中考數(shù)學(xué)三角形復(fù)習(xí)教案

考點(diǎn)15三角形利川銅鑼壩中學(xué)王明利知識概要1.三角形概念和分類(1)概念:在同一平面內(nèi),由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形,叫做三角形.(2)分類:三角形按邊分為不等邊三角形和等腰三角形,等腰三角形包括底和腰不等的三角形和等邊三角形;按角分為斜三角形和直角三角形,斜三角形包括銳角三角形和鈍角三角形.2.三角形的三線(高線、角平分線、中線)(1)概念三角形的高線:從三角形的一頂點(diǎn)向其對邊作垂線,頂點(diǎn)與垂足間的線段叫做三角形的高線.三角形的角平分線:三角形中一個角的平分線與對邊相交,交點(diǎn)與頂點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線.三角形的中線:連結(jié)三角形一個頂點(diǎn)與對邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線.(2)三角形三線的比較相同點(diǎn):①都是線段;②都有三條;③三線或延長線都會交于一點(diǎn).不同點(diǎn):銳角三角形三條高都在三角形內(nèi)部,直角三角形三條高有兩條是直角邊,鈍角三角形三條高有兩條高在三角形外部.三角形的三條角平分線、三條中線都在三角形內(nèi)部.3.三角形的性質(zhì)(1)邊與邊的關(guān)系:任意兩邊這和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊.(2)角與角的關(guān)系:①內(nèi)角和定理:三角形的三個內(nèi)角之和等于180o;②三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和;③三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角.(3)三角形具有穩(wěn)定性.4.全等三角形(1)概念:能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.(2)判定:①三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(簡稱為“邊邊邊”或“SSS”);②兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(簡稱為“角邊角”或“ASA”);③兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(簡稱為“角角邊”或“AAS”);④兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等(簡稱為“邊角邊”或“SAS”);⑤斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(簡稱為“斜邊和直角邊”或“HL”).(3)性質(zhì):①全等三角形的對應(yīng)角相等,對應(yīng)線段(邊、高線、角平分線、中線)相等;②全等三角形的周長相等,面積相等.5.等腰三角形(1)概念:有兩條邊相等的三角形叫等腰三角形.(2)性質(zhì):①等腰三角形的兩個底角相等(簡稱“等邊對等角”);②等腰三角形的頂角平分線平分并且垂直于底邊(三線合一).(3)判定:如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角對的邊也相等(簡稱為“等角對等邊”).6.等邊三角形(1)概念:三邊相等的三角形叫做等邊三角形.(2)性質(zhì):等邊三角形的三邊相等,三個角都等于60o.(3)判定:①三個角都相等的三角形是等邊三角形;②有一個角等于60o的等腰三角形是等邊三角形.7.直角三角形(1)勾股定理:直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.(2)直角三角形的兩銳角互余.(3)直角三角形中,如果有一銳角等于30o,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.(4)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.范例解釋例1（2008山東威海）若三角形的三邊長分別為3，4，x-1，則x的取值范圍是A．0＜x＜8 B．2＜x＜8 C．0＜x＜6 D．2＜x＜6解由三角形任意兩邊之和大于第三邊和三角形任意兩邊之差小于第三邊有解這個不等式得2<x<8,故選B.點(diǎn)評這里運(yùn)用不等式組表示出三邊之間的關(guān)系，通過解不等式組得到x的取值范圍.正確理解運(yùn)用三角形三邊的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.例2（2008陜西?。┮粋€三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比為2∶3∶7，這個三角形一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．銳角三角形D．鈍角三角形解設(shè)這個三角形的三個內(nèi)角度數(shù)分別為2x,3x,7x.根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理有2x＋3x＋7x=180o解得x=15o則2x=30o,3x=45o,7x=105ox.所以這個三角形是鈍角三角形,故選D.點(diǎn)評三角形按角分類可分為銳角三角形、直角三角形、和鈍角三角形,然而三角形中角的計(jì)算一般都與三角形的內(nèi)角和有關(guān).本題還利用了方程求解,這是解答數(shù)學(xué)題的一種重要思想方法.ABCEDOPQ例3（2008山東荷澤）如圖，C為線段AE上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于一點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與ABCEDOPQ①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的有______________（把你認(rèn)為正確的序號都填上）．解∵正三角形ABC和正三角形CDE∴AC=BC,∠ACD=∠BCE=120o,CD=CE∴ΔACD≌ΔBCE,∴AD=BE,∠CAD=∠CBE又∠ACP=∠BCQ∴ΔACP≌ΔACQ∴AP=BQ,CP=CQ又∠PCQ=60o∴ΔCPQ是等邊三角形∴∠PQC=∠QCE=60o∴PQ∥AE∵∠AOB=∠OEA＋∠OAE=∠OEA＋∠CBE=∠ACB∴∠AOB=60o∵∠DPC>∠QPC∴∠DPC>∠QCP∴DP≠DC即DP≠DE故恒成立的有①②③⑤點(diǎn)評本題中的各種關(guān)系較為復(fù)雜,滲透了很多知識,比如等邊三角形的判定和性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),平行線的判定,等腰三角形的判定,三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和等知識.這在一定程度上給學(xué)生造成思維上的障礙,易造成推理上的錯誤.要對5個結(jié)論作出正確的判斷,必須熟悉相關(guān)知識并會靈活運(yùn)用.例4(2008湖北恩施）如圖,C為線段BD上一動點(diǎn),分別過點(diǎn)B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,連接AC、EC.已知AB=5,DE=1,BD=8,設(shè)CD=x.(1)用含x的代數(shù)式表示AC＋CE的長；(2)請問點(diǎn)C滿足什么條件時,AC＋CE的值最小?(3)根據(jù)(2)中的規(guī)律和結(jié)論,請構(gòu)圖求出代數(shù)式的最小值.EDCBEDCBA(2)當(dāng)A、C、E三點(diǎn)共線時,AC+CE的值最小(3)如下圖所示,作BD=12,過點(diǎn)B作AB⊥BD,過點(diǎn)D作ED⊥BD,使AB=2,ED=3,連結(jié)AE交BD于點(diǎn)C.AE的長即為代數(shù)式的最小值.FEDCBA過點(diǎn)A作AF∥BDFEDCBA得矩形ABDF,則AB=DF=2,AF=BD=8.所以AE==13即的最小值為13.點(diǎn)評本道試題新穎,別具匠心.它集觀察與探究、歸納與發(fā)現(xiàn)、運(yùn)用與推廣于其中,主要考查了直角三形的有關(guān)知識,同時也考查了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想,是一道代數(shù)與幾何的綜合試題,但試題難度不是很大,三個問題由淺入深,循序漸進(jìn),由特殊到一般,從歸納發(fā)現(xiàn)到推廣運(yùn)用環(huán)環(huán)相扣,引導(dǎo)學(xué)生一步一步地去完成.是值得參加升學(xué)考試的學(xué)生關(guān)注的題型.D(1)(2)ACBEDD(1)(2)ACBED’E’′′′′′′′′′′′ACBEDl(3)lD’F’ACBED(4)ACBEDlE’C’(1)將△ECD沿直線l向左平移到圖(2)的位置，使E點(diǎn)落在AB上，則CC′=______；(2)將△ECD繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)到圖(3)的位置，使點(diǎn)E落在AB上，則△ECD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)的度數(shù)=______；(3)將△ECD沿直線AC翻折到圖(4)的位置，ED′與AB相交于點(diǎn)F，求證AF=FD′．解(1)3-；(2)30°；(3)證明：在△AEF和△D′BF中，∵AE=AC-EC,D’B=D’C-BC，又AC=D’C,EC=BC，∴AE=D’B．又∠AEF=∠D’BF=180°-60°=120°，∠A=∠CD’E=30°，∴△AEF≌△D’BF．∴AF=FD’．點(diǎn)評這是一道以兩塊全等的含30o的三角尺為工具的操作題,涉及到旋轉(zhuǎn)和翻折,解決動態(tài)幾何題要善于從“動”中求“靜”,從變中探索不變.解決此題時要注意的是，在旋轉(zhuǎn)和翻折的過程中,三角尺只是位置的變化，其形狀大小沒有改變.動態(tài)幾何題也是近年來中考命題的熱點(diǎn).例6（2008浙江杭州）如圖，在等腰ΔABC中，CH是底邊上的高線，點(diǎn)P是線段CH上不與端點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，連結(jié)AP交BC于點(diǎn)E，連結(jié)BP交AC于點(diǎn)F.（1）證明：∠CAE=∠CBF；（2）證明：AE=BF；（3）以線段AE，BF和AB為邊構(gòu)成一個新的三角形ABG（點(diǎn)E與點(diǎn)F重合于點(diǎn)G），記ΔABC和ΔABG的面積分別為SΔABC和SΔABG，如果存在點(diǎn)P，能使SΔABC=SΔABG，求∠C的取值范圍.解(1)∵△是等腰△，是底邊上的高線，∴，又∵,∴△≌△，∴,即;(2)∵,，,∴△≌△，∴;(3)由(2)知△是以為底邊的等腰△，∴等價于，1）當(dāng)∠為直角或鈍角時，在△中，不論點(diǎn)在何處，均有，所以結(jié)論不成立;2）當(dāng)∠為銳角時，∠，而，要使，只需使∠=∠，此時，∠180°–2∠，只須180°–2∠∠，解得60°∠90°.(也可在中通過比較和的大小而得到結(jié)論)點(diǎn)評本題是一道幾何存在性探究題,還重視了分類討論等數(shù)學(xué)方法的考查.第(1)題并不難,只需證明△≌△即可.第(2)題運(yùn)用第(1)題的結(jié)論證明△≌△得證.第(3)題要分兩種情況討論:1）當(dāng)∠為直角或鈍角時;2）當(dāng)∠為銳角時.從而得到不同的結(jié)果.鞏固訓(xùn)練一、選擇題ABCDE1.（2008浙江麗水）如圖，在三角形中，＞，、分別是、上的點(diǎn)，△沿線段翻折，使點(diǎn)落在邊上，記為．若四邊形是菱形，則下列說法正確的是()ABCDEA.是△的中位線B.是邊上的中線C.是邊上的高D.是△的角平分線CADPB2.(2008湖南邵陽)如圖，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，，還應(yīng)補(bǔ)充一個條件，才能推出．從下列條件中補(bǔ)充一個條件，不一定能推出的是（）CADPBA． B． C． CBACBA3.（2008黑龍江大慶）如圖，在中，，點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)與的任意兩個頂點(diǎn)構(gòu)成均是等腰三角形，則滿足上述條件的所有點(diǎn)的個數(shù)為（）A．3 B．4 C．6 D．74.（2008湖北十堰）下列長度的三條線段，能組成三角形的是()A．1cm，2cm，3cmB．2cm，3cm，6cmC．4cm，6cm，8cmD．5cm，6cm，12cm5.（2008湖北十堰）如圖，將ΔPQR向右平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，則頂點(diǎn)P平移后的坐標(biāo)是()A．(-2,-4)B．(-2,4)C．(2,-3)D．(-1,-3)6.（2008山東煙臺）如圖，在Rt△ABC內(nèi)有邊長分別為的三個正方形，則滿足的關(guān)系式是（）A、B、C、D、7.(2008浙江杭州)如圖，記拋物線的圖象與正半軸的交點(diǎn)為A，將線段OA分成n等份，設(shè)分點(diǎn)分別為P1，P2，…，Pn-1，過每個分點(diǎn)作軸的垂線，分別與拋物線交于點(diǎn)Q1，Q2，…，Qn-1，再記直角三角形OP1Q1，P1P2Q2，…的面積分別為S1，S2，…，這樣就有，，…；記W=S1+S2+…+Sn-1，當(dāng)n越來越大時，你猜想W最接近的常數(shù)是()A.B.C.D.二、填空題8.（2008浙江湖州）已知等腰三角形的一個底角為，則它的頂角為度9.（2008四川資陽）如圖4，□ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，請你寫出其中的一對全等三角形_________________．BCFEADA10.(BCFEADAADBCD∠A＝∠C，要使△ADFADBCD添加一個條件______________________(只需寫一個)．11.（2008湖北黃岡）如圖，和都是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)在同一條直線上，連接，則的長為．12.（2008廣東肇慶）如圖3，P是∠AOBCABD的角平分線上的一點(diǎn)，PCCABDPD⊥OB于點(diǎn)D，寫出圖中一對相等的線段（只需寫出一對即可）.13.（2008湖北鄂州）如圖，在中，，于點(diǎn)，已知，則高的長為．14.（2008山東荷澤）將一個正三角形紙片剪成四個全等的小正三角形，再將其中的一個按同樣的方法剪成四個更小的正三角形，……如此繼續(xù)下去，結(jié)果如下表．所剪次數(shù)1234…n正三角形個數(shù)471013…an則an＝（用含n的代數(shù)式表示）三、解答題15.(2008廣東肇慶)如圖4，E、F、G分別是等邊△ABC的邊AB、BC、AC的中點(diǎn).（1）圖中有多少個三角形？（2）指出圖中一對全等三角形，并給出證明.16.（2008湖北宜昌）如圖，在△ABC與△ABD中，BC＝BD．設(shè)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)．（1）請你在圖中作出點(diǎn)E和點(diǎn)F；(要求用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法與證明）（2）連接AE，AF．若∠ABC＝∠ABD，請你證明△ABE≌△ABF．17.(2008河南省)復(fù)習(xí)“全等三角形”的知識時，老師布置了一道作業(yè)題：“如圖①，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC內(nèi)部任意一點(diǎn)，將AP繞A順時針旋轉(zhuǎn)至AQ，使∠QAP=∠BAC，連接BQ、CP，則BQ=CP．”圖①圖②小亮是個愛動腦筋的同學(xué)，他通過對圖①的分析，證明了△ABQ≌△ACP，從而證得BQ=CP之后，將點(diǎn)P移到等腰三角形ABC之外，原題中的條件不變，發(fā)現(xiàn)“BQ=CP圖①圖②AGCFEBD圖218.(2008北京市)已知等邊三角形紙片的邊長為，為邊上的點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，把三角形紙片分別沿按圖1所示方式折疊，點(diǎn)分別落在點(diǎn)，，處．若點(diǎn)，，在矩形內(nèi)或其邊上，且互不重合，此時我們稱（即圖中陰影部分）為“重疊三角形”．AGCFEBD圖2AAGCFEBD圖1（1）若把三角形紙片放在等邊三角形網(wǎng)格中（圖中每個小三角形都是邊長為1的等邊三角形），點(diǎn)恰好落在網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)上．如圖2所示，請直接寫出此時重疊三角形的面積；ACB備用圖ACB備用圖（2）實(shí)驗(yàn)探究：設(shè)的長為，若重疊三角形存在．試用含的代數(shù)式表示重疊三角形的面積，并寫出ACB備用圖ACB備用圖單元測試DCBDCBAEH1.（2008新疆烏魯木齊）某等腰三角形的兩條邊長分別為3cm和6cm，則它的周長為（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm2.（2008湖北鄂州）如圖，已知中，，，是高和的交點(diǎn)，則線段的長度為（）A． B．4 C． D．53.2008湖北宜昌）如圖，已知△ABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2，1)，將△ABC向左平移兩個單位后，點(diǎn)B平移到B1，則B1的坐標(biāo)是（）．A．(4，1)B．(0，1)C．(－1，1)D．(1，0)4.（2008四川成都）如圖，在△ABC與△DEF中，已有條件AB=DE，還需添加兩個條件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一組條件是()A.∠B=∠E,BC=EF B.BC=EF，AC=DFC.∠A=∠D，∠B=∠E D.∠A=∠D，BC=EFADEBCADEBC分別是邊的中點(diǎn)，已知，則的長為（）A．3 B．4 C．5 D．66.（山東淄博）如圖，由4個小正方形組成的田字格中，△ABC的頂點(diǎn)都是小正方形的頂點(diǎn)。在田字格上畫與△ABC成軸對稱的三角形，且頂點(diǎn)都是小正方形的頂點(diǎn)，則則這樣的三角形（不包含△ABC本身）共有（）A．1個B．2個C．3個D．4個7.(2008廣東汕頭)已知的三邊長分別為5，13，12，則的面積為（）A．30 B．60 C．78 D．不能確定8.(2008山東濟(jì)寧)如圖，是等腰直角三角形，是斜邊，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后，能與重合，如果，那么的長等于（）A． B． C． D．CBACBA9.（2008赤峰）如圖，是一塊三角形木板的殘余部分，量得，，這塊三角形木板另外BCADEBCADE10.（2008甘肅白銀）已知等腰三角形的一條腰長是5，底邊長是6，則它底邊上的高為．11.（2008福建寧德）如圖是一副三角尺拼成圖案，則∠AEB＝_________°12.（2008彬州）如圖，D是AB邊上的中點(diǎn)，將沿過D的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC上F處，若，則__________度．13.（2008鹽城）將一張等邊三角形紙片沿著一邊上的高剪開，可以拼成不同形狀的四邊形．試寫出其中一種四邊形的名稱．14.（2008黑龍江綏化）如圖，，DOCBABDOCBAB（只添一個即可）．15.（2008四川達(dá)州）如圖所示，邊長為2的等邊三角形木塊，沿水平線滾動，則點(diǎn)從開始至結(jié)束BFCAHDEG所走過的路線長為BFCAHDEGBBACABCA16.（2008福建寧德）如圖，將矩形紙ABCD的四個角向內(nèi)折起，恰好拼成一個無縫隙無重疊的四邊形EFGH，若EH＝3厘米，EF＝4厘米，則邊AD的長是___________厘米.三、解答題(72分)ACEDB17.(8分)(2008北京市)已知：如圖，為上一點(diǎn)，點(diǎn)分別在兩側(cè)．，，．ACEDB求證：18.(8分)（2008福建泉州）已知：如圖，E、C兩點(diǎn)在線段BF上，BE=CF，AB=DE，AC=DF。求證：△ABC≌△DEF19.(8分)（2008湖北宜昌）如圖，某種雨傘的傘面可以看成由12塊完全相同的等腰三角形布料縫合而成，量得其中一個三角形OAB的邊OA＝OB＝56cm．（1）求∠AOB的度數(shù)；（2）求△OAB的面積．（不計(jì)縫合時重疊部分的面積）BEDAC20.(8分)（2008新疆烏魯木齊）在一次數(shù)學(xué)課上，王老師在黑板上畫出圖，并寫下了四個等式：①，②，③，④．要求同學(xué)從這四個等式中選出兩個作為條件，推出是等腰三角形．請你試著完成王老師提出的要求，并說明理由．（寫出一種即可）BEDAC已知：求證：是等腰三角形．證明：21.(8分)（2008廣東東莞）（1）如圖1，點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連結(jié)AC和BD，相交于點(diǎn)E，連結(jié)BC．求∠AEB的大??；（2）如圖2，ΔOAB固定不動，保持ΔOCD的形狀和大小不變，將ΔOCD繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（ΔOAB和ΔOCD不能重疊)，求∠AEB的大小.BABAODCE圖2CBOD圖1A22.(10分)(2008浙江臺州)經(jīng)過