高三數(shù)學(xué)講座

第一講函數(shù)與方程

一、專題介紹

函數(shù)描述了自然界中量的依存關(guān)系，反映了一個(gè)事物隨著另一個(gè)事物變化而變化的關(guān)系

和規(guī)律.函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)是剔除問(wèn)題的非數(shù)學(xué)特征，用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對(duì)象，抽象其

數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系.

在解決某些數(shù)字問(wèn)題時(shí)，先設(shè)定一些未知數(shù)，然后把它們當(dāng)作已知數(shù)，根據(jù)題設(shè)本身各量間

的制約，列出等式，所設(shè)未知數(shù)溝通了變量之間的關(guān)系，這就是方程的思想.

函數(shù)與方程是兩個(gè)不同的概念，但它們之間有著密切的聯(lián)系，一個(gè)函數(shù)若有解析表達(dá)式，那

么這個(gè)表達(dá)式就可看成是個(gè)方程.一個(gè)二元方程，兩個(gè)變量存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系，如果這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)

系是函數(shù)，那么這個(gè)方程可以看成是個(gè)函數(shù)，一個(gè)一元方程，它的兩端可以分別看成函數(shù)，方

程的解即為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此，許多有關(guān)方程的問(wèn)題可以用函數(shù)的方法解決；反

之，許多有關(guān)函數(shù)的問(wèn)題則可以用方程的方法解決.總之，在復(fù)習(xí)中要注意領(lǐng)悟蘊(yùn)含在知識(shí)和解

題過(guò)程中函數(shù)和方程的思想，用它來(lái)指導(dǎo)解題.在解題中，同時(shí)要注意從不同的角度去觀察探索，

尋求多種方法，從而得到最佳解題方案.

例1.已知F(x)=x"-x''在XG(O,1)時(shí)函數(shù)值為正數(shù)，試比較a,6的大小.

分析：一般情況下，F(xiàn)(x)可以看成兩個(gè)幕函數(shù)的差.已知函數(shù)值為正數(shù)，即fi(x)=x”的

圖象在xe(O,1)上位于fz(x)=x"的圖象的上方，這時(shí)為了判斷募指數(shù)a,B的大小，就需要討

論a,6的值在(1,+8)上，或是在(0,1)上，或是在(0,1)內(nèi)的常數(shù)，于是F(x)成

為兩個(gè)同底數(shù)指數(shù)函數(shù)之差，由于指數(shù)函數(shù)y=a'(0〈a〈l)是減函數(shù)，又因?yàn)閤0-x">0,所以得

a<3.

例2.已知O〈a〈l,試比較"，（"）的大小.

分析：為比較屋與（a"）”的大小，將它們看成指數(shù)相同的兩個(gè)幕，由于幕函數(shù)

/W-X<（P<<1<0在區(qū)間［0,+8）上是增函數(shù)，因此只須比較底數(shù)a與a"的大小，由于指

數(shù)函數(shù)y=a*（0<a<l）為減函數(shù),且Da,所以a<a°,從而a0<（a?）

比較a"與（a"）"的大小，也可以將它們看成底數(shù)相同（都是a"）的兩個(gè)幕，于是可以利用

指數(shù)函數(shù)<9是減函數(shù)，由于l>a,得到a.〈（a,）\

由于a<a°,函數(shù)y=a*（0<a〈l）是減函數(shù)，因此a">（a"）

綜上，

解以上兩個(gè)例題的關(guān)鍵都在于適當(dāng)?shù)剡x取某一個(gè)函數(shù)，函數(shù)選得恰當(dāng)，解決問(wèn)題簡(jiǎn)單.

盛

例3.關(guān)于x的方程一-*一*有實(shí)根,且根大于3,求實(shí)數(shù)a的范圍.

分析：先將原方程化簡(jiǎn)為a*=3,但要注意0〈x<3且xWl.現(xiàn)將￡看成以a為底的指數(shù)函數(shù),

考慮底數(shù)a為何值時(shí)，函數(shù)值為3.如圖（1）,過(guò)（3,3）點(diǎn)的指數(shù)函數(shù)的底現(xiàn)要

求0〈x<3時(shí)，或=3,所以<?仁?萬(wàn).+6）,又因?yàn)閤Kl,在圖（1）中，過(guò)（1,3）點(diǎn)的指數(shù)函

數(shù)的底a=3,所以。W前現(xiàn)0E.

1--1

若將a,=3變形為。-3',令X,現(xiàn)研究指數(shù)函數(shù)a=3',由0<x〈l且xWl,得

’>彳①"，如圖（2）,很容易得到：酸為UCV3.

通過(guò)本例，說(shuō)明有些問(wèn)題可借助函數(shù)來(lái)解決，函數(shù)選擇得當(dāng)，解決就便利.

例4.函數(shù)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集上的周期函數(shù)，且是偶函數(shù)，已知當(dāng)XG［2,3］時(shí)，f(x)=x,

則當(dāng)xG［-2,0］時(shí)，f(x)的解析式是().

(A)f(x)=x+4(B)f(x)=2-x

(C)f(x)=3-|x+l|(D)f(x)=3+|x+l

解法一、：f(-2)=f(2)=2f(T)=f(3)=3,.?.只有(A)、(C)可能正確.

又；f(0)=f(2)=2,(A)錯(cuò)，(C)對(duì)，選(C).

解法二、依題意，在區(qū)間［2,3］上，函數(shù)的圖象是線段AB,

???函數(shù)周期是2,

，線段AB左移兩個(gè)單位得［0,1］上的圖象線段CD；再左移兩

個(gè)單位得［-2,1］上的圖象線段EF.

??,函數(shù)是偶函數(shù)，

把線段CD沿y軸翻折到左邊，得［-1,0］上的圖象線段FC.

于是由直線的點(diǎn)斜式方程，得函數(shù)在［-2,0］上的解析式：

&+2J+2xe［-X-U

(-(**0*3xe(-UH

即xe(-W

由于XG［-2,T］時(shí),x+IWO,xe(-1,0］時(shí),x+l>0,

所以y=3-|x+lI,xe[-2,0].

解法三、當(dāng)x￡[—2,T]時(shí),x+4e[2,3],

???函數(shù)周期是2,

Af(x+4)=f(x).

而f(x+4)=x+4,

AxG[-2,T]時(shí),f(x)=x+4=3+(x+l).

當(dāng)x￡[-1,0]時(shí)，-x[0,1],

且一x+2￡[2,3].

???函數(shù)是偶函數(shù)，周期又是2,

../W-/(-<+□)--x+2-3-(x+D,

-"+D.

由于xG[-2,T]時(shí)，x+lWO,xG(-1,01時(shí),x+l>0,

根據(jù)絕對(duì)值定義有xe[-2,0]時(shí),f(x)=3-|；x+l|.

本題應(yīng)抓住“偶函數(shù)”“周期性”這兩個(gè)概念的實(shí)質(zhì)去解決問(wèn)題.

例5.已知y=log.(2-ax)在[0,1]上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是().

(A)(0,1)(B)(1,2)(C)(0,2)(D)[2,

分析：設(shè)t=2-ax,則y=log,t,

因此，已知函數(shù)是上面這兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，其增減性要考查這兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，另外,

還要考慮零和負(fù)數(shù)無(wú)對(duì)數(shù)以及參數(shù)a對(duì)底數(shù)和真數(shù)的制約作用.

解法一、由于aWl,所以(C)是錯(cuò)誤的.

又a=2時(shí)，真數(shù)為2-2x,于是xNl,這和已知矛盾，所以(D)是錯(cuò)的.

當(dāng)O〈a<l時(shí)，t=2-ax是減函數(shù),而y=log,t也是減函數(shù),

故y=log,,(2-ax)是x的增函數(shù)，所以(A)是錯(cuò)的.

于是應(yīng)選(B).

解法二、設(shè)t=2-ax,y=log?t

由于a>0,所以t=2-ax是x的減函數(shù),

因此，只有當(dāng)a>Ly=log.t是增函數(shù)時(shí)，y=log,,(2-ax)在［0,1］上才是減函數(shù);

又x=l時(shí)，y=log1,(2-a),

依題意，此時(shí)，函數(shù)有定義，故2-a>0

綜上可知：Ka<2,

故應(yīng)選(B).

〃、l-2x

/W-~——

例6.已知1**,函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f'(x+l)的圖象關(guān)于y，=x對(duì)稱,

則g(5)=

y■x-.-2)

解法一、由l+x去分母，得,+9"'1一"，解出x,得

i-(x+r

一■小?(X*-2)/TQ+D-

2**,于是2+(*+D3*x

y-—--

設(shè)3*x,去分母得，V*,解出x,得

C的反函數(shù)"總?…

--3”55

解法二、由，-/"a+D,則」&)?力尸々+1?,

.?./O0.El,x.-I

即尸?ra+D的反函數(shù)為廠拉)-1,

根據(jù)已知：聚冷./⑸T

5

1+52

解法三、如圖，f(x)和fi(x)互為反函數(shù)，當(dāng)fl(x)的圖象沿X

軸負(fù)方向平移一個(gè)單位時(shí)，做為“鏡面”的另一側(cè)的“象"f(x)的圖

象一定向下平移1個(gè)單位，因此fFx+l)的圖象與f(x)-l的圖象關(guān)

于y=x對(duì)稱.

故f'(x+l)的反函數(shù)是g(x)=f(x)-l,

??

本解法從圖象的運(yùn)動(dòng)變化中，探求出r(x+D的反函數(shù)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢(shì).

三、鞏固練習(xí)

1-3.2］

(1)已知函數(shù)/口)?=’+(2a-D*-3在區(qū)間2*上的最大值為1,求實(shí)數(shù)a

的值.

/(x)-*-

(2)函數(shù)33的定義域是［a,b］,值域也是［a,b］，求a.b的值.

求函數(shù)kS式不i

(3)的最小值.

已知a>0,aXl,試求方程10g—叢)■"g/Q一")有解時(shí)k的取值范圍.

(5)設(shè)函數(shù)/㈤-+1-axffl>0)

(I)解不等式f(x)Wl

(II)求a的取值范圍，使f(x)在[0,+8)上是單調(diào)函數(shù).

四、練習(xí)解析

(1)解：f(x)在區(qū)間2上最大值可能在端點(diǎn)外取得，也可能在頂點(diǎn)處取得，

〃3、,10勿-123r

/(--)■1a---------------e[--,2]

23,而頂點(diǎn)橫坐標(biāo)Zi202,最大值在頂點(diǎn)外取得,

故此解舍去.

3r3M

[一一a

當(dāng)最大值為f(2)時(shí)，f(2)=1,4,頂點(diǎn)在2應(yīng)在區(qū)間右端點(diǎn)取得最大值，此解

合理.

衛(wèi)也工I四

當(dāng)最大值在頂點(diǎn)處取得時(shí)，由,解得2當(dāng)

+邛

-3此時(shí)，頂點(diǎn)不在區(qū)間卜:必內(nèi)，應(yīng)舍去.

-2

30-3-姬

a-—35-----------

綜上，42

(2)解：y=f(x)的圖象如圖，分三種情況討論.

當(dāng)0Wa<b時(shí)，f(x)為遞減函數(shù),

i7

/(a)■+--A

33

't7

+1_■(!

有I33,解得：a=l,b=2.

u

當(dāng)a〈O〈b時(shí)，f(x)最大值在頂點(diǎn)處取得，故3,

所以最小值應(yīng)在a處取得.

fl■----

解(3)分析：由于對(duì)數(shù)的底已明確是2,所以只須求X-2的最小值.

(3)解法一：：*-2,.-.x>2.

設(shè)“.工,則--曄+加。，

由于該方程有實(shí)根，且實(shí)根大于2,

金-8“20

2'一卯+2"0

解之,uN8.

當(dāng)u=8時(shí)，x=4,故等號(hào)能成立.

尸?3式

于是1。&>0且x=4ff寸，等號(hào)成立，因此K-2的最小值是3.

解法二：丁*-2,；.x>2

設(shè)右三，則”注:口一如七)?"--"號(hào)

JT-2----------

...且K-2,即X=4時(shí)，等號(hào)成立,

logzU》3且x=4時(shí)，等號(hào)成立.

的最小值是3.

x-afc>0

—〉0六一&>0

(4)解法■：原方程

由②可得：2Ax=a(l"‘)③，

當(dāng)k=0時(shí)，③無(wú)解，原方程無(wú)解;

8+好)、7、m

陵>砒(va>0)

當(dāng)kwo時(shí)，③解為2k,代入①式,

o在二蛙檢<06/<-l?O<jk<l

解法二：原方程.?kg.J/-M

原方程有解，應(yīng)方程組

y■x-nt

{廠獨(dú)

即兩曲線有交點(diǎn),那么ak<-a或0<ak<a(a>0)

，k〈-l或0<k<l.

⑸解(I),不等式f(x)〈l,即+=

由此得：IWl+ax即ax》0,其中常數(shù)a>0,

0

原不等式V-即［(『-DA2a2o

所給不等式解集為何°

當(dāng)a》l時(shí)，所給不等式解集為{x|x00}.

（II）在區(qū)間［0,+8）上任取XI,X2,使得X〈X2,

-/(Xa)-〃；+”也+1-。風(fēng)-*1)

(i)當(dāng)a2l時(shí)一,

..舊*1+/野1

X.-1*￡?

,I7F<0

.Jx：+1+J**1

又，F(xiàn)<°

.JSJ-g”。

所以，當(dāng)aNl時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間［0,+8）匕是單調(diào)遞減函數(shù).

2a

勺?°rt4"zt

(ii)當(dāng)0<a〈l時(shí)，在［0,+8)上存在兩點(diǎn)滿足f(x)=l,f(xj=l,即

f（Xl）=f（X2）,，函數(shù)f（X）在區(qū)間［0,+8］上不是單調(diào)函數(shù).

第二講分類討論

一、專題介紹

分類乂稱邏輯劃分.分類討論即是一種數(shù)學(xué)思維方法，也是?種重要的解題策略，常常

能起到簡(jiǎn)化問(wèn)題、解決問(wèn)題的作用.

數(shù)字的解題過(guò)程，實(shí)質(zhì)是一個(gè)變形過(guò)程，往往需要一些條件的限制，從而引起分類討論.

分類討論的關(guān)鍵問(wèn)題就是：對(duì)哪個(gè)變量分類，如何分類.

分類的原則：由分類的定義，分類應(yīng)滿足下列要求：

(1)保證各類對(duì)象即不重復(fù)又不遺漏.

(2)每次分類必須保持同一分類標(biāo)準(zhǔn).

應(yīng)用分類討論解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一步驟：

(1)確定討論對(duì)象和需要分類的全集.(2)確定分類標(biāo)準(zhǔn)(3)確定分類方法(4)逐項(xiàng)

進(jìn)行討論(5)歸納小結(jié)

應(yīng)該注意的是，在運(yùn)用時(shí)，不要肓目或機(jī)械地進(jìn)行分類討論，有的題目雖然含有分類因素,

但不要急于分類討論，要首先對(duì)問(wèn)題作深入的研究，充分挖掘題目的已知量與未知量之間的關(guān)系,

尋求正確的解題策略，則可以簡(jiǎn)化分類討論的步驟或避免不必要的分類討論，使解題更簡(jiǎn)單.

二、例題分析

a*一回心9.國(guó)

cox

例1：求函數(shù)-H*廚"的值域.

分析：根據(jù)絕對(duì)值的定義

a(a>Q)

H0<0(a-Q)

-a(a<0)

及題設(shè)中函數(shù)的表達(dá)式可知，要分別對(duì)絕對(duì)值號(hào)中的sinx,cosx,tgx,ctgx按照其大于零，

小于零(不能為零)來(lái)討論，以去掉絕對(duì)值號(hào).而決定三角函數(shù)值正負(fù)的因素是角x所在的象限,

故按角x的終邊所在的象限為分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行分類討論：

解(1)角x在第一象限時(shí),

“J**+處*T

nXCMXigKCtgK

(2)角x在第二象限時(shí)，

疝1上工-8?Jr工±gx「ctgx....o

SBLXCO8X-|gXCtgK

(3)角x在第三象限時(shí)，

“工吧--1_1+1+1?0

-shKC8X領(lǐng)CtgK

(4)角x在第四象限時(shí)，

“三+巴￡+旦*3-—17

-mxco?x-<gx

綜上所述：函數(shù)的值域?yàn)椋?,0,-2)

說(shuō)明：數(shù)學(xué)中的概念有些是含有不同種類的，當(dāng)題H涉及這樣的概念時(shí)，必須按給出概念

的分類方式進(jìn)行分類討論，才能使解答完整無(wú)誤.

例2,已知扇形的圓心角為60°,半徑為5cm,求這個(gè)扇形的內(nèi)接長(zhǎng)方形的最大面積.圖

解：如圖一，內(nèi)接長(zhǎng)方形CDEF的面積為：S=ED?EF,ED=0E-sin9=5sin0

EPOR

在aEFO中，運(yùn)用正弦定理，得演60?-約向120*

S-碧向6皿60*一切?意cos(2@-6(n-cos6(r]

如圖二.取第的中點(diǎn)M,連接0M分扇形為兩個(gè)小扇形，在這兩個(gè)小扇形中，各有原

內(nèi)接長(zhǎng)方形的一半，.?.內(nèi)接長(zhǎng)方形的面積為一個(gè)小扇形中內(nèi)接長(zhǎng)方形面積的2倍.

即

5

50-2sh-0-5O(C<N(20-309-cos"]

鄧-爭(zhēng)

再比較S大與SJ的大小

學(xué)小-500-尊嗯(7，-⑵嗯(質(zhì)-耐>0

6266

s*)s*

圖1圖2

綜上，所求扇形的最大內(nèi)接長(zhǎng)方形的面積為

說(shuō)明：本題是由圖形的位置及形狀不能確定引起的分類討論，其原因在于扇形內(nèi)接長(zhǎng)方形相

對(duì)于扇形的位置不確定，故而求出兩種位置下的面積后判斷最大為多少.

例3已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q(2,0)和圓C：xz+y'l,動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長(zhǎng)與|MQ1的比

等于常數(shù)A(X>0),求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，說(shuō)明它表示什么曲線.

解如圖，設(shè)直線MN切圓0于N,則動(dòng)點(diǎn)M組成的集合是

P={M||MN|=X|MQ|}（其中X>0）

:圓半徑|ON|=1,|MN『=|M0|2-|0N|z=|M0|2-l

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y）,則

整理得：d-Mi+/）TZ*+a+4乃-0

經(jīng)檢驗(yàn)，坐標(biāo)適合這個(gè)方程的點(diǎn)都屬于集合P,故這個(gè)方程為所求的軌跡方程.

當(dāng)入=1時(shí)，方程化為4,它表示一條直線，該直線與X軸垂直且交X軸于點(diǎn)

H-3X?

當(dāng)入#1時(shí)，方程化為

它表示圓，該圓圓心的坐標(biāo)為I居41。）},半徑為

說(shuō)明：本題在求出軌跡方程之后，在判定為何曲線時(shí)，因參數(shù)引起了分類討論：?些問(wèn)題中

的數(shù)學(xué)表達(dá)式中因含有會(huì)導(dǎo)致不同結(jié)論的參數(shù)，從而需對(duì)參數(shù)分情況討論，求得問(wèn)題的結(jié)果.

例4已知a>l,解關(guān)于x的不等式:

2—初

c&?(*-/>yX-"

解:原不等式lx-l>0

，”相>1*?(?-2)

K-1>0

1+4*-2)>0

xJ-(2*a)x*2a>0(x-2)(x-?)>0①

x>l

③

(i)當(dāng)lVa<2時(shí)，由①得：xVa或x>2

x>2

(ii)當(dāng)a=2時(shí)，由①得xN2,由③得2

:?解集為U2J

(iii)當(dāng)a>2時(shí)，由①得，x<2或x>a

1<2--<2

/xb--<X<2或彳>6

解集為Ua

說(shuō)明：本題中參數(shù)a,在求解集過(guò)程中，不同的取值，影響解集，故而要分類討論，這是變

形所需.

例5某城市用水收費(fèi)方法是：水費(fèi)=基本費(fèi)+超額費(fèi)+排污費(fèi)，若每月水量不超過(guò)最低限量am3

時(shí)，只付基本費(fèi)8元和每戶每定額排污費(fèi)c元；若用水量超過(guò)an?時(shí)，除了付給同上的基本費(fèi)和

排污費(fèi)外，超過(guò)部分每方米付b元的超額費(fèi).已知每戶每月的排污費(fèi)不超過(guò)4元，該市一家庭今

年第一季度的用水量和支付費(fèi)用如下表所示：

月份用水量(n?)水費(fèi)(元)

189

21519

31315

解：設(shè)每月用水量為xm‘，支付費(fèi)用為y元.

8+c

貝ijy=l?+Mx-。)

由題意知0<cW4,8+cW12.

故第2、3月份用水量15am3-13an?大于最低用水限量am，

和

將卜?19>-15分別代入/-8+乂/-.)+。中，得

fl9-8+AQ5-?)+c.

G+19

[15-8+*03-<0+?①

再分析1月份用水量是否超過(guò)最低限量am3

不妨設(shè)8>a,

x=84.

ItAjr-8+2(x<-a)+c

{>=9中，得

9=8+2(8-a)+c,

得2a=c+15②

顯然①、②矛盾

???1月份用水量不超過(guò)最低限量.

又：y=8+c

?*.9=8+c,c=l

?*.a=10,b=2,c=l

說(shuō)明：本題為實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，在解題過(guò)程中，隱含著分類討論：a>8,a=8,a<8,根據(jù)條件,

逐一討論，使問(wèn)題得以解決.

例6設(shè)a>0,且aWl,解關(guān)于x的不等式:

Vf?8?x-2I<2

解：原不等式cRbg.K-N-kg.x-HCZ

當(dāng)OVa<l時(shí)，

Jr>a

原不等式?1(2-2kg<才+—■x-2)<2.

?'<*?<>.

((2kg.x-25*(log.x-2)<2

b<jr"

或(III)|(2-l?8**-2)-(loa?*-2)<2

a<x<—="

解不等式組(I),得。；

解不等式組(ii),得

解不等式組(IH),無(wú)解.

(相<x<

二原不等式的解集為ITa)

當(dāng)a>l時(shí)，

原不等式=

fO<x<a,

(I)lC2-2fc8.z)*(Mg<-2)<2;

<X4M

或(II)(2k8*x-2)*Q08?-2)<2；

或(III)l(2k)g<x-2)-(kgex-2)<^

1//

-X<G

解不等式組(I),得。

解不等式組(II),得a^x<a2；

不等式（山）無(wú)解

[轉(zhuǎn)**'}

...原不等式的解集是IMJ

說(shuō)明：本題在對(duì)a進(jìn)行分類的過(guò)程中，又對(duì)x進(jìn)行分類，以去掉絕對(duì)值符號(hào)，是多次分類。

例7設(shè),比較10g的大小.

分析：本題可用比差法，但要對(duì)a進(jìn)行分類討論，而用商比較法，可以不再進(jìn)行分類討論,

解起來(lái)簡(jiǎn)單了.

ft?VO<x<l

1-Ml-X

Je.a-N>k*?。+切

說(shuō)明：分類討論的目的是為了解決問(wèn)題，但要視情況而定，若能不分類即可把問(wèn)題解決

就不要分類討論.

三、鞏固練習(xí)

1.已知不共面的三條直線a、b、c,a〃b〃c,過(guò)a作平面a,使b、c至1]a的距離相等,

則滿足條件的平面a有()

(A)l個(gè)(B)2個(gè)(04個(gè)(D)無(wú)數(shù)個(gè)

2.函數(shù)與它的反函數(shù)是同一函數(shù)的充要條件是()

(A)a=l,b=0(B)a=-l,b=0

(C)a=±l,b=0(D)a=l,b=0或a=-l,b￡R

士+上T

3.已知k是常數(shù)，若雙曲線上-52-|*|的焦距與k值無(wú)關(guān)，則k的取值范圍

是()

(A)-2<kW2(B)k>5

(C)-2<kW0(D)0Wk<2

4,已知數(shù)列｛a.｝前n項(xiàng)之和S.滿足,則a.=.

5.直線m過(guò)點(diǎn)P(-2,1),點(diǎn)A(T,-2)到直線m的距離等于1,則直線m的方程為一

6.根據(jù)實(shí)數(shù)k的不同取值，討論直線y=k(x+l)與雙曲線

-/-4的公共點(diǎn)個(gè)數(shù).

7.已知數(shù)列⑸｝和函數(shù)13…+/*?.當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí),'(-Dr

當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，--M.求｛?｝的通項(xiàng)公式.

8.設(shè)a>O,akl,解關(guān)于x的不等式.

X

四、練習(xí)解析

1.B)提示：兩種情況：過(guò)a與b、c所確定平面平行，或過(guò)a與b、c所確定平面相交.

2.選(D),提示：的反函數(shù)為‘a(chǎn)a,依題意

a■—①

4a

--x--b■—②

a?a由①得a=±l,當(dāng)a=l時(shí)，b=0,當(dāng)a=-l時(shí)，bWR.

3.選(C)提示：表示雙曲線，則"2~|如<。羋,此時(shí)，

*-5<0,H2-|*|-(*-5)-V-2*，不合題意，當(dāng)kWO時(shí)，-2<kW0,此時(shí)，*-5<0,

則2-國(guó)卡,與k無(wú)關(guān).

3..T

4.提示：由麻，區(qū)+D..+L而?3且當(dāng)Q2

時(shí)，

況一1T.2?若R-l1fcl.2

殺?1

a."<

,?7.C2

5.4x+3y+5=0或x=-2提示：直線m的斜率不存在時(shí)，方程為x=-2,滿足條件，當(dāng)斜率

存在時(shí)，設(shè)其方程為y-l=k(x+2),由點(diǎn)到直線的距離公式，可得3

GF-*(X+D

6.解：由卜-〃?4消去y整理得Q-止*-蛭*破-4?0

.it-t-±—(I+1)

當(dāng)時(shí)，2，此時(shí)直線2分別與雙曲線的漸近線平行,

它們分別與雙曲線的?支交于一點(diǎn)

當(dāng)［一”.0時(shí)，A-l6Cl-3e）

至g(x+D

k

???當(dāng)~3時(shí)，直線3分別與雙曲線只有?個(gè)公共點(diǎn);

-3<人苴亞.J

當(dāng)332時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn);

*<--ifc>—

當(dāng)33時(shí)，直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn).

7.解當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí),

工（一”-%+--0j+a?------jy

此時(shí)n-1為正奇數(shù)，貝廣，+--5*■-----■4-《』（-D.十-D

.+<ia.tf,-2?-1

當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，(n>l)

工「口.』+■----4-r

此時(shí)n-1為正偶數(shù)，則--F-a3y-…+J

.?6-D-..F,解得...一］

而當(dāng)n=l時(shí)，由已知得如■工（-D-FI-T./「I

故數(shù)列卜」的通項(xiàng)公式為."2,1-1

>fc?ga

8.解：原不等式xa

0<a<I此。<I-a<L—>1

當(dāng)1-。

原不等式x

口>Q

O<XO

(l-a)x-l0<x<-L

<01-0

?,?原不等式的解集是{M*}；

當(dāng)a>lft.l-a<0

3

原不等式X

K-\—1

O——^-<0?—<x<0

x1-a

.??原不等式的解集為I"aJ

第三講數(shù)形結(jié)合

一、專題概述——什么是數(shù)形結(jié)合的思想

數(shù)形結(jié)合的思想，就是把問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來(lái)加以考察的思想.

恩格斯說(shuō)：“純數(shù)學(xué)的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系.”“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中

兩個(gè)最基本的概念，它們既是對(duì)立的，又是統(tǒng)一的，每一個(gè)幾何圖形中都蘊(yùn)含著與它們的形狀、

大小、位置密切相關(guān)的數(shù)量關(guān)系；反之，數(shù)量關(guān)系又常常可以通過(guò)幾何圖形做出直觀地反映和描

述，數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，使抽象思維和形象思維結(jié)合

起來(lái)，在解決代數(shù)問(wèn)題時(shí)，想到它的圖形，從而啟發(fā)思維，找到解題之路；或者在研究圖形時(shí)，

利用代數(shù)的性質(zhì)，解決幾何的問(wèn)題.實(shí)現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化難為易，化抽象

為直觀.

數(shù)形結(jié)合包括：函數(shù)與圖象、方程與曲線、復(fù)數(shù)與幾何的結(jié)合；幾何語(yǔ)言敘述與幾何圖形的

結(jié)合等.

二、例題分析一數(shù)形結(jié)合思想的掌握

1.善于觀察圖形，以揭示圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系.

觀察是人們認(rèn)識(shí)客觀事物的開(kāi)始，直觀是圖形的基本特征，觀察圖形的形狀、大小和相互位

置關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上揭示圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，是認(rèn)識(shí)、掌握數(shù)形結(jié)合的重要進(jìn)程.

例1.函數(shù)2的圖象的一條對(duì)稱軸方程是：

XXX5

X-X---X--X--M

（A）2（B）4（C）8（D）4

分析：通過(guò)畫出函數(shù)的圖象，然后分別畫出上述四條直線，逐一觀察，可以找出正確的答案,

如果對(duì)函數(shù)尸+?的圖象做深入的觀察，就可知，凡直線x=a通過(guò)這一曲線的一個(gè)

最高點(diǎn)或一個(gè)最低點(diǎn)，必為曲線的一條對(duì)稱軸，因此，解這個(gè)問(wèn)題可以分別將

xx5

x———，一一,一，一wy.一10—0

2*4*8*4代入函數(shù)的解析式，算得對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別是："'2’,其中

只有-1是這一函數(shù)的最小值，由此可知，應(yīng)選（A）

2.正確繪制圖形，以反映圖形中相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系.

觀察圖形，既要定性也要定量，借助圖形來(lái)完成某些題時(shí)，僅畫圖示“意”是不夠的，還必

須反映出圖形中的數(shù)量關(guān)系.

例2.問(wèn)：圓*'*）'+2*+4>-3-°上到直線**〉+1?0的距離為￡的點(diǎn)共有幾

個(gè)？

分析由平面兒何知：到定直線L：.。的距離為企的點(diǎn)的軌跡是平行L的兩條

直線.因此問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為判定這兩條直線與已知圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

將圓方程變形為：+6*2）'-8,知其圓心是c（-i,-2）,半徑而圓

心到定直線L的距離為/，由此判定平行于直線L且距離為調(diào)的兩條直線中，一條通過(guò)圓心

C,另一條與圓C相切，所以這兩條直線與圓C共有3個(gè)公共點(diǎn)（如圖1）

啟示：正確繪制圖形，一定要注意把圖形與計(jì)算結(jié)合起來(lái)，以求既定性，又定量，才能充

分發(fā)揮圖形的判定作用.

3.切實(shí)把握“數(shù)”與“形”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以圖識(shí)性，以性識(shí)圖.

數(shù)形結(jié)合的核心是“數(shù)”與“形”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，熟知這些對(duì)應(yīng)關(guān)系，溝通兩者的聯(lián)系，才能

把握住每個(gè)研究對(duì)象在數(shù)量關(guān)系上的性質(zhì)與相應(yīng)的圖形的特征之間的關(guān)聯(lián)，以求相輔相成，相

互轉(zhuǎn)化.

例3.判定下列圖中，哪個(gè)是表示函數(shù)X，圖象.

分析由",可知函數(shù)>7’是偶函數(shù)，其圖象應(yīng)關(guān)于y軸對(duì)稱，因而否

0<-<1!

定（B）、（C）,又3,的圖象應(yīng)當(dāng)是上凸的，（在第I象限，函數(shù)y單調(diào)增，

但變化趨勢(shì)比較平緩），因而（A）應(yīng)是函數(shù)圖象.

例4.如圖，液體從一圓錐形漏斗注入一圓柱形桶中，開(kāi)始時(shí)，漏斗盛滿液體，經(jīng)過(guò)3分鐘

注完.已知圓柱中液面上升的速度是一個(gè)常量，H是圓錐形漏斗中液面下落的距離，則H與下落

時(shí)間t（分）的函數(shù)關(guān)系用圖象表示只可能是（）.

分析由于圓柱中液面上升的速度是一個(gè)常量，所以H與t的關(guān)系不是（B）,下落時(shí)間

t越大，液面下落的距離H應(yīng)越大，這種變化趨勢(shì)應(yīng)是越來(lái)越快，圖象應(yīng)當(dāng)是下凸的，所以只可

能是（D）.

例5.若復(fù)數(shù)z滿足卜一1|,點(diǎn)，且則在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的圖形面積是多

少？

分析滿足卜點(diǎn)的復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的圖形是：以C（l,l）為圓心，石為半徑的圓

面，該圓面與4圖形的公共部分為圖中所示陰影部分（要注意到NA0C=45°）

^—42—yf2——yf2^29i—?—x—1

因此所求圖形的面積為：222222

4.靈活應(yīng)用“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化，提高思維的靈活性和創(chuàng)造性.

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合的思想和方法體現(xiàn)最充分的是解析幾何，此外，函數(shù)與圖象之間，

復(fù)數(shù)與幾何之間的相互轉(zhuǎn)化也充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想和方法.通過(guò)聯(lián)想找到數(shù)與形之間的對(duì)

應(yīng)關(guān)系是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的先決條件，而強(qiáng)化這種轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練則是提高思維的靈活性和創(chuàng)造性的重要手

段.

例6.已知C〈0,試比較的大小.

分析這是比較數(shù)值大小問(wèn)題，用比較法會(huì)在計(jì)算中遇到一定困難，y=d）xy/

y-xjr-2*-（—）r

在同一坐標(biāo)系中，畫出三個(gè)函數(shù)：2的圖象位于y

軸左側(cè)的部分，（如圖）很快就可以從三個(gè)圖象的上、下位置關(guān)系得出正

O2C<（今。

確的結(jié)論:

例7解不等式或X+5>X+1

解法一（用代數(shù)方法求解），此不等式等價(jià)于:

2*+520

?“<?；?**1205

2/5>?+即一小—"x<2

r"解得2

故原不等式的解集是

解法二（采用圖象法）設(shè),"/45X71T?S）即/.給+2小2-彳2。20）

對(duì)應(yīng)的曲線是以2為頂點(diǎn)，開(kāi)口向右的拋物線的上半支.而函數(shù)y=x+l的圖象是一

直線.（如圖）

解方程巧***1可求出拋物線上半支與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,取拋物線位于直

線上方的部分，故得原不等式的解集是I2

借助于函數(shù)的圖象或方程的曲線，引入解不等式（或方程）的圖象法，可以有效地審清題意,

簡(jiǎn)化求解過(guò)程，并檢驗(yàn)所得的結(jié)果.

例8討論方程卜-2'T?如‘幻的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù).

分析：作出函數(shù)-2n-3一4的圖象，保

留其位于X軸上方的部分，將位于X軸下方的部分沿X軸翻折到X

軸上方，便可得到函數(shù)-2*7的圖象.（如圖）再討論

它與直線y=a的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.

.?.當(dāng)a<0時(shí)，解的個(gè)數(shù)是0；

當(dāng)a=0時(shí)或a>4時(shí)，解的個(gè)數(shù)是2；

當(dāng)0VaV4時(shí)，解的個(gè)數(shù)是4；

當(dāng)a=4時(shí)，解的個(gè)數(shù)是3.

例9.已知直線，■向和雙曲線?一口T有且

僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的不同取值有（）

（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)

分析：作出雙曲線的圖象，并注意到直線是過(guò)定點(diǎn)（一點(diǎn)）

y?士一X

的直線系，雙曲線的漸近線方程為-2

.?.過(guò)（一巨°）點(diǎn)且和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有

一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)k取兩個(gè)不同值，此外，過(guò)（一或0）點(diǎn)且和

雙曲線相切的直線與雙曲線有且僅有?個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)k取兩個(gè)不

同的值，故正確答案為（D）

y

例10.設(shè)點(diǎn)P(x,y)在曲線.?小一笏?6上移動(dòng)，求才的最大值和最

小值.

解曲線(*-配+3-"'6是中心在(3,3),長(zhǎng)軸為2#,短軸為2色的橢圓.設(shè)

——k

*,即丫=1?(為過(guò)原點(diǎn)的直線系，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：求過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓相切時(shí)的斜率.(如

圖所示)

p-Ax

l(x-3)a*2(y-3)a-6消去丫得(1+比?)-(6+12t)x+21-0

△-(6*1狗1-4x21(1+2P)--24*11-1441-48-0

解得：七?3士幣

y

故K的最大值為3+幣，最小值為3-赤

例11.求函數(shù)h-/(x)Tx'+/*J(MW(其中a,b,c是正常數(shù))的最小值.

分析采用代數(shù)方法求解是十分困難的，剖析函數(shù)解析式的特征，兩個(gè)根式均可視為平面上

兩點(diǎn)間的距離，故設(shè)法借助于幾何圖形求解.如圖

設(shè)A(0,a),B(b,-c)為兩定點(diǎn)，P(x,0)為X軸上一動(dòng)點(diǎn),

則A.際/+而二行不?|阿*僧］2PMi■巧而守其中的等號(hào)

在P為線段AB與x軸的交點(diǎn)處，即時(shí)成立.

故y的最小值為J"*')'"'

—+J-l(a>0>>0)

a

例12.P是橢圓a6上任意一點(diǎn)，以0P為一邊作矩形0PQR

（O,P,Q,R依逆時(shí)針?lè)较蚺帕校┦箌0R|=2|0P|,求動(dòng)點(diǎn)R的軌跡的普通方程.

分析在矩形0PQR中（如圖），由NP0R=90°,|0R|=2|0P|可知,OR是OP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

90°,并將長(zhǎng)度擴(kuò)大為原來(lái)的2倍得到的.這圖形變換恰是復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，因此，可轉(zhuǎn)

化為復(fù)數(shù)的運(yùn)算，找到R和P的兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，以求得問(wèn)題的解決.

解，設(shè)R點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為：P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為**盧?柞同

則m*yi-（K**y*i）-2（co?9（r+iaii9（T）--2yt2?,i

丁心

卜加六工變.曳=1

故口”/即I2由點(diǎn)以*8在橢圓上可知有：a1b*

整理得：4a14b1就是R點(diǎn)的軌跡方程，表示半長(zhǎng)軸為2a,半短軸為2b,中心在原

點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓.

三、解題訓(xùn)練

1.求下列方程實(shí)根的個(gè)數(shù):

(1)匕8式x+4)-3*

K

snK.-----

(2)100

L3-3z+2|-）

2.無(wú)論m取任何實(shí)數(shù)值，方程’12的實(shí)根個(gè)數(shù)都是（）

（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）不確定

3.已知函數(shù)/㈤-s'y+」的圖象如右圖則o

(A)beSo)(B)be(0,1)

(C)be(l,2)(D)be(2,+8)

4.不等式'P的解集是()

(A)(0,+8)(B)(0,1)(C)(1,+8)(D)(-8,o)

5.不等式k-d+k-Wva一定有解，則a的取值范圍是()

(A)(1,+8)(B)[1,+°°](C)—J)(D)(0,1]

6.解下列不等式：

2.3__________

(1)**⑵2x-l?-2x-3

*

7.復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)A、B分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)2,2+i,向量M繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)5至向量XC,

則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是.

8.若復(fù)數(shù)z滿足|z|<2,則arg(z-4)的最大值為一

I

9.函數(shù)X的圖象是平面上兩定點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡，則這兩定點(diǎn)

的坐標(biāo)是()

(A)(-五，-我)(點(diǎn)，-Ji)(B)(-虎，近)(0,-萬(wàn))

(C)(-2遮，2點(diǎn))(2卷，2萬(wàn))(D)(2/，-2袤)(-2萬(wàn)，2萬(wàn))

e.蟲(chóng)7

10.曲線94與直線,-**3的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

(A)0(B)1(C)2(D)3

11.曲線與直線〉有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值是()

12,已知集合*"U"'"7""，#/3力7")滿足MCN7

求實(shí)數(shù)b的取值范