2024年上海高考數(shù)學復習考點5三角函數(shù)（2種題型8個易錯考點）含詳解

考點05三角函數(shù)（20種題型8個易錯考點）

?【課程安排細目表】

一、真題搶先刷，考向提前知

二、考點清單

三、題型方法

四、易錯分析

五.刷壓軸

但一、真題搶先刷，考向提前知

一.選擇題（共2小題）

TTTT

1.（2021?上海）已知/（x）=3sinx+2,對任意的見曰0,—],都存在么曰0,—],使得f（xi）=4（m+6）+2成

22

立，則下列選項中，8可能的值是（）

A.B.AZLc.D.-I2L

5555

2.（2020?上海）"a=B"是ttsin2a+cos2p=l＞,的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

填空題（共5小題）

3.（2022?上海）函數(shù)/（x）=cos2x-sin2x+l的周期為.

TT

4.（2022?上海）右tana=3,則tan（a+——）=.

4

5.（2021?上海）已知。＞0,存在實數(shù)＜p,使得對任意〃eN*,cos（〃0+（p）＜亞,則0的最小值是

2

6.（2020?上海）已知3sin2x=2sirtGxG（0,n）,貝Ux=.

7.（2020?上海）函數(shù)y=tan2x的最小正周期為.

三,解答題（共1小題）

8.(2020?上海)已知函數(shù)/(%)=sino)x,u)>0.

(1)f(x)的周期是4ir,求3,并求/(%)=」>的解集；

2

(2)已知3=1,g(x)=f(x)+V3f(-X)XG[O,A],求g(x)的值域.

24

Q二、考點清單

一.任意角的概念

一、角的有關概念

1.從運動的角度看，角可分為正角、負角和零角.

2.從終邊位置來看，可分為象限角與軸線角.

3.若0與a是終邊相同的角，則0用a表示為0=2%r+a（依Z）.

【解題方法點撥】

角的概念注意的問題

注意易混概念的區(qū)別：第一象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角，第一類是象限角，第二類、第三類

是區(qū)間角.

二.終邊相同的角

終邊相同的角：

K360°+a（AeZ）它是與a角的終邊相同的角，*=0時，就是a本身），凡是終邊相同的兩個角，則它們之差一

定是360°的整數(shù)倍，應該注意的是：兩個相等的角終邊一定相同，而有相同的終邊的兩個角則不一定相等，也就

是說，終邊相同是兩個角相等的必要條件，而不是充分條件.

還應該注意到：A=｛xk=&?360°+30°,kCZ｝與集合B=｛x|x=妙360°-330°,任Z｝是相等的集合.

相應的與x軸正方向終邊相同的角的集合是｛》僅=火360°,依Z｝；與x軸負方向終邊相同的角的集合是｛4r=H360°

+180°,AWZ｝；與y軸正方向終邊相同的角的集合是｛x|x=U360°+90°,A6Z｝；與），軸負方向終邊相同的角的集

合是｛如=上360°+270°,kEZ｝

【解題方法點撥】

終邊相同的角的應用

（1）利用終邊相同的角的集合S=｛所=2E+a,髭Z｝判斷一個角/?所在的象限時，只需把這個角寫成［0,2TT）范

圍內的一個角a與2n的整數(shù)倍的和，然后判斷角”的象限.

（2）利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后

通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需角.

三.象限角、軸線角

在直角坐標系內討論角

(1)象限角：角的頂點與原點重合，角的始邊與X軸的非負半軸重合，那么角的終邊在第幾象限，就認為這個角是

第幾象限角.

(2)若角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限.

(3)所有與角a終邊相同的角連同角a在內，可構成一個集合5=｛期?=?+如360°,k&Z].

【解題方法點撥】

(1)注意易混概念的區(qū)別：第一象限角、銳角、小于90。的角是概念不同的三類角，第一類是象限角，第二類、

第三類是區(qū)間角.

(2)角度制與弧度制可利用180°進行互化，在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用.

(3)注意熟記0。?360°間特殊角的弧度表示，以方便解題.

四.弧度制

1弧度的角

把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角.

規(guī)定：正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負角的弧度數(shù)是一個負數(shù)，零角的弧度數(shù)是0,同=工，/是以角a作為圓心角時

r

所對圓弧的長，「為半徑.

2.弧度制

把弧度作為單位來度量角的單位制叫做弧度制，比值工與所取的r的大小無關，僅與角的大小有關.

r

【解題方法點撥】

角度制與弧度制不可混用

角度制與弧度制可利用180°=mad進行互化，在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用.

五.弧長公式

弧長、扇形面積的公式

設扇形的弧長為/,圓心角大小為a(rad),半徑為r,則/=與，扇形的面積為S=2/r=L/a.

22

【解題方法點撥】

弧長和扇形面積的計算方法

(1)在弧度制下，計算扇形的面積和弧長比在角度制下更方便、簡捷.

(2)從扇形面積出發(fā)，在弧度制下使問題轉化為關于a的不等式或利用二次函數(shù)求最值的方法確定相應最值.

(3)記住下列公式：①/=aR；③S=」(XR2.其中R是扇形的半徑，/是弧長，a(0<a<2fr)為圓心

22

角，S是扇形面積.

六.扇形面積公式

弧長、扇形面積的公式

設扇形的弧長為/,圓心角大小為a（wd）,半徑為r,則/=四，扇形的面積為S=2/r=」於必

22

【解題方法點撥】

弧長和扇形面積的計算方法

（1）在弧度制下，計算扇形的面積和弧長比在角度制下更方便、簡捷.

（2）從扇形面積出發(fā)，在弧度制下使問題轉化為關于a的不等式或利用二次函數(shù)求最值的方法確定相應最值.

（3）記住下列公式：①上出@S=—IR-,③S=」a/?2.其中R是扇形的半徑，/是弧長，a（0<a<2n）為圓心

22

角，S是扇形面積.

七.任意角的三角函數(shù)的定義

任意角的三角函數(shù)

1定義：設a是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P（x,y）,那么sina=?cosa=±,tan0=工.

x

2.幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示，正弦線的起點都在跑上，余弦線的起點都是原點,正

切線的起點都是（1,0）.

【解題方法點撥】

利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值的方法

利用三角函數(shù)的定義，求一個角的三角函數(shù)值，需確定三個量：

（1）角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標x；（2）縱坐標y；（3）該點到原點的距離r.若題目中已知角的終

邊在一條直線上，此時注意在終邊上任取一點有兩種情況（點所在象限不同）.

八.三角函數(shù)線

幾何表示

三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示.正弦線的起點都在x軸上，余弦線的起點都是原點，正切線的起點都

是（1,0）.

如圖中有向線段MP，OM,AT分別叫做角a的正弦線，余弦線和正切線.

九.三角函數(shù)的定義域

【概念】

函數(shù)的定義域指的是函數(shù)在自變量X的取值范圍，通俗的說就是使函數(shù)有意義的X的范圍.三角函數(shù)作為一類函

數(shù)，也有定義域，而且略有差別.

【三角函數(shù)的定義域】

以下所有的％都屬于整數(shù).

TTTT

①正弦函數(shù)：表達式為丫=$12；(2k-1)TT,(2H1)nJ,其中在［2擊2擊+彳-］單調遞增，其他區(qū)間單調

遞減.

②余弦函數(shù)：表達式為〉=851xe［(2Z-1)TT,(2H1)n］,其中在［2Kr-7T,2Hc］單調遞增，其他區(qū)間單調遞減.

③正切函數(shù)：表達式為丫=122；花(hr-子，垢+9)，在區(qū)間單調遞增.

TTTT

④余切函數(shù)：表達式為)=cotr,尤(垢-勺，聞+勺)，在區(qū)間單調遞減.

⑤正割函數(shù)：表達式為)=5%%,x&(2Kt-2-,2^rr+——)U(2Zrrt+—2^n+-1~'--),有secx?cosx=1.

2222

⑥余割函數(shù)：表達式為^=。53,xG(2Znt-TT,2Znr)U(2hr,2/nr+n),有cscx?sinx=1.

【考點點評】

這是一個概念，主要是熟記前面四種函數(shù)的定義域，特別是他們各自的單調區(qū)間和各自的周期，在書寫的時候一定

不要忘了補充在Z.

十.三角函數(shù)值的符號

三角函數(shù)值符號記憶口訣

記憶技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦(為正).即第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，

第四象限余弦為正.

十一.三角函數(shù)的周期性

周期性

①一般地，對于函數(shù)/(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當x取定義域內的每一個值時，都有/~(x+T)=f(x),

那么函數(shù)/(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.

②對于一個周期函數(shù)/CO,如果在它所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正

周期.

③函數(shù)y=Asin(3x+cp),x€R及函數(shù)y=Acos(cox+(p)；AGR(其中A、3、<p為常數(shù)，且A￥0,3>0)的周期T

_2兀

3.

【解題方法點撥】

1.一點提醒

求函數(shù)y=Asin(3x+(p)的單調區(qū)間時，應注意3的符號，只有當3>0時，才能把3x+(p看作一個整體，代入y

=sin/的相應單調區(qū)間求解，否則將出現(xiàn)錯誤.

2.兩類點

y=sinx,x€[0,2TT],y=cosx,x€[0,2TT]的五點是：零點和極值點(最值點).

3.求周期的三種方法

①利用周期函數(shù)的定義.f(x+D=f(x)

②利用公式：y=Asin(3x+(p)和y=Acos(cox+cp)的最小正周期為?,y=tan(3x+(p)的最小正周期為?「

③利用圖象.圖象重復的x的長度.

十二.誘導公式

【概述】

三角函數(shù)作為一個類，有著很多共通的地方，在一定條件下也可以互相轉化，熟悉這些函數(shù)間的關系，對于我們解

題大有裨益.

【公式】

①正弦函數(shù)：表達式為丫=51111;

兀兀

有sin(n+x)=sin(-x)=-sinx；sin(TT-x)=sinx,sin(----+x)=sin(——-x)=cosx

22

②余弦函數(shù)：表達式為了=<:0§1；

兀

有cos(n+x)=cos(TI-x)=-cosx,cos(-x)=cosx,cos(——-x)=sinx

2

③正切函數(shù)：表達式為丁=1@2；

7T

tan(-x)=-tanx,tan(-----x)=cotx,tan(n+x)=tanx

2

④余切函數(shù)：表達式為了=<：0吐；

兀、

cot(-x)=-cotr,cot(------x)=taruGcot(TT+X)=cotx.

2

【應用】

1、公式：

公式一：sin(a+2Zm)=sina,cos(a+2E)=cosa,其中尤Z.

公式二：sin(n+a)=-sina,cos(n+a)=-cosa,tan(n+a)=tana.

公式三：sin(-a)--sina,cos(-a)=cosa.

公式四：sin(n-a)=sina,cos(n-a)=-cosa.

公式五：sin=cosa,cos=sina.

公式六：sin=cosa,cos=-sina

2、誘導公式的記憶口訣為：奇變偶不變，符號看象限.

3、在求值與化簡時，常用方法有：

(1)弦切互化法：主要利用公式tana=^￡色化成正、余弦.

cosa

(2)和積轉換法：利用(sin8±cos。)2=1±2sinOcos。的關系進行變形、轉化.

(3)巧用"1"的變換：l=sin%+cos20=cos2。(l+tan20)=tan45°=….

4、注意：

(1)利用誘導公式進行化簡求值時，先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其步驟：去負一脫周一化

銳.特別注意函數(shù)名稱和符號的確定.

(2)在利用同角三角函數(shù)的平方關系時;若開方，要特別注意判斷符號.

(3)注意求值與化簡后的結果一般要盡可能有理化、整式化.

十三.運用誘導公式化簡求值

利用誘導公式化簡求值的思路

1.“負化正”，運用公式三將任意負角的三角函數(shù)化為任意正角的三角函數(shù).

2.“大化小”，利用公式一將大于360°的角的三角函數(shù)化為0°到360°的三角函數(shù)，利用公式二將大于180°的

角的三角函數(shù)化為0°到180°的三角函數(shù).

3.“小化銳”，利用公式六將大于90°的角化為0°到90°的角的三角函數(shù).

4.“銳求值”，得到0°到90°的三角函數(shù)后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由計算器求得.

十四.正弦函數(shù)的圖象

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質

函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx

圖象IJ

二o\<

可

irr

定義域RR依z

值域[-1.1][-1,1]R

單調性遞增區(qū)間：遞增區(qū)間：遞增區(qū)間：

/1兀?、

(2^IT-2kn.+-^—')(2Zrn-IT,2Kr)xZrrr—，AIT+)

2222

(依Z)；

（kez）；遞減區(qū)間：（依Z）

遞減區(qū)間：（2Znr,2丘+冗）

（2ICK+—,2垢+-^）（依Z）

22

（依Z）

TT

最值x=2lai+-^-（ACZ）時，y,naxx=2/nrkkWZ）時，ymax=無最值

1;

=1;

JTx=2Znr+ir（依Z）時，

x=2lcn--（依Z）時，

2ymin~1

y>min=-1

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

TT

對稱性對稱中心：（hr,0）（依Z）對稱中心：（內1+--，0）對稱中心：（之，0）

22

TT

對稱軸：x^kn+—,kWZ

2（依Z）（始Z）

對稱軸：x=lai,依Z無對稱軸

周期2n2TT7T

十五.正弦函數(shù)的單調性

三角函數(shù)的單調性的規(guī)律方法

1.求含有絕對值的三角函數(shù)的單調性及周期時，通常要畫出圖象，結合圖象判定.

2.求形如y=Asin（皿+0）或y=Acos（皿+e）（其中，a>>0）的單調區(qū)間時，要視"皿+°”為一個整體，通過

解不等式求解.但如果3<0,那么一定先借助誘導公式將3化為正數(shù)，防止把單調性弄錯.

十六.正弦函數(shù)的奇偶性和對稱性

【正弦函數(shù)的對稱性】

正弦函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，既然是奇函數(shù)，那么其圖象關于原點對稱，即有sin（-x）=-siax.另外，正

TT

弦函數(shù)具有周期性，其對稱軸為依Z.

2

十七.余弦函數(shù)的圖象

定義域RRkez

值域[-1,1]1-1,1]R

單調性遞增區(qū)間：遞增區(qū)間：遞增區(qū)間：

\2kn-IT,2hr]（^ez）

（依Z）；（依Z）；

遞減區(qū)間：遞減區(qū)間：

[2Znr,2hr+ir]

（髭Z）（髭Z）

最值x=2Kr+（kWZ）時，ymax=x=2Znr（k€Z）時，）為如=無最值

1：1;

x=2hr-（依Z）時，x=2日+TT（依Z）時，

ymin=一1ymin=-1

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

對稱性對稱中心：（hr,0）（髭Z）對稱中心:（fcGZ）對稱中心:（一Z）

對稱軸：x—kn+,kWZ對稱軸：x—kn,keZ無對稱軸

周期2n2n豆

十八.余弦函數(shù)的單調性

三角函數(shù)的單調性的規(guī)律方法

1.求含有絕對值的三角函數(shù)的單調性及周期時，通常要畫出圖象，結合圖象判定.

2.求形如y=Asin（a）x+<p｝或y=4cos（3X+Q）（其中，a>>0）的單調區(qū)間時，要視“3x+（p”為一個整體，通過

解不等式求解.但如果3<0,那么一定先借助誘導公式將3化為正數(shù)，防止把單調性弄錯.

十九.正切函數(shù)的圖象

單調性遞增區(qū)間：遞增區(qū)間：遞增區(qū)間：

\2kn-—,2br+—]\2kn-IT,2hr]（^ez）

22

（依Z）；

aez）；

遞減區(qū)間：

遞減區(qū)間：

[2內r,2匕T+TC]

[2kn+—,2E+12L]

22（kWZ）

（kWZ）

最值x=2Air+（左WZ）時，ymax=x=2Znr（攵€Z）時，ymax~~無最值

1;1;

x=2lai-（依Z）時，x=2Zrn:+7r（kWZ）時，

ymin=-1ymin~1

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

TT

對稱性對稱中心：（hr,0）（依Z）對稱中心：（內任」上,0）對稱中心：（K2，o）

22

TT

對稱軸：x^kn+—,依Z

2（Q）（kez）

對稱軸：x=kn,k€Z無對稱軸

周期2TI2n71

二十.正切函數(shù)的單調性和周期性

三角函數(shù)的單調性的規(guī)律方法

1.求含有絕對值的三角函數(shù)的單調性及周期時，通常要畫出圖象，結合圖象判定.

2.求形如y=Asin（3x+（p）或），=Acos（3x+<p）（其中，co>O）的單調區(qū)間時，要視“3x+<p”為一個整體，通過

解不等式求解.但如果3<0,那么一定先借助誘導公式將3化為正數(shù)，防止把單調性弄錯.

【正切函數(shù)的周期性】

正切函數(shù)y=tan_x的最小正周期為n,即tan（內T+X）=tamc.

二十一.正切函數(shù)的奇偶性與對稱性

三角函數(shù)的奇偶性、周期性和對稱性

1.判斷三角函數(shù)的奇偶性和周期性時，一般先將三角函數(shù)式化為一個角的一種三角函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)奇偶性的概

念、三角函數(shù)奇偶性規(guī)律、三角函數(shù)的周期公式求解.

2.求三角函數(shù)的周期主要有三種方法：（1）周期定義；（2）利用正（余）弦型函數(shù)周期公式；（3）借助函數(shù)的圖象.

二十二.函數(shù)y=Asin（3x+（p）的圖象變換

函數(shù)產(chǎn)sinx的圖象變換得到〉=加11（3x+0）（A>0,3>0）的圖象的步驟

法一法二

一

禽

的出.v=sinK的圖象畫出〉=sin.r的圖望

向左（護0）或11師1

平移16個小位橫不標變?yōu)樵瓉淼?倍

向G瞇

得到尸sin（x+s的圖象得到.v=sin3X的圖象

12一1

橫器標變?yōu)椋菰瓉淼谋?/p>

A向左（<pO）或白個單位

向右（M><0評移

I得到y(tǒng)=sin（on+叼的圖象得到y(tǒng)=sin（*w+<P）的圖象

縱器標變?yōu)榭靵淼腁倍縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍

得到y(tǒng)=A*i?q）的圖象

兩種變換的差異

先相位變換再周期變換（伸縮變換），平移的量是㈤個單位；而先周期變換（伸縮變換）再相位變換，平移的量是

-L^-L（d>>o）個單位.原因是相位變換和周期變換都是針對x而言的.

3

【解題方法點撥】

1.一個技巧

列表技巧：表中“五點”中相鄰兩點的橫向距離均為工，利用這一結論可以較快地寫出“五點”的坐標.

4

2.兩個區(qū)別

（1）振幅4與函數(shù)y=Asin（皿+0）+〃的最大值，最小值的區(qū)別：最大值M=4+〃，最小值機=-A+匕，故人=

M-m

~2'

（2）由y=sinx變換到y(tǒng)=Asin（3x+（p）先變周期與先變相位的（左、右）平移的區(qū)別：由丫=$出1的圖象變換

到》=4$山（g+0）的圖象，兩種變換的區(qū)別：先相位變換再周期變換（伸縮變換），平移的量是⑷個單位；而先

周期變換（伸縮變換）再相位變換，平移的量是‘立上（3>0）個單位.原因在于相位變換和周期變換都是針對x

3

而言，即無本身加減多少值，而不是依賴于加減多少值.

3.三點提醒

（1）要弄清楚是平移哪個函數(shù)的圖象，得到哪個函數(shù)的圖象；

（2）要注意平移前后兩個函數(shù)的名稱是否一致，若不一致，應先利用誘導公式化為同名函數(shù)；

（3）由y=Asin3的圖象得到y(tǒng)=Asin（3x+（p）的圖象時，需平移的單位數(shù)應為〔'而不是⑷.

3

二十三.由y=Asin（a）x+（p）的部分圖象確定其解析式

根據(jù)圖象確定解析式的方法：

在由圖象求三角函數(shù)解析式時，若最大值為M,最小值為〃?，則A=3二生，后=火也，3由周期T確定，即由”

223

=丁求出，0由特殊點確定.

二十四.三角函數(shù)的最值

【三角函數(shù)的最值】

三角函數(shù)的最值其實就是指三角函數(shù)在定義域內的最大值和最小值，涉及到三角函數(shù)的定義域、值域、單調性和它

們的圖象.在求三角函數(shù)最值中常用的手法是化簡和換元.化簡的原則通常是盡量的把復合三角函數(shù)化為只含有一

個三角函數(shù)的一元函數(shù).

二十五.同角三角函數(shù)間的基本關系

1.同角三角函數(shù)的基本關系

(1)平方關系：sin2?+cos2o=1.

(2)商數(shù)關系：sin.『ana.

cosa

2.誘導公式

公式一：sin(a+-2Znr)=sina,cos(a+2Znr)—cosa,其中依Z.

公式二：sin(n+a)=-sina,cos(n+a)=-cosa,tan(ir+a)=tana.

公式三：sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa.

公式四：sin(ir-a)=sina,cos(n-a)=-cosa.

兀、/兀、.

公式五：sin(.-a)=cosa,cos(——-a)=sma.

T一2

兀、/兀、.

公式六:sin(.+a)=cosa,cos(----+a)=-sina

2

3.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

(1)C<a-P)：cos(a-P)=坪；

(2)C(a+p>：cos(a+p)=cosacos0-

(3)S(a+p)：sin(a+p)=si〃acY7s0+cosa5%B；

(4)S(?-P)：sin(a-p)=sinacos^-cosasinB；

(5)T(a+p)：tan(a+0)=lan￡+tan1_

1-tanCltanP

(6)T,a邛儲tan(a-0)=tan。-tan)

1+tanCLtanP

4.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)S2a：sin2a=2sin-osa；

(2)Cia：cos2a=cos2a-sin%=2cos2a-1=1-Zsida；

(3)Tia：tan2a=2tan(I_.

1-tan2a

【解題方法點撥】

誘導公式記憶口訣：

對于角“"土a"(依Z)的三角函數(shù)記憶口訣"奇變偶不變，符號看象限"，"奇變偶不變”是指“當我為奇

2

數(shù)時，正弦變余弦，余弦變正弦；當％為偶數(shù)時，函數(shù)名不變”.“符號看象限”是指“在a的三角函數(shù)值前面加上

當a為銳角時，原函數(shù)值的符號”.

二十六.兩角和與差的三角函數(shù)

(1)C(a-p＞：cos(a-P)=cosacos0+sinasinB；

(2)C(a+p)：cos(a+p)=cosacos0-sicasin〈；

(3)S(a+p)：sin(a+p)=sinacos0+cosasinB；

(4)S(a-p)：sin(a-p)=sinacos0-cosasin0；

(5)7\a邛)：tan(a+p)=tan。+tan￡.

1-tanCltanP

(6)T(a-p＞：tan(a-0)=tan。-tan-

1+tanCCtanB

二十七.二倍角的三角函數(shù)

【二倍角的三角函數(shù)】

二倍角的正弦其實屬于正弦函數(shù)和差化積里面的一個特例，即a=0的一種特例，其公式為：sin2a=2sina?cosa；

其可拓展為l+sin2a=(sina+cosa)2.

二倍角的余弦其實屬于余弦函數(shù)和差化積里面的一個特例，即a=0的一種特例，其公式為：cos2a=cos2a-sin2a

=2cos2a-1=1-2sin2a.

二倍角的正切其實屬于正切函數(shù)和差化積里面的一個特例，即a=B的一種特例，其公式為：tan2a=2tan^-對

l-tana

于這個公式要求是能夠正確的運用其求值化簡即可.

二十八.半角的三角函數(shù)

【半角的三角函數(shù)】

半角的三角函數(shù)關系主要是指正切函數(shù)與正余弦函數(shù)之間的關系(正余弦的半角關系其實就是二倍角關系)，其公

aaaa2a

sinnsin

式為:②tan-5-1-cosa

aaasinCl

2c。與cos2^-1+cosa2cosr^-sirr^^cos-^-

二十九.三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值

【概述】

三角函數(shù)的恒等變化主要是指自變量x數(shù)值比較大時，如何轉化成我們常見的數(shù)值比較小的而且相等的三角函數(shù),

主要的方法就是運用它們的周期性.

【公式】

TTTT

①正弦函數(shù)有y=sin(2內i+x)=sinx,sin(-^-+x)=sin-x)=cosx

兀

②余弦函數(shù)有丫=8§(2Kr+x)=cosx,cos-x)=sinx

7r

③正切函數(shù)有y=tan(Kr+x)=tari￥,tan(—^-x)=cotx,

2

④余切函數(shù)有了=31(-y-x)=tanx,cot(Mi+x)=coU.

三十.三角函數(shù)中的恒等變換應用

1.同角三角函數(shù)的基本關系

(1)平方關系：sin2a+cos2a=1.

(2)商數(shù)關系：也三=tana.

cosa

2.誘導公式

公式一：sin(a+2攵n)=sina,cos(a+2fcn)=cosa,tan(a+2Ki)=tana,其中依Z.

公式二：sin(n+a)=-sina,cos(n+a)=-cosa,tan(n+a)=tana.

公式三：sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana.

公式四：sin(n-a)=sina,cos(TE-a)=-cosa,tan(n-a)=-tana.

31jIji

公式五：sin(----a)=cosa,cos(----a)=sina,tan(----a)=cota.

222

公式六:sin(——+a)=cosa,cos(---+a)=-sina,tan(——+a)=-cota

222

3.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

(1)C(?-p＞：cos(a-p)=cosacosp+sinasinp；

(2)C(a+p＞：cos(a+p)=cosacosp-sinasinp；

(3)S(a+p)：sin(a+p)=sinacosp+cosasinp；

(4)S(a-P)：sin(a-P)=sinacosp-cosasinp；

⑸7,a+做：tan(a+0)=tanO+tan￡

1-tanCltanB

(6)T(a.p)：tan(a-0)tanCl-tan

1+tanQtanP

4.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)S2a：sin2a=2sinacosa；

(2)C2a：cos2a=cos-a-sina=2cosa-1=1-2sirra；

2tanQ

(3)T2a：tan2a=_.

1-tan?a

三十一.三角函數(shù)應用

1.三角函數(shù)模型的簡單應用：1)在生活中的應用；2)；在建筑學中的應用；3)在航海中的應用；4)在物理學中

的應用.

2.解三角函數(shù)應用題的一般步驟：

(1)閱讀理解材料：將文字語言轉化為符號語言；

(2)建立變量關系：抽象成數(shù)學問題，建立變量關系；

(3)討論變量性質：根據(jù)函數(shù)性質討論變量性質；

（4）作出結論.

【解題方法點撥】

1、方法與技巧：

（1）在生產(chǎn)生活中，常常有一些與角有關的最值問題，需要確定以角作為變量的三角函數(shù)來解決.

（2）理清題意，分清題目中已知和所求，準確解讀題目中的術語和有關名詞.

（3）要能根據(jù)題意，畫出符合題意的圖形.

（4）對計算結果，可根據(jù)實際情況進行處理.

2、注意：

（1）建立三角函數(shù)關系式關鍵是選擇適當?shù)慕亲鳛樽兞?

（2）解決應用問題要注重檢驗.

（3）選擇變量后，要根據(jù)題中的條件，確定角的范圍.

三十二.解三角形

1.已知兩角和一邊（如A、B、C）,由A+B+C=n求C,由正弦定理求a、b.

2.已知兩邊和夾角（如a、b、c）,應用余弦定理求c邊；再應用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用A+B+C

=Tt,求另一角.

3.已知兩邊和其中一邊的對角（如b、A）,應用正弦定理求B,由A+B+C=TT求C,再由正弦定理或余弦定理

求c邊，要注意解可能有多種情況.

4.已知三邊a、b、c,應用余弦定理求4、B,再由A+8+C=m求角C.

5.方向角一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉到目標的方向線所成的角（一般指

銳角），通常表達成.正北或正南，北偏東XX度，北偏西XX度，南偏東XX度，南偏西XX度.

6.俯角和仰角的概念：

在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角.如圖中0E是

視線，是仰角，是俯角.

7.關于三角形面積問題

?S^ABC=^-aha=—bhh=—chc（ha^hb、〃c分別表示〃、b、c上的高）;

222

②Sz\ABC=-^?6sinC=」〃csinA=L/csinB；

222

③&A8C=2R2sinAsinBsinC.（R為外接圓半徑）

@SAABC=-；

蟲

---

@SAABC-Vs(sa)(sb)(sc)?(s=工Ca+b+c')')；

2

@S^ABC=r's,（r為△ABC內切圓的半徑）

在解三角形時，常用定理及公式如下表：

名稱公式變形

內角和定理A+B+C=TT一+--------—，2A+2D—2TI-2C

2222

,2^22

余弦定理。2=必+。2-2Z?CCOSAcosA=----------

2bc

221

b=ci+c-2accosB2上2,2

cosB=-...-----

c1=a2+b2,-2abcosC2ac

2-22

cosC=3.上一￡一

2ab

正弦定理f—=.b=c=2Ro=2RsinA,/?=2Rsin8,c=

sinAsinBsinC

22?sinC

R為AABC的外接圓半徑

sinA=-^-,sinB=-^-,sinC=-^-

2R2R2R

射影定理acosB+hcosA=c

acosC+ccosA=b

bcosC+ccosB=a

①弘=^-aha=^-bhb—^-ch2SA

面積公式csinA=——

222be

②S△=L/戾inC=-^acsinB=—Z>csinAsinB=

222

2SA

③弘=3￡

ac

4R

2SA

④§△=Js(s-a)(s-b)(s-c)，(s=*sinC=—巴

ab

(a+b+c))；

⑤$△=工(a+b+c)r

2

。為△ABC內切圓半徑)

Q三、題型方法

一.弧度制（共1小題）

1.（2023?青浦區(qū)二模）已知函數(shù)y=V『x2,卷<x<￡的圖像繞著原點按逆時針方向旋轉0（OWOWTT）弧度,

若得到的圖像仍是函數(shù)圖像，則0可取值的集合為.

二.扇形面積公式（共3小題）

2.（2023?徐匯區(qū)校級三模）已知扇形圓心角a=60°,a所對的弧長/=6m則該扇形面積為.

3.（2023?徐匯區(qū)校級三模）已知一個半徑為4的扇形圓心角為。（O<0<2TT）,面積為如，若tan（9+（p）=3,則

tan（p=.

4.（20