廣東省韶關(guān)市重陽中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

廣東省韶關(guān)市重陽中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.奇函數(shù)的定義域為R，若為偶函數(shù)，且，則A．-2

B．-1

C．0

D．1

參考答案：D2.定義在[1，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：①當(dāng)2≤x≤4時，f（x）=1﹣|x﹣3|；②f（2x）=cf（x）（c為正常數(shù)），若函數(shù)的所有極大值點(diǎn)都落在同一直線上，則常數(shù)c的值是（）A．1 B．±2 C．或3 D．1或2參考答案：D【考點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用．【專題】計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由已知中定義在[1，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：①f（2x）=cf（x）（c為正常數(shù)）；②當(dāng)2≤x≤4時，f（x）=1﹣|x﹣3|．我們可得分段函數(shù)f（x）的解析式，進(jìn)而求出三個函數(shù)的極值點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)三點(diǎn)共線，則任取兩點(diǎn)確定的直線斜率相等，可以構(gòu)造關(guān)于c的方程，解方程可得答案．【解答】解：∵當(dāng)2≤x≤4時，f（x）=1﹣|x﹣3|．當(dāng)1≤x＜2時，2≤2x＜4，則f（x）=f（2x）=（1﹣|2x﹣3|），此時當(dāng)x=時，函數(shù)取極大值；當(dāng)2≤x≤4時，f（x）=1﹣|x﹣3|；此時當(dāng)x=3時，函數(shù)取極大值1；當(dāng)4＜x≤8時，2＜≤4，則f（x）=cf（）=c（1﹣|﹣3|），此時當(dāng)x=6時，函數(shù)取極大值c．∵函數(shù)的所有極大值點(diǎn)均落在同一條直線上，即點(diǎn)（，），（3，1），（6，c）共線，∴=，解得c=1或2．故選D．【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是三點(diǎn)共線，函數(shù)的極值，其中根據(jù)已知分析出分段函數(shù)f（x）的解析式，進(jìn)而求出三個函數(shù)的極值點(diǎn)坐標(biāo)，是解答本題的關(guān)鍵．3.如右圖，OA=2（單位：m）,OB=1(單位：m),OA與OB的夾角為，以A為圓心，AB為半徑作圓弧與線段OA延長線交與點(diǎn)C.甲。乙兩質(zhì)點(diǎn)同時從點(diǎn)O出發(fā)，甲先以速度1（單位:ms）沿線段OB行至點(diǎn)B，再以速度3（單位：ms）沿圓弧行至點(diǎn)C后停止，乙以速率2（單位：m/s）沿線段OA行至A點(diǎn)后停止。設(shè)t時刻甲、乙所到的兩點(diǎn)連線與它們經(jīng)過的路徑所圍成圖形的面積為S（t）（S（0）=0），則函數(shù)y=S（t）的圖像大致是

參考答案：A當(dāng)時，甲經(jīng)過的路程為乙經(jīng)過的路程為所以三角形的面積為，為拋物線，排除B,D.當(dāng)時，甲到B,乙到達(dá)A.此時,即圓的半徑為，由圖象可知，當(dāng)時，面積越來越大，當(dāng)甲到C處，乙到A處時，甲乙停止，此時面積將不在變化，為常數(shù)，排除C，選A.4.已知關(guān)于x的方程，則下列說法錯誤的是A.當(dāng)時，方程的解的個數(shù)為1個

B.當(dāng)時，方程的解的個數(shù)為1個C.當(dāng)時，方程的解的個數(shù)為2個

D.當(dāng)時，方程的解的個數(shù)為2個參考答案：D5.若α∈（0，），且sin2α+cos2α=，則tanα的值等于(

)A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；二倍角的余弦．【專題】三角函數(shù)的求值．【分析】把已知的等式中的cos2α，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡后，得到關(guān)于sinα的方程，根據(jù)α的度數(shù)，求出方程的解即可得到sinα的值，然后利用特殊角的三角函數(shù)值，由α的范圍即可得到α的度數(shù)，利用α的度數(shù)求出tanα即可．【解答】解：由cos2α=1﹣2sin2α，得到sin2α+cos2α=1﹣sin2α=，則sin2α=，又α∈（0，），所以sinα=，則α=，所以tanα=tan=．故選D【點(diǎn)評】此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用二倍角的余弦函數(shù)公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡求值，是一道基礎(chǔ)題．學(xué)生做題時應(yīng)注意角度的范圍．6.如圖已知中,點(diǎn)在線段上,點(diǎn)在線段上且滿足,若,則的值為A．

B．

C.

D．參考答案：A因為，所以。7.已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)i13（1+i）=

A．l+i

B．l－i

C．-l+I

D．-l－i參考答案：C略8.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，則角B的值為（）A． B． C．或 D．或參考答案：D【考點(diǎn)】余弦定理的應(yīng)用．【專題】計算題．【分析】通過余弦定理及，求的sinB的值，又因在三角形內(nèi)，進(jìn)而求出B．【解答】解：由∴，即∴，又在△中所以B為或故選D【點(diǎn)評】本題主要考查余弦定理及三角中的切化弦．很多人會考慮對于角B的取舍問題，而此題兩種都可以，因為我們的過程是恒等變形．條件中也沒有其它的限制條件，所以有的同學(xué)就多慮了．雖然此題沒有涉及到取舍問題，但在平時的練習(xí)過程中一定要注意此點(diǎn)9.定義兩個平面向量的一種運(yùn)算?=||?||sin＜，＞，則關(guān)于平面向量上述運(yùn)算的以下結(jié)論中，①?=?，②λ（?）=（λ）?，③若=λ，則?=0，④若=λ，且λ＞0，則（+）?=（?）+（?）．恒成立的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個參考答案：B【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】①由新定義可得?=|=?，即可判斷出；②由新定義可得=λ，而=，當(dāng)λ＜0時，λ（?）=（λ）?，不成立；③若=λ，可得，故?=0，即可判斷出；④若=λ，且λ＞0，則，由新定義可得?=，而==．即可判斷出．【解答】解：①∵?=|=?，故，故恒成立；②∵=λ，而=，當(dāng)λ＜0時，λ（?）=（λ）?，不成立；③若=λ，則，得到?=0，故恒成立；④若=λ，且λ＞0，則+=（1+λ），∴+?=，而+=+=|1+λ|．故（+）?=（?）+（?）恒成立．綜上可知：只有①③④恒成立．故選B．10.從存有號碼為1,2，…,10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一張卡片并記下號碼，統(tǒng)計結(jié)果如下：卡片號碼12345678910取到的次數(shù)581871313610119則取到號碼為奇數(shù)的頻率是(

)

A

0.53，B

0.5，

C

47，

D

0.37。

參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.平面向量的單位向量是

參考答案：12.某多面體的三視圖，如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為

.參考答案：

13.已知為銳角，則___________參考答案：【分析】先求出，再利用兩角和的正弦公式展開，帶值計算即可.【詳解】解：為銳角，則為鈍角，則，，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查已知角的三角函數(shù)值求未知角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵是要找到已知角和未知角之間的關(guān)系，將未知角用已知角表示出來，是基礎(chǔ)題.14.定義一種運(yùn)算，令，且，

則函數(shù)的最大值是______.參考答案：令，則

∴由運(yùn)算定義可知，∴當(dāng)，即時，該函數(shù)取得最大值.由圖象變換可知，

所求函數(shù)的最大值與函數(shù)在區(qū)間上的最大值相同.15.已知正實數(shù),則的值為__________.

參考答案：略16.執(zhí)行右面的程序框圖，若輸入的的值為0.25，則輸入的n的值為

參考答案：3第一次循環(huán)，，此時不成立。第二次循環(huán)，，此時成立，輸出。17.過點(diǎn)P(,3)的直線，交圓于A、B兩點(diǎn)，Q為圓上任意一點(diǎn)，且Q到AB的最大距離為，則直線l的方程為

。參考答案：或

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，設(shè)AB為⊙O的任一條不與直線l垂直的直徑，P是⊙O與l的公共點(diǎn)，AC⊥l，BD⊥l，垂足分別為C，D，且PC=PD．（Ⅰ）求證：l是⊙O的切線；（Ⅱ）若⊙O的半徑OA=5，AC=4，求CD的長．參考答案：【考點(diǎn)】圓的切線的判定定理的證明；與圓有關(guān)的比例線段．【專題】選作題；立體幾何．分析；（Ⅰ）連接OP，由AC與BD都與直線l垂直，得到AC與BD平行，由AB與l不相交得到四邊形ABDC為梯形，又O為AB中點(diǎn)，P為CD中點(diǎn)，所以O(shè)P為梯形的中位線，根據(jù)梯形中位線性質(zhì)得到OP與BD平行，從而得到OP與l垂直，而P在圓上，故l為圓的切線；（Ⅱ）過點(diǎn)A作AE⊥BD，垂足為E，求出BE，利用勾股定理，即可得出結(jié)論．（Ⅰ）證明：連接OP，因為AC⊥l，BD⊥l，所以AC∥BD．又OA=OB，PC=PD，所以O(shè)P∥BD，從而OP⊥l．因為P在⊙O上，所以l是⊙O的切線．（Ⅱ）解：由上知OP=（AC+BD），所以BD=2OP﹣AC=6，過點(diǎn)A作AE⊥BD，垂足為E，則BE=BD﹣AC=6﹣4=2，在Rt△ABE中，AE==4，∴CD=4．【點(diǎn)評】此題考查了切線的判定，梯形中位線性質(zhì)及直線與圓的位置關(guān)系．證明切線時：有點(diǎn)連接圓心與這點(diǎn)，證明垂直；無點(diǎn)作垂線，證明垂線段等于圓的半徑，是經(jīng)常連接的輔助線．19.（12分）（2015秋?河南月考）已知f（x）是定義在（0，+∞）上的函數(shù)，且對任意正數(shù)x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞1時，f（x）＞0，f（3）=1．（Ⅰ）集合A={x|f（x）＞f（x﹣1）+2}，B={x|f（）＞0}，且滿足A∩B=?，求正實數(shù)a的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)a＜b，比較f（）與f（）的大小，并說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用．【專題】函數(shù)思想；構(gòu)造法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）先證明函數(shù)的單調(diào)性，在分別求出集合A，B，根據(jù)A∩B=?，求正實數(shù)a的取值范圍；（Ⅱ）首先判斷﹣的正負(fù)情況，利用構(gòu)造函數(shù)得出g（x）=x+2+（x﹣2）ex，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得出上述表達(dá)式的正負(fù)，利用單調(diào)性得出函數(shù)值的大小．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)0＜x1＜x2＜+∞，則由條件“對任意正數(shù)x，x都有f（xy）=f（x）+f（y）”，可知：f（x2）=f（．x1）=f（）+f（x1），∵＞1∴由已知條件f（）＞0，∴f（x2）﹣f（x1）=f（）＞0即f（x2）＞f（x1），因此f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；∵f（3）=1，∴f（9）=2，∴f（x）＞f（x﹣1）+2，∴f（x）＞f（9x﹣9），∴x＞9x﹣9，x＞0，x﹣1＞0，∴A=（1，），令x=y=1，得f（1）=0，∵f（）＞0=f（1），∴f（）＞1，∴＞0，∴B=（﹣∞，﹣1）∪（，+∞），∵A∩B=?，∴≥，∴0＜a≤；（Ⅱ）﹣=，令b﹣a=x，g（x）=x+2+（x﹣2）ex，x＞0，∴g'（x）=1+（x﹣1）ex，令h（x）=g'（x）=1+（x﹣1）ex，∴h'（x）=xex＞0，∴g'（x）在（0，+∞）上遞增，g'（0）=0，∴g'（x）＞g（0）=0，∴g（x）在（0，+∞）上遞增，g（0）=0，∴g（x）＞g（0）=0，∵b﹣a＞0，∴﹣=＞0，∴＞，∴f（）＞f（）．【點(diǎn)評】考查了抽象函數(shù)的單調(diào)性判斷，利用函數(shù)單調(diào)性，利用定義法求解實際問題，利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性問題．20.已知函數(shù)定義域為，若對于任意的，，都有，且>0時，有>0.⑴證明:為奇函數(shù);⑵證明:在上為單調(diào)遞增函數(shù);⑶設(shè)=1,若<,對所有恒成立,求實數(shù)的取值范圍.參考答案：（1）令，令，，為奇函數(shù)

(2）在上為單調(diào)遞增函數(shù);

(3）在上為單調(diào)遞增函數(shù)，，使對所有恒成立,只要>1,即>0令21.已知函數(shù).(1)討論極值點(diǎn)的個數(shù)；(2)若是的一個極值點(diǎn)，且，證明:.參考答案：(1)當(dāng)時，無極值點(diǎn)；當(dāng)時，有1個極值點(diǎn)；當(dāng)或時，有2個極值點(diǎn)；(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)得到；分別在、、和四種情況下根據(jù)的符號確定的單調(diào)性，根據(jù)極值點(diǎn)定義得到每種情況下極值點(diǎn)的個數(shù)；（2）由（1）的結(jié)論和可求得，從而得到，代入函數(shù)解析式可得；令可將化為關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性，從而得到，進(jìn)而得到結(jié)論.【詳解】（1）①當(dāng)時，當(dāng)時，；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增為的唯一極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn)，即此時極值點(diǎn)個數(shù)為：個②當(dāng)時，令，解得：，⑴當(dāng)時，和時，；時，在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減為的極大值點(diǎn)，為的極小值點(diǎn)，即極值點(diǎn)個數(shù)為：個⑵當(dāng)時，，此時恒成立且不恒為在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，即極值點(diǎn)個數(shù)為：個⑶當(dāng)時，和時，；時，在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減為的極大值點(diǎn)，為的極小值點(diǎn)，即極值點(diǎn)個數(shù)為：個綜上所述：當(dāng)時，無極值點(diǎn)；當(dāng)時，有個極值點(diǎn)；當(dāng)或時，有個極值點(diǎn)（2）由（1）知，若是的一個極