2008年河南省專升本(高等數(shù)學(xué))真題試卷(題后含答案及解析)

2008年河南省專升本（高等數(shù)學(xué)）真題試卷(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題4.解答題5.綜合題6.證明題選擇題在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．函數(shù)f(x)=ln(1-x)+的定義域是()A．[-2，-1]B．[-2，1]C．[-2，1)D．(-2，1)正確答案：C解析：解不等式組，得C為正確選項．2．=()A．1B．0C．D．正確答案：D解析：3．點(diǎn)x=0是函數(shù)y=的()A．連續(xù)點(diǎn)B．跳躍間斷點(diǎn)C．可去間斷點(diǎn)D．第二類間斷點(diǎn)正確答案：B解析：=-1，左右極限均存在，但不相等，故選B.4．下列極限存在的是()A．B．C．D．正確答案：B解析：選項A的極限為正的無窮大，選項B的極限為2，選項C的極限振蕩不存在，選項D的極限也為正的無窮大．5．當(dāng)x→0時，ln(1+x2)是比1-cosx的()A．低階無窮小B．高階無窮小C．等價無窮小D．同階但不等價無窮小正確答案：D解析：因?yàn)?2故選D.6．設(shè)函數(shù)f(x)=，則f(x)()A．在x=-1處連續(xù)，在x=0處不連續(xù)B．在x=0處連續(xù)，在x=-1處不連續(xù)C．在x=-1，x=0處均連續(xù)D．在x=-1，x=0處均不連續(xù)正確答案：A解析：=1=f(-1)，所以f(x)在x=-1處連續(xù)；，所以在x=0處不連續(xù)7．過曲線y=arctanx+ex上的點(diǎn)(0，1)處的法線方程為()A．2x-y+1=0B．x-2y+2=0C．2x-y-1=0D．x+2y-2=0正確答案：D解析：y’=+ex，曲線上點(diǎn)(0，1)處的切線斜率為y’｜0=2，所以法線的斜率為k=，因此法線方程為y-1=(x-0)，即x+2y-2=08．設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處滿足f(x)=f(0)-3x+a(x)，且=0,則f’(0)=()A．-1B．1C．-3D．3正確答案：C解析：f’(0)=9．函數(shù)(x)=(lnx)x(x>1)，則f’(x)=()A．(lnx)x-1B．(lnx)x-+(lnx)xln(lnx)C．(lnx)xln(lnx)D．x(lnx)x正確答案：B解析：f(x)=(lnx)x=exln(lnx)，則f’(x)=exln(lnx)×[ln(lnx)+]，即f’(x)=(lnx)x[ln(lnx)+]=(lnx)x-1+(lnx)xln(lnx)·10．設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程確定，則=()A．-2B．-1C．D．正確答案：D解析：11．下列函數(shù)中，在區(qū)間[-1，1]上滿足羅爾定理條件的是()A．y=exB．y=ln｜x｜C．y=1-x2D．y=正確答案：C解析：選項A在[-1，1]兩端的值不相等，選項B在[-1，1]內(nèi)不連續(xù)，選項D在[-1，1]內(nèi)不連續(xù)．12．曲線y=x3+5x-2的拐點(diǎn)是()A．x=0B．(0，-2)C．無拐點(diǎn)D．z=0，y=-2正確答案：B解析：y’=3x2+5，令y’’=6x=0，得x=0，此時y=-2，當(dāng)x>0時，f’’>0；當(dāng)x()A．僅有水平漸近線B．既有水平漸近線，又有垂直漸近線C．僅有垂直漸近線D．既無水平漸近線，又無垂直漸近線正確答案：B解析：因=+∞，所以有垂直漸近線，又因=0，所以有水平漸近線14．f(x)的一個原函數(shù)是xlnx，那么∫x2f’’(x)x=()A．lnx+CB．x2+CC．x3lnx+CD．C-x正確答案：D解析：f(x)的一個原函數(shù)是xlnx，則f(x)=(xlnx)l=lnx+1，f’(x)=，f’’(x)=，那么∫x2f’’(x)dx=∫-1dx=-x+C.15．=()A．B．C．ln(x-3)-ln(x-1)+CD．ln(x-1)-ln(x-3)+C正確答案：A解析：16．設(shè)I=，則I的取值范圍為()A．0≤I≤1B．≤I≤1C．0≤I≤D．＜I＜1正確答案：B解析：在區(qū)間[0，1]上，1≤1+x4≤2，從而，所以選B.17．下列廣義積分收斂的是()A．B．C．D．正確答案：D解析：因廣義積分(a>1)在k>1時均收斂，k≤1時均發(fā)散，所以選項A、B、C中積分均發(fā)散，故選D.18．=()A．B．C．D．正確答案：D解析：19．若函數(shù)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，f(x)＞0，且滿足f2(x)=ln22-，則f(x)=()A．ln(1+cosx)B．-ln(1+cosx)+CC．-ln(1+cosx)D．ln(1+cosx)+C正確答案：A解析：對f2(x)=ln22-兩邊求導(dǎo)得，2f(x)f’(x)=，即f’(x)=+cosx=ln(1+cosx)+C，又因f(x)滿足初始條件f(0)=ln2，代入上式可得C=0，所以f(x)=ln(1+cosx)．20．若函數(shù)f(x)滿足f(x)=x+1-f(x)dx，則f(x)=()A．B．C．D．正確答案：C解析：因?yàn)閒(x)dx的值為常數(shù)，不妨令其為k，則對f(x)=x+1-f(x)dx兩邊同時積分得k==2-k，所以k=1，從而f(x)=x+1-21．若I=，則I=()A．B．C．D．正確答案：C解析：I=22．直線與平面4x-3y+7z=5的位置關(guān)系是()A．直平與平面斜B．直線與平面垂直C．直線在平面內(nèi)D．直線與平面平行正確答案：D解析：直線的方向向量為={5，9，1}，平面的法向量為={4，-3，7}，因?yàn)?0，即，從而可知直線與平面平行或重合，又因直線過定點(diǎn)M0(-2，-4，0)，將該點(diǎn)坐標(biāo)代人平面方程得4×(-2)-3×(-4)+7×0=4≠5，即表明該點(diǎn)不在平面內(nèi)，故選D.23．=()A．2B．3C．1D．不存在正確答案：A解析：令x2+y2=t，則24．曲面z=x2+y2在點(diǎn)(1，2，5)處的切平面方程為()A．2x+4y-z=5B．4x+2y-z=5C．x+2y-4z=5D．2x-4y+z=5正確答案：A解析：令F(x，y，z)=x2+y2-z，則(x，y，z)=2x，(z，y，z)=2y，(x，y，z)=-1，則在點(diǎn)(1，2，5)處，=2，=4，=-1，曲面z=x2+y2在該點(diǎn)處切平面的法向量為{2,4，-1}，所以切平面方程為2(x-1)+4(y-2)-(x-5)=0，即2x+4y-z=5．25．設(shè)函數(shù)z=x3y-xy3，則=()A．6xyB．3x2-3y2C．-6xyD．3y2-3x2正確答案：B解析：=3x2y-y3，=3x2-3y226．如果區(qū)域D被分成兩個子區(qū)域D1和D2，且f(x，y)dxdy=5，f(x，y)dxdy=1，則f(x，y)dxdy=()A．5B．4C．6D．1正確答案：C解析：如果區(qū)域D被分成兩個子區(qū)域D1和D2，則f(x，y)dxdy=f(x，y)dxdy+f(x，y)dxay=5+1=6．27．如果L是擺線從點(diǎn)a(2π，0)到B(0，0)的一段弧，則曲線積分∫L(x2y+3xex)dx+(-ysiny)dy=()A．e2π(1-2π)-1B．2[eπ(1-2π)-1]C．3[e2π(1-2π)-1]D．4[e2π(1-2π)-1]正確答案：C解析：令P(x，y)=x2y+3xex，Q(x，y)=，則表明曲線積分與路徑無關(guān)，取x軸上從A(2π，0)到B(0，0)的直線段，則有∫L(x2y+3xex)dx+(x3-ysiny)dy==3[e2π(1-2π)-]28．通解為y=Cex(C為任意常數(shù))的微分方程為()A．y’+y=0B．y’-y=0C．y’y=1D．y’-y+1=0正確答案：B解析：對y=Cex求導(dǎo)可得y’=Cex=y，即y-y’=0．顯然B為正確選項．29．微分方程y’’+y=ce-x的特解形式應(yīng)設(shè)為()A．x(ax+b)e-xB．a(chǎn)x+bC．(ax+b)e-xD．x2(ax+b)e-x正確答案：A解析：根據(jù)自由項的形式為f(x)=xe-x，知多項式為1次多項式，且λ=-1，又知y’’+y’=0對應(yīng)特征方程的根為r1=0，r2=-1，所以λ為單根，故特解形式應(yīng)設(shè)為x(ax+b)e-x30．下列四個級數(shù)中，發(fā)散的級數(shù)是()A．B．C．D．正確答案：B解析：的一般項為，其極限為≠0，故選項B的級數(shù)為發(fā)散的填空題31．(x)=A的______條件是正確答案：充要解析：函數(shù)在點(diǎn)x0處極限存在的充分必要條件是左右極限存在且相等．32．函數(shù)y=x-sinx在區(qū)間(0，2π)內(nèi)單調(diào)______，其曲線在區(qū)間(0，)內(nèi)的凹凸性為______的正確答案：遞增凹解析：因y’=1-cosx，在區(qū)間(0，2π)內(nèi)y’≥0，故單調(diào)遞增；y’=sinx在區(qū)間(0，)內(nèi)恒大于0，故為凹的．33．設(shè)方程3x2+2y2+z2=a(a為常數(shù))所確定的隱函數(shù)為z=f(x，y)，則=______正確答案：解析：方程兩邊同時對x求偏導(dǎo)(視y為常數(shù))，得6x+2z.34．=______正確答案：2-2ln(1+)+C解析：=2t-2ln(1+t)+C=2-2ln(1+)+C35．=________正確答案：0解析：對稱區(qū)間上奇函數(shù)的定積分恒為零．36．在空間直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A(0，-4，1)，B(-1，-3，1)，C(2，-4，0)為頂點(diǎn)的△ABC的面積為________正確答案：解析：={-1，1，0}，={2，0，-1}，則={-1，-1，-2}，，故S△ABC=37．方程組在空間直角坐標(biāo)系下的圖形為________正確答案：兩條平行直線解析：將x=-2代入=1，得y=，則該方程組的另一種形式為，因此在空間直角坐標(biāo)系下的圖形表示兩條平行直線。38．函數(shù)f(x，y)=x3+y3-3xy的駐點(diǎn)為________正確答案：(0，0)(1，1)解析：令得駐點(diǎn)為(0，0)，(1，1)．39．若z=x2y+e1-x=_______正確答案：0解析：因?yàn)轱w（x，0)=0，所以=0．40．=_______正確答案：解析：由知積分區(qū)域D={(x，y)｜0≤x≤，x≤y≤}，該區(qū)域又可表示為D={(x，y)｜0≤y≤，0≤x≤y}，所以積分次序交換后，得41．直角坐標(biāo)系下二重積分f(x，y)dxdy(其中D為環(huán)域{(x，y)｜1≤x2+y2≤9})化為極坐標(biāo)形式為_______正確答案：f(rcosθ，rsinθ)rdr解析：D={(r，θ)｜0≤θ≤2π，1≤r≤3}，所以f(x，y)dxdy=f(rcosθ，rsinθ)rdr．42．以y=C1e-3x+C2x-3x為通解的二階常系數(shù)齊次線性微分方程為_____正確答案：y’’+6y’+9y=0解析：由通解形式容易知道相應(yīng)的齊次線性微分方程所對應(yīng)的特征根為=-3，故特征方程為(r+3)2=r2+6r+9=0，故二階常系數(shù)齊次線性微分方程為y’’+6y’+9y=0．43．等比級數(shù)aqn(0≠0)，當(dāng)______時級數(shù)收斂，當(dāng)__________時級數(shù)發(fā)散正確答案：｜q｜＜1｜q｜≥1解析：(a≠0)是等比級數(shù)，當(dāng)｜q｜＜1時級數(shù)收斂，當(dāng)｜q｜≥1時級數(shù)發(fā)散．44．函數(shù)f(x)=展開為x的冪級數(shù)為_______正確答案：+(-1)n+1)xn(-1＜x＜1)或(-＜x＜1)解析：f(x)45．是斂散性為_______的級數(shù)正確答案：發(fā)散解析：因=e-2≠0，故級數(shù)發(fā)散．解答題解答時應(yīng)寫出推理、演算步驟。46．求極限正確答案：原式=47．求極限正確答案：原式=48．已知y=lnsin(1-2x)，求正確答案：=[lnsin(1-2x)]’=[sin(1-2x)]’=.(-2)cos(1-2x)=-2cot(1-2x)49．求不定積分∫xarctanxdx正確答案：∫xarctanxdx=50．求函數(shù)z=excos(x+y)的全微分正確答案：因z=excos(x+y)，則=excos(x+y)-exsin(x+y)，=-exsin(x+y)，則dz=+dy=ex[cos(xy)-sin(x+y)]dx-exsin(x+y)dy．51．計算，其中D是由y=2，y=x，xy=1所圍成的區(qū)域。正確答案：區(qū)域D的邊界交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，(2，2)，(，2)，根據(jù)積分區(qū)域的特點(diǎn)可先選擇對x積分，再對y積分，此時積分區(qū)域?yàn)镈={(x，y)｜1≤y≤2，≤x≤y}，則52．求微分方程y’+ycosx=e-sinx滿足初始條件y(0)=-1的特解。正確答案：原方程對應(yīng)的齊次線性微分方程為y’+ycosx=0，其通解為y=Ce-sinx，設(shè)y=C(x)e-sinx為原微分方程的通解，代入原方程可得C’(x)e-sinx=e-sinx，即C’(x)=1，則C(x)=x+C，又因y(0)=-1，所以C=-1，從而原微分方程的通解為y=(x+C)e-sinx4．則特解為y=(x-1)e-sinx53．求級數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間(考慮區(qū)間端點(diǎn))．正確答案：因?yàn)樗允諗堪霃綖镽=，又當(dāng)x=時，對應(yīng)的級數(shù)為，為調(diào)和級數(shù)，發(fā)散，又當(dāng)x=時，對應(yīng)的級數(shù)為，由萊布