專題06 四邊形的面積問題（解析版）

專題06四邊形的面積問題一、知識導航除了關(guān)于三角形的各種面積問題之外，四邊形問題也是中考題中常見的一種問法，鑒于四邊形一般是普普通通的四邊形，因此問題一般也是普普通通的問題，本文分享一點關(guān)于四邊形面積的題目．思考：如何求一個普通的四邊形的面積？解法也很普通，連對角線分割為兩個三角形即可求得面積，至于三角形面積參考鉛垂法．二、典例精析例一、已知拋物線經(jīng)過點、，與軸交于點．（1）求這條拋物線的解析式；（2）如圖，點是第三象限內(nèi)拋物線上的一個動點，當四邊形的面積最大時，求點的坐標．【分析】（1）；（2）此處四邊形ABPC并非特殊四邊形，所以可以考慮連接對角線將四邊形拆為兩個三角形求面積．若連接AP，則△ABP和△APC均為動三角形，非最佳選擇；若連接BC，可得定△ABC和動△BPC，只要△BPC面積最大，四邊形ABPC的面積便最大．考慮A（2,0）、B（-4,0）、C（0，-4），故，接下來求△BPC的面積，設P點坐標為，連接BC，則直線BC的解析式為：y=-x-4過點P作PQ⊥x軸交BC于點Q，則Q點坐標為（m，-m-4），故，當m=-2時，PQ取到最大值2，此時△BPC面積最大，四邊形ABPC面積最大．此時P點坐標為（-2，-4）．例二、已知拋物線的對稱軸是直線，與軸相交于，兩點（點在點右側(cè)），與軸交于點．（1）求拋物線的解析式和，兩點的坐標；（2）如圖，若點是拋物線上、兩點之間的一個動點（不與、重合），是否存在點，使四邊形的面積最大？若存在，求點的坐標及四邊形面積的最大值；若不存在，請說明理由；【分析】（1）拋物線：點A坐標為（-2,0），點B坐標為（8,0）．（2）顯然將四邊形PBOC拆為△BOC和△PBC，點C坐標為（0,4），故，設P點坐標為，根據(jù)B、C坐標可得BC的解析式為過點P作PQ⊥x軸交BC于點Q，則Q點坐標為，故，當m=4時，PQ取到最大值4，，故四邊形PBOC的最大面積為32，此時P點坐標為（4,6）．三、中考真題演練1．（2023·海南·中考真題）如圖1，拋物線交x軸于A，兩點，交y軸于點．點P是拋物線上一動點．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)當點P的坐標為時，求四邊形的面積；【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）連接，過點P作于點E，利用點的坐標表示出線段、、、、的長度，再根據(jù)，進行計算即可；【詳解】（1）解：由題意可得，，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：連接，過點P作于點E，如圖，∵點P的坐標為，∴，，令，則，解得或，∴，∴，∵，，∴，，∴，；2．（2023·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸相交于點和點，交軸于點．

(1)求此二次函數(shù)的解析式；(2)設二次函數(shù)圖象的頂點為，對稱軸與軸交于點，求四邊形的面積（請在圖1中探索）；【詳解】（1）解：由題意得，，∴，∴；（2）解：如圖，連接，

∵，∴，∴，，由得，，∴，∴；3．（2023·遼寧錦州·中考真題）如圖，拋物線交軸于點和，交軸于點，頂點為．

(1)求拋物線的表達式；(2)若點在第一象限內(nèi)對稱右側(cè)的拋物線上，四邊形的面積為，求點的坐標；【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點，，∴，解得．∴拋物線的表達式為：．（2）解：方法一：如下圖，連接，過點作軸交于點．

∵，∴．令中，則，解得或，∴，設直線為，∵過點，，，∴，解得，∴直線的表達式為：．設，，∴．∴．∵，∴．整理得，解得．∴．方法二：如下圖，

拋物線的對稱軸與軸交于點，過點作軸于點，設，∴，∴．∵，∴．整理得，解得．∴．4．（2023·湖南常德·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點，與y軸交于點C，頂點為D．O為坐標原點，．

(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)求四邊形的面積；【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點．∴設二次函數(shù)的表達式為∵，∴，即的坐標為則，得∴二次函數(shù)的表達式為；（2）∴頂點的坐標為過作于，作于，四邊形的面積；

是將所學的知識靈活運用．5．（2023·山西·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸的正半軸交于點A，經(jīng)過點A的直線與該函數(shù)圖象交于點，與軸交于點C．

(1)求直線的函數(shù)表達式及點C的坐標；(2)點是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個動點，過點作直線軸于點，與直線交于點D，設點的橫坐標為．①當時，求的值；②當點在直線上方時，連接，過點作軸于點，與交于點，連接．設四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)表達式，并求出S的最大值．【答案】(1)，點的坐標為(2)①2或3或；②，S的最大值為【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求得直線的函數(shù)表達式，再求得點C的坐標即可；（2）①分當點在直線上方和點在直線下方時，兩種情況討論，根據(jù)列一元二次方程求解即可；②證明，推出，再證明四邊形為矩形，利用矩形面積公式得到二次函數(shù)的表達式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：由得，當時，．解得．∵點A在軸正半軸上．∴點A的坐標為．設直線的函數(shù)表達式為．將兩點的坐標分別代入，得，解得，∴直線的函數(shù)表達式為．將代入，得．∴點C的坐標為；（2）①解：點在第一象限內(nèi)二次函數(shù)的圖象上，且軸于點，與直線交于點，其橫坐標為．∴點的坐標分別為．∴．∵點的坐標為，∴．∵，∴．如圖，當點在直線上方時，．

∵，∴．解得．如圖2，當點在直線下方時，．

∵，∴．解得，∵，∴．綜上所述，的值為2或3或；②解：如圖3，由（1）得，．

∵軸于點，交于點，點B的坐標為，∴．∵點在直線上方，∴．∵軸于點，∴．∴，，∴．∴．∴．∴．∴．∴四邊形為平行四邊形．∵軸，∴四邊形為矩形．∴．即．∵，∴當時，S的最大值為．【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知識點，第二問難度較大，需要分情況討論，畫出大致圖形，用含m的代數(shù)式表示出是解題的關(guān)鍵．6．（2023·四川廣安·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于點，交軸于點，點的坐標為，對稱軸是直線，點是軸上一動點，軸，交直線于點，交拋物線于點．

(1)求這個二次函數(shù)的解析式．(2)若點在線段上運動（點與點、點不重合），求四邊形面積的最大值，并求出此時點的坐標．【分析】（1）先根據(jù)二次函數(shù)對稱軸公式求出，再把代入二次函數(shù)解析式中進行求解即可；（2）先求出，，則，，求出直線的解析式為，設，則，，則；再由得到，故當時，最大，最大值為，此時點P的坐標為；【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的對稱軸為直線，∴，∴，∵二次函數(shù)經(jīng)過點，∴，即，∴，∴二次函數(shù)解析式為；（2）解：∵二次函數(shù)經(jīng)過點，且對稱軸為直線，∴，∴，∵二次函數(shù)與y軸交于點C，∴，∴；設直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，設，則，，∴；∵，∴，∵，∴當時，最大，最大值為，∴此時點P的坐標為；7．（2023·安徽·中考真題）在平面直角坐標系中，點是坐標原點，拋物線經(jīng)過點，對稱軸為直線．(1)求的值；(2)已知點在拋物線上，點的橫坐標為，點的橫坐標為．過點作軸的垂線交直線于點，過點作軸的垂線交直線于點．（?。┊敃r，求與的面積之和；（ⅱ）在拋物線對稱軸右側(cè)，是否存在點，使得以為頂點的四邊形的面積為？若存在，請求出點的橫坐標的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)（?。?；（2）【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）（?。└鶕?jù)題意畫出圖形，得出，，，繼而得出，，當時，根據(jù)三角形的面積公式，即可求解．（ⅱ）根據(jù)（ⅰ）的結(jié)論，分和