江西省多校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期第一次階段性考試（3月月考）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江西省多校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期第一次階段性考試（3月月考）數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.與角終邊相同的角是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因不能表示成的形式，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；同理因也不能表示成的形式，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；由，而也不能表示成的形式，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；而，具備的形式，故D項(xiàng)正確.故選：D.2.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的（）A.充要條件 B.既不充分也不必要條件C.充分不必要條件 D.必要不充分條件〖答案〗D〖解析〗由得不到“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”，如，，顯然滿足，但是函數(shù)在上遞增，在上遞減，故“”不是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的充分條件；而由“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”可得，則“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的必要不充分條件.故選：D.3.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由.故選：B.4.，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，，所以．故選：A．5.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由三角函數(shù)定義可得在第四象限，，解得，故的取值范圍是.故選：B.6.函數(shù)，的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，.故選：C.7.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題：函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，解得：.故選：C.8.魯洛克斯三角形又稱“勒洛三角形”（如圖1），是一種特殊三角形，指分別以正三角形頂點(diǎn)為圓心，以其邊長(zhǎng)為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形.魯洛克斯三角形的特點(diǎn)是：在任何方向上都有相同的寬度，機(jī)械加工業(yè)上利用這個(gè)性質(zhì)，把鉆頭的橫截面做成魯洛克斯三角形的形狀，就能在零件上鉆出正方形的孔.今有一個(gè)半徑為的圓（如圖2），，，分別為圓周上的點(diǎn)，其中，，現(xiàn)將扇形，分別剪下來(lái)，又在扇形中裁剪下兩個(gè)弓形分別補(bǔ)到扇形的兩條直邊上，將扇形補(bǔ)成魯洛克斯三角形，設(shè)此魯洛克斯三角形的面積為，扇形剩余部分的面積為，若不計(jì)損耗，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，先求出弓形的面積為：，則，，故.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.如圖，若角的終邊落在陰影部分，則角的終邊可能在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗AC〖解析〗依題意，得，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，的終邊在第一象限；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，的終邊在第三象限．故選：AC10.若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，且滿足，則稱是的點(diǎn).下列選項(xiàng)中的是函數(shù)的點(diǎn)的是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A，因，，則符合題意，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B，因，，則，不符題意，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，因，，則，符合題意，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，由，因，，，則，不合題意，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知定義域均為的奇函數(shù)和偶函數(shù)，滿足，則（）A.在上單調(diào)遞減B.C.當(dāng)時(shí)，的最大值為D.函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，即可得到函數(shù)的圖象〖答案〗ABD〖解析〗由題意及誘導(dǎo)公式可知：，兩式相加得，所以，對(duì)于A，，由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知單調(diào)遞減，即A正確；對(duì)于B，根據(jù)誘導(dǎo)公式易知，即B正確；對(duì)于C，時(shí)，易知，令，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知在時(shí)取得最大值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，即可得到函數(shù)，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.2024年3月1日，某蛋糕店共有10位顧客預(yù)訂生日蛋糕，他們的年齡按預(yù)訂的順序依次是6，12，54，30，8，10，18，24，30，32，則這10位顧客年齡的中位數(shù)是________.〖答案〗〖解析〗由題意將顧客的年齡從小到大排列：，則中位數(shù)為.故〖答案〗為：.13.已知函數(shù)具有下列性質(zhì)：①值域?yàn)?；②其圖象的對(duì)稱軸為直線，，則的一個(gè)〖解析〗式為________.（寫出滿足條件的一個(gè)〖解析〗式即可）〖答案〗(〖答案〗不唯一)〖解析〗可使函數(shù)的值域?yàn)?，且其圖象的對(duì)稱軸為直線即可，故可取(〖答案〗不唯一).故〖答案〗為：(〖答案〗不唯一).14.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋舸嬖谡麛?shù)，，且，則為函數(shù)的“子母數(shù)”.已知集合，函數(shù)，（表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如），當(dāng)時(shí)，函數(shù)的所有“子母數(shù)”之和為________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，，，所以由，可得，解得，即，如圖為的圖象，由的周期性，所以只需討論一個(gè)周期內(nèi)的情況即可，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，所以，即在一個(gè)周期內(nèi)的部分，由圖得時(shí)，，，，所以且在定義域內(nèi)的為，所以數(shù)所有“子母數(shù)”之和為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.在某單位元旦聯(lián)歡會(huì)上，為了活躍氣氛，設(shè)計(jì)了一個(gè)游戲環(huán)節(jié)：在，，三個(gè)不透明的盒子中均裝有3個(gè)黑球和2個(gè)白球，這些球形狀大小完全相同，每個(gè)職工均摸球兩次，第一次從盒子中隨機(jī)摸出兩個(gè)球，如果摸出的均是白球，則得獎(jiǎng)金100元，否則獎(jiǎng)金為0元；第二次從，兩個(gè)盒子中各摸一個(gè)球，若兩球的顏色相同，則得獎(jiǎng)金50元，否則獎(jiǎng)金為0元，小明參與了此次游戲.（1）求小明在第一次摸球中得獎(jiǎng)金100元的概率；（2）求小明在兩次摸球中得獎(jiǎng)金150元的概率.解：（1）因盒子中裝有3個(gè)黑球和2個(gè)白球，則從中摸出兩個(gè)白球得獎(jiǎng)金100元的概率為.（2）因小明在兩次摸球中得獎(jiǎng)金150元是在第一次從盒子中摸出兩個(gè)白球的前提下，再分別從，兩個(gè)盒子中各摸到一個(gè)顏色相同的球，不妨記“第一次從盒子中摸出兩個(gè)白球”為事件M，“分別從，兩個(gè)盒子中各摸到一個(gè)顏色相同的球”記為事件N，則小明在兩次摸球中得獎(jiǎng)金150元的概率即，由（1）可知，而，故由積事件的概率乘法公式，可得：.16.定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，且.（1）當(dāng)時(shí)，畫出函數(shù)的圖象，并求其單調(diào)區(qū)間、零點(diǎn)；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的〖解析〗式.解：（1）由題意可知：，所以，即，則時(shí)，令，則，綜上，作圖如下：結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與奇函數(shù)的性質(zhì)知的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間，且其零點(diǎn)有三個(gè)，分別為.（2）因?yàn)椋瑒t，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則.17.函數(shù)（，，）的部分圖象如圖.（1）求函數(shù)的〖解析〗式；（2）將函數(shù)上的每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，再將所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象.已知函數(shù)若函數(shù)的零點(diǎn)從左到右依次為，，…，，求的值，并求的值.解：（1）由函數(shù)圖象可知，，，得，由，得，結(jié)合圖象可得，，由五點(diǎn)法作圖可得，解得，所以.（2）函數(shù)上的每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，得函數(shù)的圖象，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，函數(shù)則的圖象如圖所示，函數(shù)的零點(diǎn)，即函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由圖象可知，函數(shù)的零點(diǎn)有6個(gè)，從左到右依次為，，…，，，由余弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合圖象可知，關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，.18.為弘揚(yáng)中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，春節(jié)前后，各地積極開展各種非遺展演、文化廟會(huì)活動(dòng).某地廟會(huì)每天8點(diǎn)開始，17點(diǎn)結(jié)束.通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，游客數(shù)量（單位：人）與時(shí)間之間，可以近似地用函數(shù)（，）來(lái)刻畫，其中，8點(diǎn)開始后，游客逐漸增多，10點(diǎn)時(shí)大約為350人，14點(diǎn)時(shí)游客最多，大約為1250人，之后游客逐漸減少.（1）求出函數(shù)的〖解析〗式；（2）臘月二十九，為了營(yíng)造幸福祥和的氛圍，該廟會(huì)籌辦方邀請(qǐng)本地書法家書寫了950幅福字，計(jì)劃選一時(shí)段分發(fā)給每位游客，為了保證在場(chǎng)的游客都能得到福字，應(yīng)選擇在什么時(shí)間贈(zèng)送福字？解：（1）由題意得，，且，故，故，又，，解得，故函數(shù)的〖解析〗式為，.（2）當(dāng)時(shí)，，令，解得或，解得或，結(jié)合函數(shù)圖象及，可得或，為了保證在場(chǎng)的游客都能得到福字，應(yīng)選擇在12點(diǎn)前或16點(diǎn)之后兩個(gè)時(shí)間段贈(zèng)送福.19.對(duì)于分別定義在，上的函數(shù)，以及實(shí)數(shù)，若任取，存在，使得，則稱函數(shù)與具有關(guān)系.其中稱為的像.（1）若，；，，判斷與是否具有關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若，；，，且與具有關(guān)系，