2024屆江西省新余市兩重點校高三第二次聯考數學試卷含解析

2024屆江西省新余市兩重點校高三第二次聯考數學試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設m，n為直線，、為平面，則的一個充分條件可以是()A．，， B．，C．， D．，2．設集合（為實數集），，，則（）A． B． C． D．3．過雙曲線的右焦點F作雙曲線C的一條弦AB，且，若以AB為直徑的圓經過雙曲線C的左頂點，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C．2 D．4．如圖，在等腰梯形中，，，，為的中點，將與分別沿、向上折起，使、重合為點，則三棱錐的外接球的體積是（）A． B．C． D．5．點為不等式組所表示的平面區(qū)域上的動點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．若復數滿足，則（其中為虛數單位）的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．47．甲、乙、丙三人參加某公司的面試，最終只有一人能夠被該公司錄用，得到面試結果以后甲說：丙被錄用了；乙說：甲被錄用了；丙說：我沒被錄用.若這三人中僅有一人說法錯誤，則下列結論正確的是（）A．丙被錄用了 B．乙被錄用了 C．甲被錄用了 D．無法確定誰被錄用了8．已知實數，滿足，則的最大值等于()A．2 B． C．4 D．89．為實現國民經濟新“三步走”的發(fā)展戰(zhàn)略目標，國家加大了扶貧攻堅的力度．某地區(qū)在2015年以前的年均脫貧率（脫離貧困的戶數占當年貧困戶總數的比）為．2015年開始，全面實施“精準扶貧”政策后，扶貧效果明顯提高，其中2019年度實施的扶貧項目，各項目參加戶數占比（參加該項目戶數占2019年貧困戶總數的比）及該項目的脫貧率見下表：實施項目種植業(yè)養(yǎng)殖業(yè)工廠就業(yè)服務業(yè)參加用戶比脫貧率那么年的年脫貧率是實施“精準扶貧”政策前的年均脫貧率的（）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍10．函數在上的圖象大致為()A． B．C． D．11．如圖所示，正方體的棱，的中點分別為，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．12．已知若（1-ai）(3+2i)為純虛數，則a的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數列滿足：點在直線上，若使、、構成等比數列，則______14．在棱長為的正方體中，是正方形的中心，為的中點，過的平面與直線垂直，則平面截正方體所得的截面面積為______.15．定義在封閉的平面區(qū)域內任意兩點的距離的最大值稱為平面區(qū)域的“直徑”.已知銳角三角形的三個點，，，在半徑為的圓上，且，分別以各邊為直徑向外作三個半圓，這三個半圓和構成平面區(qū)域，則平面區(qū)域的“直徑”的最大值是__________.16．若隨機變量的分布列如表所示，則______，______．-101三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，，，.求邊上的高.①，②，③，這三個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答.18．（12分）已知函數，，且．（1）當時，求函數的減區(qū)間；（2）求證：方程有兩個不相等的實數根；（3）若方程的兩個實數根是，試比較，與的大小，并說明理由．19．（12分）已知函數.（1）若，求證：.（2）討論函數的極值；（3）是否存在實數，使得不等式在上恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由.20．（12分）已知函數.（1）若曲線的切線方程為，求實數的值；（2）若函數在區(qū)間上有兩個零點，求實數的取值范圍.21．（12分）在極坐標系中，直線的極坐標方程為，以極點為原點，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標系，曲線的參數方程為（為參數），求直線與曲線的交點的直角坐標.22．（10分）如圖，四棱錐中，平面，，，.（Ｉ）證明：；（Ⅱ）若是中點，與平面所成的角的正弦值為，求的長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據線面垂直的判斷方法對選項逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】對于A選項，當，，時，由于不在平面內，故無法得出.對于B選項，由于，，所以.故B選項正確.對于C選項，當，時，可能含于平面，故無法得出.對于D選項，當，時，無法得出.綜上所述，的一個充分條件是“，”故選：B【點睛】本小題主要考查線面垂直的判斷，考查充分必要條件的理解，屬于基礎題.2、A【解析】

根據集合交集與補集運算,即可求得.【詳解】集合,,所以所以故選:A【點睛】本題考查了集合交集與補集的混合運算,屬于基礎題.3、C【解析】

由得F是弦AB的中點.進而得AB垂直于x軸，得，再結合關系求解即可【詳解】因為，所以F是弦AB的中點.且AB垂直于x軸.因為以AB為直徑的圓經過雙曲線C的左頂點，所以，即，則，故.故選：C【點睛】本題是對雙曲線的漸近線以及離心率的綜合考查，是考查基本知識，屬于基礎題．4、A【解析】

由題意等腰梯形中的三個三角形都是等邊三角形，折疊成的三棱錐是正四面體，易求得其外接球半徑，得球體積．【詳解】由題意等腰梯形中，又，∴，是靠邊三角形，從而可得，∴折疊后三棱錐是棱長為1的正四面體，設是的中心，則平面，，，外接球球心必在高上，設外接球半徑為，即，∴，解得，球體積為．故選：A．【點睛】本題考查求球的體積，解題關鍵是由已知條件確定折疊成的三棱錐是正四面體．5、B【解析】

作出不等式對應的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，利用的幾何意義即可得到結論．【詳解】不等式組作出可行域如圖：，，，的幾何意義是動點到的斜率，由圖象可知的斜率為1，的斜率為：，則的取值范圍是：，，．故選：．【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，根據目標函數的幾何意義結合斜率公式是解決本題的關鍵．6、B【解析】

根據復數的幾何意義可知復數對應的點在以原點為圓心，1為半徑的圓上，再根據復數的幾何意義即可確定，即可得的最大值.【詳解】由知，復數對應的點在以原點為圓心，1為半徑的圓上，表示復數對應的點與點間的距離，又復數對應的點所在圓的圓心到的距離為1，所以.故選：B【點睛】本題考查了復數模的定義及其幾何意義應用，屬于基礎題.7、C【解析】

假設若甲被錄用了，若乙被錄用了，若丙被錄用了，再逐一判斷即可.【詳解】解：若甲被錄用了，則甲的說法錯誤，乙，丙的說法正確，滿足題意，若乙被錄用了，則甲、乙的說法錯誤，丙的說法正確，不符合題意，若丙被錄用了，則乙、丙的說法錯誤，甲的說法正確，不符合題意，綜上可得甲被錄用了，故選：C.【點睛】本題考查了邏輯推理能力，屬基礎題.8、D【解析】

畫出可行域，計算出原點到可行域上的點的最大距離，由此求得的最大值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，其中，由于,，所以，所以原點到可行域上的點的最大距離為.所以的最大值為.故選：D【點睛】本小題主要考查根據可行域求非線性目標函數的最值，考查數形結合的數學思想方法，屬于基礎題.9、B【解析】

設貧困戶總數為，利用表中數據可得脫貧率，進而可求解.【詳解】設貧困戶總數為，脫貧率，所以.故年的年脫貧率是實施“精準扶貧”政策前的年均脫貧率的倍.故選：B【點睛】本題考查了概率與統(tǒng)計，考查了學生的數據處理能力，屬于基礎題.10、A【解析】

首先判斷函數的奇偶性，再根據特殊值即可利用排除法解得；【詳解】解：依題意，，故函數為偶函數，圖象關于軸對稱，排除C；而，排除B；，排除D.故選：.【點睛】本題考查函數圖象的識別，函數的奇偶性的應用，屬于基礎題.11、C【解析】

以D為原點，DA，DC，DD1分別為軸，建立空間直角坐標系，由向量法求出直線EF與平面AA1D1D所成角的正弦值．【詳解】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，設正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，則，，，取平面的法向量為，設直線EF與平面AA1D1D所成角為θ，則sinθ＝|，直線與平面所成角的正弦值為.故選C．【點睛】本題考查了線面角的正弦值的求法，也考查數形結合思想和向量法的應用，屬于中檔題．12、A【解析】

根據復數的乘法運算法則化簡可得，根據純虛數的概念可得結果.【詳解】由題可知原式為，該復數為純虛數，所以.故選：A【點睛】本題考查復數的運算和復數的分類，屬基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、13【解析】

根據點在直線上可求得，由等比中項的定義可構造方程求得結果.【詳解】在上，，成等比數列，，即，解得：.故答案為：.【點睛】本題考查根據三項成等比數列求解參數值的問題，涉及到等比中項的應用，屬于基礎題.14、【解析】

確定平面即為平面，四邊形是菱形，計算面積得到答案.【詳解】如圖，在正方體中，記的中點為，連接，則平面即為平面．證明如下：由正方體的性質可知，，則，四點共面，記的中點為，連接，易證．連接，則，所以平面，則．同理可證，，，則平面，所以平面即平面，且四邊形即平面截正方體所得的截面．因為正方體的棱長為，易知四邊形是菱形，其對角線，，所以其面積．故答案為：【點睛】本題考查了正方體的截面面積，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.15、【解析】

先找到平面區(qū)域內任意兩點的最大值為，再利用三角恒等變換化簡即可得到最大值.【詳解】由已知及正弦定理，得，所以，，取AB中點E，AC中點F，BC中點G，如圖所示顯然平面區(qū)域任意兩點距離最大值為，而，當且僅當時，等號成立.故答案為：.【點睛】本題考查正弦定理在平面幾何中的應用問題，涉及到距離的最值問題，在處理這類問題時，一定要數形結合，本題屬于中檔題.16、【解析】

首先求得a的值，然后利用均值的性質計算均值，最后求得的值，由方差的性質計算的值即可.【詳解】由題意可知，解得（舍去）或.則，則，由方差的計算性質得.【點睛】本題主要考查分布列的性質，均值的計算公式，方差的計算公式，方差的性質等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、詳見解析【解析】

選擇①，利用正弦定理求得，利用余弦定理求得，再計算邊上的高.選擇②，利用正弦定理得出，由余弦定理求出，再求邊上的高.選擇③，利用余弦定理列方程求出，再計算邊上的高.【詳解】選擇①，在中，由正弦定理得，即，解得；由余弦定理得，即，化簡得，解得或（舍去）；所以邊上的高為.選擇②，在中，由正弦定理得，又因為，所以，即；由余弦定理得，即，化簡得，解得或（舍去）；所以邊上的高為.選擇③，在中，由，得；由余弦定理得，即，化簡得，解得或（舍去）；所以邊上的高為.【點睛】本小題主要考查真閑的了、余弦定理解三角形，屬于中檔題.18、（1）（2）詳見解析（3）【解析】

試題分析：（1）當時，，由得減區(qū)間；（2）因為，所以，因為所以，方程有兩個不相等的實數根；（3）因為，，所以試題解析：（1）當時，，由得減區(qū)間；（2）法1：，，，所以，方程有兩個不相等的實數根；法2：，，是開口向上的二次函數，所以，方程有兩個不相等的實數根；（3）因為，，又在和增，在減，所以．考點：利用導數求函數減區(qū)間，二次函數與二次方程關系19、（1）證明見解析；（2）見解析；（3）存在，1.【解析】

（1），求出單調區(qū)間，進而求出，即可證明結論；（2）對（或）是否恒成立分類討論，若恒成立，沒有極值點，若不恒成立，求出的解，即可求出結論；（3）令，可證恒成立，而，由（2）得，在為減函數，在上單調遞減，在都存在，不滿足，當時，設，且，只需求出在單調遞增時的取值范圍即可.【詳解】（1），，，當時，，當時，，∴，故.（2）由題知，，，①當時，，所以在上單調遞減，沒有極值；②當時，，得，當時，；當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增.故在處取得極小值，無極大值.（3）不妨令，設在恒成立，在單調遞增，，在恒成立，所以，當時，，由（2）知，當時，在上單調遞減，恒成立；所以不等式在上恒成立，只能.當時，，由（1）知在上單調遞減，所以，不滿足題意.當時，設，因為，所以，，即，所以在上單調遞增，又，所以時，恒成立，即恒成立，故存在，使得不等式在上恒成立，此時的最小值是1.【點睛】本題考查導數綜合應用，涉及到函數的單調性、極值最值、不等式證明，考查分類討論思想，意在考查直觀想象、邏輯推理、數學計算能力，屬于較難題.20、（1）；（2）或【解析】

（1）根據解析式求得導函數，設切點坐標為，結合導數的幾何意義可得方程，構造函數，并求得，由導函數求得有最小值，進而可知由唯一零點，即可代入求得的值；（2）將解析式代入，結合零點定義化簡并分離參數得，構造函數，根據題意可知直線與曲線有兩個交點；求得并令求得極值點，列出表格判斷的單調性與極值，即可確定與有兩個交點時的取值范圍.【詳解】（1）依題意，，，設切點為，，故，故，則；令，，故當時，，當時，，故當時，函數有最小值，由于，故有唯一實數根0，即，則；（2）由，得.所以“在區(qū)間上有兩個零點”等價于“直線與曲線在有兩個交點”；由于.由，解得，.當變化時，與的變化情況如下表所示：30+0極小值極大值所以在，上單調遞減，在上單調遞增.又因為，，，，故當或時，直線與曲線在上有兩個交點，即當或時，函數在區(qū)間上有兩個零點.【點睛】本題考查了導數