高考數(shù)學(xué)（文）培優(yōu)增分一輪全國(guó)經(jīng)典版培優(yōu)講義第8章平面解析幾何第7講拋物線

第7講拋物線板塊一知識(shí)梳理·自主學(xué)習(xí)[必備知識(shí)]考點(diǎn)1拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不過F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．其數(shù)學(xué)表達(dá)式：|MF|＝d(其中d為點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離)．考點(diǎn)2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)[必會(huì)結(jié)論]拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常用結(jié)論設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p>0)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2.(2)弦長(zhǎng)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α為弦AB的傾斜角)．(3)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切．(4)通徑：過焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦長(zhǎng)等于2p.[考點(diǎn)自測(cè)]1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線．()(2)若直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，則直線與拋物線一定相切．()(3)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，準(zhǔn)線方程是x＝－eq\f(a,4).()(4)拋物線既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形．()(5)AB為拋物線y2＝2px(p>0)的過焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2，弦長(zhǎng)|AB|＝x1＋x2＋p.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√2．[2018·江西八校聯(lián)考]已知拋物線y＝ax2(a>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，則a＝()A．4B．2C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,2)答案C解析化為標(biāo)準(zhǔn)方程x2＝eq\f(1,a)y，據(jù)題意eq\f(1,a)＝2×2，∴a＝eq\f(1,4).3．[課本改編]設(shè)拋物線y2＝8x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是()A．4B．6C．8D．12答案B解析拋物線準(zhǔn)線方程x＝－2，∴點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為6，∴P到焦點(diǎn)的距離也為6，選B.4．[課本改編]已知拋物線C與雙曲線x2－y2＝1有相同的焦點(diǎn)，且頂點(diǎn)在原點(diǎn)，則拋物線C的方程是()A．y2＝±2eq\r(2)x B．y2＝±2xC．y2＝±4x D．y2＝±4eq\r(2)x答案D解析由已知知雙曲線的焦點(diǎn)為(－eq\r(2)，0)，(eq\r(2)，0)．設(shè)拋物線方程為y2＝±2px(p>0)，則eq\f(p,2)＝eq\r(2)，所以p＝2eq\r(2)，所以拋物線方程為y2＝±4eq\r(2)x.故選D.5．已知AB是拋物線y2＝2x的一條焦點(diǎn)弦，|AB|＝4，則AB中點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是()A．2B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,2)D.eq\f(5,2)答案C解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋p＝4，又p＝1，∴x1＋x2＝3，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(3,2).故選C.6．[2018·唐山模擬]若拋物線x2＝ay過點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,4)))，則點(diǎn)A到此拋物線的焦點(diǎn)的距離為________．答案eq\f(5,4)解析由題意可知，點(diǎn)A在拋物線x2＝ay上，所以1＝eq\f(1,4)a，解得a＝4，得x2＝4y.由拋物線的定義可知點(diǎn)A到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離，所以點(diǎn)A到拋物線的焦點(diǎn)的距離為yA＋1＝eq\f(1,4)＋1＝eq\f(5,4).板塊二典例探究·考向突破考向拋物線的方程及幾何性質(zhì)例1(1)[2016·全國(guó)卷Ⅱ]設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，曲線y＝eq\f(k,x)(k>0)與C交于點(diǎn)P，PF⊥x軸，則k＝()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．2答案D解析易知拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，設(shè)P(xP，yP)，由PF⊥x軸，可得xP＝1，代入拋物線方程，得yP＝2(－2舍去)，把P(1,2)代入曲線y＝eq\f(k,x)(k>0)，得k＝2.(2)已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，斜率為2eq\r(2)的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)兩點(diǎn)，且|AB|＝9.①求該拋物線的方程；②O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線上一點(diǎn)，若eq\o(OC,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋λeq\o(OB,\s\up16(→))，求λ的值．解①由題意得直線AB的方程為y＝2eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，與y2＝2px聯(lián)立，消去y有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝eq\f(5p,4).由拋物線定義得|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(5p,4)＋p＝9，所以p＝4，從而該拋物線的方程為y2＝8x.②由①得4x2－5px＋p2＝0，即x2－5x＋4＝0，則x1＝1，x2＝4，于是y1＝－2eq\r(2)，y2＝4eq\r(2)，從而A(1，－2eq\r(2))，B(4，4eq\r(2))．設(shè)C(x3，y3)，則eq\o(OC,\s\up16(→))＝(x3，y3)＝(1，－2eq\r(2))＋λ(4,4eq\r(2))＝(4λ＋1,4eq\r(2)λ－2eq\r(2))．又yeq\o\al(2,3)＝8x3，所以[2eq\r(2)(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.觸類旁通求拋物線方程的三個(gè)注意點(diǎn)(1)當(dāng)坐標(biāo)系已建立時(shí)，要注意根據(jù)條件確定拋物線方程屬于四種類型中的哪一種；(2)要注意把握拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、開口方向與方程之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；(3)要注意參數(shù)p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，利用它的幾何意義來解決問題．【變式訓(xùn)練1】(1)已知拋物線y2＝2px(p>0)，過其焦點(diǎn)且斜率為－1的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為()A．x＝1 B．x＝2C．x＝－1 D．x＝－2答案C解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為y＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，與拋物線方程聯(lián)立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px，))消去y整理得：x2－3px＋eq\f(p2,4)＝0，可得x1＋x2＝3p.根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，有eq\f(3p,2)＝3，p＝2，因此拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－1.(2)過拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F作直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，若A到拋物線的準(zhǔn)線的距離為4，則|AB|＝________.答案eq\f(16,3)解析設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，∵y2＝4x，∴拋物線的準(zhǔn)線為x＝－1，F(xiàn)(1,0)，又A到拋物線準(zhǔn)線的距離為4，∴xA＋1＝4，∴xA＝3，∵xAxB＝eq\f(p2,4)＝1，∴xB＝eq\f(1,3)，∴|AB|＝xA＋xB＋p＝3＋eq\f(1,3)＋2＝eq\f(16,3).考向拋物線定義及應(yīng)用命題角度1到焦點(diǎn)與到定點(diǎn)距離之和最小問題例2[2018·贛州模擬]若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2)，F(xiàn)是拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上移動(dòng)時(shí)，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐標(biāo)為()A．(0,0) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．(1，eq\r(2)) D．(2,2)答案D解析過M點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足是N，則|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，當(dāng)A，M，N三點(diǎn)共線時(shí)，|MF|＋|MA|取得最小值，此時(shí)M(2,2)．命題角度2到點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離之和最小問題例3[2018·邢臺(tái)模擬]已知M是拋物線x2＝4y上一點(diǎn)，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，點(diǎn)A在圓C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，則|MA|＋|MF|的最小值是________．答案5解析依題意，由點(diǎn)M向拋物線x2＝4y的準(zhǔn)線l：y＝－1引垂線，垂足為M1，則有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，結(jié)合圖形可知|MA|＋|MM1|的最小值等于圓心C(－1,5)到y(tǒng)＝－1的距離再減去圓C的半徑，即等于6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的最小值是5.命題角度3到定直線的距離最小問題例4已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是()A.eq\f(3\r(5),5)B．2C.eq\f(11,5)D．3答案B解析由題可知l2：x＝－1是拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，則動(dòng)點(diǎn)P到l2的距離等于|PF|，則動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值，即焦點(diǎn)F到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離，所以最小值是eq\f(|4－0＋6|,5)＝2.命題角度4焦點(diǎn)弦中距離之和最小問題例5已知F是拋物線y2＝x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，且|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為()A.eq\f(3,4)B．1C.eq\f(5,4)D.eq\f(7,4)答案C解析如圖所示，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，AB的中點(diǎn)為M，作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，MM1⊥l于M1，由拋物線的定義知p＝eq\f(1,2)，|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|＝3，則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為|MM1|－eq\f(p,2)＝eq\f(1,2)(|AA1|＋|BB1|)－eq\f(1,4)＝eq\f(5,4).觸類旁通與拋物線有關(guān)的最值問題的兩個(gè)轉(zhuǎn)化策略(1)將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”，使問題得解．(2)將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點(diǎn)的連線中垂線段最短”原理解決．

考向拋物線在實(shí)際生活中的應(yīng)用例6一條隧道的橫斷面由拋物線弧及一個(gè)矩形的三邊圍成，尺寸(單位：m)如圖所示，一輛卡車空車時(shí)能通過此隧道，現(xiàn)載一集裝箱，箱寬3m，車與箱共高4.5m，此車能否通過隧道？說明理由．解建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)矩形的邊與拋物線的接點(diǎn)為A，B，則A(－3，－3)，B(3，－3)．設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，將B點(diǎn)坐標(biāo)代入得9＝－2p·(－3)，所以p＝eq\f(3,2).所以拋物線方程為x2＝－3y(－3≤y≤0)．因?yàn)檐嚺c箱共高4.5m，所以集裝箱上表面距拋物線隧道拱頂0.5m.設(shè)拋物線上點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x0，－0.5)，則xeq\o\al(2,0)＝eq\f(3,2)，所以|x0|＝eq\r(\f(3,2))＝eq\f(\r(6),2)，所以2|x0|＝eq\r(6)<3.此車不能通過隧道．觸類旁通與拋物線有關(guān)的橋的跨度、隧道高低等問題，通常建立直角坐標(biāo)系，利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程解決，注意建立直角坐標(biāo)系后坐標(biāo)的正負(fù)及其實(shí)際意義．考向直線與拋物線的綜合問題例7[2017·全國(guó)卷Ⅰ]設(shè)A，B為曲線C：y＝eq\f(x2,4)上兩點(diǎn)，A與B的橫坐標(biāo)之和為4.(1)求直線AB的斜率；(2)設(shè)M為曲線C上一點(diǎn)，C在M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程．解(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1≠x2，y1＝eq\f(x\o\al(2,1),4)，y2＝eq\f(x\o\al(2,2),4)，x1＋x2＝4，于是直線AB的斜率k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(x1＋x2,4)＝1.(2)由y＝eq\f(x2,4)，得y′＝eq\f(x,2).設(shè)M(x3，y3)，由題設(shè)知eq\f(x3,2)＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)．設(shè)直線AB的方程為y＝x＋m，故線段AB的中點(diǎn)為N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|.將y＝x＋m代入y＝eq\f(x2,4)得x2－4x－4m＝0.當(dāng)Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1時(shí)，x1,2＝2±2eq\r(m＋1).從而|AB|＝eq\r(2)|x1－x2|＝4eq\r(2m＋1).由題設(shè)知|AB|＝2|MN|，即4eq\r(2m＋1)＝2(m＋1)，解得m＝7.所以直線AB的方程為y＝x＋7.觸類旁通求解拋物線綜合問題的方法(1)研究直線與拋物線的位置關(guān)系與研究直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系的方法類似，一般是用方程法，但涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等問題時(shí)，要注意“設(shè)而不求”“整體代入”“點(diǎn)差法”以及定義的靈活應(yīng)用．(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p(焦點(diǎn)在x軸正半軸)，若不過焦點(diǎn)，則必須用弦長(zhǎng)公式．【變式訓(xùn)練2】[2016·江蘇高考]如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：x－y－2＝0，拋物線C：y2＝2px(p>0)．(1)若直線l過拋物線C的焦點(diǎn)，求拋物線C的方程；(2)已知拋物線C上存在關(guān)于直線l對(duì)稱的相異兩點(diǎn)P和Q.①求證：線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2－p，－p)；②求p的取值范圍．解(1)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，由點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))在直線l：x－y－2＝0上，得eq\f(p,2)－0－2＝0，即p＝4，所以拋物線C的方程為y2＝8x.(2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，線段PQ的中點(diǎn)M(x0，y0)．因?yàn)辄c(diǎn)P和Q關(guān)于直線l對(duì)稱，所以直線l垂直平分線段PQ，于是直線PQ的斜率為－1，則可設(shè)其方程為y＝－x＋b.①證明：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2px，,y＝－x＋b))消去x，得y2＋2py－2pb＝0.因?yàn)镻和Q是拋物線C上的相異兩點(diǎn)，所以y1≠y2，從而Δ＝(2p)2－4×(－2pb)>0，化簡(jiǎn)得p＋2b>0.方程y2＋2py－2pb＝0的兩根為y1,2＝－p±eq\r(p2＋2pb)，從而y0＝eq\f(y1＋y2,2)＝－p.因?yàn)镸(x0，y0)在直線l上，所以x0＝2－p.因此，線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2－p，－p)．②因?yàn)镸(2－p，－p)在直線y＝－x＋b上，所以－p＝－(2－p)＋b，即b＝2－2p.由①知p＋2b>0，于是p＋2(2－2p)>0，所以p<eq\f(4,3).因此，p的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3))).核心規(guī)律認(rèn)真區(qū)分四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)區(qū)分y＝ax2與y2＝2px(p>0)，前者不是拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)求標(biāo)準(zhǔn)方程要先確定形式，必要時(shí)要進(jìn)行分類討論，標(biāo)準(zhǔn)方程有時(shí)可設(shè)為y2＝mx或x2＝my(m≠0)．滿分策略1.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)一般要用待定系數(shù)法求出p值，但首先要判斷拋物線是否為標(biāo)準(zhǔn)方程，以及是哪一種標(biāo)準(zhǔn)方程．2.求過焦點(diǎn)的弦或與焦點(diǎn)有關(guān)的距離問題，要多從拋物線的定義入手，這樣可以簡(jiǎn)化問題．3.直線與拋物線結(jié)合的問題，不要忘記驗(yàn)證判別式.板塊三啟智培優(yōu)·破譯高考數(shù)學(xué)思想系列9——化歸轉(zhuǎn)化法解決拋物中的比值問題(1)[2018·溫州十校聯(lián)考]已知點(diǎn)A(0,2)，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，若eq\f(|FM|,|MN|)＝eq\f(\r(5),5)，則p的值等于()A.eq\f(1,8)B.eq\f(1,4)C．2D．4解題視點(diǎn)由四點(diǎn)共線得出斜率相等，進(jìn)而得出M點(diǎn)的坐標(biāo)．解析設(shè)M(xM，yM)，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，yN))，由eq\f(|FM|,|MN|)＝eq\f(\r(5),5)，知eq\f(|FM|,|FN|)＝eq\f(1,\r(5)＋1)，所以yN＝(eq\r(5)＋1)yM；由kFA＝kFN知，eq\f(yN,－p)＝eq\f(2,－\f(p,2))，所以yN＝4，所以yM＝eq\f(4,\r(5)＋1)；又eq\f(|FM|,|FN|)＝eq\f(1,\r(5)＋1)，所以eq\f(p,2)－xM＝eq\f(1,\r(5)＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)＋\f(p,2)))＝eq\f(p,\r(5)＋1)，所以xM＝eq\f(\r(5)－1p,2\r(5)＋1)，將(xM，yM)代入y2＝2px，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,\r(5)＋1)))2＝2p×eq\f(\r(5)－1p,2\r(5)＋1)，解得p＝2.故選C.答案C(2)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A，B，若S△OAF＝4S△OBF，則直線AB的斜率為()A．±eq\f(3,5)B．±eq\f(4,5)C．±eq\f(3,4)D．±eq\f(4,3)解題視點(diǎn)將已知中的比值轉(zhuǎn)化為相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)比值．解析根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)．由S△OAF＝4S△OBF，得|AF|＝4|BF|，eq\o(AF,\s\up16(→))＝4eq\o(FB,\s\up16(→))，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)－x1，－y1))＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(p,2)，y2))，故－y1＝4y2，即eq\f(y1,y2)＝－4.設(shè)直線AB的方程為y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px，))消元得ky2－2py－kp2＝0，故y1＋y2＝eq\f(2p,k)，y1y2＝－p2，則eq\f(y1＋y22,y1y2)＝eq\f(y1,y2)＋eq\f(y2,y1)＋2＝－eq\f(9,4)，∴－eq\f(4,k2)＝－eq\f(9,4)，解得k＝±eq\f(4,3)，即直線AB的斜率為±eq\f(4,3).故選D.答案D答題啟示圓錐曲線中存在線段比值問題，應(yīng)采用化歸轉(zhuǎn)化思想方法進(jìn)而轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系，或有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，有時(shí)還利用相似比或三角函數(shù)求解.跟蹤訓(xùn)練過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F且斜率為2eq\r(2)的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)(xA>xB)，則eq\f(|AF|,|BF|)＝()A.eq\f(3,2)B.eq\f(3,4)C．3D．2答案D解析設(shè)直線方程為y＝2eq\r(2)(x－1)與y2＝4x聯(lián)立得：2x2－5x＋2＝0，∴(2x－1)(x－2)＝0，∴x1＝eq\f(1,2)，x2＝2．∵xA>xB，∴xA＝2，xB＝eq\f(1,2).∴eq\f(|AF|,|BF|)＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(xA＋\f(p,2))),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(xB＋\f(p,2))))＝eq\f(2＋1,\f(1,2)＋1)＝2.故選D.板塊四模擬演練·提能增分[A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．若拋物線y2＝2px上一點(diǎn)P(2，y0)到其準(zhǔn)線的距離為4，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．y2＝4x B．y2＝6xC．y2＝8x D．y2＝10x答案C解析∵拋物線y2＝2px，∴準(zhǔn)線為x＝－eq\f(p,2).∵點(diǎn)P(2，y0)到其準(zhǔn)線的距離為4.∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)－2))＝4.∴p＝4，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝8x.2．已知拋物線C：y2＝x的焦點(diǎn)為F，A(x0，y0)是C上一點(diǎn)，|AF|＝eq\f(5,4)x0，則x0＝()A．1B．2C．4D．8答案A解析由題意知拋物線的準(zhǔn)線為x＝－eq\f(1,4).因?yàn)閨AF|＝eq\f(5,4)x0，根據(jù)拋物線的定義可得x0＋eq\f(1,4)＝|AF|＝eq\f(5,4)x0，解得x0＝1.故選A.3．[2016·全國(guó)卷Ⅰ]以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn)．已知|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A．2B．4C．6D．8答案B解析由題意，不妨設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)，由|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，可取Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,p)，2\r(2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\r(5)))，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，由|OA|＝|OD|，得eq\f(16,p2)＋8＝eq\f(p2,4)＋5，得p＝4.故選B.4．[2018·運(yùn)城模擬]已知拋物線x2＝ay與直線y＝2x－2相交于M，N兩點(diǎn)，若MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則此拋物線方程為()A．x2＝eq\f(3,2)y B．x2＝6yC．x2＝－3y D．x2＝3y答案D解析設(shè)點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝ay，,y＝2x－2))消去y，得x2－2ax＋2a＝0，所以eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(2a,2)＝3，即a＝3，因此所求的拋物線方程是x2＝3y.5．已知直線ax＋y＋1＝0經(jīng)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，則直線與拋物線相交弦的弦長(zhǎng)為()A．6B．7C．8D．9答案C解析拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F(1,0)，點(diǎn)F在直線ax＋y＋1＝0上，∴a＋1＝0，即a＝－1，∴直線方程為x－y－1＝0.聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－1＝0，,y2＝4x，))得x2－6x＋1＝0.設(shè)直線與拋物線交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝6，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.6．[2018·鄭州模擬]已知F是拋物線y2＝x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，若|AF|＋|BF|＝5，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為________．答案eq\f(9,4)解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由拋物線定義可得|AF|＋|BF|＝5，即x1＋eq\f(1,4)＋x2＋eq\f(1,4)＝5，解得x1＋x2＝eq\f(9,2)，所以線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(9,4).7．[2017·河北六校模擬]拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)O，F(xiàn)的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，且該圓的面積為36π，則拋物線的方程為________．答案y2＝16x解析設(shè)滿足題意的圓的圓心為M.根據(jù)題意可知圓心M在拋物線上．又∵圓的面積為36π，∴圓的半徑為6，則|MF|＝xM＋eq\f(p,2)＝6，即xM＝6－eq\f(p,2).又由題意可知xM＝eq\f(p,4)，∴eq\f(p,4)＝6－eq\f(p,2)，解得p＝8.∴拋物線方程為y2＝16x.8．[2017·天津高考]設(shè)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.已知點(diǎn)C在l上，以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點(diǎn)A.若∠FAC＝120°，則圓的方程為________．答案(x＋1)2＋(y－eq\r(3))2＝1解析由y2＝4x可得點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，準(zhǔn)線l的方程為x＝－1.由圓心C在l上，且圓C與y軸正半軸相切(如圖)，可得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為－1，圓的半徑為1，∠CAO＝90°.又因?yàn)椤螰AC＝120°，所以∠OAF＝30°，所以|OA|＝eq\r(3)，所以點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為eq\r(3).所以圓的方程為(x＋1)2＋(y－eq\r(3))2＝1.9.如圖，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l經(jīng)過拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F.設(shè)點(diǎn)A是直線l與拋物線C在第一象限的交點(diǎn)．以點(diǎn)F為圓心，|FA|為半徑的圓與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為點(diǎn)B，與拋物線C在第四象限的交點(diǎn)為點(diǎn)D.(1)若點(diǎn)O到直線l的距離為eq\f(\r(3),2)，求直線l的方程；(2)試判斷直線AB與拋物線C的位置關(guān)系，并給出證明．解(1)由題易知，拋物線C的焦點(diǎn)為F(1,0)，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，即x＝1，不符合題意．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.所以eq\f(|－k|,\r(1＋k2))＝eq\f(\r(3),2)，解得k＝±eq\r(3).即直線l的方程為y＝±eq\r(3)(x－1)．(2)直線AB與拋物線C相切，證明如下：設(shè)A(x0，y0)，則yeq\o\al(2,0)＝4x0.因?yàn)閨BF|＝|AF|＝x0＋1，所以B(－x0,0)．所以直線AB的方程為：y＝eq\f(y0,2x0)(x＋x0)，整理得，x＝eq\f(2x0y,y0)－x0，把上式代入y2＝4x得y0y2－8x0y＋4x0y0＝0，Δ＝64xeq\o\al(2,0)－16x0yeq\o\al(2,0)＝64xeq\o\al(2,0)－64xeq\o\al(2,0)＝0，所以直線AB與拋物線C相切．10．[2018·湖南模擬]已知過A(0,2)的動(dòng)圓恒與x軸相切，設(shè)切點(diǎn)為B，AC是該圓的直徑．(1)求C點(diǎn)軌跡E的方程；(2)當(dāng)AC不在y軸上時(shí)，設(shè)直線AC與曲線E交于另一點(diǎn)P，該曲線在P處的切線與直線BC交于Q點(diǎn)．求證：△PQC恒為直角三角形．解(1)設(shè)C(x，y)，A(0,2)，則圓心坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，\f(y＋2,2)))，又因?yàn)閳A與x軸切于B點(diǎn)，所以B點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，0))，圓的半徑為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,2))).根據(jù)AC是圓的直徑得，|AC|＝|y＋2|，即eq\r(x2＋y－22)＝|y＋2|，兩邊平方整理得x2＝8y，所以C點(diǎn)的軌跡E的方程為x2＝8y.(2)證明：設(shè)AC所在直線的方程為y＝kx＋2，與曲線E聯(lián)立得x2－8kx－16＝0，設(shè)C(x1，y1)，P(x2，y2)，則x1·x2＝－16.曲線E：x2＝8y在點(diǎn)P(x2，y2)處切線的斜率為k1＝eq\f(x,4)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1())x＝x2＝eq\f(x2,4)，且Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,2)，0))，直線BC的斜率為k2＝eq\f(y1,x1－\f(x1,2))＝eq\f(\f(x\o\al(2,1),8),\f(x1,2))＝eq\f(x1,4)，所以k1·k2＝eq\f(x2,4)×eq\f(x1,4)＝eq\f(x1x2,16)＝eq\f(－16,16)＝－1，所以PQ⊥BC，即△PQC為直角三角形．[B級(jí)知能提升]1．已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若eq\o(FP,\s\up16(→))＝4eq\o(FQ,\s\up16(→))，則|QF|＝()A.eq\f(7,2)B.eq\f(5,2)C．3D．2答案C解析過點(diǎn)Q作QQ′⊥l交l于點(diǎn)Q′，因?yàn)閑q\o(FP,\s\up16(→))＝4eq\o(FQ,\s\up16(→))，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為4，所以|QF|＝|QQ′|＝3.2．[2018·安徽模擬]過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若|AF|＝3，則△AOB的面積為()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\r(2)C.eq\f(3\r(2),2)D．2eq\r(2)答案C解析焦點(diǎn)F(1,0)，設(shè)A，B分別在第一、四象限，則點(diǎn)A到準(zhǔn)線l：x＝－1的距離為3，得A的橫坐標(biāo)為2，縱坐標(biāo)為2eq\r(2)，AB的方程為y＝2eq\r(2)(x－1)，與拋物線方程聯(lián)立可得2x2－5x＋2＝0，所以B的橫坐標(biāo)為eq\f(1,2)，縱坐標(biāo)為－eq\r(2)，S△AOB＝eq\f(1,2)×1×(2eq\r(2)＋eq\r(2))＝eq\f(3\r(2),2).3．[2017·山東高考]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x2＝2py(p＞0)交于A，B兩點(diǎn)．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，則該雙曲線的漸近線方程為________．答案y＝±eq\f(\r(2),2)x解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1，,x2＝2py，))得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，∴y1＋y2＝eq\f(2pb2,a2).又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，∴y1＋eq\f(p,2)＋y2＋eq\f(p,2)＝4×eq\f(p,2)，即y1＋y2＝p，∴eq\f(2pb2,a2)＝p，即eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(b,a)＝eq\f(\r(2),2)，∴雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(2),2)x.4．設(shè)A，B為拋物線y2＝x上相異兩點(diǎn)，其縱坐標(biāo)分別為1，－2，分別以A，B為切點(diǎn)作拋物線的切線l1，l2，設(shè)l1，l2相交于點(diǎn)P.(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)M為A，B間拋物線段上任意一點(diǎn)，設(shè)eq\o(PM,\s\up16(→))＝λeq\o(PA,\s\up16(→))＋μeq\o(PB,\s\up16(→))，試判斷eq\r(λ)＋eq\r(μ)是否為定值？如果為定值，求出該定值；如果不是定值，請(qǐng)說明理由．解(1)知A(1,1)，B(4，－2)，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(xp，yp)，切線l1：y－1＝k(x－1)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－1＝kx－1，,y2＝x，))由拋物線與直線l1相切，解得k＝eq\f(1,2)，即l1：y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)，同理l2：y＝－eq\f(1,4)x－1，聯(lián)立l1，l2的方程，可解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xp＝－2，,yp＝－\f(1,2)，))即點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2))).