2008年陜西省專升本(高等數(shù)學(xué))真題試卷(題后含答案及解析)

2008年陜西省專升本（高等數(shù)學(xué)）真題試卷(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題5.綜合題6.證明題選擇題在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1．設(shè)函數(shù)在x=0處連續(xù)，則常數(shù)a與b的值為()．A．a(chǎn)=0b=一3B．a(chǎn)=一3b=0C．a(chǎn)=0b=3D．正確答案：A解析：由題意可知，函數(shù)y=f(x)在x=0處連續(xù)，又因則3+b一0=f(0)=a，所以a=0，b=一3．2．當(dāng)x→0時(shí)，函數(shù)eax一1與是等價(jià)無窮小量，則常數(shù)a的值為()．A．2B．C．一2D．正確答案：B解析：3．設(shè)函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)為e-x，則不定積分等于()．A．lnlnx+CB．x+CC．D．正確答案：D解析：由題意可知，函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)為e-x，4．在空間直角坐標(biāo)系中，平面π1：2x+y+z+7=0與平面π：x+2y—z+4=0的夾角為()．A．B．C．D．正確答案：C解析：由題意可得，平面π1的法向量n1={2，1，1}，平面π2的法向量n2={1，2，一1}，5．設(shè)積分區(qū)域D是由直線y=x，y=0及所圍成的閉區(qū)域，則二重積的值為()．A．0B．1C．2D．3正確答案：B解析：如圖所示，積分區(qū)域D可表示為填空題6．設(shè)函數(shù)F(x)的定義域?yàn)閇-1，1]，則函數(shù)g(x)=f(x+1)+f(sinx)的定義域?yàn)開_________．正確答案：[-2，0]解析：由函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇一1，1]，則解之得一2≤x≤0，所以函數(shù)的定義域?yàn)閇一2，0]．7．設(shè)函數(shù)f(x)在x=1處可導(dǎo)，，則f’(1)的值為________．正確答案：4解析：由題意可得，則f’(1)=4．8．函數(shù)f(x)=x4一2x2在[0，2]上的最小值為__________．正確答案：一1解析：由函數(shù)f(x)=x4—2x2，則f’(x)=4x3一4x，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f’(x)＜0，則函數(shù)f(x)=x4—2x2單調(diào)減少；當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f’(x)＞0，則函數(shù)f(x)=x4一2x2單調(diào)增加，所以函數(shù)f(x)=x4一2x2的最小值為f(1)=一1．9．設(shè)函數(shù)f(x)=x—∫0e1xrf(x)dx，則∫01exf(x)dx的值為__________．正確答案：e一1解析：10．設(shè)由方程ex一xyz=1所確定的隱函數(shù)為z=z(x，y)，則=________．正確答案：解析：令F(x，y，z)=ez一xyz一1，則Fz=ez一xy，F(xiàn)x=一yz，所以綜合題11．求極限正確答案：12．設(shè)由參數(shù)方程,所確定的函數(shù)為y=y(x)，求正確答案：13．已知∫xf(x)dx=arcsinx+C，求正確答案：原方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得14．計(jì)算定積分正確答案：15．設(shè)函數(shù)其中f，δ具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求正確答案：16．求函數(shù)f(x，y，z)=xy2+yz2+zx2在點(diǎn)(1，1，0)處的梯度．正確答案：17．計(jì)算二重積分，其中區(qū)域D是由直線y=x，y=0及曲線x2+y2=4圍成第一象限的部分．正確答案：18．計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲線部分I=∮L[xln(x+y)一4y]dx+[x-yln(x+y)一ey]dy其中L是以點(diǎn)A(1，0)，B(3，0)，C(2，1)為頂點(diǎn)的三角形閉區(qū)域的正向邊界曲線.正確答案：設(shè)D是三角形區(qū)域，如圖P=xln(x+y)一4y，Q=x—yln(x+y)一ey由格林公式，得19．求微分方程y’’一2y’一3y=3e2x的通解．正確答案：齊次方程所對(duì)應(yīng)的特征方程為r2一2r一3=0，即(r一3)(r+1)=0特征根為r1=3，r2=一1對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為Y(x)=C1e3x+C2e-x令y*(x)一Ae2x，則y*=2Ae2x，y*=4Ae2x，代入原方程并消去e2x，得4A一4A一3A=3解得A=一1所以y*(x)=一e2x從而微分方程通解為y(x)=C1e3x+C2e-x一e2x．20．求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)，并求級(jí)數(shù)的和．正確答案：證明題21．計(jì)算拋物面z=4一x2一y2與平面z=0圍成立體的體積．正確答案：立體在xOy面的投影區(qū)域?yàn)镈={(x，y)｜x2+y2≤4}所以，所求立體體積為22．設(shè)函數(shù)f(x)在[0，1]上有二階導(dǎo)數(shù)，且f(0)=f(1)=0，又F(x)=x2f(x)，證明：至少有一點(diǎn)ε∈(0，1)，使得F’’(ε)=0．正確答案：由條件知，F(xiàn)(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，并且F(0)=F(1)=0，由羅爾定理知，至少存在一點(diǎn)η∈(0，1)使F’(η)=0又F’(x)=2xf(x)