高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)習(xí)題及解答

練習(xí)11-1

1.寫出下列級(jí)數(shù)的前五項(xiàng):

(i)y1+72?

解yl±^l±Ll±ll±ll±￡l±l...

￡1+/=1+12十+1+22+[+32+1+42+1+52+

=1-1—,3.4-.--5---.--6--H,….

5102637

001?3…(2〃-1)

⑵Z

n=l2.4…2H

解13135卜35713579

424-2〃-22424624-6-8246810

=—1.3.15,-1-05--,-94-5-F.….

28483843840

00

⑶Z(-尸

n=l5n

□c尸=

解z-(-111111

Zl=l5〃~552535455

_1

5251256253125

00I

解￡旦=%W+不當(dāng)圣…

占臚I122334455

=—1,---2---,1----6-----,1----2--4-----|.----1--2---0----.1-???

2.寫出下列級(jí)數(shù)的一般項(xiàng):

(1)1+；+]+：+…；

解一般項(xiàng)為t

(2)2_34_56___.

1\2345'

解一般項(xiàng)為〃〃回

n

⑶五?X?X五，

方24246246?8

解一般項(xiàng)為許4

(4)生2_/3+貯4，5

「3579

解一般項(xiàng)為〃〃=(7)"T1^g

3.根據(jù)級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的定義判定下列級(jí)數(shù)的收斂性:

00_______

(i)￡(Vw+i-Vw)；

〃=1

解因?yàn)?/p>

z/=(V2-Vf)+(V3-V2)+(V4-V3)+…

=(J〃+l-VI)->00(〃—>00),

所以級(jí)數(shù)發(fā)散.

1

'3-55-7(2,—1)(2〃+1)

解因?yàn)?/p>

1111

T5^7(2〃一1)(2〃+1)

=2(H)+2(3-5)+2(5-7)+***+2

2〃+1)

11

)

2'1335572/7-12/7+1

=:(1-.⑼,

22/7+12

所以級(jí)數(shù)收斂.

⑶sinJ+sin?+sin考+…sin華

6666

解s〃=sinJ+sin率+sin￥~F…sinH7T

666~6~

--------(2sin^-sin—+2sin—sin紅H----F2sin々sin—

2s嗚“6126126

——[(cos*-cos曾)+(cos蔣-cos需)+…+(cos專

2sin匹12121212-

12

乃____2/7+1

——!——(coscos不）.

2si哈1212

因?yàn)閘imcosg?乃不存在，所以lims〃不存在，因而該級(jí)數(shù)發(fā)散.

〃T812//—>oo

4.判定下列級(jí)數(shù)的收斂性:

⑴4+*部…+（T）嗯+…;

解這是一個(gè)等比級(jí)數(shù)，公比為q=—于是團(tuán)=5<1,

99

所以此級(jí)數(shù)收斂.

（嗎+壇+…+如…;

解此級(jí)數(shù)是發(fā)散的，這是因?yàn)槿绱思?jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)

V1ULJI,4.14-A

二＞一=3(—4--+—H-----J----F…)

勺〃3693〃

也收斂，矛盾.

吟玨*…

!

解因?yàn)榧?jí)數(shù)的一般項(xiàng)%=表=3〃一oo).

所以由級(jí)數(shù)收斂的必要條件可知，此級(jí)數(shù)發(fā)散.

(4)。+二+號(hào)+一?+義+…;

222232〃

解這是個(gè)等比級(jí)數(shù)，公比夕=］〉1,所以此級(jí)數(shù)發(fā)散.

(5)(?如/)+(玄+J+…+(/+/*???

8100

解因?yàn)閦:和z-1都是收斂的等比級(jí)數(shù)，所以級(jí)數(shù)

〃=12〃=]3

尤(，+[=(4%(上+1)+d+4)+…+J+A+..

￡2〃3〃23223223332〃3〃

fl-I

是收斂的.

練習(xí)H-2

1.用比較審斂法或極限形式的比較審斂法判定下列級(jí)數(shù)的W

斂性：

⑴1+；+]+…+(ii)+

］

解因?yàn)椋鄱?jí)數(shù)￡］發(fā)散，故所給級(jí)數(shù)發(fā)散.

…12柳〃

n

(2)1+1+2一+…+Jt/L+….

("1+22+1+32++1+/+，

解因?yàn)椤?上馬>上4=上而級(jí)數(shù)發(fā)散，

1+/2-〃+〃-n

故所給級(jí)數(shù)發(fā)散.

(3)——-1--!—-1--1-----------1■…?

172-53-6(〃+1)(〃+4)'

]

解因?yàn)?而如單生=lim21而級(jí)數(shù)之工收斂

〃->8]/I—>oon《+5〃+4，力產(chǎn)

〃2

故所給級(jí)數(shù)收斂.

(4)s嗚+sin今+si哮+…+si喘

乙乙//

?71?71

sin—sin—

解因?yàn)閘im—i-7tlim---2_=乃,而級(jí)數(shù)收斂,

w—>x1/7—>ocZT

F

故所給級(jí)數(shù)收斂.

X1

(a>0).

⑸En

n=l\+a

解因?yàn)?/p>

100<6f<l

lim1+“"二lim，—=/=<!a=l,

an1?>1

而當(dāng)a>l時(shí)級(jí)數(shù)￡J-收斂，當(dāng)0<a<l時(shí)級(jí)數(shù)￡_L發(fā)散,

“=逐〃〃=1々〃

所以級(jí)數(shù)8占1備當(dāng)。>1時(shí)收斂，當(dāng)031時(shí)發(fā)散.

2.用比值審斂法判定下列級(jí)數(shù)的收斂性:

1-22-223-23〃-2〃

解級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為與=工.因?yàn)?/p>

“〃?2〃

lim—

〃一>81(ni(〃+l)-2〃+i3〃—2〃+l2

所以級(jí)數(shù)發(fā)散.

oo2

⑵年

〃=1D

解因?yàn)閘im殳旦=lim然44=lin4(@)2=[<l,

〃TOOu,i〃—>83〃tiw—>oo3n3

所以級(jí)數(shù)收斂.

⑶玄等;

n=\n

2〃+L(〃+l)!M

解因?yàn)閘im%=lim=2lim(—)W=-<1,

"TOOUn//—>00(〃+l)〃+i2〃?〃!〃一>oon+ie

所以級(jí)數(shù)收斂.

⑶為tan帚.

n=l乙

7T

(〃+l)tan券也三二1

解因?yàn)閘im皿=lim------------——=lim

〃一?！ㄒ弧穙c71，

w—>ccUn>ocntann2

2^

所以級(jí)數(shù)收斂.

3.用根值審斂法判定下列級(jí)數(shù)的收斂性:

解因?yàn)閘imW；=lim4r=4<1，所以級(jí)數(shù)收斂.

/?—>X2〃+12

(2)8y——11-—；

解因?yàn)?里瘋二，吧而所以級(jí)數(shù)收斂?

⑶f(士)2〃T；

H=13”1

解因?yàn)?/p>

2//-1

lim^=lim(—^―)n=lim--------

>xw—>xJw-l12——

(3—)〃

n

1

=lim—,------<1,

〃r32-e3

->832-〃-,.(一12)-〃-

3〃

所以級(jí)數(shù)收斂.

%A

(4)X(2)",其中8),a〃,b,a均為正數(shù).

〃=i

解因?yàn)閘ima=limh_h

>oc〃―>oca「a

所以W|h<a時(shí)級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)b>a時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散.

4.判定下列級(jí)數(shù)的收斂性:

⑴1+2(32+3號(hào)>+…+嗚)〃+…;

解這里un=〃（》"，因?yàn)?/p>

m+i心〃+i

〃+133j

lim皿=lim9一=lim

”->8n4

〃focUn8嗚)〃

所以級(jí)數(shù)收斂.

I4.24.34,“

⑵ir+才寸…+市+…;

解這里許=々，因?yàn)?/p>

tv.

lim^±L=lim少父_￡=limL(/l±l

)3=0<1,

〃一>ocUnn—>x(〃+l)!〃一>ocnn

所以級(jí)數(shù)收斂.

(3)￡H.

與5+2)

〃+1

解因?yàn)閘im=3=lim"=l,而級(jí)數(shù)玄』發(fā)散,

〃一＞00＞00fl+2

n

故所給級(jí)數(shù)發(fā)散.

⑷力〃sin條;

n=\J

2〃+，壬2?+1兀

解因?yàn)閘im---------匕=lim=2

10c2〃sin工…2n~

3〃3〃

所以級(jí)數(shù)收斂.

+????

解因?yàn)閘im〃〃=limj卷』二1工0,

/?-?X

所以級(jí)數(shù)發(fā)散.

(―----+…（Q〉0,b〉0）.

na+b

解因?yàn)椤?_二＞JJ_,而級(jí)數(shù)金』發(fā)散,

na+ban

故所給級(jí)數(shù)發(fā)散.

5.判定下列級(jí)數(shù)是否收斂？如果是收斂的，是絕對(duì)收斂還是

條件收斂？

⑴味―，;________________

解這是一個(gè)交0錯(cuò)c級(jí)g數(shù)e其中1〃〃二。1

〃=1n=\S

因?yàn)轱@然〃?,并且lim〃,尸0,所以此級(jí)數(shù)是收斂的.

OCOC1

乂因?yàn)槭荘<1的P級(jí)數(shù)，是發(fā)散的，

〃=1〃=1V

所以原級(jí)數(shù)是條件收斂的.

(2)火(-1)1券;

〃=13

0000

解Zl(-i尸和江

n=\37/=1°

〃+1

因?yàn)閘im上=4<1,所以級(jí)數(shù)￡告是收斂的,

…口_3怠3〃T

3〃-1

從而原級(jí)數(shù)收斂，并且絕對(duì)收斂.

⑶--1.J-+….

1132322323324'

解這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)￡(-1產(chǎn)《小，并且￡i(-i)〃飛力=暮?二

n=\J2n=\J2n=lJ2

因?yàn)榧?jí)數(shù)是收斂的，所以原級(jí)數(shù)也收斂，并且絕對(duì)收

〃吊2

⑷上Yr焉Yr-

解這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)大一1)〃％=￡印二，其中〃〃1

ln(〃+l).

因?yàn)椤ā℉wi,并且lim〃“=O,所以此級(jí)數(shù)是收斂的.

/I—＞00

又因?yàn)橛枚?jí)數(shù)I舟發(fā)散,

故級(jí)數(shù)￡i(-1)〃-%〃1=￡1二發(fā)散，從而原級(jí)數(shù)是條件收斂的.

n=\〃=Jn(〃+l)

⑸身(-1產(chǎn)2n2

n=\n\

解級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為〃〃=(-1)〃+12丁.

〃！

因?yàn)閘im%曰im與=Hm華=lim絲2r當(dāng)2〃2〃2〃

,?.，一

〃一＞00〃一＞8〃！〃一＞00〃！〃一?8nn-\n-2321

所以級(jí)數(shù)發(fā)散.

練習(xí)11-3

1.求下列嘉級(jí)數(shù)的收斂域:

(1)X4-2X2+3X3+…?+“工〃+…;

解lim111=lim生把=1,故收斂半徑為R—1.

〃一＞8an〃T8〃

因?yàn)楫?dāng)x=l時(shí)，虛級(jí)數(shù)成為，〃，是發(fā)散的；

”=1

當(dāng)X=_l時(shí)，轅級(jí)數(shù)成為￡(-1)〃〃，也是發(fā)散的,

n=\

所以收斂域?yàn)?-1,1).

2-n

1

解lim|也|=lim綽匚=lim—^=1,故收斂半徑為H=1

"TOOQW-＞001〃一＞8(〃+l『

n2

因?yàn)楫?dāng)工=1時(shí)，幕級(jí)數(shù)成為￡(-1)〃!，是收斂的；

n=2〃

當(dāng)工=_1時(shí)，幕級(jí)數(shù)成為1+8z1L,也是收斂的，

〃=1〃“

所以收斂域?yàn)?/p>

23n

XXXx

(3)tt

22-42462?4???(2〃)

2〃?川1

解lim4出|=lim?=lim二0,

Q，i2"+i-(〃+l)!“TOO2(〃+1)

故收斂半徑為尺=+8,收斂域?yàn)?-8,+30).

xX2X3爐

(4)百十方+百

解lim|^L|=lim——~=^,

〃fg%〃->8(〃+1).3"〃fc3〃+13

故收斂半徑為R=3.

因?yàn)楫?dāng)m3時(shí)，募級(jí)數(shù)成為和L,是發(fā)散的；

當(dāng)x=-3時(shí)，累級(jí)數(shù)成為次也是收斂的,

〃=1〃

所以收斂域?yàn)椋?3,3).

2*202332〃”

(5)-x+—x-+—x3+---+^--^+^-;

2510丁+1

解［im―上±l=21im—^^一

an〃->8(〃+l廣+12〃(〃+l)~+l

故收斂半徑為R=；.

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，虛級(jí)數(shù)成為:t士，是收斂的;

2?=pr+l

當(dāng)x=-l時(shí)，幕級(jí)數(shù)成為￡(-1)”［二，也是收斂

〃=1〃~+1

所以收斂域?yàn)椋踎)畀

工2〃+1

⑹元(-1)〃

n=\2^+\

解這里級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為〃〃=(-1)〃手石.因?yàn)?/p>

I-〃〃+lI1-X2rt+32/7+12

hm3|=hml=/,

W—>X〃〃〃一>82/7+3xz//7r*1

由比值審斂法,當(dāng)一<1,即㈤<1時(shí),由級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;

即兇>］時(shí)，事級(jí)數(shù)發(fā)散，故收斂半徑為R=l.

因?yàn)楫?dāng)X=1時(shí)，幕級(jí)數(shù)成為才(-1)〃丁二，足收斂的;

〃=12/7+1

當(dāng)工=-1時(shí)，基級(jí)數(shù)成為Z8(T)T.1,也是收斂的，

S2/7+1

所以收斂域?yàn)?/p>

（7）Z笫1口-2；

n=\Z

解這里級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為/=2F〃一2.因?yàn)?/p>

n2”

lim|土昨lim|伽；『.：；|二#,

〃一＞“〃〃〃一＞82〃+i（2n-i）x-n~￡2

由比值審斂法，當(dāng);必＜1,即HR媳時(shí)，募級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；

a|x2＞l,即|工|＞應(yīng)時(shí)，界級(jí)數(shù)發(fā)散，故收斂半徑為H=后.

因?yàn)楫?dāng)X=土應(yīng)時(shí)，箱級(jí)數(shù)成為是發(fā)散的，

n=\2

所以收斂域?yàn)椋ㄒ?啦）.

喊空.

〃=1VW

解lim|a,,+l|=limn-=1,故收斂半徑為H=l,

〃fxan

即當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)歸一5|＞1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散.

因?yàn)椤皒_5=-1,即x=4時(shí)，塞級(jí)數(shù)成為七甲，是收斂的;

〃=i7n

當(dāng)工-5=1,即x=6時(shí)，基級(jí)數(shù)成為是發(fā)散的，

n=l\ln

所以收斂域?yàn)椋?,6）.

2.利用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分，求下列級(jí)數(shù)的和函數(shù):

⑴元屁I;

71=1

解設(shè)和函數(shù)為S(x),即S(X)=￡〃X〃T,則

〃=1

S(x)=[j()5(.*/燈=[[)'=nx,l-}dx]

W=1〃=1

二哈上[廿『土

8丫4〃+1

(2)Z;[；

h4〃+1

解設(shè)和函數(shù)為期）,即W2黑，則

sa）=s（o）+CU3熊黑X

心丫=CI”"

〃=1

=P(—!~y-l)dl='(-1+!?一+'—dx

Jo'14Jo\21+x221-二x2)

=-^lnp^+^arctanx-x(-l<x<l).

提示：由￡s'(x)公=S(x)—S(0)得S(x)=S(0)+j；S'(xWx.

■+丫3*尹v-5??+急丫2〃-1

解設(shè)和函數(shù)為S(x),即

82w-l35

S(x)=Y-v-=x+—v+—v+???+--+…，

's2/7-1352n-\'

則S(x)=S(0)+￡SUm=J；區(qū)=￡fx2〃-2dx

-1n=l

l-xz2l-x

提示：由1；5'?)去=5(工)一S(0)得S(x)=S(O)+［；S'GMx.

練習(xí)11-4

1.求函數(shù)兀t)=COSX的泰勒級(jí)數(shù)，并驗(yàn)證它在整個(gè)數(shù)軸上收工

于這函數(shù).

解因?yàn)?(")(工0)=COS(X0+?-y)(/l=1,2,???),所以加)在Xo處在

:2

/(x)=cosx0+cos(x0+y)(x-x0)+^^^(x-x0)+???+—

cos[xo+e(x-Xo)+券P(XT。產(chǎn)庭吟S(0口

因?yàn)閨&(幻目

07+1)!

而級(jí)數(shù)與M總是收斂的，故岫

hv-^r=0,從而lim\R

(〃+1)!〃T8

因此./(X)=cos/+cos(Xo+多任一%)+c°s(4+")(X—玉)2+?..+,

4W

2.將下列函數(shù)展開成x的寤級(jí)數(shù)，并求展開式成立的區(qū)間:

zjXQ-X

⑴Shx=心";

oo丫〃

解因?yàn)樘?2(一00<X<◎,

〃=0幾

110c丫〃X-n

所以shx=*W)二寮ZZ(-1)〃Y一]

22〃=on,〃=0n.

100Mg

(-00<X<00).

2念L」」用念(2〃T)!

(2)ln(a+x)(a>0);

8丫〃+1

解因?yàn)閘n(l+x)=￡(-l)〃J(-l<x§),

〃=o〃+1

所以ln(6z+x)=ln(7(l+—)=lnt/+ln(l+—)

aa

=\na+.(-D〃W；(

岔〃+l'/總(〃+lW用'<x<a).

(3H；

8n

解因?yàn)閑*=(70<x<℃),

〃=o〃！

xx\nax￡(xlna)〃二)(lna)〃

所以a=e=e=

〃=o〃！〃=o〃！

(4)sin2x;

解sin2x=i-icos2x,

ooJin

COSX=Z(T)〃7^(-8<x<8),

〃=o(2〃)！

-xn2w-lJin

所以sin2x=i-i￡(-1)〃(2x)2〃

(—oo<x<oo).

2L〃=0(2/7)!甯t)F

(5)(l+x)ln(kx);

ocY〃+l

解因?yàn)閘n(l+K)=￡(—l)〃J(-1<V<1),

〃=o〃+l

XY〃+l

所以(l+x)ln(l+x)=(l+x)￡(—l)〃J

〃=o〃+l

oc丫〃+100丫〃+2xY〃+lX.丫〃T

=X(T)〃+T+Z(T)〃+T=X+Z(-I)〃+T

2嗚

,+1nj?含〃(〃+1〉

(6)X

Jl+F

QC

解因?yàn)槿债a(chǎn)(2/7-1)!!丫2〃

=1+Z(-1)〃wV(-Kv<l),

n=\(2/7)!!

J2H-1)!!丫2〃+1

所以-JL==x+Y(-^“I

Vl+x2n=\(2〃)!!

=工+￡(-1)〃^^弓)2〃+1(-1^V<1).

3.將下列函數(shù)展開成。-1）的幕級(jí)數(shù)，并求展開式成立的區(qū)恒

(1)7?；

解因?yàn)?/p>

(1+x)m=1+mx+------x-+…+----------------xn+-

2!n\

_3

所以7x3=[l+(x-l)]2

-}1)1)—(三一〃+l)

二]+*T)+^~^j—(1)2+…-------------(X-

22!n\

即由=1+*一1)+凸(1)2+.??+31(-叱：)；(5-2〃％_

上術(shù)級(jí)數(shù)當(dāng)x=0和x=2時(shí)都是收斂的，所以展開式成立的區(qū)

(2)lgx.

InlOIn10InlO^rjn

即愴工二』￡(T)I止?(0<x<2).

InlOMn

4.將函數(shù)斤)=cosx展開成(x+9的嘉級(jí)數(shù).

解COSX=COS[(X4-y)-y]=COS(X+y)COSyi-sin(x+y)siny

=^-COS(X+ysin(x+y)

=l1yX(一1)〃（喈）明孚后晶產(chǎn)冗獷\2〃+1

2念(2〃)!

1X△

1(X+y)2，，4(X+y)2n+1](-00<X<

Z〃=o(2〃)!(2〃+1)!

5.將函數(shù)f(x)=1展開成(x-3)的嘉級(jí)數(shù).

X

x34-X-33]?x-33司33

即i=1t(-1)w(^r(o<x<6).

X3〃=o3

6.將函數(shù)fa)="—展開成(x+4)的幕級(jí)數(shù).

x2+3x+2

解f(x)=-............=---------

廣+3x+2x+1x+2

1111w

而==-1z(^)(i

x+l—3+(x+4)3?x+4Jn力==0。3

亍

1=g(x+4)〃

—

即而一念3〃+i(7<x<—1);

1二1二11二1專產(chǎn)4Hl。,

x+2-2+(x+4)2]，+42〃=o2

]_q(x+4)〃

即^+2=~h2W+1(—6<x<—2).

q(x+4)〃,fU+4)?

因此f(x)=1

x2+3x+2石3川念2〃+i

啕*小)(x+4)〃(-6<x<-2).

練習(xí)11-5

1.利用函數(shù)的器級(jí)數(shù)展開式求下列各數(shù)的近似值:

(1)山3。吳差不超過0.0001);

解ln1^-=2(x+^-x34-^x5H---1--x2z,~1+???)(-

\—x352w_1

14-1

In3=「=2(，+L至+…+罰?行

1-2

又|r\=2[------------------------…]

5L(2〃-1)?22〃T(2W+3)-22W+3」

2+(2〃+l)=2〃+i+(2〃+1>22〃+I

=(2〃+l)22〃+iRL+(2〃+3>22”+3+(2〃+5),22〃+5

,1.1.、1

<,-----------2-----------(nIH-------+-----+???)=-------------------------

(2?+l)22w+,22243(2u-l)22n~2

故伉l<一^^0.00012,\r.\<—「=0.00003.

1'13-11-28J151313-210

因而取〃=6,此時(shí)

In3=2d+L3，+L"

43235257279*+十擊）

（2）五（誤差不超過0.001）;

11,

解ex=l+x+—x^04-------x,1+???(-co<x<+oo),

2!〃！

=1+!+?.^-+....

22!22〃!2〃

11.11

由于%一(〃+1)「尹+(〃+2)!’尹

」□+1?+__1_____L…

〃!.2"〃+12(〃+2)?(〃+1)22

<□」1

用2〃113?雄2〃一2'

1-4

故r4=——!~?0.0003.

43-5!-23

因此取n=4得

八七1+1+\4+[，+].4引.648.

22!223!234!24

(3)^522(誤差不超過0.00001);

解(1+D〃=1+g+風(fēng)分工2+,??+蛔土警?v+一

/*?/1?

V522=2(l+-^),/9

川+1陰4

92992-2!

由于0賢0002170，島喘2，0.000019,

故V522=2(1+0.002170-0.000019)?2.00430.

(4)cos2。(誤差不超過0.0001).

r2r4r2n

解cosx=l-^-+^----+(-1)〃卜…(-8<%<+8),

(W

246

cos2°=cos—90=1-—2!?((—90))+4—!?((—90))6-!—(?9(—0))+--?,

由于L(三)2p6xl0-4_1.(三)4sBi0-8

2!90，4!、90'

故COS2°?1--(^)2-?1-0.0006=0.9994.

2!'90

2.利用被積函數(shù)的幕級(jí)數(shù)展開式求下列定積分的近似值:

(1)，51公(誤差不超過0.0001);

J。1+x

解￡1?彳去=￡5[1-X4+必"2+???+(_])"工4〃+…物

=(A*+*―號(hào)13+…謂.5

Jy1J

111J_1L__L_L:

252592913213

因?yàn)?.00625,1.^?0.00028,-L--L?0.000009,

\rO.51411-1"+士1—104940.

所以Jo1+x42525929

(2)『a?anx公(誤差不超過0.0001).

解arctanx=x-\x3+45---4-(-l)w-!--x2w+,+?

352n+\5

「5處叫人”卜2+)一..+(_i)〃1

x2/I+??-]dx

JOxJo352n

卜=#+/*，+…)d

-1--1?--1--,?--1—-1_1?1-4-?,??

292325254927

因?yàn)閨^?0.0139,表?菟*0.0013,看｝

所以心啜3篇+=9。487.

3.將函數(shù)e'cosx展開成x的幕級(jí)數(shù).

解cosx=；(e"+e*),

eAcosx=ex+6-")=，[4"')+e"D]

=蛀""七號(hào)八蘢嗎

Nn=0幾〃=0幾/〃=0幾

匹一匹

因?yàn)?+，=后9彳，17二缶一彳，

nm冬m兀nn.y

所以(1+，)〃+(1-，)〃=2可/才+//^"]=22(2cos—)=22cos—.

44

n

x22cos—n7l

因此eAcosx=V--------xn(—oo<x<+oo).

M加

練習(xí)11-7

1.下列周期函數(shù)小)的周期為2耳試將兒丫)展開成傅里葉級(jí)婁

如果/(x)在[-乃，力上的表達(dá)式為：

(1)/(X)=3X2+1(-^<x<^);

解因?yàn)?/p>

22

6/0=—f(x)dx=—[^(3x+l)dx=2(7r+1),

乃J一行.冗、一冗

]1

an=—f(x)cosn7rdx

乃J-乃’

=—[(3]2+1)cos〃mix=(-1)"耳(n=1,2,???)

zrJ一無〃一

I”.

b=—/'(x)sinnjrdx

n7TJ-4,

=—(3x2+l)sin/7^Zr=O07=l,2,???),

冗、F

所以4t)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為

e(-iv

/(x)=/+1+12——-^―COS77X(-8Vx<+00).

〃=1〃

(2)./W=e"(--<乃)；

解因?yàn)?/p>

2x

tz0=-rf(x)dx=-^eclx=,

九、-兀2乃

]r兀

a=—/'(x)cosnndx

n7tJ-”’

1F2vJ2(-1)〃(標(biāo)點(diǎn)一0一2乃)

=-elxcosn7idx=---------------(n=1,2,???),

汗J-江(〃-+4)江

b=—/'(x)sinn7idx

n7TJ-k

=1sinnndx=(〃=1,2,…)，

乃Jr(川+4)乃\，，八

所以大Y)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為

?『兀一?一2冗13(_])〃

f(x)=--------[4+V=——(2cos〃工一〃sin幾丫)

兀4念〃2+4

(x-(2〃+l)得H=0,±1,±2,…

⑶/㈤七:高魯明人為常數(shù)，且?9

解因?yàn)?/p>

a。=-jbxdx+—^axdx=^(a-b),

］f°［嚴(yán)

an=—Jbxcosnxdx-{"一］)axcos〃工陶

b-a

7口一(一1)"(〃=1,2,…),

KT兀

1r°?］產(chǎn).

b,=~\bxsmnxdxH■—a.vsinnxdx

〃冗Jr兀JO

=(-1)〃+3(〃=1,2,…),

n

所以,/U）的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為

jOC1

(1—(—1)〃］(j)(-ir(Q+b)sin〃x}

/(x)=5a-8)+￡{COS/7.V41

4M=1H27T

),±1,±2,—

2.將下列函數(shù)加）展開成傅里葉級(jí)數(shù):

(1)/(x)=2siny(一脛丫＜力;

解將人工）拓廣為周期函數(shù)F（x）,則2工）在（-《力中連續(xù)，彳

工=±m(xù)'即斷，旦

:尸（一乃一）+歹（一萬+）件〃一乃），半尸（乃一）+/（乃+）］工/（乃），

故Rx）的傅里葉級(jí)數(shù)在（-石都||收斂于府），而在工=士乃處/（X）的］

里葉級(jí)數(shù)不收斂于'/U）.

計(jì)算傅氏系數(shù)如下：

因?yàn)?s嗚（-乃。＜乃）是奇函數(shù)，所以a〃=O（D,1,2,…),

bn=—\2sin丁sin4Y=—J［cos（--/7）x-cos（-+n)x]dx

=（_1）〃+L-^_^（"=1,2,…）,

719〃2一1

所以外制=國(guó)5支（-產(chǎn)至瞥（-乃《＜乃）.

乃念9/〃一1

⑵/(%)=:-^■<x<0

0<X<7T

解將./（上）拓廣為周期函數(shù)f（工），則尸（工）在（-區(qū)力中連續(xù),彳

X=土力訶斷，且

；［尸（一不一）+2—乃+）］*/（一切，尸（k）+F0r+）］w/（幻，

故義工）的傅里葉級(jí)數(shù)在（-不乃）111收斂于/"）,而在工=±乃處尸（x）的1

里葉級(jí)數(shù)不收斂于./（X）.

計(jì)算傅氏系數(shù)如下：

1=珂』excosnxdx+J。cosnxdx]=喏”之…）,

x

hn=—[Jesinnxdxsinnxdx]

,｛國(guó)土單口+匕當(dāng)（42,…）,

711+/n

所以/（林1^/

1一（一1）5d+匚嘩譽(yù)二+號(hào)與而陽

+N1+/

（-7r<x<7.

3.設(shè)周期函數(shù)作）的周期為2名證明正）的傅里葉系數(shù)為

?！ǘ﨤「"/（x）cos〃xdx（〃=0,1,2,…），

4JU

b=~\^f（x）sinnxdx（n=l,2,…）.

n乃JU

證明我們知道，若人工)是以/為周期的連續(xù)函數(shù)，則

的值與。無關(guān)，且=

因?yàn)?/W,cosnx,sin均為以24為周期的函數(shù),所以於)co

f(x)s\nnx均為以24為周期的函數(shù)，從而

|en|「一力+2%..

aH=—J/(X)cosnxdx=—J/(x)cosnxdx

12外

f(x)cosnxdx(A?=1,2,

萬Jo

；r

同理hn=-^jj/(x)sinnxdx(n=l,2,???).

4.將函數(shù)/a)=cos.(-力展開成傅里葉級(jí)數(shù):

解因?yàn)閒(X)=COSy為偶函數(shù),故bn=0(n=1,2,??),而

a,,--1產(chǎn)cos—XcosnxJax=—2pcoxs—cos/?xti,v

〃乃2萬Jo2

1/11

=—[cos(--n)x-cos(—+n)x]dx

%Jo22

,

=(-ir--T4—

714/7--1

由于/(x)=cos^在[-石乃]上連續(xù)，所以

cos^=—4--V(-1)//+,-\—COSALV(-7T<X<7:).

2""M4/7--1

5.設(shè)/(x)的周期為2萬的周期函數(shù)，它在［-石力上的表達(dá)式運(yùn)

*

_71_

~2

f(x)=<x-煞，

22

7V—<X<7T

2

將人工)展開成傅里葉級(jí)數(shù).

解因?yàn)?(%)為奇函數(shù),故4〃=0(〃=0,1,2,…)，而

2

bn=—^/(x)sinnxdx=—[￡xsin/ixtZr+j^ysinnxdx\

=---(一---1-)"-+?—2si.n〃-乃-(w/=li,2r,、

nir7t2

又加)的間斷點(diǎn)為x=(2〃+l)陽w=0,±1,±2,…,所以

f(x)=￡[――+二-sin竽sinnx

M2

(xw(2〃+1)乃,〃=0,±1,±2,--

6.將函數(shù)/(力=號(hào)(必6)展開成正弦級(jí)數(shù).

解作奇延拓得方(上)：

f(x)0<X<7T

F(x)=<0x=0,

[一/(一工)-^<x<0

再周期延拓/任)到(-8,+00),則當(dāng)X￡(0,同時(shí)F(x)=/(j

尸(0)=01/(0).

因?yàn)椤ā?0(〃=0,1,2,…)，而

bt.=—[^-二乃sinnxdx=—(n=1,2,…)，

〃乃Jo2n

故〃x)=￡：sin〃x(0<x?力，

n=\〃

級(jí)數(shù)在x=0處收斂于0.

7.將函數(shù)/）=2?（0幺6）分別展開成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù).

解對(duì)危)作奇延拓,則%=0(〃=0,1,2,…)，而

h=—12,sinnxdx-—[(-―??](〃=

n1,2,...),

〃乃Jo冗〃3〃/

故正弦級(jí)數(shù)為

—)--^r]sin(0。<4),

〃加苗Z）噂nn5

級(jí)數(shù)在x=0處收斂于0.

對(duì)危）作偶延拓,則兒=0（〃=1,2,…），而

&=212x2dx=2乃2,

"4Jo3

2w

afl=—[2xcosnxdx=(-l)(n=\,2,???),

n乃Jon2

故余弦級(jí)數(shù)為

f(x)=-1^2+8,(-y~cos幾t(0<.v<^).

3n=l〃

8.設(shè)周期函數(shù)加）的周期為2名證明

(1)如果flx-7r)=-J[x\則7W的傅里葉系數(shù)ao=O,A2A-0,b2k=。

(1,2,…)；

解因?yàn)?/p>

1rn令,=4+工1r27r〃1r2/r

a0=M/(z_^Wx=_lff(t)dt=-a0

71J-/rJIJUJiJU

所以＜70=0.

因?yàn)?/p>

a、k=—Pf(x)cos2Axf/r"一—『"f(t-^)cos2k(t-7r)dx

71Jr'71Jo,

1eln

=--JofSeos2Hdt=-a2k，

所以a2A=0.

同理—