2022-2023高中物理競賽課件：一維無限深勢阱

一維無限深勢阱

一維無限深勢阱討論3）按照經(jīng)典物理的觀點，粒子在阱內(nèi)不停地運動,因而在阱內(nèi)各處找到粒子的概率應(yīng)該相等；而量子理論指出,當(dāng)粒子處于束縛態(tài)時,其在各個位置出現(xiàn)的概率不同。1）在經(jīng)典力學(xué)中首要的是受力分析,力函數(shù)不同,牛頓方程的形式就不同。而這里首要的是尋找勢能函數(shù),勢能函數(shù)不同,薛定諤方程的形式就不同,它們的運動狀態(tài)當(dāng)然就不同.2）待定系數(shù)是由標(biāo)準(zhǔn)條件（邊值條件）和歸一化條件所決定，與機械波中是完全由初始條件決定所不同,這就體現(xiàn)了物質(zhì)波是概率波的特點。4）從定態(tài)薛定諤方程出發(fā),利用波函數(shù)應(yīng)遵守的標(biāo)準(zhǔn)條件,可自然地得出能量的量子化條件,而無須象玻爾那樣人為地假定。這是薛定諤方程的成功處之一。5）基態(tài)能不為零，是經(jīng)典物理不能解釋的。一維方勢壘

隧道效應(yīng)（勢壘貫穿）TunnelEffect一維方勢壘粒子的能量Ⅲ區(qū)Ep

(x)=0，x≥aⅠ區(qū)

Ep(x)=0，x≤

0Ⅱ區(qū)Ep

(x)=Ep0

，0≤x≤a0aEp0ⅠⅡⅢx經(jīng)典物理：當(dāng)粒子能量E<Ep0

時，從經(jīng)典理論來看,粒子不可能穿過勢壘進入x>a

的區(qū)域;

量子物理：應(yīng)求解定態(tài)薛定諤方程,才能下結(jié)論。一維方勢壘

隧道效應(yīng)（勢壘貫穿）TunnelEffect一維方勢壘Ⅲ區(qū)Ep

(x)=0，x≥aⅠ區(qū)

Ep(x)=0，x≤

0Ⅱ區(qū)Ep

(x)=Ep0

，0≤x≤a0aEp0ⅠⅡⅢx三區(qū)域的波函數(shù)表示為

1、

2、

3定態(tài)薛定諤方程：一維方勢壘

隧道效應(yīng)（勢壘貫穿）TunnelEffect一維方勢壘Ⅲ區(qū)Ep

(x)=0，x≥aⅠ區(qū)

Ep(x)=0，x≤

0Ⅱ區(qū)Ep

(x)=Ep0

，0≤x≤a0aEp0ⅠⅡⅢx令：三區(qū)域的波函數(shù)表示為

1、

2、

3一維方勢壘

隧道效應(yīng)（勢壘貫穿）TunnelEffect一維方勢壘0aEp0ⅠⅡⅢx令：Ⅲ區(qū)Ⅰ區(qū)Ⅱ區(qū)三區(qū)域的波函數(shù)表示為

1、

2、

3Ⅲ區(qū)Ep

(x)=0，x≥aⅠ區(qū)

Ep(x)=0，x≤

0Ⅱ區(qū)Ep

(x)=Ep0

，0≤x≤a一維方勢壘

隧道效應(yīng)（勢壘貫穿）TunnelEffect0aEp0ⅠⅡⅢx三區(qū)域的波函數(shù)分別為：Ⅲ區(qū)

Ⅰ區(qū)

Ⅱ區(qū)

三式的右邊第一項表示沿x方向傳播的平面波，第二項為沿x負(fù)方向傳播的平面波

1

右邊的第一項表示射向勢壘的入射波，第二項表示被“界面（x=0）”反射的反射波。

2

右邊的第一項表示穿入勢壘的透射波，第二項表示被“界面（x=a）”反射的反射波。

3

右邊的第一項表示穿出勢壘的透射波，

3

的第二項為零，因為在x>a區(qū)域不可能存在反射波(B3=0)。B3=0一維方勢壘

隧道效應(yīng)（勢壘貫穿）TunnelEffect0aEp0ⅠⅡⅢx三區(qū)域的波函數(shù)分別為：Ⅲ區(qū)

Ⅰ區(qū)

Ⅱ區(qū)

三式的右邊第一項表示沿x方向傳播的平面波，第二項為沿x負(fù)方向傳播的平面波定義反射系數(shù)：粒子被勢壘反射的概率定義透射系數(shù)：粒子穿過勢壘的概率B3=0一維方勢壘

隧道效應(yīng)（勢壘貫穿）TunnelEffect0aEp0ⅠⅡⅢx三區(qū)域的波函數(shù)分別為：Ⅲ區(qū)

Ⅰ區(qū)

Ⅱ區(qū)

B3=0得到4個方程，再波函數(shù)的歸一化條件，求出常數(shù)A1、B1、A2

、B2

和A3

間關(guān)系，從而得到反射系數(shù)和透射系數(shù).波函數(shù)在x=0，x=a

處連續(xù)一維方勢壘

隧道效應(yīng)（勢壘貫穿）TunnelEffect0aEp0ⅠⅡⅢxB3=0(1)E>Ep0,

R≠0,

即使粒子總能量大于勢壘高度，入射粒子并非全部透射進入III

區(qū),仍有一定概率被反射回I

區(qū)。(2)E<Ep0

,

T≠0,

雖然粒子總能量小于勢壘高度，入射粒子仍可能穿過勢壘進入III區(qū)

——

隧道效應(yīng)。討論:入射粒子一部分透射到達III

區(qū)，另一部分被勢壘反射回I

區(qū)。一維方勢壘

隧道效應(yīng)（勢壘貫穿）TunnelEffect0aEp0ⅠⅡⅢxB3=0入射粒子一部分透射到達III

區(qū)，另一部分被勢壘反射回I

區(qū)。粒子能穿過比其能量更高的勢壘，這種現(xiàn)象稱為隧道效應(yīng)(勢壘貫穿)

這是微觀粒子波動性的表現(xiàn)。

隧道效應(yīng)已被許多實驗所證實，并在半導(dǎo)體器件、超導(dǎo)器件、物質(zhì)表面探測等現(xiàn)代科技領(lǐng)域中有著重要的應(yīng)用。掃描隧道顯微鏡(STM)Scanning

Tunneling

Microscopy1982年，IBM公司蘇黎世實驗室的Binning和Rohrer及其同事們共同研制成功。金屬樣品電子云Ubd隧道電流I電子云重疊由于電子的隧道效應(yīng)，金屬中的電子并不完全局限于金屬表面之內(nèi)，電子云密度并不是在表面邊界處突變?yōu)榱?。在金屬表面以外，電子云密度呈指?shù)衰減，衰減長度約為1nm。用一個極細(xì)的、只有原子線度的金屬針尖作為探針，將它與被研究物質(zhì)的表面作為兩個電極，當(dāng)樣品表面與針尖非?？拷?距離＜1nm)時，兩者的電子云略有重疊，在兩極間加上電壓Ub，在電場作用下電子就會穿過兩個電極之間的勢壘，通過電子云的狹窄通道流動，從一極流向另一極，形成隧道電流I。隧道電流I對針尖與樣品表面之間的距離極為敏感，當(dāng)針尖在樣品表面上方掃描時，即使其表面只有原子尺度的起伏，也將通過其隧道電流顯示出來。借助于電子儀器和計算機，在屏幕上即顯示出樣品的表面形貌。掃描隧道顯微鏡(STM)Scanning

Tunneling

Microscopy與其它表面分析技術(shù)相比，STM所具有的獨特優(yōu)點是：1、具有原子級高分辨率STM在平行和垂直于樣品表面方向的分辨率可達0.1nm和0.01nm，即可分辨出單個原子。

2、可以觀察單個原子層的局部表面結(jié)構(gòu)，而不是整個表面的平均性質(zhì)。3、利用STM針尖，可以對原子和分子進行操縱。重新排列原子（1990年用35個Xe原子在Ni表面拼綴出

IBM）——納米技術(shù)正式誕生掃描隧道顯微鏡(STM)Scanning

Tunneling

Microscopy

1993年5月

48個鐵原子排列成一個“量子圍欄”，照片中反映的是電子密度的高低，圍欄內(nèi)是電子密度波的駐波。與其它表面分析技術(shù)相比，STM所具有的獨特優(yōu)點是：1、具有原子級高分辨率STM在平行和垂直于樣品表面方向的分辨率可達0.1nm和0.01nm，即可分辨出單個原子。

2、可以觀察單個原子層的局部表面結(jié)構(gòu)，而不是整個表面的平均性質(zhì)。3、利用STM針尖，可以對原子和分子進行操縱。解：1）n=2時，波函數(shù)為:概率密度函數(shù)：例

一粒子在一維無限深勢阱中運動，其波函數(shù)為：

求：1)當(dāng)n=2時，求粒子出現(xiàn)概率最大的位置和

粒子出現(xiàn)概率最小的位置；2)當(dāng)n=1時，在區(qū)間(0～a/4)發(fā)現(xiàn)粒子的概率是多少？粒子出現(xiàn)概率最大的位置：解：1）n=2時，波函數(shù)為:概率密度函數(shù)：例

一粒子在一維無限深勢阱中運動，其波函數(shù)為：

求：1)當(dāng)n=2時，求粒子出現(xiàn)概率最大的位置和

粒子出現(xiàn)概率最小的位置；2)當(dāng)n=1時，在區(qū)間(0～a/4)發(fā)現(xiàn)粒子的概率是多少？粒子出現(xiàn)概率最小的位置：解：2）