等腰三角形與直角三角形2021年中考數(shù)學真題分項匯編2

2021年中考數(shù)學真題分項匯編【全國通用】（第01期）

專題17等腰三角形與直角三角形〔共42題〕

姓名：班級：得分：

一、單項選擇題

1.（2021?湖南衡陽市?中考真題）以下命題是真命題的是（）.

A.正六邊形的外角和大于正五邊形的外角和B.正六邊形的每一個內(nèi)角為120。

C.有一個角是6（）。的三角形是等邊三角形D.對角線相等的四邊形是矩形

【答案】B

【分析】

根據(jù)多邊形外角和、正多邊形內(nèi)角和、等邊三角形、矩形的性質(zhì)，對各個選項逐個分析，即可得到答案.

【詳解】

正六邊形的外角和，和正五邊形的外角和相等，均為360°

.??選項A不符合題意；

正六邊形的內(nèi)角和為：（6-2）x180°=720°

720°

???每一個內(nèi)角為——=120°,即選項B正確：

6

三個角均為60。的三角形是等邊三角形

二選項C不符合題意；

對角線相等的平行四邊形是矩形

二選項D不正確；

應選：B.

【點睛】

此題考查了多邊形外角和、正多邊形內(nèi)角和、等邊三角形、矩形的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握多邊形外

角和、正多邊形內(nèi)角和、等邊三角形、矩形的性質(zhì)，從而完成求解.

2.[2021?江蘇揚州市?中考真題）如圖，在4*4的正方形網(wǎng)格中有兩個格點A、B,連接在網(wǎng)格中再

找一個格點G使得是等曖直手三角形，滿足條件的格點C的個數(shù)是0

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①A8為等腰直角AABC底邊；②A8為等腰直角△ABC其中的一

條腰.

【詳解】

解：如圖：分情況討論：

①AB為等腰直角△ABC底邊時，符合條件的C點有0個；

②A8為等腰直角△48c其中的一條腰時，符合條件的C點有3個.

故共有3個點，

應選：B.

【點睛】

此題考查了等腰三角形的判定；解答此題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實際條件的圖形，數(shù)形結(jié)合的思想是

數(shù)學解題中很重要的解題思想.

3.（2021?浙江寧波市?中考真題）如圖，在△A5c中，NB=45°,ZC=60。,4。，于點。，瓦）=G.假

設(shè)E,尸分別為AB,8C的中點，那么EF的長為0

A6R^301n瓜

A.B.C.1D.

322

【答案】C

【分析】

根據(jù)條件可知△48。為等腰直角三角形，那么8￡>=AD,△4DC是30。、60。的直角三角形，可求出AC長，

Ar

再根據(jù)中位線定理可知EF=—

2

【詳解】

解：因為AP垂直8C,

那么△ABD前必ACD都是直角三角形，

又因為NB=45°,NC=60°,

所以49=3。=6，

因為sin/C=42=@,

AC2

所以AC=2,

因為E尸為△ABC的中位線,

所以EF=——=1,

2

應選：C.

【點睛】

此題主要考查了等腰直角三角形、銳角三角形函數(shù)值、中位線相關(guān)知識，根據(jù)條件分析利用定理推導，是

解決問題的關(guān)鍵.

4.（2021?四川涼山彝族自治州?中考真題）以下命題中，假命題是0

A.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

B.等腰三角形頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高相互重合

C.假設(shè)AB=5C,那么點8是線段AC的中點

D.三角形三條邊的垂直平分線的交點叫做這個三角形的外心

【答案】C

【分析】

根據(jù)中點的定義，直角三角形的性質(zhì)，三線合一以及外心的定義分別判斷即可.

【詳解】

解：A、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，故為真命題；

B、等腰三角形頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高相互重合，故為真命題；

C、假設(shè)在同一條直線上A8=8C,那么點8是線段AC的中點，故為假命題；

D、三角形三條邊的垂直平分線的交點叫做這個三角形的外心，故為真命題；

應選C.

【點睛】

此題考查了中點的定義，直角三角形的性質(zhì)，三線合一以及外心的性質(zhì)，屬于根底知識，要熟練掌握.

5.（2021?四川瀘州市?中考真題）在銳角AA5C中，ZA,NB,NC所對的邊分別為a,b,c,有以下結(jié)論：

cihc

——=——=——=2R（其中R為的外接圓半徑）成立.在中，假設(shè)NA=75。，NB=45。，

sinAsinBsinC

c=4,那么△ABC的外接圓面積為（）

【答案】A

【分析】

c1

方法一：先求出NC,根據(jù)題H所給的定理，——=2R,利用圓的面積公式S行——.

sinC3

方法二：設(shè)△ABC的外心為0,連結(jié)OA,0B,過。作0D_LA8于。，由三角形內(nèi)角和可求/C=60。，由

圓周角定理可求NAOB=2NC=I20。，由等腰三角形性質(zhì)，/。48=/。84=30°,由垂徑定理可求AD^BD^l,

利用三角函數(shù)可求。4=生巨,利用圓的面積公式S極1=匝.

33

【詳解】

解:方法一：VZA=75°,NB=45。，

/.ZC=180°-ZA-ZB=l80o-75°-45o=60°,

2R_c_4=4=8—

有題意可知—sin。-sin60°一耳一亍，

T

16幾

:.S網(wǎng)=71R——TlOfii—71

方法二：設(shè)△A3C的外心為。，連結(jié)04,OB,過。作于。,

VZ4=75°,ZZ?=45°,

???ZC=180°-ZA-ZB=\80o-750-45o=60°,

???ZAOB=2ZC=2x6Q0=120°,

?：0A=0B,

Z0AB=N0ZM=g（180。-120。）=30°,

VODLABfA8為弦,

：.AD=BD=-AB=2,

2

：.AD=OAcos300,

.?Q=AD-cos30°=2--=—.

23

、2

4百16〃

?*.S孰=TTR~~7TOA~—n

3J-T

故答案為A.

【點睛】

此題考查三角形的外接圓，三角形內(nèi)角和，圓周角定理，等腰三角形性質(zhì)，垂徑定理，銳角三角函數(shù)，圓

的面積公式，掌握三角形的外接圓，三角形內(nèi)角和，圓周角定理，等腰三角形性質(zhì)，垂徑定理，銳角三角

函數(shù)，圓的面積公式是解題關(guān)鍵.

6.（2021?浙江溫州市?中考真題）圖1是第七屆國際數(shù)學教育大會（ICME）的會徽，在其主體圖案中選擇

兩個相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形。假設(shè)AB=BC=1.ZAOB=a,

那么OC?的值為（）

1,1

A.—5—+1B.sin-a+lC.—、-+1D.COS2?+1

sin-acos'a

【答案】A

【分析】

根據(jù)勾股定理和三角函數(shù)求解.

【詳解】

?在RfVOAB中，ZAOB=a,=1

AB1

，OB=

sinasina

在中，BC=\,OC2OB2+BC2=1—I+12=—^+1

IsinaJsin'a

應選：A.

【點睛】

此題主要考查勾股定理和三角函數(shù).如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,h,斜邊長為c,那么

cr+b2-c2■

7.（2021?四川涼山彝族自治州?中考真題）如圖，AABC中，NACB=90。,AC=8,BC=6,將AADE沿

翻折，使點A與點B重合，那么CE的長為0

19257

A.—B.2C.—D.一

844

【答案】D

【分析】

先在放A8C中利用勾股定理計算出48=10,再利用折疊的性質(zhì)得到AD=BD=5,設(shè)AE=x,那么

CE=4C-AE=8-x,BE=x,在8CE中根據(jù)勾股定理可得到f=6?+（8-x）2,解得x,可得CE.

【詳解】

解：VZACB=90°,AC=8,BC=6,

yjAC2+BC2=]0，

,/△AOE沿DE翻折，使點A與點B重合,

.\AE=BE,AD=BD=—AB=5,

2

設(shè)AE=x,那么CE=4C-AE=8-x,BE=x,

在/?/△BCE中

'.'BE^BC^+CE2,

25

.'.x2=62+(8-x)2,解得x=—,

4

應選：D.

【點睛】

此題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖象全等，即對應角相等，對應邊相等.也考查J’勾股定理.

Ar

8.（2021?陜西中考真題）如圖，在菱形A5C。中，NA5C=60。，連接AC、BD,那么一的值為0

BD

A.1B.立C.BD.B

2223

【答案】D

【分析】

設(shè)AC與80的交點為0,由題意易得乙ABD=4CBD=-4ABC,AB=BC,

2

ACLBD,BO^DO,AO=CO,進而可得△ABC是等邊三角形，BO=CAO,然后問題可求解.

【詳解】

解：設(shè)AC與8。的交點為0,如下圖：

?.?四邊形A3CD是菱形，

二ZABD=NCBD=-ZABC,AB=BC,AC1.BD,BO=DO,A。=C。，

2

,：ZABC=60°,

.?.△ABC是等邊三角形,

ZABO=30°,AB^AC,

：.AO^-AB,

2

?*-OB=\lAB2-AO2=y/3OA，

BD=2y[3OA,AC=2AO,

.AC_20A_3

BD2AA3'

應選D.

【點睛】

此題主要考查菱形的性質(zhì)、含30。角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)、含30。角的宜

角三角形的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵.

9.(2021?安徽中考真題)如圖，在菱形ABCD中，AB=2,NA=120。，過菱形A8CO的對稱中心。分

別作邊A5,的垂線，交各邊于點E,F,G,H,那么四邊形EFG”的周長為()

A.3+百B.2+26C.2+73D.1+26

【答案】A

【分析】

依次求出OE=OF=OG=OH,利用勾股定理得出EF和OE的長，即可求出該四邊形的周長.

【詳解】

'：HF1BC,EG±AB,

：.ZBEO=ZBFO=90°,

'：乙4=120。，

：.ZB=600,

：.ZEOF=120°,NEOH=60。,

由菱形的對邊平行，得，凡LAO,EG_LC。，

因為O點是菱形ABCD的對稱中心，

二。點到各邊的距離相等，即OE=OF=OG=OH,

：.ZOEF=ZOFE=30°,ZOEH=ZOHE=60°,

NHEF=NEFG=NFGH=NEHG=90°,

所以四邊形EFG”是矩形;

設(shè)OE=OF=OG=OH=x,

，EG=HF=2x,EF=HG=y］（2x）2-x2=8，

如圖，連接AC,那么AC經(jīng)過點O,

可得三角形ABC是等邊三角形，

二/a4c=60。，AC=AB=2,

：.OA=\,ZAOE=30°,

：.四邊形EFGH的周長為EF+FG+GH+HE=2也x+2x=273x—+2x^=3+73.

22

應選A.

【點睛】

此題考查了菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)等

內(nèi)容，要求學生在理解相關(guān)概念的根底上學會應用，能分析并綜合運用相關(guān)條件完成線段關(guān)系的轉(zhuǎn)換，考

查了學生的綜合分析與應用的能力.

10.（2021?四川樂山市?中考真題）如圖，點尸是菱形43。的對角線AC延長線上一點,過點尸分別作AD.

OC延長線的垂線，垂足分別為點E、F.假設(shè)NABC=120。，AB=2,那么PE—PE的值為（）

35

A.-B.Vr3C.2D.-

22

【答案】B

【分析】

根據(jù)菱形的基性質(zhì)，得到，隙E=30。，，利用勾股理求出AC=2石，那么4P=2g+PC,PE=；AP=0；

PC,由NPCF=/DCA=30。，得到PF=gpC,最后算出結(jié)果.

【詳解】

解：：四邊形ABC。是菱形且/A8C=120。，AB=2,

，A8=8C=C￡)=D4=2,NB4O=60°,ACLBD,

：.ZCAE=30°,

'：AC1BD,/CAE=30。，A￡)=2,

:.AC=2j*-f=2#>>

:,AP=26+PC,

在直角中，

VZB4￡=30°,AP=2yJi+PC,

:.PE=gAP=6+；PC,

在直角APFC中，

?；ZPCF=30°,

:.PF=LPC,

2

PE_PF=y^+；P*PC=6

應選:B.

【點睛】

此題主要考查了菱形的根本性質(zhì)、勾股定理的應用以及在直角三角形中，30。角所對的直角邊等于斜邊的一

半，關(guān)鍵會在直角三角形中應用30。.

11.(2021?浙江麗水市?中考真題)如圖，在RtZXABC紙片中，NAC8=9()°,AC=4,BC=3,點D,E

分別在AB,AC上，連結(jié)OE,將AADE沿DE翻折，使點A的對應點尸落在BC的延長線上，假設(shè)ED平

分ZEFB,那么A。的長為0

25251520

A.—B.—C.—D.—

9877

【答案】D

【分析】

先根據(jù)勾股定理求出48,再根據(jù)折疊性質(zhì)得出AD=DF,然后根據(jù)角平分線的定義證得

NBFD=NDFE=NDAE,進而證得NBDF=90°,證明RsABCsRs可求得A。的長.

【詳解】

解：???ZACB=90。,AC=4,BC=3,

AB=yjAC2+BC2=V42+32=5，

由折疊性質(zhì)得：NDAE=NDFE,AD=DF,那么BQ=5-AD,

:FD平分ZEFB,

：.ZBFD=ZDFE=ZDAE,

'：ZDAE+ZB=90°,

：.NBDF+NB=90。,即ZBDF=90°,

ABCSRQFBD,

.BDBC5-AD3

..----=----即nn--------=——,

DFACAD4

20

解得：AD=-^-,

應選：D.

【點睛】

此題考查折疊性質(zhì)、角平分線的定義、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，熟練

掌握折疊性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

12.（2021?四川自貢市?中考真題）如圖，A（8,0）,C（-2,0）,以點4為圓心，AC長為半徑畫弧，交y軸

正半軸于點8,那么點8的坐標為（）

A.（0,5）B.（5,0）C.（6,0）D.（0,6）

【答案】D

【分析】

先根據(jù)題意得出04=8,OC=2,再根據(jù)勾股定理計算即可

【詳解】

解：由題意可知：AC=AB

vA（8,0）,C（-2,0）

AOA=8,OC=2

：.AC=AB=\0

在Rt4中，QB==7102-82=6

.?.8（0,6）

應選：D

【點睛】

此題考查勾股定理、正確寫出點的坐標，圓的半徑相等、熟練進行勾股定理的計算是關(guān)鍵

_3

13.（2021?云南中考真題）在AABC中，ZABC=9O0,假設(shè)AC=100,sinA=g,那么AB的長是0

500503

A.——B.——C.60D.80

35

【答案】D

【分析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BC和AC的比值，求出8C,然后利用勾股定理即可求解.

【詳解】

RC3

解：VZABC=90°,sinZA=—=",AOIOO,

AC5

ABC=100x3^5=60,

*'?AB=dAC?-BC?=80，

應選D.

【點睛】

此題主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

14.（2021?浙江金華市?中考真題）如圖，在H/AABC中，ZACB=90°,以該三角形的三條邊為邊向形外

S,

作正方形，正方形的頂點￡,尸,6,",知,7都在同一個圓上.記該圓面積為航，AABC面積為多,那么在

的值是0

57r八?1\n

A.----B.3萬C.57tD.-----

22

【答案】C

【分析】

先確定圓的圓心在直角三角形斜邊的中點，然后利用全等三角形的判定和性質(zhì)確定AA8c是等腰直角三角

形，再根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到§2=；鉆2,再由勾股定理解得。/2=：4^2,解得

5、

Sj=^AB2-7U,據(jù)此解題即可.

【詳解】

解：如下圖，?.?正方形的頂點瓦￡G,H,M,N都在同一個圓上，

二圓心O在線段E￡MN的中垂線的交點上，即在用斜邊A8的中點，且BC=CG,

：.AG=AC+CG=AC+BC,BM=BC+CM=BC+AC,

：.AG=BMf

又?.?OG=OMOA=OBf

：.AAOG%/\BOM,

：.ZCAB=ZCBAt

■:NAC8=90。，

???NCAB=NC8A=45。，

OC=-AB,

2

S.=7rOF2=-AB2-7r,

'4

S21AB2

4

應選：C.

【點睛】

此題考查勾股定理、直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)、圓的面積、三角形的面積等知識，是重要考點，難度

一般，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

15.（202卜浙江溫州市?中考真題）由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的大正方形A8CO如下

圖.過點。作。尸的垂線交小正方形對角線EF的延長線于點G,連結(jié)CG,延長BE交CG于點H.假

設(shè)AE=2BE,那么焉的值為（）

A3R6c37103石

275

【答案】C

【分析】

如圖，設(shè)BH交CF于P,CG交DF于Q,根據(jù)題意可知BE=PC=〃F,AE=BP=CF,根據(jù)AE=23E可得

BE=PE=PC=PF=DF,根據(jù)正方形的性質(zhì)可證明△尸￡>G是等腰直角三角形，可得DG=FD,根據(jù)三角形中位

線的性質(zhì)可得戶”=,尸。，CH=QH=CQ,利用ASA可證明ACPH絲△G￡>。，可得PH=QD,即可得出

23

7

BE,可得8”二一8七，利用勾股定理可用8E表示長。”的長，即可表示出CG的長，進而可得答案.

3

【詳解】

如圖，設(shè)BH交CF于P,CG交DF于Q,

??,由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的大正方形AB8，

：.BE=PC=DFtAE=BP=CF,

AE=2BE，

：.BE=PE=PC=PF=DF,

■:NCFD=/BPC,

：.DF//EH,

???尸”為△CFQ的中位線，

:.PH=；QF,CH=HQ,

?/四邊形EPFN是正方形，

NEFN=45。,

"JGDLDF,

/\FDG是等腰直角三角形，

：.DG=FD=PC,

NGDQ=NCPH=90。,

J.DGHCF,

：.ZDGQ=ZPCH,

ZGDQ=NCPH

在^DGQ和小PCH中，｛DG=PC,

ZDGQ=NPCH

：./\DGQ9ApeH,

PH=DQ,CH=GQ,

11

:.PH=—DF=—BE,CG=3CH,

33

7

二BH=BE+PE+PH=-BE,

3

在RmPCH中，CH=dPC?+PH?=^5E2+(|BE)2=平BE，

:心=aBE,

CG_MBE_3而

??寸FTT

3

應選：C.

【點睛】

此題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)

及判定定理是解題關(guān)鍵.

16.(2021?四川南充市?中考真題)如圖，在矩形ABCD中，AB=\5,3C=2(),把邊48沿對角線80

平移，點A',8,分別對應點A,B.給出以下結(jié)論：①順次連接點4,B',C,。的圖形是平行四邊形；

②點C到它關(guān)于直線的對稱點的距離為48；③A'C-5'C的最大值為15；④A'C+8'C的最小值為

9J萬.其中正確結(jié)論的個數(shù)是0

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】

根據(jù)平移的性質(zhì)和平行四邊形的判定方法判斷①，再利用等積法得出點C到BD的距離，從而對②做出判

斷，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷③，如圖，作。關(guān)于AA'的對稱點。切'交AA'于M,連接8。'，

過W作D'N_L3C于N,分別交AM,BD于K,H,證明D'C是最小值時的位置,再利用勾股定理求解DC,

對④做出判斷.

【詳解】

解：由平移的性質(zhì)可得A8〃AB'

且Afi=A'B'

?..四邊形A8C。為矩形

：.AB//CD,AB=CD=\5

：.AB'〃C。旦AB'=8

???四邊形AB'CD為平行四邊形，故①正確

在矩形ABCD中，BD=^AB2+AD2=^152+202=25

過A作CN1BD,那么AM=CN

11

?SAAHD——AB-CD——BD-AM

22

15x20

.AM=CN=---------=12

25

.點C到A4的距離為24

?點C到它關(guān)于直線A4的對稱點的距離為48

.故②正確

'A'C-B'C<AB'

.當A,B',C在一條直線時A'C—3'C最大,

此時B'與。重合

二A'C—B'C的最大值=AB'=15

二故③正確，

如圖，作。關(guān)于AA,的時稱點M，交44于M,連接BD'，過以作D'N±BC于M分別交AM,BD

于K,”，

那么AB//A'B'//KH,AB=KH=T5,KM為QHD的中位線，BD±DD，

山口AB'CD可得B'C=A'D,

A'C+B'C=A'C+A'D'^D'C,此時最小，

由②同理可得：DM=D'M

設(shè)HN=3x,那么BN=4x,

山勾股定理可得：+BD2=BD'2=BN2+D'N2,

整理得：25d+180x-301=0,

743

解得：-^）=—,x2———（負根舍去），

???故④正確

應選D

【點睛】

此題主要考查了平行四邊形的判定，矩形的性質(zhì)以及平移的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應用等知識點，熟練掌握

相關(guān)的知識是解題的關(guān)鍵.

17.（2021?四川廣元市?中考真題）如圖，在AABC中，ZACB=90°,AC=BC=4,點。是8c邊的

中點，點尸是AC邊上一個動點，連接PO,以PZ）為邊在PO的下方作等邊三角形P。。，連接C。.那

么C。的最小值是0

A.3B.1C.J2D.-

22

【答案】B

【分析】

以CD為邊作等邊三角形CDE,連接EQ,山題意易得PD=QD,進而可得4PCD安AQED,

那么有NPCO=/Q及A90。，然后可得點。是在QE所在直線上運動，所以CQ的最小值為CQLQE時;最

后問題可求解.

【詳解】

解：以CD為邊作等邊三角形CDE,連接EQ,如下圖：

???△PQQ是等邊三角形，

二ZCED=ZPDQ=ZCDE=60°,PD=QD,CD=ED,

???/CD。是公共角，

NPDC=NQDE,

.?.△PC。絲△QEQ（SAS）,

VZACB=90°.AC=BC=4,點。是邊的中點，

二ZPCD=ZQED=90°,CD=DE=CE=^BC=2,

.??點Q是在QE所在直線上運動，

.??當CQJ_QE時，CQ取的最小值，

NQEC=90°-NCED=30°,

CQ=-CE=1；

應選B.

【點睛】

此題主要考查等邊三角形的性質(zhì)、含30。直角三角形的性質(zhì)及最短路徑問題，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)、

含30。直角三角形的性質(zhì)及最短路徑問題是解題的關(guān)鍵.

18.(2021?浙江紹興市?中考真題)如圖，菱形ABC。中，N3=6O。，點尸從點8出發(fā)，沿折線

方向移動，移動到點O停止.在ZSABP形狀的變化過程中，依次出現(xiàn)的特殊三角形是0

A.直角三角形一等邊三角形T等腰三角形一直角三角形

B.直角三角形一等腰三角形T直角三角形T等邊三角形

C.直角三角形一等邊三角形T直角三角形一等腰三角形

D.等腰三角形一等邊三角形一直角三角形T等腰三角形

【答案】C

【分析】

?A5P是特殊三角形，取決于點P的某些特殊位置，按其移動方向，逐一判斷即可.

【詳解】

解：連接AC,BD,如下圖.

?四邊形488是菱形，

：.AB=BC=CD=DA,ZD=ZB.

*.?/B=60。,

：.ZD=ZB=60°.

AABC和?ADC都是等邊三角形.

點P在移動過程中，依次共有四個特殊位置：

(1)當點尸移動到8c邊的中點時，記作耳.

：AABC是等邊三角形，4是BC的中點，

AP.VBC.

：.44片3=90°.

二-AB，是直角三角形.

(2)當點尸與點C重合時，記作鳥.

此時，?A36是等邊三角形;

(3)當點P移動到CO邊的中點時，記為乙.

,/AABC和?AQC都是等邊三角形，

，“45=30°+60。=90°.

，-ABA是直角三角形.

(4)當點。與點。重合時，記作鳥.

?；A8=A舄，

.?.?AB《是等腰三角形.

綜上，-ABP形狀的變化過程中，依次出現(xiàn)的特殊一角形是：

直角三角形一等邊三角形一直角三角形T等腰三角形.

應選：C

【點睛】

此題考查了菱形的性質(zhì)、直角三角形的判定、等腰三角形的判定、等邊三角形的性質(zhì)與判定等知識點，熟

知特殊三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

19.(2021?浙江紹興市?中考真題)如圖，在AABC中，AB=AC,N5=70。，以點C為圓心，C4長為

半徑作弧，交直線8c于點尸，連結(jié)AP,那么NW的度數(shù)是.

【答案】15°或75°

【分析】

分①點P在BC的延長線上，②點P在C3的延長線上兩種情況，再利用等腰三角形的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】

解：①當點P在8c的延長線上時，如圖

VAB=AC,N5=70。，

ZB=ZACfi=70°

NOW=40°

???以點C為圓心，CA長為半徑作弧，交直線8c于點P,

:.AC=PC

：.ZP=NC4P

VZACB=AB+ZCAP=70°

???NP=NC4P=35°

?*-ZBAP=ABAC+ZCAP=40+35°=75°

②當點P在C8的延長線上時，如圖

由①得NC=70°,NOW=40°

,:AC=PC

ZP=NC4P=55°

?t-ZBAP=ZCAP-ZBAC=55M0=15°

故答案為：15°或75°

【點睛】

此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，分類討論不重不漏是解題的關(guān)鍵.

20.（2021?四川廣安市?中考真題）如圖，將三角形紙片ABC折疊，使點B、C都與點A重合，折痕分別

為DE、FG.ZACB=15°,AE=EF,DE=6那么8C的長為.

【答案】4+2石

【分析】

由折疊的性質(zhì)得出AF=FC,ZFAC=ZC=\5°,得出N4FE=30。，由等腰三角形的性質(zhì)得出

ZEAF=ZAFE=30°,證出△ABE是等邊三角形，得出/BAE=60。，求出AE=BE=2,證出/BAF=90。，利用

勾股定理求出AF,即CF,可得BC.

【詳解】

解：???把三角形紙片折疊，使點8、點C都與點A重合，折痕分別為DE,FG,

：.BE=AE,AF=FC,ZMC=ZC=15°,

:.NAFE=3Q。，又AE=EF,

：.NEAF=NAFE=30°,

：.ZAEB=60°,

是等邊三角形，ZAED=ZBED=30°,

：.NBAE=60°,

,:DE=6，

DE

：.AE=BE=AB==2,

cos30°

???BF=BE+EF=4，ZBAF=60°+30°=90°，

，F(xiàn)C=AF=JBF2A§2=273，

：.BC=BF+FC=4+2y/3，

故答案為：4+26.

【點睛】

此題考查了翻折變換的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)；根據(jù)折

疊的性質(zhì)得出相等的邊和角是解題關(guān)鍵.

21.（2021?江蘇蘇州市?中考真題）如圖.在RtZ\A5C中，ZC=90°,AF=EF.假設(shè)NC￡E=72°,

那么NB=.

【答案】54。

【分析】

首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出NA=NAEF,再根據(jù)三角形的外角和定理得出/A+/AEGNCFE,求出NA

的度數(shù)，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出的度數(shù)即可.

【詳解】

AF^EF,

：.ZA=ZAEF,

'：ZA+ZAEF=ZCFE=12°,

：.NA=36。，

,:ZC=90°,ZA+ZB+ZC=180°,

二ZB=180°-ZA-ZC=54°.

故答案為：54。.

【點睛】

此題考查了三角形的外角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，掌握相關(guān)定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

22.（2021?浙江中考真題）為慶祝中國共產(chǎn)黨建黨100周年，某校用紅色燈帶制作了一個如下圖的正五角星

（AB,C,2E是正五邊形的五個頂點），那么圖中NA的度數(shù)是______度.

【答案】36

【分析】

根據(jù)題意，得五邊形（E,G,H，,K是正五邊形的五個頂點）為正五邊形，且AF=AK；根據(jù)多邊形內(nèi)角

和性質(zhì)，得正五邊形RGH/K內(nèi)角和，從而得N4；再根據(jù)補角、等腰三角形、三角形內(nèi)角和性質(zhì)計算，即

可得到答案.

【詳解】

V正五角星（AB,C,。，后是正五邊形的五個頂點）

..?五邊形是正五邊形的五個頂點）為正五邊形，且川=回

.??正五邊形EGH/K內(nèi)角和為：（5-2）x180°=540°

/?Z3=180°-Z4=72°

AF=AK

：.N2=N3=72°

/.Nl=180°-N2-N3=36°

故答案為：36.

【點睛】

此題考查了正多邊形、多邊形內(nèi)角和、補角、等腰三角形、三角形內(nèi)角和的知識：解題的關(guān)鍵是熟練掌握

正多邊形、多邊形內(nèi)角和、等腰三角形、三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，從而完成求解.

23.（2021?江蘇揚州市?中考真題）如圖，在中，點E在A。上，且EC平分/BED,假設(shè)

ZEBC=30°,BE=10,那么的面積為.

【答案】50

【分析】

過點E作垂足為尸，利用直角三角形的性質(zhì)求出EF,再根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得

到/BCE=NBEC,可得BE=BC=1Q,最后利用平行四邊形的面積公式計算即可.

【詳解】

解：過點E作ERL8C,垂足為凡

ZEBC=30°,BE=10,

:.EF=、BE=5,

2

V四邊形ABCD是平行四邊形，

.'.AD//BC,

：.ZDEC=ZBCE,

又EC平分ZBED,即ZBEC=/DEC,

：.NBCE=NBEC,

：.BE=BC=IO,

二四邊形ABC。的面積=8CX￡F=1()X5=50,

故答案為：50.

【點睛】

此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，30度的直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，等角對等邊，知識點較多，

但難度不大，圖形特征比擬明顯，作出輔助線構(gòu)造直角三角形求出所的長是解題的關(guān)鍵.

24.(2021?云南中考真題)AABC的三個頂點都是同一個正方形的頂點，NA3C的平分線與線段AC交于

點。.假設(shè)△ABC的一條邊長為6,那么點O到直線A8的距離為.

【答案】3或?qū)懟?及一6或6一3及

【分析】

將△A8C放入正方形中，分/A8C=90。，/BAC=90。，再分別分4B=8C=6,AC=6,進行解答.

【詳解】

解：???△ABC三個頂點都是同一個正方形的頂點，

如圖，假設(shè)/ABC=90。，

那么NA8c的平分線為正方形A8CD的對角線，。為對角線交點，

過點。作垂足為尸，

當AB=BC=6,

那么DF=-BC=3；

2

當AC=6,

6L

那么AB=BC==3A/2，

?n戶1M35/2

??DF=-BC=----；

22

如圖，假設(shè)N8AC=90。，過點。作。尺LBC于F,

平分NA8C,

:.NABD=NCBD,AD=DF,

又NBAD=NBFD=90°,BD=BD,

:.ABAD絲ABFD（4AS）,

：.AB=BF,

當AB=AC=6,

那么8c=病行=6夜，

:,BF=6,CF=60-6，

在正方形ABEC中，ZACB=45°,

.?.△COF是等腰直角三角形，那么CF=DF=AD=6丘-6；

當18c=6,

6J-

那么A8=4C=g=3V2，

同理可得：6-3夜，

綜上：點。到直線A8的距離為：3或乎或60—6或6—3及，

故答案為：3或弓2或6夜—6或6-3垃.

【點睛】

此題考查了正方形的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判

定和性質(zhì)，知識點較多，解題時要結(jié)合題意畫出符合題意的圖形，分情況解答.

25.（2021?江蘇南京市?中考真題）如圖，在四邊形A8CO中，AB=BC=BD.設(shè)NABC=c,那么

NAOC=（用含a的代數(shù)式表示）.

【答案】1800--a

2

【分析】

由等腰的性質(zhì)可得：ZADB=9Q°--ZABD,ZBDC=90°--ZCBD,兩角相加即可得到結(jié)論.

22

【詳解】

解：在AABO中，AB=BD

：.NA=/AO8=；(180°-ZABD)=90°-^ZABD

在^BCD中，BC=BD

：.NC=/BDC=-(180°-NCBD)=90°--/CBD

22

ZABC=ZABD+NCBD=a

二ZADC=ZADB+Z.CBD

=90°--ZABD+90°--ZCBD

22

=180。一g(ZABD+ZCBD)

-180°--ZABC

2

=180°--a

2

故答案為：180°—ct.

2

【點睛】

此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，分別求出/ADB=90°—,NAB。，ZBDC=

2

90°--ZCBD是解答此題的關(guān)鍵.

2

26.(2021?四川資陽市?中考真題)將一張圓形紙片(圓心為點O)沿直徑"N對折后，按圖1分成六等份

折疊得到圖2,將圖2沿虛線A8剪開，再將AAOB展開得到如圖3的一個六角星.假設(shè)NCDE=75。，

那么NOBA的度數(shù)為.

【答案】135°

【分析】

利用折疊的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理解題.

【詳解】

解：連接。C,EO

360°

由折疊性質(zhì)可得：ZEOC=-——=30。，EC=DC,OC平分NEC。

12

ZECO=-NECD=-(180°-2x75°)=15°

22

:.ZOEC=1800-ZECO-ZEOC=135°

即NORA的度數(shù)為135。

故答案為：135。

【點睛】

主要在考查折疊的性質(zhì)，學生動手操作的能力，也考查了等腰三角形的性質(zhì)及內(nèi)角和定理，掌握折疊及等

腰三角形的性質(zhì)正確推理計算是解題關(guān)鍵.

27.(2021?浙江金華市?中考真題)如圖，菱形的邊長為6cm,ZBAD=60°,將該菱形沿AC方向

平移2石cm得到四邊形AB'CD,交CD于點E,那么點E到AC的距離為cm.

【答案】2

【分析】

首先根據(jù)菱形對角線的性質(zhì)得出AC的長，然后利用菱形對角線平分對角和平移的性質(zhì)得出等腰VEA'C,

過頂點作垂線段EF,利用三線合一得出C尸的長，再利用直角三角形30。所對的直角邊等于斜邊一半和勾股

定理列出方程，即可求解.

【詳解】

ZBAD=60°,

二連接對角線4c,80,那么4CJ_8。，且AC平分/84O,

二在放AA。。中，DO=-AD=-?63

22

利用勾股定理得AO=yjAD2-DO2=V62-32=3#)

又：AC=2A0,

:?AC=6#>>

由題可知A4,=2上,

；?AC=AC-AA,=6y/3-2y/3=4yf3：

由平移可知E>O'A'C=N/)AC=30。,而ND4c=/力。，

DD'A'C=ZDCA,即Bfi4'C=E)EC4'=30。，

；?VEA'C是等腰三角形：

過點E作ERLAC,垂足為凡如下圖：

那么由等腰三角形三線合一可得：AF=FC=-A'C=273,

2

在R3ECF中,EF=-EC，設(shè)EF=x,那么EC=2x,

2

由勾股定理得：OF?+2=

EFE(J2

x1+(2百)2=(2x)2,解得x=2,

故填：2.

【點睛】

此題考查菱形的性質(zhì)，等腰三角形三線合一，直角三角形中30。所對的直角邊等于斜邊一半和勾股定理；菱

形對角線互相垂直且平分，一條對角線平分一組對角，熟知概念定理是解題的關(guān)鍵.

28.(2021?浙江紹興市?中考真題)△ABC與△43。在同一平面內(nèi)，點C,O不重合，ZABC=ZABD=30°,

AB=4,AC=AD=2也,那么長為?

【答案】2G±2，4，2瓜

【分析】

首先確定滿足題意的兩個三角形的形狀，再通過組合得到四種不同的結(jié)果，每種結(jié)果分別求解，共得到四

種不同的取值；圖2、圖3、圖4均可通過過A點向2c作垂線，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)

可求出相應線段的長，與CD關(guān)聯(lián)即可求出