保險精算-年金ruiVIP

第一節(jié)

年

金

的

定

義一

、

年

金

的

定

義按相等時間間隔所支付的一系列款項。如住房按

揭分期付款、養(yǎng)老金給付等。年金最原始的含義是指一年支付一次，每次支付

相

等金

額

的

一

系

列

款

項

.

現(xiàn)

已

推

廣

到

任

意

時

間

間

隔

長

度

的

系

列

付

款

。二

、

年

金

的

分

類1、

按照年金的支付時間和金額是否確定，年

金

可

以

劃

分

為確

定

年

金和

生

命

年

金.確定年金與生命年金的區(qū)別生

命

年

金

以

人

的

生

存

為

支

付

條

件

。

(

必

要

條件

)給

付

期

間

或

次

數(shù)等鑫年轟賈考虛命望生存概率，確定年金的按

照

年

金

的

支

付

期

限

長

短

.

可

以

劃

分

為定

期

年金

永

續(xù)

年

金

.按

照

年

金

的

支

付

周

期

不

同

，

年

金

可

以分為

每

年

支

一

次

的

年

金

、每

季

支

付

一

次

的

年

金

、

每

月

支

付次

的

年

金

等

等

.果

年

金

是

連

續(xù)

不

斷

地

支

付

，

那

么

這

種

年

金

被

稱

為續(xù)

年

金

.按照年金支付的起始點不同，可以分為期初付年和

期

末

付

年

金.2、和

3、付一

如連

4、金期初付年金是指在每個支付周期初(如年初、季初、

月初等)支付的年金-◆

期末付年金是指在每個支付周期末(如年末、季末、

月末等)支付的年金-5、按照年金開始支付的時間不同，年金可以分為即期年

金和延期年金.6、

按照每次付款的金額是否相等，年金可以劃分為等額

年金和變額年金.>

等額年金是指每次支付相等金額的年金；>變額年金是指每次付款金額并不相等的年金.無

窮

等

比

數(shù)

列

的

求

和

公式

：s=1“本

章

學(xué)

習(xí)

基

礎(chǔ)

：等

比

數(shù)

列

的

求

和

公

式

：第

二

節(jié)，期末

付

年

金一

、

期

末

付

確

定

年

金

的

現(xiàn)

值年

金

現(xiàn)

值

是

指

年

金

的

一

系

列

付

款

在

期

初(

時

間

起

點

)

的

價

值

.期末付年金：共有n個支付期，支付間隔相等

，

每

個

期

末

付

款

1

元

，

每

期

實

際

利

率

均

為i。現(xiàn)

值

：

一

般

用

am

表示時

期

0

1

2

m-1m年

金y2n-1vnn]i

圖

3

-

1

期

末

付

定

期

年

金

的

現(xiàn)

值

1-v”將

上

式

變

形

，

得

：I=zau+y經(jīng)

濟

意

義0時刻投資1

單

位

本

金

，投資n期左邊

初始

投資本金1右

邊

各

期

利

息現(xiàn)值之和

+n期期末回

收本金1

的現(xiàn)值現(xiàn)值：

一般用an

表示an=v+v2+...+十

p22-1川第

三

節(jié)

年

金

的

終

值一

、期末付確定年金的終值時期0

2年金(1+i)

(1+i)2(1+i)n-1—

(1+i)n-1SnS

=1+(1+i)+(1+i)2+...+(1+i)"-n+)”Q±

1.)”-1將

上

式

變

形

得

：(1+i)"=1+isn經(jīng)濟意義

0時刻投資1單位本金，投資n期

左邊n

期期末，投資積累值右

邊

各

期

利

息

積

累

值

之

和

+

投

資

本

金

1現(xiàn)值與積累值的關(guān)系：Sn

=an(1+i)nan=v+v2+v3+.+vn(1+i)nam=(1+i)n-1+(1+i)n-2+…+1=S例：計算年利率為6%的條件下，每年年末投資1

0

0

0

元，

投

資

1

0

年

的

現(xiàn)

值

和

積

累

值

。解：現(xiàn)值：1000a?oo.o?=1000[1-(1/1.06)10]/0.06

=7360.09(元)積

累

值

：

1000sn=1000[(1+0.06)10-1]/0.06

=13180.80(元)驗證一下：

sn=(1+0.06)10an現(xiàn)

值

：一

般用an表

示an=v+v2+v3+.+vn=V(1-vm)/(1-v)=(1-vm)/i例

：某人在銀行存入20000元，計劃分四年支取完，每半年支取一次(年末),每半年計息一次的

年

名

義

利

率

為

7

%

,

求

其

每

次

支

取

的

額

度

。解：

設(shè)每半年支取額為R,

有：Rag

o.035=20000R=20000

i/[1-(1+0.035)?

]=2909.51(元)課本例題2、期初付年金：每個期初支付1元，其余同期末付

年

金

相

同現(xiàn)值：

一般用V

十十1=(1-vn)/d2

n-1

I]期o金時年一十,2

2

—],3積累值與現(xiàn)值的關(guān)系an(1+i)”=snSm=(1+i)"+(1+i)"-1+…(1+i)an與

Qn

、Sn與

Snan=1+v+v2+...+yn-2V+y2

十

十=—a(1+i)同

理

，

sn=sn(1+i)vn-2

十

P

n—1VL

pn-1+pn之間的關(guān)系例：某銀行客戶想通過零存整取方式

在1年后獲

1

0

0

0

0

元，

在月復(fù)利為

0

.

5

%的情

況下，

每

月初(末)儲蓄存入多少元?R-si

zlo.oos

=10000R-s

?zlo.oos=10000解

：

設(shè)

每

月

存

入R

元

，有

：年

金

在

住

房

按

揭

中

的

應(yīng)

用假

設(shè)

單

價

3

4

8

0

元

/

平

方

米，

購

房

面

積1

3

6

.

3

5

平

方

，

按

揭

8

成，按

揭

年

數(shù)

2

0

年，

年

利

率

4

.1

6

%。

問

：

每

月月末還貸多少?共支付多少利息?月利率

i=4.16%/12購

房

總

額

1

3

6

.

3

5

*

3

4

8

0

=

4

7

4

4

9

8首

付

總

額

*

0

.

2

=

9

4

8

9

9

.

6剩

余

額

=

總

額

*

0

.

8

=

3

7

9

5

9

8

.

4銀

行

實

際

貸

款

3

7

萬

實

際

首

付

1

0

4

4

9

8設(shè)

每

月

付

款R

37萬

=R*(1-v^240)/i

R=2273.45共

支

付

利

息

=R*240-37

萬

=

1

7

5

6

2

8四、

例題某

人

預(yù)

計

在

1

0

年

后

需

要

為

其

子

女

支

付

4

0

0

0

0

元

的

學(xué)費，為此他打算在每年初往一種基金存入一筆錢.如果

該基金的年實際利率為6%,那么他每年該存入多少錢，

才

能

保

證

第

1

0

年

末

獲

得

4

0

0

0

0

元

用

于

支

付

子

女

的學(xué)費

.解

：

假

設(shè)

每

年

初

需

要

存

入A

元

，則

根

據(jù)

題

意

可

以

建

立

下

述

方

程

：400001.06×13.1808=2863(元)40000=As10|6%已知a?=K,a?=L,a?=M,用K,L,M表示i的值.三

、練

習(xí)∴v?=1-iK,vl1=1-iL,vv18=y?.yli∴1—iM18=1-iM=(1-iK)(1-iL)角

軍

：

∵a?=K,an2=L,as=ML+K—MKL∴

i

=2.3

年金在任意時刻的值年金在支付期限內(nèi)任意時刻的值年金在支付期限內(nèi)任意時刻的值年金在支付期限結(jié)束后任意時刻的值3、

延

期

年

金

：

第

一

次

支

付

發(fā)

生

在

第m+1期

，

最

后

一

次支

付

在

第m+n期

，

共

有n個

支

付

期

。期

末

支

付

：

現(xiàn)

值

用

mlOn]

表

示01

2

m

m+1

m+2

m+nmnmn-l—amV

Man0MN1Nmd-ΩM

Nm+1m+n23.期初付延期年金的現(xiàn)值計算公式：4、

例

題

：某企業(yè)向銀行借入一筆款項，銀行貸款的年利率為8%,銀

行

規(guī)

定

前

1

0

年

不

用

還

本

付

息

，

但

從

第

1

1

年

至

第

20年每年末

償還本息2000元，問這筆貸款的金額是多少?解

法

一

：

應(yīng)

用

公

式

：

a,=anv”

得2000an=2000a?ov1°=2000×6.7101×0.46319=

6

2

1

6

(

元

)軍

法

二

：應(yīng)用公式。am=am+m-a

得：

20001?ao=2000(a2o)-ao)=2000×(9.8181-6.7101)=

6

21

6

(

元

)例題：某企業(yè)從銀行獲得一筆貸款，年利率為6%.假設(shè)企業(yè)

每年末向銀行償還20000元，10年后即可以還清貸款的所

有本息.如果企業(yè)打算在5年零3個月時一次付清所有貸款

本息，試計算應(yīng)該一次性償還多少.7解：先計算年金在5年末的值即：20000(ss+as)將此值再計算3個月的復(fù)利率累積值，即得上述年金在5

的零3個月末的值為：20000(ss+as)(1+i)?.25=20000(5.6371+4.2124)(1+0.06)0.25=199880(元)5、

年金在支付期限結(jié)束后任意時點上的值(以期末付年金

為例)時

期

0

1

2

n-2

n-1

n

n+m年金

1

1

1年金現(xiàn)值：an

年金終值Sns,(1+i)”=Sn+m

—Sm=a(1+i)+m例題：

一份保險合同規(guī)定，年金受益人可以在每年末從保險公司領(lǐng)取2000元，

一共領(lǐng)取10年(年金受益人

死亡后由其繼承人繼續(xù)領(lǐng)取，直至10年期滿).受益人希望將這筆年金暫時存在保險公司，并在第15年

末一次性領(lǐng)取作為兒子的學(xué)費.如果保險公司同意

按5%的年復(fù)利率支付利息，那么保險公司在第15末

應(yīng)該一次性支付多少?解：首先計算上述年金在第10年末的終值為2000s?o,再計算該終值在

第5年末的累積值為：2000s??(1+0.05)?=2000×12.5779×1.27628=32106(元)4、

永

續(xù)

年

金定義：支付次數(shù)沒有限制，永遠持續(xù)支付的年金。相

當(dāng)于前