遼寧省沈陽市郊聯(lián)體2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省沈陽市郊聯(lián)體2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.在數(shù)列，，，，…，，…中，是它的（）A.第8項 B.第9項 C.第10項 D.第11項〖答案〗B〖解析〗由題意可得，數(shù)列的通項公式為，令，解得.故選：B2.設(shè)是可導(dǎo)函數(shù)，且，則（）A. B. C.－6 D.2〖答案〗B〖解析〗因為，則．故選：B．3.在數(shù)列中，，，則（）A.121 B.100 C.81 D.64〖答案〗C〖解析〗因為，所以，故數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，因為，所以，則.故選：C4.函數(shù)的圖象如圖所示，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（）A.B.C.D.〖答案〗B〖解析〗由圖象可知在上單調(diào)遞增故，即故選：B5.已知數(shù)列滿足，，若，則（）A.28 B.26 C.21 D.16〖答案〗C〖解析〗由，，可得，，，，，，，，則.故選：C6.某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入．若該公司2014年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是（）（參考數(shù)據(jù)：，，）A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年〖答案〗A〖解析〗設(shè)從年開始，第年該公司全年投入的研發(fā)金開始超過萬元，由已知得，，所以，兩邊取常用對數(shù)可得，所以，所以，故從年開始，該公司全年投入的研發(fā)金開始超過萬元.故選：A7.若一個數(shù)列的第m項等于這個數(shù)列的前m項的乘積，則稱該數(shù)列為“m積數(shù)列”．若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列是一個“2023積數(shù)列”，且，則當(dāng)其前n項的乘積取最大值時n的值為（）A.1011 B.1012 C.2022 D.2023〖答案〗A〖解析〗∵各項均為正數(shù)的等比數(shù)列是一個“2023積數(shù)列”，且，∴即，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到：，∵，，∴,∴，∴該數(shù)列為遞減的等比數(shù)列，∵，∴，，∴當(dāng)其前n項的乘積取最大值時n的值為1011．故選：A．8.已知，則的大小為（）A. B.C D.〖答案〗D〖解析〗因為，，設(shè)，則，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；所以，，又因為，所以.故選：D.二、多項選擇題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）9.下列選項正確的是（）A.，則 B.，則C. D.〖答案〗BC〖解析〗對于A中，由函數(shù)，可得，所以A錯誤；對于B中，由函數(shù)，可得，可得，所以B正確；對于C中，由，所以C正確；對于D中，由，所以D錯誤.故選：BC.10.設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（）A.函數(shù)在上遞減，在上遞減B.函數(shù)在上遞增，在上遞增C.函數(shù)有極大值和極小值D.函數(shù)有極大值和極小值〖答案〗BD〖解析〗由圖可知：當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增；故函數(shù)在時取得極大值，在時取得極小值，即函數(shù)有極大值和極小值；故選：BD．11.已知數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前項和為，則下列選項正確的為（）A.數(shù)列是等差數(shù)列 B.數(shù)列是等比數(shù)列C.數(shù)列的通項公式為 D.〖答案〗BCD〖解析〗由即為，可化為，由，可得數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，則，即，又，可得故選：BCD12.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)只有兩個極值點B.方程有且只有兩個實根，則的取值范圍為C.方程共有4個根D.若，，則的最大值為2〖答案〗ACD〖解析〗對于，對求導(dǎo)得：，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，即函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，函數(shù)在處取得極小值，在處取得極大值，故選項正確；對于，由選項知，作出曲線及直線，如圖，要使方程有且只有兩個實根，觀察圖象得當(dāng)時，直線與曲線有2個交點，所以方程有且只有兩個實根，則的取值范圍為，故選項錯誤；對于，由得：，解得，令，則，結(jié)合圖象方程有兩解，，，所以或，因為，所以，所以方程有兩解；又因為，結(jié)合圖象可知：也有兩解，綜上：方程共有4個根，故選項正確；對于，因為，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，所以t的最大值為2，故選項正確.故選：CD三、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分．把〖答案〗填在答題紙上．）13.函數(shù)導(dǎo)函數(shù)為，若，則______.〖答案〗2〖解析〗由，得，得故〖答案〗為：2.14.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足：，則的值為______.〖答案〗2〖解析〗設(shè)數(shù)列公比為q，則，則.故〖答案〗為：215.若直線是曲線與曲線的公切線，則______．〖答案〗5〖解析〗由，得，由，解得，則直線與曲線相切于點，∴，得，∴直線是曲線的切線，由，得，設(shè)切點為，則，且，聯(lián)立可得，解得，所以．∴．故〖答案〗為：5．16.當(dāng)時，函數(shù)的圖象恒在拋物線的上方，則實數(shù)的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗因為當(dāng)時，函數(shù)的圖象恒在拋物線的上方，則有，，令函數(shù)，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，則，所以實數(shù)的取值范圍是.故〖答案〗為：四、解答題：（滿分70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，解答過程書寫在答題紙的對應(yīng)位置．）17.設(shè)等差數(shù)列{an﹣bn}的公差為2，等比數(shù)列{an+bn}的公比為2，且a1＝2，b1＝1．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）求數(shù)列{2an+2n}的前n項和Sn．解：（1），，∴，.聯(lián)立解得：.（2）∴數(shù)列的前項和.18.已知曲線在點處的切線方程為.（1）求的值；（2）求的極值.解：（1），因為曲線在點處的切線方程為，所以，解得；（2）由（1）得，則，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在和上遞增，在上遞增，所以函數(shù)的極大值為，極小值為.19.為數(shù)列的前項和，已知，.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和.解：（1）由，可知兩式相減得，即，∵，∴，∵當(dāng)時，，∴（舍）或，則是首項為，公差的等差數(shù)列，∴的通項公式；（2）∵，∴，∴數(shù)列的前項和.20.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若對任意不等正數(shù)，且，總有，求實數(shù)a的取值范圍．解：（1），，，∴，①當(dāng)時，，單調(diào)遞增，②當(dāng)時，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在單調(diào)遞增．（2）在上單調(diào)遞增，∴在上恒成立，令，，則在上恒成立，∴，令，，則，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減，∴，∴，∴，即實數(shù)的取值范圍為．21.在數(shù)列中，，前項和為，且.（1）若數(shù)列為等比數(shù)列，求的值；（2）在（1）的條件下，若，求數(shù)列的前項和.解：（1）因為，所以當(dāng)時，則有，兩式相減可得：，所以，因為數(shù)列為等比數(shù)列，所以，也即，所以.（2）由（1）可知：，，所以，所以，即①所以②①減②可得：，所以.22.已如函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，求證：函數(shù)存在極小