13.2.4-三角形的外角性質(zhì)

第13章

三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明第2節(jié)命題與證明第4課時(shí)三角形的外角性質(zhì)課堂講解課時(shí)流程12三角形外角的定義三角形外角的性質(zhì)三角形的外角和逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)課后作業(yè)1知識(shí)點(diǎn)三角形外角的定義知1－講（來(lái)自《點(diǎn)撥》）1．三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角．如圖中的∠ACD的一邊是△ABC的邊AC，另一邊是△ABC的邊BC的延長(zhǎng)線．2．易錯(cuò)警示：雖然三角形的外角在三角形外部，但不應(yīng)錯(cuò)誤地理解為三角形外部的角就是三角形的外角．知1－講例1

如圖，△CEF的外角為_(kāi)______________．∠AFC，∠BEF導(dǎo)引：圖中△CEF的三邊的延長(zhǎng)線只有EF的延長(zhǎng)線FA，CE的延長(zhǎng)線EB，延長(zhǎng)線FA與邊CF構(gòu)成的角為∠AFC；延長(zhǎng)線EB與邊EF構(gòu)成的角為∠BEF.由三角形外角的概念可以判斷∠AFC，∠BEF是△CEF的外角．（來(lái)自《點(diǎn)撥》）知1－講總

結(jié)（來(lái)自《點(diǎn)撥》）判定一個(gè)角是三角形的外角的三個(gè)條件：一是頂點(diǎn)在三角形的一個(gè)頂點(diǎn)上；二是一邊是三角形的一條邊；三是一邊是三角形的另一條邊的延長(zhǎng)線．知1－練（來(lái)自《典中點(diǎn)》）如圖，下列關(guān)于△ABC的外角的說(shuō)法正確的是(

)A．∠HBA是△ABC的外角B．∠HBG是△ABC的外角C．∠DCE是△ABC的外角D．∠GBA是△ABC的外角D2知識(shí)點(diǎn)三角形外角的性質(zhì)知2－講交流在圖中，△ABC的外角∠ACD與它不相鄰的內(nèi)角∠A，∠B有怎樣的關(guān)系？嘗試給出證明，并與同學(xué)交流.知2－講三角形內(nèi)角和定理的推論(三角形外角的性質(zhì))：1.三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．作用：(1)此性質(zhì)反映了三角形的外角與不相鄰內(nèi)角之間的數(shù)量關(guān)系，利用它可以求相關(guān)的角；(2)利用它可以證明一個(gè)角等于另兩個(gè)角的和或差；(3)利用它作為中間關(guān)系證明兩個(gè)角相等．知2－講2.三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任一內(nèi)角；作用：用來(lái)證明角的不等關(guān)系．（來(lái)自《點(diǎn)撥》）知2－講例2〈浙江溫州〉如圖，直線AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，則∠3＝_____度．導(dǎo)引：根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠C，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出即可．∵AB∥CD，∠1＝45°，∴∠C＝∠1＝45°，∵∠2＝35°，∴∠3＝∠2＋∠C＝35°＋45°＝80°.80知2－講總

結(jié)本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出∠C的度數(shù)和得出∠3＝∠2＋∠C.（來(lái)自《點(diǎn)撥》）知2－講例3〈山東威海〉將一副直角三角板如圖擺放，點(diǎn)C在EF上，AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)D.已知∠A＝∠EDF＝90°，∠E＝30°，∠BCE＝40°，則∠CDF＝_____.25°導(dǎo)引：要求∠CDF，則需求其余角∠2的度數(shù)．∠2＝180°－∠1－∠ACB，其中∠1可利用三角形外角的性質(zhì)求出，∠ACB為三角板內(nèi)角已知．如圖，由三角形外角的性質(zhì)，知∠1＝∠E＋∠BCE＝30°＋40°＝70°，由三角形內(nèi)角和定理知∠2＝180°－∠1－∠ACB＝180°－70°－45°＝65°，∴∠CDF＝∠EDF－∠2＝90°－65°＝25°.（來(lái)自《點(diǎn)撥》）知2－講總

結(jié)（來(lái)自《點(diǎn)撥》）知2－講本題是以三角板為背景考查三角形外角的性質(zhì)，是考試的一個(gè)熱點(diǎn)；它主要是利用了三角板位置變換過(guò)程中其內(nèi)角的度數(shù)不變的原理；解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，能從實(shí)物中抽象出所需的角是解題的關(guān)鍵．知2－講導(dǎo)引：要判斷∠1與∠2的大小關(guān)系，而這兩個(gè)角間沒(méi)有直接關(guān)系，則需找出一個(gè)角作為橋梁將這兩個(gè)角聯(lián)系起來(lái)，觀察題圖知∠3能擔(dān)當(dāng)這種角色；用三角形外角的性質(zhì)，先判斷∠3與∠2的大小關(guān)系，再判斷∠1與∠3的大小關(guān)系，然后用不等式的傳遞性判斷∠1與∠2的大小關(guān)系．例4如圖，請(qǐng)確定∠1與∠2的大小關(guān)系，并說(shuō)明為什么．知2－講（來(lái)自《點(diǎn)撥》）解：∠1>∠2.理由如下：∵∠1是△ABC的一個(gè)外角，∴∠1>∠3.∵∠3是△FGC的一個(gè)外角，∴∠3>∠2.∴∠1>∠2.知2－講總

結(jié)“三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角”是證明有關(guān)角的不等關(guān)系的一條重要定理，它常常結(jié)合不等式的性質(zhì)(如本例中不等式的傳遞性)來(lái)解決有關(guān)角的不等關(guān)系；用它可判斷與三角形有關(guān)的角的大小問(wèn)題．本題通過(guò)∠3把屬于兩個(gè)三角形的∠1和∠2聯(lián)系在一起是關(guān)鍵．（來(lái)自《點(diǎn)撥》）知2－講例5

〈青海，改編〉下面是有關(guān)三角形內(nèi)外角平分線的探究，閱讀后按要求作答：探究1：如圖①，在△ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)：∠BOC＝90°＋∠A.(不要求證明)

圖①知2－講探究2：如圖②，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO

和CO的交點(diǎn)，試分析∠BOC與∠A有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．圖②知2－講探究3：如圖③，O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A有怎樣的數(shù)量關(guān)系？圖③知2－講導(dǎo)引：探究2：如圖，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，用∠A與∠1表示出∠2，再利用∠BOC與∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC與∠A的關(guān)系；探究3：根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和以及角平分線的定義表示出∠OBC與∠OCB，然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解．知2－講解：探究2結(jié)論：∠BOC＝∠A.理由如下：如圖，∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACD的平分線，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACD.又∵∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，∴∠ACD＝∠A＋∠ABC.∴∠2＝(∠A＋∠ABC)＝∠A＋∠1.∵∠2是△BOC的一個(gè)外角，∴∠BOC＝∠2－∠1＝∠A＋∠1－∠1＝∠A.知2－講探究3：∵∠OBC＝(∠A＋∠ACB)，∠OCB＝(∠A＋∠ABC)，∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－(∠A＋∠ACB)－(∠A＋∠ABC)＝180°－∠A－(∠A＋∠ABC＋∠ACB)＝180°－∠A－×180°＝90°－∠A.結(jié)論：∠BOC＝90°－∠A.（來(lái)自《點(diǎn)撥》）總

結(jié)（來(lái)自《點(diǎn)撥》）知2－講本題中掌握三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，題中的三個(gè)結(jié)論都與∠A有關(guān)，可簡(jiǎn)記為“內(nèi)夾角：90°＋∠A，內(nèi)外夾角：∠A，外夾角：90°－∠A”．記住這些結(jié)論，可為解填空題、選擇題帶來(lái)很多方便．（來(lái)自《典中點(diǎn)》）知2－練

(中考·桂林)如圖，∠A＝50°，∠C＝70°，則外角∠ABD的度數(shù)是(

)A．110°B．120°C．130°D．140°B（來(lái)自《典中點(diǎn)》）知2－練2(中考·柳州)圖中∠1的大小等于(

)A．40°B．50°C．60°D．70°D（來(lái)自《典中點(diǎn)》）3如圖，∠A，∠1，∠2的大小關(guān)系是(

)A．∠A＞∠1＞∠2B．∠2＞∠1＞∠AC．∠A＞∠2＞∠1D．∠2＞∠A＞∠1知2－練B3知識(shí)點(diǎn)三角形的外角和知3－講例6已知：如圖，∠1，∠2，∠3是△ABC的三個(gè)外角.求證：∠1+∠2+∠3=360°.證明：∵∠1=∠ABC+∠ACB，∠2=∠BAC+∠ACB，∠3=∠BAC+∠ABC，（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）∴∠1+∠2+∠3=2（∠ABC+∠ACB+∠BAC）.（等式性質(zhì)）∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，（三角形內(nèi)角和定理）∴∠1+∠2+∠3=360°.（來(lái)自教材）知3－講歸納（來(lái)自《點(diǎn)撥》）三角形的三個(gè)外角的和等于360°.

知3－講導(dǎo)引：∠A，∠B，∠C，∠D，∠E五個(gè)角不在同一個(gè)三角形中，需要利用“三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中．例7

如圖，在五角星ABCDE中，試說(shuō)明∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.知3－講解：因?yàn)椤螦GF是△GCE的外角，所以∠AGF＝∠C＋∠E.同理∠AFG＝∠B＋∠D.在△AFG中，∠A＋∠AFG＋∠AGF＝180°，所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.（來(lái)自《點(diǎn)撥》）知3－講總結(jié)(1)本例的說(shuō)明過(guò)程，充分體現(xiàn)了化分散為集中的轉(zhuǎn)化思想，即把分散在不同三角形中的五個(gè)角運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)將其集中到同一個(gè)三角形中去，再利用三角形內(nèi)角和定理說(shuō)明結(jié)論成立．知3－講總結(jié)(2)解答本例的關(guān)鍵是找基礎(chǔ)三角形；這里的基礎(chǔ)三角形較多，解法也多樣，請(qǐng)讀者從不同角度去找基礎(chǔ)三角形，說(shuō)明結(jié)論的正確性．（來(lái)自《點(diǎn)撥》）知3－講下列對(duì)三角形的外角和敘述正確的是(

)A．三角形的外角和等于180°B．三角形的外角和就是所有外角的和C．三角形的外角和等于所有外角和的一半D．以上都不對(duì)（來(lái)自《典中點(diǎn)》）知3－練C2