2024屆浙江省溫州市高三下學期適應性考試高考數(shù)學試題（三模）含解析

2024屆浙江省溫州市高三下學期適應性考試高考數(shù)學試題（三模）注意事項：1.答卷前，考生務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、準考證號填寫在答題卷上，將條形碼橫貼在答題卷右上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卷上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試題卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卷的整潔，不要折疊、不要弄破.選擇題部分（共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．在中，三個內(nèi)角成等差數(shù)列，則（

）A． B． C． D．12．平面向量，若，則（

）A． B．1 C． D．23．設為同一試驗中的兩個隨機事件，則“”是“事件互為對立事件”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知，和的展開式中二項式系數(shù)的最大值分別為和，則（

）A． B．C． D．的大小關系與有關5．已知，則（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，則關于方程的根個數(shù)不可能是（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個7．已知是橢圓的左右焦點，上兩點滿足：，，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．8．數(shù)列的前項和為，則可以是（

）A．18 B．12 C．9 D．6二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．已知空間兩條異面直線所成的角等于60°，過點與所成的角均為的直線有且只有一條，則的值可以等于（

）A．30° B．45° C．75° D．90°10．已知是關于的方程的兩個根，其中，則（

）A． B． C． D．11．已知函數(shù)的值域是，則下列命題正確的是（

）A．若，則不存在最大值 B．若，則的最小值是C．若，則的最小值是 D．若，則的最小值是非選擇題部分（共92分）三、填空題：本大題共3小題，每題5分，共15分.把答案填在題中的橫線上.12．設隨機變量服從正態(tài)分布，若，則.13．定義在上的函數(shù)滿足：，則.14．過拋物線焦點的直線交拋物線于兩點，點，沿軸將坐標系翻折成直二面角，當三棱錐體積最大時，.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明.證明過程或演算步驟.15．由四棱柱截去三棱錐后得到如圖所示的幾何體，四邊形是菱形，為與的交點，平面.(1)求證：平面；(2)若，求平面與平面夾角的大小.16．設函數(shù)的導函數(shù)為.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)證明：函數(shù)存在唯一的極大值點，且.（參考數(shù)據(jù)：）17．已知直線與雙曲線相切于點.(1)試在集合中選擇一個數(shù)作為的值，使得相應的的值存在，并求出相應的的值；(2)過點與垂直的直線分別交軸于兩點，是線段的中點，求點的軌跡方程.18．現(xiàn)有張形狀相同的卡片，上而分別寫有數(shù)字，將這張卡片充分混合后，每次隨機抽取一張卡片，記錄卡片上的數(shù)字后放回，現(xiàn)在甲同學隨機抽取4次.(1)若，求抽到的4個數(shù)字互不相同的概率；(2)統(tǒng)計學中，我們常用樣本的均值來估計總體的期望.定義為隨機變量的階矩，其中1階矩就是的期望，利用階矩進行估計的方法稱為矩估計.（?。┯浢看纬榈降臄?shù)字為隨機變量，計算隨機變量的1階矩和2階矩；（參考公式：）（ⅱ）知甲同學抽到的卡片上的4個數(shù)字分別為3，8，9，12，試利用這組樣本并結(jié)合（?。┲械慕Y(jié)果來計算的估計值.（的計算結(jié)果通過四舍五入取整數(shù)）19．對于給定的一個位自然數(shù)（其中，），稱集合為自然數(shù)的子列集合，定義如下：{且，使得}，比如：當時，.(1)當時，寫出集合；(2)有限集合的元素個數(shù)稱為集合的基數(shù)，一般用符號來表示.（?。┮阎?，試比較大小關系；（ⅱ）記函數(shù)（其中為這個數(shù)的一種順序變換），并將能使取到最小值的記為.當時，求的最小值，并寫出所有滿足條件的.1．C【分析】由條件可知，結(jié)合求得，從而代入得解.【詳解】因為成等差數(shù)列，所以；又，所以，即，所以，所以.故選：C.2．A【分析】根據(jù)向量平行滿足的坐標關系即可求解.【詳解】，由于，所以，解得，故選：A3．B【分析】根據(jù)對立事件概率的性質(zhì)可以說明條件是必要的，容易給出反例說明條件不是充分的.【詳解】若互為對立事件，根據(jù)對立事件概率公式可直接得到，故條件是必要的；若試驗基本事件含3種及以上，其中表示概率為的兩個不同事件，則不互為對立事件，此時，故條件不是充分的.故選：B.4．A【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)知，，再用組合數(shù)的定義驗證.【詳解】根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，最大的二項式系數(shù)出現(xiàn)在正中間的1項或正中間的2項.即，，所以，從而.故選：A.5．B【分析】先由兩角和正弦和已知條件解得，進而得，再利用兩角和與差的正弦、余弦公式簡化所求式子即可求解.【詳解】因為，故由兩角和正弦公式得，故兩邊平方得，即，故.故選：B.6．C【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象交點的個數(shù)，作出的圖象，分、、三種情況，結(jié)合圖象求解即可．【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示：

將原問題轉(zhuǎn)化為直線（過定點）與函數(shù)的圖象交點的個數(shù)，由圖可知，當時，直線與函數(shù)的圖象只有一個交點；當時，直線與函數(shù)的圖象沒有交點；當時，直線與函數(shù)的圖象有三個交點；所以直線與函數(shù)的圖象不可能有兩個交點．故選：C．7．D【分析】根據(jù)焦點三角形的邊長關系，利用余弦定理即可求解.【詳解】由可知，設，則，,,則由余弦定理可得化簡可得，故，（舍去），又,所以，化簡可得，故，故選：D8．C【分析】易通過，可得，也可求得，但此數(shù)列存在不確定的首項，所以在求和后發(fā)現(xiàn)結(jié)果為，與選項中的四個數(shù)進行對比分析，發(fā)現(xiàn)一定不能為負整數(shù)，所以只能選C.【詳解】由可得：且，由上式又有：，還有，兩式相減得：，兩邊同時除以得：，由上式可知數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成等差數(shù)列，公差為1，所以，由此數(shù)列的奇數(shù)項公式為，又由，所以可以判斷一定不能為負整數(shù)，即只能有，故選：C.9．AD【分析】過點作，求得直線與所成角的范圍為或，結(jié)合選項，即可求解.【詳解】過點作，從兩對角的角平分線開始，直線與所成角的范圍為或，而均為的直線有且僅有一條，根據(jù)對稱性，可得或.故選：AD.10．ACD【分析】根據(jù)虛根成對原理得到，即可判斷A，再根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算判斷B，利用韋達定理判斷C、D.【詳解】因為是關于的方程的兩個根且，所以，即，故A正確；，，所以，故B錯誤；因為，所以，故C正確；又，故D正確.故選：ACD11．ABC【分析】由已知結(jié)合正弦函數(shù)的最值取得條件，周期性及單調(diào)性檢驗各選項即可判斷.【詳解】當時，，，，當足夠大時，包含完整周期，故A正確；為使更小，只包含一個最大、最小值點，所以，解得，，所以時，，驗證成立，故B正確；C項：若，當取最小值時，周期最大，且，故，故，故C正確；D項：若，取最小值時，周期最大，，當，此時，D錯誤．故選：ABC．12．【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性計算可得.【詳解】因為且，所以，解得.故13．##0.5【分析】依次賦值，得；賦值，得；最后賦值即可求解.【詳解】由題賦值，得，所以由，得；賦值，得，所以；賦值，得.故答案為.14．##【分析】設直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理，結(jié)合三棱錐的體積公式求解．【詳解】由于直線過焦點，且與拋物線交于兩個不同的點，故設其方程為，聯(lián)立方程，消去得，，所以，所以，當，即時，三棱錐體積最大．故．15．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點，連接，由已知條件證明出，即可得證平面.（2）先求平面與平面的法向量和，再由，結(jié)合二面角夾角范圍和圖形即可求解.【詳解】（1）如圖，取中點，連接，，則由題意且，故四邊形是平行四邊形，所以且，故且，所以四邊形是平行四邊形，故，又平面，平面，所以平面.（2）由題意可知兩兩垂直，故可建立如圖所示的空間直角坐標系，則由題意，又，所以，，即，所以，，，，設平面的一個法向量為，則，所以，取，則，設平面的一個法向量為，則，所以，取，則，所以，設平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的大小為.16．(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，極大值，無極小值.(2)證明見解析【分析】（1）利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）利用導數(shù)求函數(shù)的極大值點，由單調(diào)性證明.【詳解】（1）函數(shù)，定義域為，，，解得，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故極大值為，無極小值.（2）由（1）可知，且，，所以根據(jù)零點定理，使，使，即時，，為減函數(shù)；時，，為增函數(shù)，所以存在唯一極大值點，即，又因為，所以，即，得證!17．(1)當時，；當時，；當時，.(2)【分析】（1）直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，由求得與的函數(shù)關系，再由的值求出相應的的值；（2）設，利用導數(shù)求直線的斜率，得直線的斜率和方程，求出兩點的坐標，表示出分點的坐標，由在雙曲線上，得點的軌跡方程.【詳解】（1）由，消去得，由，得，當時，不存在；當時，；當時，；當時，.（2）設，則，，對C求導可得，則，有，所以，令，得，所以；令，得，所以，

所以，即，則，所以，得，，即P的軌跡方程是18．(1)(2)（?。?，；（ⅱ）【分析】（1）根據(jù)相互獨立事件的概率公式計算可得；（2）（ⅰ）根據(jù)階矩的定義、期望公式及等差數(shù)列求和公式計算可得；（ⅱ）首先求出樣本數(shù)據(jù)的階矩及階矩，結(jié)合（?。┑闹械慕Y(jié)果得到方程組，解得即可.【詳解】（1）依題意可得抽到的個數(shù)字互不相同的概率；（2）（?。┮李}意的可能取值為，，，，且（且），所以，依題意的可能取值為，，，且（且），所以；（ⅱ）依題意樣本數(shù)據(jù)，，，為期望（平均數(shù)）為，則，，，為期望（平均數(shù)）為，所以，消去得，整理得，解得（負值已舍去），又，，所以.19．(1)(2)（i）；（ii）答案見解析【分析】（1）由自然數(shù)的子列集合，即可求解；（2）（i）由，根據(jù)子列集合的定義，進行列舉，分別求得，和，即可求解；（ii）根據(jù)題意，得到加強命題轉(zhuǎn)化為，等號成立的條件是，當中相同數(shù)字排列在一起的情形，結(jié)合數(shù)學歸納法，作出證明即可.【詳解】（1）解：由自然數(shù)的子列集合，可得：自然數(shù)，可得.（2）解：（i）由，可得，即，，即，，即，所以.（ii）加強命題如下：若由個數(shù)字構(gòu)成題中的自然數(shù)（其中，一位整數(shù)，本題即為的情形），則所求，等號成立的條件是，當中相同數(shù)字排列在一起的情形，證明：①當時，，顯然成立；②設當時，命題成立，即，當時，相當于在原來字符串的基礎上增加了個，注意到此時時的每一種排列，此時匹配上到個排列，都能構(gòu)成時的一種排列，再結(jié)合不含有時的任何元素個排列，則我們有，而當中相同數(shù)字排列在一起時，成立，則當時，命題也成立，由①②知，成立.記，顯然，下面證明：是所有中最小的，從而（其中）設（其中為的一種順序變換）即只需證取得最小值時，當且僅當里所有相同的數(shù)字必相等，根據(jù)對稱性，以為例，即只需證明即可，記，證明，構(gòu)造集合到集合的一種對應關系，使得，其中中含有個，個，個，根據(jù)的定義，存在唯一的對應，即，反過來，，設（其中，個，個，個），設中的角標分別為，取前個，設中的角標分別為，取前個，設中的角標分別為，取前個，將，，，從小到大排列得到新的角標，則取，根據(jù)子列集合的定義，可知，因為里含有個，個，個（但是相同的數(shù)字不一定相鄰）這個在的作用下，柯達伊與對應，即.綜上所述，對于集合中的任意一個元素，在集