*）

（5）過圓。：f+）?=/上一點2（回，兒）的圓的切線方程是鄧r+wy=M.（V）

（6）過圓0：f+y2=J外一點尸（沏，％）作圓的兩條切線，切點分別為A,B,則0,P,A,B

四點共圓且直線A8的方程是x（>x+yoy=/.（，）

1.橢圓的概念

平面內(nèi)與兩個定點尸”尸2的距離的和等于常數(shù)(大于|為巳|)的點的軌跡叫做血這兩個定

點叫做橢圓的焦點,兩焦點的距離叫做橢圓的焦距.

集合P={M||M尸il+|MBI=2a},尸iBI=2c,其中a＞0,cX),且a,c為常數(shù)：

(1)若亞，則集合P為橢圓；

(2)若口，則集合P為線段；

(3)若任，則集合P為空集.

2.橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)

22

與+:=1

標準方程1+1=1ab

(a>b>0)(a>h>0)

y

A^O

圖形

—b&xWb

范圍

—bWyWb一aWyW。

對稱性對稱軸：坐標軸對稱中心：原點

A](一〃,0),A2(tz,0)Ai(O,—a),4(0,a)

頂點

5(0,-/?),&(0,b)8](一40),B2s,0)

性

軸長軸4A2的長為額；短軸Bj&的長為功

質(zhì)

焦距\F\F^=2c

離心率e='(。/)

a,b,c

?2+c2

的關(guān)系

【知識拓展】

點PQb,比)和橢圓的關(guān)系

22

⑴點尸(沏，先)在橢圓內(nèi)=我十微＜1.

22

(2)點P(xo，泗)在橢圓上=我+券=1

22

(3)點尸(xo,%)在橢圓外=我+患＞1.

【思考辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確（請在括號中打“J”或“X”）

（1）平面內(nèi)與兩個定點廠“B的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓.（X）

（2）橢圓上一點P與兩焦點Fi，&構(gòu)成的周長為24+2c（其中a為橢圓的長半軸長,

c為橢圓的半焦距）.（V）

（3）橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓.（X）

（4）方程Wix2+〃y2=］（%）0,小表示的曲線是橢圓.（J）

（5方十方=1（”Wb）表示焦點在y軸上的橢圓.（X）

2222

（6）3+*=1（a>fr>0）與^+5=1伍>6>0）的焦距相等.（V）

1.雙曲線定義

平面內(nèi)與兩個定點B，F(xiàn),的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于IQF,|）的點的軌跡叫做雙曲

線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.

集合P={MI|MF1L|M尸川=2。},|吊川=2。，其中a,c為常數(shù)且a>0,c>0.

⑴當2〃<|乙碼時,P點的軌跡是雙曲線；

⑵當2a=嗎F?|時,P點的軌跡是兩條射線；

⑶當2°>|竹燈時,P點不存在.

2.雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì)

2222

標準方程/一5=1(〃>0,b>0)力一京=l(a>0,Z?0)

圖形

范圍或xW—my￡Rx￡R,yW—。或>2。

對稱性對稱軸：坐標軸對稱中心：儂,

頂點A|(-6F,0),42(〃,0)A|(0,—a),42(0,〃)

性a

漸近線y=±~x)=9

質(zhì)

離心率e=%ge(j,4-QO),其中c=q〃2+/

線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長肉&|=額；線段8由2叫做

實虛軸

雙曲線的虛軸，它的長|8|固=%；。叫做雙曲線的實半軸長，b

叫做雙曲線的虛半軸長

。、b、c

c1=a2+b1(c>67>0,c>b>0)

的關(guān)系

【知識拓展】

巧設(shè)雙曲線方程

2222

⑴與雙曲線也一，=1(4>0,6>0)有共同漸近線的方程可表示為也一齊=，(/#0).

22

(2)過已知兩個點的雙曲線方程可設(shè)為5+)=1(.<0).

【思考辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

⑴平面內(nèi)到點F|(O,4),F2(0,—4)距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線.(X)

22

(2)方程今一?=1(?7">0)表示焦點在x軸上的雙曲線.(X)

2222

(3)雙曲線方程/一〃>0,4W0)的漸近線方程是%=0,即今書=0.(V)

(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于啦.(V)

(5)若雙曲線會一方=1伍>0,fr>0)與5一^i=l(a>0,b>0)的離心率分別是e1，e2,則,+留=

1(此結(jié)論中兩條雙曲線稱為共規(guī)雙曲線).(V)

1.拋物線的概念

平面內(nèi)與一個定點尸和一條定直線/(/不經(jīng)過點F)距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點尸叫

做拋物線的焦點,直線/叫做拋物線的準線.

2.拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)

y2=2px(p>0)y2=~2px(p>0)x2=2py(p>0)X2=-2py(p>0)

標準方程

p的幾何意義：焦點產(chǎn)到準線/的距離

圖形

頂點0(0,0)n□

對稱軸y=0x=0

造,0){0,f)

焦點

離心率e=1

準線方程x2x2y=~2y=2

范圍x，0,y￡RxWO,yWRy20,xSR

開口方向向右向左向上向下

【知識拓展】

1.拋物線尸=2px仍>0)上一點尸(沏，刈)到焦點眠，0)的距離陽=必+多也稱為拋物線

的焦半徑.

2./=取的焦點坐標為g,0),準線方程為X=

【思考辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線/的距離相等的點的軌跡一定是拋物線.(X)

(2)方程)，="2(“#0)表示的曲線是焦點在工軸上的拋物線，且其焦點坐標是(*0),準線方

程是x=一￡.(X)

(3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.(X)

2

(4)AB為拋物線)2=2px(p>0)的過焦點啰，0)的弦，若A(x”yi),8(必經(jīng))，則'的=，，

>|>2=-〃2,弦長|AB|=M+X2+P.(J)

(5)過拋物線的焦點與拋物線對稱軸垂直的直線被拋物線截得的線段叫做拋物線的通徑，那

么拋物線》2=—2.(“>0)的通徑長為2a(V)

1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷

將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去一個變量得到關(guān)于x(或y)的一元方程：a^+bx+c^

0(或ay2+by+c=0).

(1)若aWO,可考慮一元二次方程的判別式/,有

①/>0=直線與圓錐曲線相交；

②/=0。直線與圓錐曲線相切;

③/<0c直線與圓錐曲線相離.

(2)若。=0,b^Q,即得到一個一元一次方程，則直線/與圓錐曲線E相交，且只有一個交

點，

①若E為雙曲線，則直線/與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系是壬立；

②若E為拋物線，則直線I與拋物線的對稱軸的位置關(guān)系是平行或重合.

2.圓錐曲線的弦長

設(shè)斜率為％(kWO)的直線/與圓錐曲線C相交于4為，乃)，8(X2,")兩點，則依劇=，1不

--vi|=^l+^|>,2—^ll.

【知識拓展】

過一點的直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

(1)過橢圓外一點總有兩條直線與橢圓相切；

過橢圓上一點有且只有一條直線與橢圓相切；

過橢圓內(nèi)一點的直線與橢圓相交.

(2)過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條與對稱軸

平行或重合的直線；

過拋物線上一點總有兩條直線與拋物線有且只有一個公共點：一條切線和一條與對稱軸平行

或重合的直線；

過拋物線內(nèi)一點只有一條直線與拋物線有且只有一個公共點：一條與對稱軸平行或重合的直

線.

(3)過雙曲線外不在漸近線上的一點總有四條直線與雙曲線有且只有一個交點：兩條切線和

兩條與漸近線平行的直線；

過雙曲線上一點總有三條直線與雙曲線有且只有一個交點：一條切線和兩條與漸近線平行的

直線；

過雙曲線內(nèi)一點總有兩條直線與雙曲線有且只有一個交點：兩條與漸近線平行的直線.

【思考辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)直線/與拋物線丁=2度只有一個公共點，則/與拋物線相切.(X)

(2)直線y=fcr(Z#O)與雙曲線y2=i一定相交.(x)

(3)與雙曲線的漸近線平行的直線與雙曲線有且只有一個交點.(J)

(4)直線與橢圓只有一個交點=直線與橢圓相切.(V)

2

(5)過點(2,4)的直線與橢圓r亍+尸=1只有一條切線.(X)

(6)滿足“直線y=?x+2與雙曲線丁=4只有一個公共點，，的。的值有4個.(V)

數(shù)歹IJ

1.數(shù)列的定義

按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列,數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的見

2.數(shù)列的分類

分類原則類型滿足條件

有窮數(shù)列項數(shù)有限

按項數(shù)分類

無窮數(shù)列項數(shù)無限

按項與項間遞增數(shù)列1------------%

其中

的大小關(guān)系遞減數(shù)列an+\_<^_an"GN*

分類常數(shù)列an+\=an

有界數(shù)列存在正數(shù)M,使EIWM

按其他標準

從第2項起，有些項大于它的前一

分類擺動數(shù)列

項，有些項小于它的前一項的數(shù)列

3.數(shù)列的表示法

數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法.

4.數(shù)列的通項公式

如果數(shù)列｛&｝的第n項與序號n之間的關(guān)系可以用一個式子來表示,那么這個公式叫做這個

數(shù)列的通項公式.

(?=!)>

5.已知數(shù)列｛斯｝的前〃項和&，

(〃22).

【思考辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“或“X”)

(1)所有數(shù)列的第〃項都能使用公式表達.(X)

(2)根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出數(shù)列的通項公式可能不止一個.(V)

(3)1,1,1,1,…，不能構(gòu)成一個數(shù)列.(X)

(4)任何一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列.(X)

(5)如果數(shù)列｛〃“｝的前"項和為S”，則對V〃WN*,都有斯+產(chǎn)S,,+LS“.(J)

(6)在數(shù)列｛斯｝中，對于任意正整數(shù)〃，1,若q=1,則。2=2.(V)

1.等差數(shù)列的定義

一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)

列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示.

2.等差數(shù)列的通項公式

如果等差數(shù)列｛斯｝的首項為由，公差為“，那么它的通項公式是葉="+(〃-l)d.

3.等差中項

如果4=皇，那么4叫做。與b的等差中項.

4.等差數(shù)列的常用性質(zhì)

(1)通項公式的推廣：a?=a,?+(n—m)d(n,ZMCN").

(2)若｛斯｝為等差數(shù)列，Kk+l—m+n(k,I,m,?GN*),則4+”,=&；+&.

(3)若｛斯｝是等差數(shù)列，公差為d,則｛為“｝也是等差數(shù)列,公差為2d.

(4)若｛乩｝是等差數(shù)列，則｛pa“+qb“｝也是等差數(shù)列.

(5)若｛〃“｝是等差數(shù)列，公差為d,則a*,a*+m,4+2加，…(匕〃?eN)是公差為也義的等差數(shù)

列.

5.等差數(shù)列的前〃項和公式

設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d,其前n項和a=幽抖或5”=〃，“+也展).

6.等差數(shù)列的前〃項和公式與函數(shù)的關(guān)系

&=舞+(，3~2)n-

數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列。，=4“2+即(4、B為常數(shù)).

7.等差數(shù)列的前”項和的最值

在等差數(shù)列｛斯｝中，ai>0,"<0,則&存在最值；若卬<0,冷0，則S”存在最—小—

值.

【思考辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

⑴若一個數(shù)列從第二項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)

列.(X)

(2)數(shù)列｛狐｝為等差數(shù)列的充要條件是對任意“GN”,都有2a“+i=a“+a“+2.(V)

(3)等差數(shù)列｛%｝的單調(diào)性是由公差”決定的.(V)

(4)數(shù)列｛為｝為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為〃的一次函數(shù).(X)

(5)數(shù)列｛斯｝滿足斯+1一斯=〃，則數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列.(X)

(6)已知數(shù)列｛%｝的通項公式是a,,=p"+q(其中p,q為常數(shù))，則數(shù)列｛〃“｝一定是等差數(shù)

列.(V)

1.等比數(shù)列的定義

一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)，那么這個數(shù)列

叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,通常用字母a表示3W0).

2.等比數(shù)列的通項公式

設(shè)等比數(shù)列｛”“｝的首項為勾，公比為則它的通項為=21s二.

3.等比中項

若b(“b#0),那么G叫做a與b的等比中項.

4.等比數(shù)列的常用性質(zhì)

(1)通項公式的推廣：斯=斯,?仁2(W，〃?GN*).

(2)若｛斯｝為等比數(shù)列，Kk+l=m+n｛k,I,m,"CN*),則純4丘馬20.

⑶若｛斯｝，也｝(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則｛斷｝(2#0),嘮，｛片｝，｛斯也｝，悔｝仍是等比

數(shù)列.

5.等比數(shù)列的前〃項和公式

等比數(shù)列｛%｝的公比為40WO),其前n項和為S,,,

當夕=1時，Sn=na\\

當步1時，s,=華"=『.

r\-q\—q

6.等比數(shù)列前〃項和的性質(zhì)

公比不為一1的等比數(shù)列｛斯｝的前〃項和為s”則s“s2n-s?,S3”一%仍成等比數(shù)列,其

公比為d'.

【思考辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)滿足a.+i=W“(〃eN*,4為常數(shù))的數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列.(X)

(2)G為a,6的等比中項QG2=aA(X)

(3)如果數(shù)列｛〃“｝為等比數(shù)列，兒="2"-|+"2"，則數(shù)列｛乩｝也是等比數(shù)列.(X)

(4)如果數(shù)列｛斯｝為等比數(shù)列，則數(shù)列｛In斯｝是等差數(shù)列.(X)

(5)數(shù)列｛斯｝的通項公式是a“=a",則其前〃項和為二:").(X)

(6)數(shù)列｛斯｝為等比數(shù)列，則X，&-孔，&2-S8成等比數(shù)列.(X)

求數(shù)列的前”項和的方法

(1)公式法

①等差數(shù)列的前〃項和公式

5產(chǎn)葉卓”

②等比數(shù)列的前"項和公式

=

(i)當q=1時，Snna\\

,??、山c?(]_，)a「c1q

(11)當。去1時，S,、=]_；=LJn

(2)分組轉(zhuǎn)化法

把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解.

(3)裂項相消法

把數(shù)列的通項拆成兩項之差求和，正負相消剩下首尾若干項.

常見的裂項公式

「1_11

'%〃+1)=丁〃+1；

②(2〃一[)(2〃+])02〃-1-2〃+1)；

③5+/=kf?

(4)倒序相加法

把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導過程的推廣.

(5)錯位相減法

主要用于一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應項相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式

的推導過程的推廣.

(6)并項求和法

一個數(shù)列的前〃項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和.形如。,,=(一1)伏〃)類型，可

采用兩項合并求解.

例如，5?=1002-992+982-972H---F22-l2=(100+99)+(98+97)H-----1-(2+1)=5050.

【思考辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)如果數(shù)列｛斯｝為等比數(shù)列，且公比不等于1,則其前〃項和S"J)

?q

⑵當“22時,禺一*).(7)

(3)求S.=a+2“2+3/+…+/"之和時，只要把上式等號兩邊同時乘以。即可根據(jù)錯位相減

法求得.(X)

(4)數(shù)歹!!｛/+2〃一1｝的前〃項和為/+*.(x)

(5)推導等差數(shù)列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin2l°+sin220+sin23°

+???4-sin288°+sin289°=44.5.(J)

不等式

1.兩個實數(shù)比較大小的方法

。一b>00a>b

(1)作差法｛〃一匕=00〃=b(〃，bWR)；

、a—vb

(a,.

1>b

⑵作商法點=io〃=b(〃￡R,/?>0).

7<l<=>6f<b

、b--------

2.不等式的基本性質(zhì)

特別

性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容

提醒

對稱性a>b<^b<ao

傳遞性a>b,b>c=>a>c=>

可加性a>h^a+c>h+c<=>

a>h]

=>ac>bc注意c

c>0J

可乘性的符

a>b\

=>ac<bc號

c<Oj

同向可a>b]

)=>a+c>b+cl=>

加性c>d]

同向同正a>b>Q)[

(=>ac>bd

可乘性c>d>CJ

=>

可乘方性a>b>0=d'>b〃(neN,〃21)a,b

同為

可開方性a>b>0=>y[a>y[h(neN,〃22)

正數(shù)

3.不等式的一些常用性質(zhì)

(1)倒數(shù)的性質(zhì)

?a>bf

②a<O<b=>懸.

?0<a<x<b或〃4<*0=2J/

(2)有關(guān)分數(shù)的性質(zhì)

若a>b>0,/n>0,貝！J

u"?b+mhb—m

①^<〃+加;->-------(b—m>0).

aa-m

a+tnaa-nt

行二請f孫

【思考辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(l)tz>/?<:>fzc2>frc2.(X)

(2?=a〈b3bW0).(X)

C3)a>b,c>d=>ac>hd.(X)

1.“三個二次”的關(guān)系

判別式A=b2-

A>0A=0A<0

4ac

二次函數(shù)的l￡

y=ax2+bx+c

o怔="2￡

(a>0)的圖象

一元二次方程有兩相等實根X]=X2=

有兩相異實根X1,

2

ax+bx+c=0b沒有實數(shù)根

X2(X1<X2)-2a

(a>0)的根

ax2+bx+c>0

[x|x〈Xj_或x>x”{xlxW-裊{x|x￡R}

(a>0)的解集

aj3+hx+c<0

{x|X|<x<x7}00

5>0)的解集

2.常用結(jié)論

(x-a)(x—6)>0或(x—a)(x一份<0型不等式的解法

解集

不等式

a<ba=ba>b

(x-a)'(x—{小<4或(xRvb或

b)>0x>b]

(九一a>(x-

3〃<工詢0{x\b<x<a}

b)<0

口訣：大于取兩邊，小于取中間.

【思考辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“或“X”)

⑴若不等式以2+公+<:<0的解集為(X”X2),則必有4>0.(V)

⑵不等式泊W0的解集是［—1,2］.(X)

(3)若不等式af+bx+oO的解集是(一8,X1)U(jf2，+°°),則方程01?+法+。=0的兩個根

是X］和%2-(J)

(4)若方程/+云+C=0(“#0)沒有實數(shù)根，則不等式―+法+少。的解集為R.(X)

⑸不等式a?+fcc+cWO在R上恒成立的條件是“<0且/=/一4〃￡<0.(X)

1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域

(1)一般地，二元一次不等式Ax+By+OO在平面直角坐標系中表示直線Ax+By+C=0某

一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域.我們把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界直線.當我們在坐

標系中畫不等式Ar+By+CNO所表示的平面區(qū)域時，此區(qū)域應包括邊界直線,則把邊界直

線畫成實線.

(2)由于對直線Ax+By+C^O同一側(cè)的所有點(x,y),把它的坐標(x,y)代入Ax+By+C,

所得的符號都相同,所以只需在此直線的同一側(cè)取一個特殊點(xo,泗)作為測試點，由4xo

+Bvn+C的符號即可判斷Ax+By+OO表示的直線是Ar+B)'+C=0哪一側(cè)的平面區(qū)域.

2.線性規(guī)劃相關(guān)概念

名稱意義

約束條件由變量X,y組成的一次不等式

線性約束條件由尤，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組

目標函數(shù)欲求最大值或最小值的函數(shù)

線性目標函數(shù)關(guān)于x,y的一次解析式

可行解滿足線性約束條件的解

可行域所有可行解組成的集合

最優(yōu)解使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解

線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標函數(shù)的最大值或最小值問題

3.重要結(jié)論

(1)畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域的直線定界，特殊點定域：

①直線定界：不等式中無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實線；

②特殊點定域：若直線不過原點，特殊點常選原點；若直線過原點，則特殊點常選取(0,1)

或(1,0)來驗證.

(2)利用“同號上，異號下”判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域：

對于Ar+By+OO或Ar+B.y+C<0,則有

①當B(Ax+By+C)>0時，區(qū)域為直線Ar+By+C=0的上方；

②當8(Ar+By+O<0時，區(qū)域為直線Ar+By+C=0的下方.

(3)最優(yōu)解和可行解的關(guān)系：

最優(yōu)解必定是可行解，但可行解不一定是最優(yōu)解.最優(yōu)解不一定唯一，有時唯一，有時有多

個.

【思考辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)不等式Ax+By+OO表示的平面區(qū)域一定在直線Ax+8)，+C=0的上方.(X)

(2)線性目標函數(shù)的最優(yōu)解可能是不唯一的.(V)

⑶目標函數(shù)z=or+力(6W0)中,z的幾何意義是直線or+by—z=0在)，軸上的截距.(X)

(4)不等式丫2<0表示的平面區(qū)域是一、三象限角的平分線和二、四象限角的平分線圍成

的含有y軸的兩塊區(qū)域.(V)

1.基本不等式/而

(1)基本不等式成立的條件：a>0,b>0.

(2)等號成立的條件：當且僅當a=E時取等號.

2.幾個重要的不等式

(^a2+b2^2ab(a,Z?eR).

(2)§+號)23，b同號).

(a,R).

(4)”,少代抄(。,h&R).

以上不等式等號成立的條件均為a=b.

3.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)

設(shè)a>0,b>0,則a,6的算術(shù)平均數(shù)為竽，幾何平均數(shù)為股，基本不等式可敘述為兩個

正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

4.利用基本不等式求最值問題

己知x>0,y>0,則

(1)如果積孫是定值p,那么當且僅當x=y時,x+y有最小值2赤.(簡記：積定和最小)

2

(2)如果和x+y是定值p,那么當且僅當x=y時,肛有最大值：(簡記：和定積最大)

【思考辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)函數(shù)>=》+；的最小值是2.(X)

4JT

(2)函數(shù)?r)=cos%+￡V工￡(0，5)的最小值等于4(X)

⑶“x>0且y>0”是“計拄2”的充要條件.(X)

(4)若a>0,則/+/的最小值為2也.(X)

(5)不等式/+廿22"與生芋》標有相同的成立條件.(X)

立體幾何

1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

(1)多面體

①棱柱的側(cè)棱都平行且相等,上、下底面是全等的多邊形.

②棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個公共頂點的三角形.

③棱臺可由平行于底面的平面截棱錐得到，其上、下底面是相似多邊形.

(2)旋轉(zhuǎn)體

①圓柱可以由矩形繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到.

②圓錐可以由直角三角形繞其直免邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到.

③圓臺可以由直角梯形繞直魚喳所在直線或等腰梯形繞上、下底中點連線所在直線旋轉(zhuǎn)得到,

也可由平行于底面的平面截圓錐得到.

④球可以由半圓或圓繞直徑所在直線旋轉(zhuǎn)得到.

2.空間幾何體的三視圖

空間幾何體的三視圖是正投影得到，這種投影下與投影面平行的平面圖形留下的影子與平面

圖形的形狀和大小是完全相同的,三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖.

3.空間幾何體的直觀圖

畫空間幾何體的直觀圖常用斜耳地畫法，其規(guī)則是：

(1)原圖形中x軸、》軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，一軸、y'軸的夾角為45。(或135。)，z'

軸與『軸、y'軸所在平面垂直.

(2)原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標軸.平行于x軸和z軸的線段

在直觀圖中保持原長度丕變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?

4.常用結(jié)論

(1)常見旋轉(zhuǎn)體的三視圖

①球的三視圖都是半徑相等的圓.

②水平放置的圓錐的正視圖和側(cè)視圖均為全等的等腰三角形.

③水平放置的圓臺的正視圖和側(cè)視圖均為全等的等腰梯形.

④水平放置的圓柱的正視圖和側(cè)視圖均為全等的矩形.

（2）斜二測畫法中的“三變”與“三不變”

'坐標軸的夾角改變，

“三變”<與丫軸平行的線段的長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?/p>

.圖形改變.

.平行性不改變，

，，三不變”，與x,z軸平行的線段的長度不改變，

.相對位置不改變.

【思考辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確（請在括號中打“J”或“X”）

（1）有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.（X）

（2）有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.（X）

（3）夾在兩個平行的平面之間，其余的面都是梯形，這樣的幾何體一定是棱臺.（X）

（4）正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同.（X）

（5）用兩平行平面截圓柱，夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱.（X）

（6）菱形的直觀圖仍是菱形.（X）

1.多面體的表（側(cè)）面積

因為多面體的各個面都是平面，所以多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和,表面積是側(cè)

面積與底面面積之和.

2.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺

，國片?

側(cè)面展開圖/'2總

2U險/

S國行例=兀（口+—）/

側(cè)面積公式S網(wǎng)柱蒯=2兀/7S圓錐解=花/7

3.柱、錐、臺和球的表面積和體積

名稱

表面積體積

幾何

柱體

V=Sh

S表面積=S側(cè)+2S底

（棱柱和圓柱）

錐體

v=|s/?

S表面積=S捌+S底

（棱錐和圓錐）

（上下+

臺體V=|S+S

S表面積=S側(cè)+S上+S下

(棱臺和圓臺)

S上S下）fi

球5=4兀*/=軸3

4.常用結(jié)論

(1)與體積有關(guān)的兒個結(jié)論

①一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差.

②底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等.

(2)幾個與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論

a.正方體的棱長為“，球的半徑為R,

①若球為正方體的外接球，則2R=0

②若球為正方體的內(nèi)切球，則2R="；

③若球與正方體的各棱相切，則2/?=小”.

b.若長方體的同一頂點的三條棱長分別為a,b,c,外接球的半徑為R,則2R=q7鏟”.

c.正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3：1.

【思考辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)多面體的表面積等于各個面的面積之和.(V)

(2)錐體的體積等于底面積與高之積.(X)

(3)球的體積之比等于半徑比的平方.(X)

(4)簡單組合體的體積等于組成它的簡單幾何體體積的和或差.(J)

(5)長方體既有外接球又有內(nèi)切球.(X)

(6)圓柱的一個底面積為5,側(cè)面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側(cè)面積是27ts.(X)

1.四個公理

公理1：如果一條直線上的西點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).

公理2：過不在一條直線上的三點,有且只有一個平面.

公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們?nèi)缜抑挥幸粭l過該點的公共直線.

公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行.

2.直線與直線的位置關(guān)系

(1)位置關(guān)系的分類

平行直線

共面直線―

相交直線

I異面直線：不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點