適用于新高考新教材廣西專版2025屆高考數(shù)學一輪總復習第十一章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布課時規(guī)范練64離散型隨機變量的分布列均值與方差

課時規(guī)范練64離散型隨機變量的分布列、均值與方差基礎鞏固組1.(2023廣東廣州二模)已知隨機變量X的分布列如下:X12Pmn若E(X)=53,則m=(A.16 B.C.23 D.2.設隨機變量X的分布列如下表,則P(|X-2|=1)=()X1234P11m1A.712 B.12 C.5123.設隨機變量X的分布列如下表,X0123P0.1a0.30.4則方差D(X)=()A.0 B.1 C.2 D.34.設離散型隨機變量X可能的取值為1,2,3,4,P(X=k)=ak+b(k=1,2,3,4),又X的均值為E(X)=3,則a+b=()A.110 B.0 C.-110 D5.已知隨機變量X的分布列如下表,X012P0.2ab若E(X)=1,則D(X)=()A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.66.(多選)設隨機變量ξ的分布列為Pξ=k5=ak(k=1,2,3,4,5),則A.15a=1B.P(0.5<ξ<0.8)=0.2C.P(0.1<ξ<0.5)=0.2D.P(ξ=1)=0.37.已知隨機變量ξ的分布列如下表,則x=.

ξ012Px2x18.(2023廣東深圳二模)某校體育節(jié)組織定點投籃比賽,每位參賽選手共有3次投籃機會.統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示,每位選手投籃投進與否滿足:若第k次投進的概率為p(0<p<1),當?shù)趉次投進時,第k+1次也投進的概率保持p不變;當?shù)趉次沒能投進時,第k+1次能投進的概率降為p2(1)若選手甲第1次投進的概率為p(0<p<1),求選手甲至少投進一次的概率;(2)設選手乙第1次投進的概率為23,每投進1球得1分,投不進得0分,求選手乙得分X的分布列與均值綜合提升組9.已知排球發(fā)球考試規(guī)則:每位考生最多可發(fā)球三次,若發(fā)球成功,則停止發(fā)球,否則一直發(fā)到3次結束為止.某考生一次發(fā)球成功的概率為p(0<p<1),發(fā)球次數(shù)為X,若X的均值E(X)>1.75,則p的取值范圍為()A.0,12C.12,110.(多選)已知m,n均為正數(shù),隨機變量X的分布列如下表,X012Pmnm則下列結論一定成立的是()A.P(X=1)<P(X≠1) B.E(X)=1C.mn≤18D.D(X+1)<111.(多選)袋內有形狀、大小完全相同的2個黑球和3個白球,從中不放回地每次任取1個小球,直至取到白球后停止取球,設取球次數(shù)為ξ,則下列說法正確的是()A.抽取2次后停止取球的概率為3B.停止取球時,取出的白球個數(shù)不少于黑球的概率為9C.取球次數(shù)ξ的均值為2D.取球次數(shù)ξ的方差為912.已知隨機變量X的分布列為X012Pa2ab已知a>0,b>0,當D(X)最大時,E(X)=.

13.現(xiàn)有7張卡片,分別寫上數(shù)字1,2,2,3,4,5,6.從這7張卡片中隨機抽取3張,記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為ξ,則P(ξ=2)=,E(ξ)=.

14.已知某盒子中共有6個小球,編號為1號至6號,其中有3個紅球、2個黃球和1個綠球,這些球除顏色和編號外完全相同.(1)若從盒中一次隨機取出3個球,求取出的3個球中恰有2個顏色相同的概率;(2)若從盒中逐一取球,每次取后立即放回,共取4次,求恰有3次取到黃球的概率;(3)若從盒中逐一取球,每次取后不放回,記取完黃球所需次數(shù)為X,求隨機變量X的分布列及均值E(X).15.(2023廣東梅州統(tǒng)考三模)某校高三1000名學生的一?？荚嚁?shù)學成績頻率分布直方圖如圖所示,其中成績分組區(qū)間是[30,50),[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150].(1)求圖中a的值;(2)根據(jù)頻率分布直方圖,估計這1000名學生的一?？荚嚁?shù)學成績的平均分(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表);(3)從一模數(shù)學成績位于[90,110),[110,130)的學生中采用分層隨機抽樣抽取8人,再從這8人中隨機抽取2人,這2人中一模數(shù)學成績在區(qū)間[90,110)的人數(shù)記為X,求X的分布列及均值.創(chuàng)新應用組16.(2023河北邯鄲三模)邯鄲是歷史文化名城,被譽為“中國成語典故之都”.為了讓廣大市民更好地了解并傳承成語文化,當?shù)匚穆镁謹M舉辦猜成語大賽.比賽共設置n道題,參加比賽的選手從第一題開始答題,一旦答錯則停止答題,否則繼續(xù),直到答完所有題目.設某選手答對每道題的概率均為p(0<p<1),各題回答正確與否相互之間沒有影響.(1)記答題結束時答題個數(shù)為X,當n=3時,若E(X)>1.75,求p的取值范圍.(2)①記答題結束時答對個數(shù)為Y,求E(Y);②當p=56時,求使E(Y)>4的n的最小值(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.301,lg3≈0.477)課時規(guī)范練64離散型隨機變量的分布列、均值與方差1.B解析由已知得m+2n=53,m2.C解析由16+14+m+13=1,得m=14,所以P(|X-2|=1)=P(X=1)+P3.B解析由題得,a=1-0.1-0.3-0.4=0.2,則E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.4=2,E(X2)=1×0.2+4×0.3+9×0.4=5,D(X)=E(X2)-[E(X)]2=5-4=1,故選B.4.A解析依題意可得X的分布列為X1234Pa+b2a+b3a+b4a+b依題意得,a解得a=110,b=0,故a+b=110.故選5.C解析由分布列的性質,可得0.2+a+b=1,解得a+b=0.8.①∵E(X)=1,∴0×0.2+1×a+2×b=1,即a+2b=1,②聯(lián)立①②,解得a=0.6,b=0.2.D(X)=(0-1)2×0.2+(1-1)2×0.6+(2-1)2×0.2=0.4.故選C.6.ABC解析隨機變量ξ的分布列為Pξ=k5=ak(k=1,2,3,4,5),Pξ=15+Pξ=25+Pξ=35+Pξ=45+P(ξ=1)=a+2a+3a+4a+5a=15a=1,解得a=115,故A正確;P(0.5<ξ<0.8)=Pξ=35=3×115=0.2,故B正確;P(0.1<ξ<0.5)=Pξ=15+Pξ=25=115+2×115=0.2,故C正確;P(ξ=1)=7.12解析由題得,x2+x+14=1,化簡得x+32x-12=0,解得x=12或x=-32.因為0≤x≤1,所以x=18.解(1)記選手甲第k次投進為事件Ak(k=1,2,3),未投進為事件Ak,選手甲至少投進一次這一事件的概率為1-P(A1P(A1A2A3)=(1-p)1-p21-p4=1故選手甲至少投進一次的概率為1-P(A1A2A(2)得分X等于乙投進的次數(shù),則X的可能取值為0,1,2,3.記選手乙第k次投進為事件Bk(k=1,2,3),由題意可知P(B1)=23,P(B2)=13,P(B3)=16,P(X=0)=P(B1投進1次對應事件為B1B2B3+B1B2B3+B1投進2次對應事件為B1B2B3+B1B2B3+B1B2B3,P(X=2)投進3次對應事件為B1B2B3,P(X=3)=23×23X0123P(X)5778選手乙得分的均值E(X)=0×527+1×727+2×727+39.A解析由題可知P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2p+(1-p)3=(1-p)2,則E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1-p)p+3(1-p)2>1.75,解得p>52或p<12,由p∈(0,1),可得p∈0,110.BCD解析由分布列的性質,得m+n+m=2m+n=1,P(X=1)=n,P(X≠1)=2m.當m=14,n=12時,P(X=1)=P(X≠1),故選項A錯誤;因為E(X)=n+2m=1,故選項B正確;因為m,n均為正數(shù),所以1=n+2m≥22mn,即mn≤18,當且僅當n=2m=12時,等號成立,故選項C正確;由n=1-2m>0,得0<m<12.又E(X)=1,所以D(X+1)=D(X)=2m<1,故選項11.BD解析由題意可知隨機變量ξ的可能取值有1,2,3,則P(ξ=1)=35,P(ξ=2)=25×34=310,P(ξ=3)=25×14=110.對于A選項,抽取2次后停止取球的概率為P(ξ=2)=310,A選項錯誤;對于B選項,停止取球時,取出的白球個數(shù)不少于黑球的概率為P(ξ=1)+P(ξ=2)=35+310=910,B選項正確;對于C選項,取球次數(shù)ξ的均值為E(ξ)=1×35+2×310+12.54解析由題知b=1-3a,E(X)=2a+2(1-3a)=2-4a,則D(X)=(4a-2)2·a+(4a-1)2·2a+(4a)2·(1-3a)=-16a2+6a.故當a=316時,D(X)最大,此時E(X)=513.1635解析P(ξ=2)=C2ξ的所有可能取值為1,2,3,4.P(ξ=1)=C62C73=1535,P(ξ=3)=C32C73=335,故E(ξ)=1×1535+2×1635+3×335+414.解(1)從盒中一次隨機取出3個球,記取出的3個球中恰有2個顏色相同為事件A,則事件A包含事件“3個球中有2個紅球”和事件“3個球中有2個黃球”,由古典概型的概率公式和互斥事件的概率加法公式得P(A)=C3故取出的2個球顏色相同的概率為1320(2)盒中逐一取球,取后立即放回,每次取到黃球的概率為13,記“取4次恰有3次黃球”為事件B,則P(B)=C故取4次恰有3次黃球的概率為881(3)X的可能取值為2,3,4,5,6,則P(X=2)=A22A62=115P(X=4)=C21C42A33P(X=6)=C2所以隨機變量X的分布列為X23456P12141所以隨機變量X的均值為E(X)=2×115+3×215+4×15+5×415+15.解(1)由題干中頻率分布直方圖可知,(0.0025+2a+0.0075+2×0.0150)×20=1,所以a=0.0050.(2)該1000名學生的數(shù)學成績的平均分約為40×0.05+60×0.15+80×0.3+100×0.3+120×0.1+140×0.1=91.(3)由(1)知,a=0.0050,所以一模數(shù)學成績在區(qū)間[90,110)與[110,130)的人數(shù)之比為3∶1,所以抽取的8人中有6人的數(shù)學成績在區(qū)間[90,110)內,所以X的可能取值為0,1,2,P(X=0)=C60C22C82=128,P(X=所以X的分布列為X012P1315E(X)=0×128+1×37+2×16.解(1)根據(jù)題意,X可取1,2,3,P(X=1)=1-p,P(X=2)=p(1-p),P(X=3)=p2,E(X)=1-p+2p(1-p)+3p2=p2+p+1.由E(X)=p2+p+1>1.75,得p>12又0<p<1,故p的取值范圍是12,1.(2)①P(Y=k)=pk(1-p),其中k=0,1,2,…,n-1,P(Y=n)=pn,Y的均值為E(Y)=p(