北師版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)同步講義

第01講菱形

溫故知新

我們之前學(xué)習(xí)了平行四邊形及矩形，下面簡(jiǎn)單的回顧一下:

2、平行四邊形的性質(zhì)：

邊：角：

對(duì)角線：

3、我們又學(xué)習(xí)了哪種特殊的平行四邊形？滿(mǎn)足什么條件即可？它相比平行四邊形而言，特

殊在哪？

。智慧樂(lè)園

探究活動(dòng)：讓我們一起通過(guò)折紙、剪紙的方法得到菱形。

我們一起這樣做的：將一張長(zhǎng)方形的紙對(duì)折、再對(duì)折，然后沿圖中的虛線剪下，打開(kāi)即可.

犬m令

觀察得到的菱形，猜想菱形有什么性質(zhì)？

邊：菱形的兩組對(duì)邊分別平行。（這是平行四邊形具有的性質(zhì)）

菱形的四條邊都相等。（這是菱形特有的性質(zhì)，如何進(jìn)行證明呢？）

角：菱形的兩組對(duì)角分別相等。

菱形的鄰角互補(bǔ)。

對(duì)角線：菱形的對(duì)角線互相平分、垂直，且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。

菱形的定義與性質(zhì)

1、定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

注意：（1）菱形必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件：一是平行四邊形；二是一組鄰邊相等。二者必須同

時(shí)具備，缺一不可。

（2）菱形的定義既是菱形的基本性質(zhì)，也是菱形的基本判定方法。

2、性質(zhì)：

（1）菱形的四條邊都相等；

（2）菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；

（3）菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；

（4）菱形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是兩條對(duì)角線所在直線；

（5）利用菱形的性質(zhì)可證線段相等，角相等；

（6）菱形的面積計(jì)算：

①菱形的面積等于底乘高；

②菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半，對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積都可以用

兩條對(duì)角線乘積的一半來(lái)進(jìn)行計(jì)算。

＞典例分析

例1、菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（）

A.對(duì)邊相等B.對(duì)角相等

C.對(duì)角線互相平分D.對(duì)角線互相垂直

例2、如圖，四邊形ABCD是菱形，AC=8,DB=6,DHLAB于H,則DH等于（）

rt.----D.-----p.

5

C.5

例3、如圖，在菱形ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)0,若AB=2,ZABC=60°,則BD的

長(zhǎng)為()

An

B-3/w

A.2

2a

--------(?

例4、如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)0,AC=8,BD=6,過(guò)點(diǎn)0作0HLAB,垂足

為H,則點(diǎn)0到邊AB的距離0H等于()D

A.2B.旦

4

C.1D.12

35

B

例5、如圖，把一個(gè)長(zhǎng)方形的紙片對(duì)折兩次，然后剪下一個(gè)角,為了得到一個(gè)銳角為60°的

菱形，剪口與折痕所成的角a的度數(shù)應(yīng)為_(kāi)____________.

例6、如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)0,AC=8,BD=6,0E±BC,垂足為點(diǎn)

E,貝U0E=____.D

例7、如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，請(qǐng)只用無(wú)刻度的直尺作圖

(1)如圖1,在CD上找點(diǎn)F,使點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)；

(2)如圖2,在AD上找點(diǎn)G,使點(diǎn)G是AD的中點(diǎn).

ADD

學(xué)朝說(shuō)：

(1)菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；

(2)菱形的四條邊都相等；

(3)菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角;

(4)掌握菱形的性質(zhì)和三角形中位線定理。

＞舉一反三

1、如圖，菱形ABCD的周長(zhǎng)為24cm,對(duì)角線AC、BD相交于。點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，連接0E,

則線段0E的長(zhǎng)等于()

A.3cmB.4cm

C.2.5cmD.2cm

2、如圖，在菱形ABCD中，ZBAD=120°,點(diǎn)E、F分別在邊AB、BC上，ABEF與AGEF關(guān)于

直線EF對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)G,且點(diǎn)G在邊AD上.若EG1AC,AB=6&,則FG的長(zhǎng)為.

3、如圖，菱形ABCD中，E是對(duì)角線AC上一點(diǎn).

(1)求證：AABE絲4ADE；

(2)若AB=AE,ZBAE=36°，求NCDE的度數(shù).

判定的方法:

1、（定義法）：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

2、（對(duì)角線）：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；

3、（邊）：四條邊相等的四邊形是菱形。

注意：（1）判定菱形時(shí)，一定要明確前提條件是從“四邊形”出發(fā)的，還是從“平行

四邊形”出發(fā)的；

（2）判定菱形的方法：

①若用對(duì)角線進(jìn)行判定：先證明四邊形是平行四邊形，再證明對(duì)角線互相垂直，或直

接證明四邊形的對(duì)角線互相垂直平分：

②若用邊進(jìn)行判定：先證明四邊形是平行四邊形，再證明一組鄰邊相等，或直接證明

四邊形的四邊都相等。

＞典例分析

例1、如圖，將aABC沿BC方向平移得到ADCE,連接AD,下列條件能夠判定四邊形ACED

為菱形的是（）A,D

A.AB=BCB.AC=BC

F.\

C.ZB=60°D.ZACB=60°

例2、如圖，在WBCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)0,若增加一個(gè)條件，使。ABCD成為菱形,

下列給出的條件不正確的是（）

A.AB=ADB.AC±BD

C.AC=BDD.ZBAC=ZDAC

例3、如圖，已知△ABC,AB=AC,將AABC沿邊BC翻轉(zhuǎn)，得到的ADBC與原aABC拼成四邊

形ABDC,則能直接判定四邊形ABDC是菱形的依據(jù)是（

A.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

B.四條邊相等的四邊形是菱形

C.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形

D.對(duì)角線互相垂直的平分四邊形是菱形

例4、如圖，分別以直角△ABC的斜邊AB,直角邊AC為邊向AABC外作等邊AABD和等邊△

ACE,F為AB的中點(diǎn)，DE與AB交于點(diǎn)G,EF與AC交于點(diǎn)H,ZACB=90°,ZBAC=30°.給

出如下結(jié)論：

①EFJ_AC；②四邊形ADFE為菱形；③AD=4AG；④FH=LBD；

4

其中正確結(jié)論的是（）

A.①②③B.①②④

C.①③④D.②③④

例5、如圖，四邊形ABC1）是軸對(duì)稱(chēng)圖形，且直線AC是對(duì)稱(chēng)軸，

AB〃CD,則下列結(jié)論：①ACLBD；②AD〃BC；③四邊形ABCD是菱形;

?△ABD^ACDB.其中正確的是—（只填寫(xiě)序號(hào)）

例6、如圖，在aABC中，ZACB=90°,D,E分別為AC,AB的中點(diǎn)，BF〃CE交DE的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)F.

(1)求證：四邊形ECBF是平行四邊形；\

(2)當(dāng)NA=30°時(shí)，求證：四邊形ECBF是菱形.

＞舉一反三

1、如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線相交于點(diǎn)0,E、F、G、H

分別是AD、BD、BC、AC的中點(diǎn),要使四邊形EFGH是菱形,則

四邊形ABCD需滿(mǎn)足的條件是()

A.AB=ADB.AC=BD

C.AD=BCD.AB=CD

2、如圖，已知AD是AABC的角平分線，點(diǎn)E、F分別是邊AC、AB的中點(diǎn)，連接DE、DF,要

使四邊形AEDF稱(chēng)為菱形，還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是.

3、如圖，在aABC中，ZACB=90°,BC的垂直平分線DE交BC于D,交AB于E,F在DE上,

并且AF=CE.

(1)求證：四邊形ACEF是平行四邊形；

(2)當(dāng)NB滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形ACEF是菱形？請(qǐng)回答并證明你的結(jié)論.

課堂闖關(guān)

＞初出茅廬

4.建議用時(shí)：10分鐘

1、如圖，在菱形ABCD中，AC=8,BD=6,則AABD的周長(zhǎng)等于（）

A.18B.16

C.15D.14

2、如圖，菱形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)0,若AC=6,BD=4,則菱形

ABCD的周長(zhǎng)是（）

A.24B.16

C.273D.4713

3、某校的校園內(nèi)有一個(gè)由兩個(gè)相同的正六邊形（邊長(zhǎng)為2.5m）圍成的花壇，如圖中的陰影

部分所示，校方先要將這個(gè)花壇在原有的基礎(chǔ)上擴(kuò)建成一個(gè)菱形區(qū)域如圖所示，并在新擴(kuò)充

的部分種上草坪，則擴(kuò)建后菱形區(qū)域的周長(zhǎng)為（

A.20mB.25m

C.30mD.35m

4、如圖，兩個(gè)完全相同的三角尺ABC和DEF在直線1上滑動(dòng)，可以添加一個(gè)條件，使四邊

形CBFE為菱形，下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（）

A.BD=AEB.CB=BF

C.BE±CFD.BA平分NCBF

5、如圖，D、E、F分別是AABC的邊AB、BC、AC的中點(diǎn).若四邊形ADEF是菱形，則4ABC

B

E

必須滿(mǎn)足的條件是（)

A.AB±ACB.AB=AC

C.AB=BCD.AC=BC

6、如圖，在菱形ABCD中，AB=4,線段AD的垂直平分線交AC于點(diǎn)N,4CND的周長(zhǎng)是10,

則AC的長(zhǎng)為.5

＞優(yōu)學(xué)學(xué)霸

工建議用時(shí)：15分鐘

1、如圖，己知aABC的頂點(diǎn)B、C為定點(diǎn)，A為動(dòng)點(diǎn)（不在直線BC上），B'是點(diǎn)B關(guān)于直線

AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，C是點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接BC'、CB'、BB'、CC'.

（1）猜想線段BC'與CB'的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到怎樣的位置時(shí)，四邊形BCB'C'為菱形？這樣的位置有幾個(gè)？請(qǐng)用語(yǔ)言

對(duì)這樣的位置進(jìn)行描述（不用證明）；

（3）當(dāng)點(diǎn)A在線段BC的垂直平分線（BC的中點(diǎn)及到BC的距離為運(yùn)￡的點(diǎn)除外上運(yùn)動(dòng)時(shí),

判斷以點(diǎn)B、C、B'、C'為頂點(diǎn)的四邊形的形狀，畫(huà)出相應(yīng)的示意圖.（不用證明）

B

2、已知等腰aABC中，AB=AC,AD平分NBAC交BC于D點(diǎn)，在線段AD上任取一點(diǎn)P（A點(diǎn)

除外），過(guò)P點(diǎn)作EF〃AB,分別交AC,BC于E,F點(diǎn)，作PM〃AC,交AB于M點(diǎn)，連接ME.

（1）求證：四邊形AEPM為菱形；

（2）當(dāng)P點(diǎn)在何處時(shí)，菱形AEPM的面積為四邊形EFBM面積的一半？

考場(chǎng)直播

1、【2016春?深圳】如圖，ABCD是一張平行四邊形紙片，要求利用所學(xué)知識(shí)作出一個(gè)菱形,

甲、乙兩位同學(xué)的作法如下：則關(guān)于甲、乙兩人的作法，下列判斷正確的（）

甲：連接4C，作4c的中乙：分別作N4與N3的平

垂線交40、3c于￡、尸，分線AE、BF，分別交BC

則四邊形4FCE是菱形.于點(diǎn)E，交功于點(diǎn)尸，則

四邊形4BE尸是菱形.

A.僅甲正確B.僅乙正確

C.甲、乙均正確D.甲、乙均錯(cuò)誤

2、【2013春?深圳】能夠判定一個(gè)四邊形是菱形的條件是（）

A.對(duì)角線互相垂直平分B.對(duì)角線互相平分且相等

C.對(duì)角線相等且互相垂直D.對(duì)角線互相垂直

3、【2015?深圳】如圖,菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)0,且AC=8,BD=6,則菱形

ABCD的高DH=.

套路揭密：

（1）考查菱形的判定、平行四邊形的判定.矩形的判斷等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是記住這些

知識(shí)靈活解決問(wèn)題，所有中考?？碱}型；

（2）考查菱形的對(duì)角線互相垂直平分的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)菱形的面積的兩種表示方

法列出方程是解題的關(guān)鍵。

1、如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC,

一定成立的是（）

A.AB=BE

C.AB=2OED.

2、如圖所示，在菱形ABCD中,NBAD=70。，AB的垂直平分線交對(duì)角線AC于點(diǎn)F,垂足為

E,連接DF,則/CDF等于（

A.75-B.70°

C.60°D.55°

3、如圖，菱形ABCD中，ZA=60°,周長(zhǎng)是16,則菱形的面積是（)

A.16B.1672

C.16A/3D.873

4、如圖，等邊4ABC沿射線BC向右平移到4DCE的位置，連接AD,BD,則下列結(jié)論:

①AD=BC=CE；②BD,AC互相平分；

③四邊形ACED是菱形；

④四邊形ABED的面積為NZ5AB2.

4

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.4個(gè)B.3個(gè)

C.2個(gè)D.1個(gè)

5、如圖，下列選項(xiàng)中能使平行四邊形ABCD是菱形的條件有（）

①AC_LBD②BA_LAD③AB=BC④AC=BD.

A.①③B.②③

C.③④D.①②③

6,在^ABC中，點(diǎn)D,E,F分別是邊BC,CA,AB的中點(diǎn)，

使四邊形AFDE為菱形，應(yīng)添加的條件是（添加一個(gè)條

件即可）.

BDC

7、如圖，在菱形ABCD中，E,F分別是AD,BD的中點(diǎn)，若EF=2,則菱形ABCD的周長(zhǎng)是

D

B

■■

8、如圖，在四邊形ABCD中，AB〃CD,點(diǎn)E、F在對(duì)角線AC上，且NABF=NCDE,

AE=CF.

(1)求證：△ABF0Z\CDE；

(2)當(dāng)四邊形ABCD滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形BFDE是菱形？為什么？

第02講矩形

摩溫故知新____________________

復(fù)習(xí)平行四邊形的性質(zhì)

邊

角

對(duì)角線

智慧樂(lè)園

：拿出自制平行四邊形學(xué)具，分組活動(dòng)，交流回答下列問(wèn)題

問(wèn)題一：平行四邊形在拖動(dòng)過(guò)程中，什么在發(fā)生變化？

問(wèn)題二：平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角由銳角變?yōu)殁g角的過(guò)程中，會(huì)發(fā)生什么特殊情況？這時(shí)

的圖形是什么圖形？

學(xué)生歸納得出矩形定義:

活動(dòng)二：矩形是一個(gè)特殊的平行四邊形，除了具有平行四邊形的所有性質(zhì)外，還有哪些特

殊性質(zhì)呢？（小組討論，得出猜測(cè)）

猜想1：

猜想2：

矩形的定義及性質(zhì)

(1)矩形的定義

定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。

注意：①矩形一定是平行四邊形，但平行四邊形不一定是矩形；

②矩形必須具備的兩個(gè)條件：它是一個(gè)平行四邊形，它有一個(gè)直角。

(2)矩形的性質(zhì)：①矩形的四個(gè)角都是直角；②矩形的對(duì)角線相等；

③矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；④矩形是軸對(duì)稱(chēng)圖形。

(3)直角三角形斜邊上的中線

直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

＞典例分析

例1、如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)。為對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，連接E0,

并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F,則圖中全等三角形共有()NFD

1X1

A.3對(duì)B.4對(duì)

C.5對(duì)D.6對(duì)

BEC

例2、如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)0,CE〃BD,DE〃AC,AD=2仃DE=2,

則四邊形0CED的面積()4^______________D

A.2畬B.4

C.473D.8

BC

例3、如圖所示，矩形ABCD中，AE平分/BAD交BC于E,NCAE=15°,則下面的結(jié)論:

①△ODC是等邊三角形；②BC=2AB；③NAOE=135°；@SAAOE=SACOE,

其中正確結(jié)論有（）

A.1個(gè)

C.3個(gè)

c

D至C

例4、如圖，在RtZ\ABC中,NACB=90°,點(diǎn)D,E,F分別為A二

BC的中點(diǎn)，則DC和EF的大小關(guān)系是（

B.DC<EFa

A.DOEF

D.無(wú)法比較*\

C.DC=EF

CpB

例5、如圖，在RtZkABC中，ZACB=90°,將邊BC沿斜邊上的中線CD折疊到CB',若

ZB=50°,貝IJNACB'二B

B,°

例6、如圖，在矩形ABCD中,AB=5,AD=3,點(diǎn)P是AB邊上一點(diǎn)（不與A,B重合），連接CP,

過(guò)點(diǎn)P作PQJ_CP交AD邊于點(diǎn)Q,連接CQ.

（1）當(dāng)△CDQ絲△CPQ時(shí)，求AQ的長(zhǎng)；

（2）取CQ的中點(diǎn)M,連接MD,MP,若MD_LMP,求AQ的長(zhǎng).

D_______________--C

B

學(xué)霸說(shuō)：

熟練掌握矩形的性質(zhì)，三角形的全等判定及性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，直角三角形斜邊

上中線的性質(zhì)等是解題的關(guān)鍵；

＞舉一反三

1、如圖，矩形ABCD中，。為AC中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)0的直線分別與AB、CD交于點(diǎn)E、F,連結(jié)BF

交AC于點(diǎn)M,連結(jié)DE、B0.若NC0B=60°,FO=FC,則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

①FB垂直平分0C；②△EOBg/\CMB；

③DE=EF；④S&WE：S&BCM=2：3.

A.4個(gè)B.3個(gè)

C.2個(gè)D.1個(gè)

2、如圖，RtZ\ABC中,ZABC=90°，點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn)，BD=6cm,則AC的長(zhǎng)為（）

A.3B.6

C.訴D.12

3、己知：如圖，矩形ABCD中，AC與BD交于0點(diǎn)，若點(diǎn)E是

A0的中點(diǎn)，點(diǎn)F是0D的中點(diǎn).求證：BE=CF.

判定方法

（1）方法一：（定義判斷）有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；

（2）方法二：（對(duì)角線判定）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；或?qū)蔷€相等且互相

平分的四邊形是矩形；

（3）方法三：（角判定）有三個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。

》典例分析

例1、在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師和同學(xué)們判斷一個(gè)四邊形門(mén)框是否為矩形，下面是一個(gè)學(xué)習(xí)小

組擬定的方案，其中正確的是（）

A.測(cè)量對(duì)角線是否相互平分B.測(cè)量?jī)山M對(duì)邊是否分別相等

C.測(cè)量對(duì)角線是否相等D.測(cè)量其中三個(gè)角是否都為直角

例2、如圖，要使。ABCD成為矩形，需添加的條件是（）

A.AB=BCB.AO=BO

C.Z1=Z2D.AC±BD

例3、如圖，在銳角AABC中，點(diǎn)0是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)0作直線MN〃BC,設(shè)MN交/

ACB的平分線于點(diǎn)E,交NACB的外角平分線于點(diǎn)F,下列結(jié)論中正確的是（）

①OE=OF；②CE=CF；③若CE=12,CF=5,則0C的長(zhǎng)為6；

④當(dāng)AO=CO時(shí)，四邊形AECF是矩形.

A.①②B.①④

C.①③④D.②③④

BCD

例4、在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)D作DELAB于點(diǎn)E,點(diǎn)F在邊CD上，DF=BE,連接AF,

BF.

(1)求證：四邊形BFDE為矩形；

(2)若AE=3,BF=4,AF平分NDAB,求BE的長(zhǎng).

A舉一反三

1、如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)0,且AC=BD,則下列條件能判定四邊形

ABCD為矩形的是()A________________D

A.AB=CDB.0A=0C,0B=0D

C.AC±BDD.AB/7CD,AD=BC

2、如圖，已知MN〃PQ,EF與MN,PQ分別交于A、C兩點(diǎn)，過(guò)A、C兩點(diǎn)作兩組內(nèi)錯(cuò)角的平

分線，分別交于點(diǎn)B、D,則四邊形ABCD是_______.E

工F

3、如圖，將。ABCD的邊AB延長(zhǎng)到點(diǎn)E,使BE=AB,連接DE,交邊BC于點(diǎn)F.

(1)求證：ABEF^ACDF；

(2)連接BD、CE,若/BFD=2/A,求證：四邊形BECD是矩形.

課堂闖關(guān)

>初出茅廬

X建議用時(shí)：10分鐘

1、如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)0,CE/7BD,DE〃AC,若AC=4,貝I」四邊形0CED

的周長(zhǎng)為（）出

A.4B.8

C.10D.12

HB

2、如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、C分別在直線a、1，上，且2〃12,Zl=60°,則N2的度數(shù)為

（）

A.30°B.45°

C.60°D.75°

3、下列說(shuō)法正確的是（）

A.對(duì)角線相等的四邊形是矩形B對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

平行四邊形的對(duì)角線相等D.有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形

4、如圖，在平行四邊形ABCD中，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E,使DE=AD,連接EB,EC,DB請(qǐng)你添加一

個(gè)條件_______,使四邊形DBCE是矩形.

山

AB

5、如圖，CD是RtZ\ABC斜邊AB上的高，將ABCD沿CD折疊,B點(diǎn)恰好落在AB的中點(diǎn)E處,

則NA等于度.

EDB

6、如圖，在直角三角形ABC中，斜邊上的中線CD=AC,則NB等于

＞優(yōu)學(xué)學(xué)霸

工建議用時(shí)：15分鐘

1、如圖，四邊形ABCD中，NABC=/ADC=90°,E、F分別是AC、BD的中點(diǎn),

ZBAC=15°,ZDAC=45°,則變的值為.

2、如圖，矩形ABCD中，AB=4,AD=3,M是邊CD上一點(diǎn)，將AADM沿直線AM對(duì)折，得到△

ANM.

(1)當(dāng)AN平分NMAB時(shí)，求DM的長(zhǎng)；

(2)連接BN,當(dāng)DM=1時(shí)，求aABN的面積；

(3)當(dāng)射線BN交線段CD于點(diǎn)F時(shí)，求DF的最大值.

c

備用圖

考場(chǎng)吉蟠

1、【2016秋?深圳期末】如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，對(duì)角線相交于點(diǎn)0,要使它

成為矩形，那么需要添加的條件可以是（)

A.AB=BCB.AB=AC

C.AC=BDD.AC±BD

2、12016秋?深圳期末】如圖，在AABC中,CD_LAB于D,BE平分/ABC,且BE_LAC于E,

BE與CD相交于點(diǎn)F,BF=2CE,H是BC邊的中點(diǎn)，連接DH與BE相交于點(diǎn)G.下列結(jié)論中:

①NA=67.5。；②DF=AD；③BE=2BG；④DH_LBC,正確的個(gè)數(shù)是（

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

3、【2017?深圳】如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)0,過(guò)點(diǎn)A作AELBD,垂

足為點(diǎn)E,若/EAC=2/CAD,則NBAE=.度.

套路揭密：

（1）考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的

判定方法；

（2）幾何圖形中，仔細(xì)分析圖形的構(gòu)成并熟練掌握各種性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。

自我挑戰(zhàn)

1建議用時(shí)：30分鐘

1、如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線互相平分，要使它成為矩形，那么需要添加的條件是（）

A.AB=CDB.AD=BC

C.AB=BCD.AC=BD

2、如圖，在矩形ABCD中（AD>AB）,點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，且DE=DA,

AF1DE,垂足為點(diǎn)F,在下列結(jié)論中，不一定正確的是（

A.AAFD^ADCEB.AF=XAD

2

C.AB=AFD.BE=AD-DF

3、如圖，將矩形紙片ABCD沿其對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)B落到點(diǎn)B'的位置，AB'與CD交于

點(diǎn)E,若AB=8,AD=3,則圖中陰影部分的周長(zhǎng)為（）

4、如圖，在矩形ABCD中，AB=3,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)0,AE垂直平分0B于點(diǎn)E,則AD

的長(zhǎng)為.

5、如圖是一張長(zhǎng)方形紙片ABCD,已知AB=8,AD=7,E為AB上一點(diǎn)，AE=5,現(xiàn)要剪下一張

等腰三角形紙片(△AEP),使點(diǎn)P落在長(zhǎng)方形ABCD的某一條邊上，則等腰三角形AEP的底

邊長(zhǎng)是

EB

6、如圖，AC為矩形ABCD的對(duì)角線，將邊AB沿AE折疊，使點(diǎn)B落在AC上的點(diǎn)M處，將邊

CD沿CF折疊，使點(diǎn)D落在AC上的點(diǎn)N處.

(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形；

(2)若AB=6,AC=10,求四邊形AECF的面積.

7、如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作BC的平行線交CE的

延長(zhǎng)線于F,且AF=BD,連接BF.

(1)求證：D是BC的中點(diǎn).

(2)如果AB=AC,試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論.

E

BD

8、如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E為矩形的邊CD上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P為線段AE中點(diǎn)，連接BP并

延長(zhǎng)交邊AD于點(diǎn)F,點(diǎn)M為邊CD上一點(diǎn)，連接FM,且N1=N2.

(1)若AD=2,DE=1,求AP的長(zhǎng)；

(2)求證：PB=PF+FM.

第03講正方形

⑥溫故知新____________________

一、平行四邊形的性質(zhì)與判定

1、平行四邊形的定義：兩線對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形不相鄰的

兩頂點(diǎn)連成的線段叫做它的對(duì)曲線。

2、平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊相等，對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分。

3、平行四邊形的判別方法：

平行四邊形中有4條判定定理：簡(jiǎn)記為一組兩組兩條

一組(對(duì)邊平行且相等)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

兩組(對(duì)邊平行、對(duì)邊相等)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形

兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形

兩條(對(duì)角線相互平分)兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

?二、菱形的性質(zhì)與判定:

1、菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形，菱形是特殊的平行四邊形。

2、菱形的性質(zhì):

(1)對(duì)邊平行，四邊相等。(2)對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)。

(3)對(duì)角線互相垂直平分且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。

四邊形ABC讀菱形=AB=BC=CD=DA

AC1BD

四邊形A3CD是菱形

Z1=Z2

3、菱形的判定:

(1)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

(2)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形。

平行四邊形ABC。

n四邊形A8CD是菱形

AC1BD

(3)四條邊都相等的四邊形。===是菱形

(4)菱形的面積=邊長(zhǎng)乂高=對(duì)角線的乘積的一半。

?三、矩形的性質(zhì)與判定：

矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形（矩形是特殊的平行四邊形）。

矩形的性質(zhì)：矩形具有平行四邊形的一切矩形的判定：

性質(zhì)。（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形。

（1）邊：對(duì)邊平行且相等。（2）對(duì)角線相等的平行四邊形。

（2）角：四個(gè)角都是直角。（3）有三個(gè)角是直角的四邊形。

（3）對(duì)角線：互相平分且相等。

※推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

智慧樂(lè)園

＞典例分析

例1、下列說(shuō)法正確的是（）

A.對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形是菱形

B.對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形

C.對(duì)角線互相垂直的四邊形是平行四邊形

D.對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形

例2、己知：如圖，ZM0N=45°,OA,=1,作正方形ABCA,面積記作,；再作第二個(gè)正方

形AzB2c2A3,面積記作S2；繼續(xù)作第三個(gè)正方形MB3aA”,面積記作S3；點(diǎn)A-反、自、Ar??在

射線ON上，點(diǎn)Bi、Bz、B3、B,…在射線0M上，…依此類(lèi)推，則第6個(gè)正方形的面積56是（）

例3、如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)0,NACB的角平分線分別交AB、BD

于M、N兩點(diǎn)，若AM=2,則正方形的邊長(zhǎng)為（）

A.4B.3C.2+72D.V2+1

例4、如圖，正方形AEFG的頂點(diǎn)E,G在正方形ABCD的邊AB,AD上，連接BF,DF.則BE：

CF的值為

例5、如圖，正方形ABCD中，以對(duì)角線BD為邊作菱形BDFE,使B,C,E三點(diǎn)在同一直線上,

連接BF,交CD與點(diǎn)G.

(1)求證：CG=CE；

(2)若正方形邊長(zhǎng)為4,求菱形BDFE的面積.

例6、【閱讀發(fā)現(xiàn)】如圖①，在正方形ABCD的外側(cè)，作兩個(gè)等邊三角形ABE和ADF,連結(jié)ED

與FC交于點(diǎn)M,則圖中4ADE絲△DFC,可知ED=FC,求得/DMC=

【拓展應(yīng)用】如圖②，在矩形ABCD(AB>BC)的外側(cè)，作兩個(gè)等邊三角形ABE和ADF,連結(jié)

ED與FC交于點(diǎn)M.

(1)求證：ED=FC.

(2)若NADE=20°，求/DMC的度數(shù).

圖①圖②

學(xué)霸說(shuō)：

熟練掌正方形的性質(zhì)，三角形的全等判定及性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，直角三角形斜邊

上中線的性質(zhì)等是解題的關(guān)鍵；

＞舉一反三

1、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD、DEE2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、ABC1D3,…，

按圖示的方式放置，其中點(diǎn)氏在y軸上，點(diǎn)G、Ei、邑、Cz、Es、%、C3,…，在x軸上，己

知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,ZBiCiO=6O°,BC〃BzC2〃B￡3,…，則正方形AzoiBowC?”6021M6

223

2、如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，ZEAF=45°,Z\ECF的周長(zhǎng)為

D.5

3、如圖，四邊形ABCD是正方形，以CD為邊作等邊三角形CDE,BE與AC相交于點(diǎn)M,則N

BC

A.75°B.60°C.54°D.67.5°

4、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(0,3),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(-4,0),以AB

為邊作正方形ABCD,連接0D,DB.則aDOB的面積是.

5、如圖，設(shè)四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，以正方形ABCD的對(duì)角線AC為邊作第二個(gè)正

方形ACEF,再以第二個(gè)正方形的對(duì)角線AE為邊作第三個(gè)正方形AEGH,如此下去…，記正方

形ABCD的邊長(zhǎng)a=1,依上述方法所作的正方形的邊長(zhǎng)依次為a?,a3,a“…，貝ij%=L

6、如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，點(diǎn)G、E分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，NAEF=90°,

且EF交正方形外角的平方線CF于點(diǎn)F.

(1)證明：ZXAGE絲ZXECF；

(2)求4AEF的面積.

BE

判定方法

（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形。

（2）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形。

（3）對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形。

（4）有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形。

＞典例分析

例1、下列說(shuō)法不正確的是（）

A.有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形

B.對(duì)角線相等的菱形是正方形

C.對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形

D.一組鄰邊相等的矩形是正方形

例2、如圖，在△ABC中，點(diǎn)E,D,F分別在邊AB、BC、CA±,且DE〃CA,DF〃BA.下列

四個(gè)判斷中，不正確的是（）

A.四邊形AEDF是平行四邊形

B.如果NBAC=90°,那么四邊形AEDF是矩形

C.如果AD平分NBAC,那么四邊形AEDF是菱形

D.如果ADJ_BC且AB=AC,那么四邊形AEDF是正方形

例3、如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，且EC=3AE,直角三角形FEG的兩直角邊

EF、EG分別交BC、DC于點(diǎn)M、N.若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,則重疊部分四邊形EMCN的面

積為.

F

例4、已知：如圖，在△ABC中，AB=AC,D是的BC邊的中點(diǎn)，DE_LAC,DF_LAB,垂足

分別是E、F.

(1)求證：DE=DF；

(2)只添加一個(gè)條件，使四邊形EDFA是正方形，并給出證明.

BDC

＞舉一反三

1、菱形，矩形，正方形都具有的性質(zhì)是（）

A.對(duì)角線相等且互相平分B.對(duì)角線相等且互相垂直平分

C.對(duì)角線互相平分D.四條邊相等，四個(gè)角相等

2、如圖，有一塊邊長(zhǎng)為4的正方形塑料模板ABCD,將一塊足夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)

落在A點(diǎn)，兩條直角邊分別與CD交于點(diǎn)F,與CB延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.則四邊形AECF的面積

3、如圖，過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)D作DE〃AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

（1）判斷四邊形ACED的形狀，并說(shuō)明理由；

（2）若BD=8cm,求線段BE的長(zhǎng).

考場(chǎng)直播

1、如圖，正方形ABGD中，AB=AD=6,梯形ABCD中，DE_LDC交AB于E,DF平分NEDC交BC

于F,連結(jié)EF.

(1)證明：EF=CF；

(2)當(dāng)?shù)蠒r(shí)，求EF的長(zhǎng).

AD3

BGC

套路揭密：

(1)考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形

的判定方法；

(2)幾何圖形中，仔細(xì)分析圖形的構(gòu)成并熟練掌握各種性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。

1、如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，ZEAF=45°,4ECF的周長(zhǎng)為

2、如圖，四邊形ABCD是正方形,以CD為邊作等邊三角形CDE,BE與AC相交于點(diǎn)M,則/

AMD的度數(shù)是()

A.75°B.60°C.54°D.67.5°

3、如圖，E是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且BE=BC,P為CE上任意一點(diǎn),

PQ±BC于點(diǎn)Q,PR±BE于點(diǎn)R,則PQ+PR的值是（

A.2B.上C.返

322

5、如圖，在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=6,BC=8,以斜邊AC為邊作正方形ACDE,連接

C.2屈D.W13

6、如圖，以RtAABC的斜邊BC為一邊在4ABC的同側(cè)作正方形BCEF,設(shè)正方形的中心為0,

A0=6加,那么AC的長(zhǎng)等于.

7、如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF=BE.

(1)求證:CE=CF；

(2)若點(diǎn)G在AD上，且NGCE=45°

第04講一元二次方程概念和解法

溫故知新

解下列關(guān)于X方程:

2xx-2八X+1

(1)----+-----=0；(2)

X—55—x7^1

Nw堂導(dǎo)入

r?-------------------------------------------

解分式方程的步驟：

(1)去分母，即在方程兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母，把原方程化為整式方程；

(2)解這個(gè)整式方程；

(3)驗(yàn)根：把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母中，使最簡(jiǎn)公分母不等于0的根是原方程的根,

否則，便是增根，必須舍去

一元二次方程概念

1、只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是—的方程叫一元二次方程。

(1)當(dāng)時(shí)，關(guān)于X的方程a*+bx+c=o是一元二次方程

(2)當(dāng)時(shí)，關(guān)于X的方程aW+bx+c=O是一元一次方程

2、一元二次方