第12章 實數(shù)（壓軸30題專練）-2021-2022學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下學(xué)期考試滿分全攻略（滬教版）（解析版）

第12章實數(shù)（壓軸30題專練）一、單選題1．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖是一個無理數(shù)生成器的工作流程圖，根據(jù)該流程圖，下面說法：①當(dāng)輸出值y為時，輸入值x為3或9；②當(dāng)輸入值x為16時，輸出值y為；③對于任意的正無理數(shù)y，都存在正整數(shù)x，使得輸入x后能夠輸出y；④存在這樣的正整數(shù)x，輸入x之后，該生成器能夠一直運(yùn)行，但始終不能輸出y值．其中錯誤的是（）A．①② B．②④ C．①④ D．①③【答案】D【分析】根據(jù)運(yùn)算規(guī)則即可求解．【詳解】解：①x的值不唯一．x=3或x=9或81等，故①說法錯誤；

②輸入值x為16時，，故②說法正確；③對于任意的正無理數(shù)y，都存在正整數(shù)x，使得輸入x后能夠輸出y，如輸入π2，故③說法錯誤；

④當(dāng)x=1時，始終輸不出y值．因為1的算術(shù)平方根是1，一定是有理數(shù)，故④原說法正確．

其中錯誤的是①③．

故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：π，2π等；開方開不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù)．2．（2021·江蘇溧陽·七年級期中）若實數(shù)p，q，m，n在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，且滿足，則絕對值最小的數(shù)是（）A．p B．q C．m D．n【答案】C【分析】根據(jù)，并結(jié)合數(shù)軸可知原點(diǎn)在q和m之間，且離m點(diǎn)最近，即可求解．【詳解】解：∵結(jié)合數(shù)軸可得：，即原點(diǎn)在q和m之間，且離m點(diǎn)最近，∴絕對值最小的數(shù)是m，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查實數(shù)與數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是明確數(shù)軸的特點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．3．（2020·浙江臺州·模擬預(yù)測）有這樣一種算法，對于輸入的任意一個實數(shù)，都進(jìn)行“先乘以，再加3”的運(yùn)算.現(xiàn)在輸入一個，通過第1次運(yùn)算的結(jié)果為，再把輸入進(jìn)行第2次同樣的運(yùn)算，得到的運(yùn)算結(jié)果為，…，一直這樣運(yùn)算下去，當(dāng)運(yùn)算次數(shù)不斷增加時，運(yùn)算結(jié)果（）A．越來越接近4 B．越來越接近于－2C．越來越接近2 D．不會越來越接近于一個固定的數(shù)【答案】C【分析】先根據(jù)算法得出，再分別求出的運(yùn)算式子，然后歸納類推出一般規(guī)律，最后利用有理數(shù)乘方的性質(zhì)即可得．【詳解】根據(jù)算法得：（且為整數(shù)）變形為則歸納類推得：由題意得：則即當(dāng)n無限大時，無限趨近于0則即當(dāng)運(yùn)算次數(shù)不斷增加時，運(yùn)算結(jié)果越來越接近2故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方、與實數(shù)運(yùn)算相關(guān)的規(guī)律型問題，理解新算法，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．4．（2020·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)教育集團(tuán)樹人學(xué)校模擬預(yù)測）我們知道，任意一個正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解：n=p×q（p，q是正整數(shù)，且p≤q），在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數(shù)之差的絕對值最小，我們就稱p×q是n的最佳分解，并規(guī)定：F（n）=．例如：12可以分解成1×12，2×6或3×4，因為12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．如果一個兩位正整數(shù)t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y為自然數(shù)），交換其個位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為36，那么我們稱這個數(shù)t為“吉祥數(shù)”．根據(jù)以上新定義，下列說法正確的有：（1）F（48）=；（2）如果一個正整數(shù)m是另外一個正整數(shù)n的平方，我們稱正整數(shù)m是完全平方數(shù)，則對任意一個完全平方數(shù)m，總有F（m）=1；（3）15和26是“吉祥數(shù)”；（4）“吉祥數(shù)”中，F(xiàn)（t）的最大值為．()A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據(jù)最佳分解的定義判斷（1）和（2），根據(jù)吉祥數(shù)的定義判斷（3）和（4），即可得出答案．【詳解】（1）48可以分解為1×48，2×24，3×16，4×12，6×8∵48-1>24-2>16-3>12-4>8-6∴6×8是48的最佳分解，∴F（48）=，故（1）正確；（2）對任意一個完全平方數(shù)m設(shè)m=n2（n為正整數(shù)）∵∴n×n是m的最佳分解∴對任意一個完全平方數(shù)m，總有，故（2）正確；（3）51-15=36，故15為吉祥數(shù)；62-26=36，故36為吉祥數(shù)，故（3）正確；（4）設(shè)交換t的個位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為T=10y+x∵t為吉祥數(shù)∴T-t=10y+x-(10x+y)=9y-9x=36∴y=x+4∵1≤x≤y≤9，x，y為自然數(shù)∴吉祥數(shù)有：15,26,37,48,59∴，，，，∴最大值為，故（4）正確；故答案選擇D．【點(diǎn)睛】本題考查的是新定義，難度適中，解題關(guān)鍵是掌握最佳分解和吉祥數(shù)的概念．5．（2020·湖北茅箭·八年級期中）如圖，將1、、三個數(shù)按圖中方式排列，若規(guī)定（a，b）表示第a排第b列的數(shù)，則（9，3）與（2019，2019）表示的兩個數(shù)的積是（）A．1 B．2 C．3 D．【答案】C【分析】根據(jù)觀察數(shù)列，可得，每三個數(shù)一循環(huán)，根據(jù)有序數(shù)對的表示方法，可得有序數(shù)對表示的數(shù)，根據(jù)實數(shù)的運(yùn)算，可得答案．【詳解】每三個數(shù)一循環(huán)，1、、，則前8排共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7+8＝36個數(shù)，因此（9，3）在排列中是第36＋3＝39個，39÷3＝13，（9，3）表示的數(shù)正好是第13輪的最后一個，即（9，3）表示的數(shù)是，前2019排共有1＋2＋3…＋2019＝（1＋2019）×2019÷2＝2039190個數(shù)，2039190÷3＝679730，（2019，2019）表示的數(shù)正好是第679730輪的最后一個數(shù)，即（2019，2019）表示的數(shù)是，×＝3，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到數(shù)字的變化規(guī)律．6．（2020·山東·德州市第十五中學(xué)九年級期中）已知，，表示取三個數(shù)中最大的那個數(shù)﹒例如：當(dāng)，，，=，，=81﹒當(dāng)，，=時，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用已知分別分析得出符合題意的答案．【詳解】解：當(dāng)，，=時，若，解得：x=，此時，此時符合題意；若，解得：x=，此時，此時不符合題意；若x=，此時，此時不符合題意，綜上，x=，故答案為：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查實數(shù)大小比較，算術(shù)平方根及其最值問題，解決此題時，注意分類思想的運(yùn)用．二、填空題7．（2021·上海靜安·七年級期末）設(shè)，，，…，．設(shè)，則S=_____________（用含n的代數(shù)式表示，其中n為正整數(shù)）．【答案】【詳解】∵Sn=1++===∴==1+-∴S=1+1﹣+1+﹣+…+1+﹣=n+1﹣==故答案為．8．（2020·安徽·蕪湖一中九年級）對于任意的正整數(shù)，記，xn∥yn表示，且xn+1y．則使得成立的最大整數(shù)【答案】26【分析】先根據(jù)計算的和，明確題意要的是和里面的因數(shù)5的個數(shù)即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵中有21個因數(shù)5（注意25和75都是2個），且，∴中共有26個因數(shù)5，故使得成立的最大整數(shù)為26；故答案為：26．【點(diǎn)睛】本題考查的是整除，關(guān)鍵是正確理解題意，能夠找出中共有26個因數(shù)5．9．（2019·浙江杭州·九年級）觀察下列各式：……計算：_________．【答案】【分析】根據(jù)題目中給出的式子找到規(guī)律，寫出，然后通過裂項相消解題即可.【詳解】解：原式=…=…==【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是觀察式子，找出規(guī)律，靈活運(yùn)用裂項相消進(jìn)行計算.10．（2021·云南·昆明市外國語學(xué)校七年級階段練習(xí)）觀察下列等式：＝；＝；＝；……，則第n（n為正整數(shù)）個等式是__．【答案】【分析】根據(jù)算術(shù)平方根和數(shù)字變化的規(guī)律，即可解答．【詳解】歸納類推得：第n（n為正整數(shù)）個等式是故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根和數(shù)字變化的規(guī)律，根據(jù)觀察前3個等式，歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．11．（2021·浙江浙江·七年級階段練習(xí)）對任意一個三位數(shù)n，如果n滿足各個數(shù)位上的數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個數(shù)為“相異數(shù)”，將一個“相異數(shù)”任意兩個數(shù)位上的數(shù)字對調(diào)后可以得到三個不同的新三位數(shù)，把這三個新三位數(shù)的和與111的商記為．例如n=123，對調(diào)百位與十位上的數(shù)字得到213，對調(diào)百位與個位上的數(shù)字得到321，對調(diào)十位與個位上的數(shù)字得到132，這三個新三位數(shù)的和為213+321+132=666，，所以．（1）計算：=____．（2）若s，t都是“相異數(shù)”，其中s=100x+32，t=150+y(，，x，y都是正整數(shù))，規(guī)定：，當(dāng)時，求k的最小值是____．【答案】10．【分析】（1）根據(jù)“相異數(shù)”的定義列式計算即可；（2）由s=100x+32，t=150+y結(jié)合，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程，解之即可得出x、y的值，再根據(jù)“相異數(shù)”的定義結(jié)合的定義式，即可求出、的值，將其代入中，即可求出最小值．【詳解】解：（1）根據(jù)“相異數(shù)”的定了可得127的三個新三位數(shù)為：217，721，172，∴，故答案為：10；（2）∵s，t都是“相異數(shù)”，其中s=100x+32，t=150+y，∴，，∵，∴，∴，∵，，x，y都是正整數(shù)，∴或或或或或，∵s是“相異數(shù)”，∴且，∵t是“相異數(shù)”，∴且，∴或或，①當(dāng)時，，則，②當(dāng)時，，則，③當(dāng)時，，則，∴當(dāng)時，k取得最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算和二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)新定義列式計算和列出關(guān)于未知數(shù)的方程．12．（2019·福建·莆田第二十四中學(xué)七年級期中）對非負(fù)實數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為（x）．即當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時，若，則（x）=n．如（0.46）=0，（3.67）=4．給出下列關(guān)于（x）的結(jié)論：①（1.493）=1；②（2x）=2（x）；③若（）=4，則實數(shù)x的取值范圍是9≤x<11；④當(dāng)x≥0，m為非負(fù)整數(shù)時，有（m+2019x）=m+（2019x）；⑤（x+y）=（x）+（y）；其中，正確的結(jié)論有__________（填寫所有正確的序號）．【答案】①③④【分析】根據(jù)題意，可以直接判斷①，②和⑤可以舉反例判斷，③和④可以根據(jù)題意利用不等式進(jìn)行判斷.【詳解】解：①（1.493）=1，故①正確；②（2x）≠2（x），當(dāng)x=0.3時，（2x）=1，2（x）=0，故②錯誤；③若（x-1）=4，則4-≤x-1＜4+，解得:9≤x＜11，故③正確；④m為整數(shù)，故（m+2019x）=m+（2019x），故④正確；⑤（x+y）≠（x）+（y），例如x=0.3，y=0.4時，（x+y）=1，（x）+（y）=0，故⑤錯誤；故答案為：①③④.【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生的理解能力，關(guān)鍵是認(rèn)真審題，看到所得值是個位數(shù)四舍五入的值.13．（2019·浙江杭州·九年級）對非負(fù)實數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為<x>，即當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時，若，則（如），給出下列關(guān)于<x>的結(jié)論：①若<2x-1>=3，則實數(shù)x的取值范圍為；②當(dāng)x≥0，m為非負(fù)整數(shù)時，有<x+m>=m+<x>；③<x+y>=<x>+<y>；其中，正確的結(jié)論有_______（填寫所有正確的序號）【答案】①②【分析】根據(jù)定義即可判斷①；分別表示出＜x+m＞和＜x＞，即可得到所求不等式，可判斷②；用舉反例法可判斷③.【詳解】解：由題意得：①∵<2x-1>=3，則3-≤2x-1＜3+，解得：≤x＜，故正確；②設(shè)＜x＞=n，則n?≤x＜n+，n為非負(fù)整數(shù)；

∴(n+m)?≤x+m＜(n+m)+，且n+m為非負(fù)整數(shù)，

∴＜x+m＞=n+m=m+＜x＞；③舉反例：＜0.6＞+＜0.7＞=1+1=2，而＜0.6+0.7＞=＜1.3＞=1，

∴＜0.6＞+＜0.7＞≠＜0.6+0.7＞，

∴＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不一定成立；故答案為：①②.【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用和理解題意的能力，關(guān)鍵是看到所得值是個位數(shù)四舍五入后的值，問題可得解．14．（2019·浙江衢州·七年級期中）若規(guī)定符號的意義是：，則當(dāng)時，的值為________．【答案】【分析】根據(jù)定義的新運(yùn)算的運(yùn)算法則，得出的值，然后進(jìn)行化簡，最后再整體代入即可求值．【詳解】∵，∴，∴原式=．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查定義新運(yùn)算，掌握多項式的乘法法則和整體代入法是解題的關(guān)鍵．15．（2019·內(nèi)蒙古呼和浩特·七年級期中）若滿足關(guān)系式，則________．【答案】201【分析】根據(jù)能開平方的數(shù)一定是非負(fù)數(shù)，得199-x-y≥0，x-199+y≥0，所以199-x-y=x-199+y=0，即x+y=199①，從而有=0，再根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性可得出3x+5y-2-m=0②，2x+3y-m=0③，聯(lián)立①②③解方程組可得出m的值．【詳解】解：由題意可得，199-x-y≥0，x-199+y≥0，∴199-x-y=x-199+y=0，∴x+y=199①．∴=0，∴3x+5y-2-m=0②，2x+3y-m=0③，聯(lián)立①②③得，，②×2-③×3得，y=4-m，將y=4-m代入③，解得x=2m-6，將x=2m-6，y=4-m代入①得，2m-6+4-m=199，解得m=201．故答案為：201．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的非負(fù)性以及方程組的解法，掌握幾個非負(fù)數(shù)的和為0時，這幾個非負(fù)數(shù)都為0是解題的關(guān)鍵．16．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）已知的小數(shù)部分是，的小數(shù)部分是，則________．【答案】1【分析】根據(jù)4＜7＜9可得，2＜＜3，從而有7＜5+＜8，由此可得出5+的整數(shù)部分是7，小數(shù)部分a用5+減去其整數(shù)部分即可，同理可得b的值，再將a，b的值代入所求式子即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵4＜7＜9，∴2＜＜3，∴-3＜-＜-2，∴7＜5+＜8，2＜5-＜3，∴5+的整數(shù)部分是7，5-的整數(shù)部分為2，∴a=5+-7=-2，b=5--2=3-，∴12019=1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】此題主要考查了估算無理數(shù)的大小，正確得出各數(shù)的小數(shù)部分是解題關(guān)鍵．17．（2019·湖北安陸·七年級期中）任何實數(shù)，可用[a]表示不超過a的最大整數(shù)如[4]＝4，[]＝2，現(xiàn)對72進(jìn)行如下操作：，這樣對72只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?，類似地，對正整數(shù)x只進(jìn)行3次操作后的結(jié)果是1，則x在最大值是_____．【答案】255【分析】根據(jù)規(guī)律可知，最后的取整是1，則操作前的一個數(shù)字最大是3，再向前一步推，操作前的最大數(shù)為15，再向前一步推，操作前的最大數(shù)為255；據(jù)此得出答案即可．【詳解】解：∵，，，∴只進(jìn)行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是255，故答案為：255．【點(diǎn)睛】本題考查了估算無理數(shù)大小的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的閱讀能力和逆推思維能力．18．（2018·河南鄭州·七年級期末）在研究“數(shù)字黑洞”這節(jié)課中，樂樂任意寫下了一個四位數(shù)（四數(shù)字完全相同的除外），重新排列各位數(shù)字，使其組成一個最大的數(shù)和一個最小的數(shù)，然后用最大的數(shù)減去最小的數(shù)，得到差:重復(fù)這個過程，……，樂樂發(fā)現(xiàn)最后將變成一個固定的數(shù)，則這個固定的數(shù)是__________．【答案】6174【分析】任選四個不同的數(shù)字，組成個最大的數(shù)和一個最小的數(shù)，用大數(shù)減去小數(shù)，如1234，

4321-

1234=

3087，8730-378=

8352

，

8532一2358=

6174，6174是符合條件的4位數(shù)中唯一會產(chǎn)生循環(huán)的(7641-1467=

6174)

這個在數(shù)學(xué)上被稱之為卡普耶卡(Kaprekar)猜想.【詳解】任選四個不同的數(shù)字，組成一個最大的數(shù)和一個最小的數(shù)，用大數(shù)減去小數(shù)，用所得的結(jié)果的四位數(shù)重復(fù)上述的過程，最多七步必得6174，如1234，

4321-1234

=3087，8730

-378

=

8352，

8532-2358=

6174，這一現(xiàn)象在數(shù)學(xué)上被稱之為卡普耶卡(Kaprekar)猜想，故答案為：6174.【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)字的規(guī)律運(yùn)算，正確理解題意通過計算發(fā)現(xiàn)規(guī)律并運(yùn)用解題是關(guān)鍵.三、解答題19．（2018·上?！とA東理工大學(xué)附屬中學(xué)七年級階段練習(xí)）【答案】-9【分析】先按照二次根式、零次冪、負(fù)指數(shù)冪等知識對原式進(jìn)行化簡，然后再進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】解：=+1-5-4=-9【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式、零次冪、負(fù)指數(shù)冪等知識，考查知識點(diǎn)多，容易出錯，需引起足夠關(guān)注.20．（2019·上海浦東新·七年級階段練習(xí)）已知，求【答案】7【分析】根據(jù)題意，把已知的代數(shù)式兩邊分別求平方，化簡即可.【詳解】因為所以（）2=x+x-1+2=9所以x+x-1=7.21．（2021·上海楊浦·七年級期中）閱讀下面的文字，解答問題．對于實數(shù)a，我們規(guī)定：用符號[a]表示不大于a的最大整數(shù)；用{a}表示a減去[a]所得的差．例如：[]＝1，[2.2]＝2，{}＝﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2．（1）仿照以上方法計算：[]＝{5﹣}＝；（2）若[]＝1，寫出所有滿足題意的整數(shù)x的值：．（3）已知y0是一個不大于280的非負(fù)數(shù)，且滿足{}＝0．我們規(guī)定：y1＝[]，y2＝[]，y3＝[]，…，以此類推，直到y(tǒng)n第一次等于1時停止計算．當(dāng)y0是符合條件的所有數(shù)中的最大數(shù)時，此時y0＝，n＝．【答案】（1）2；3﹣；（2）1、2、3；（3）256，4【分析】（1）依照定義進(jìn)行計算即可；（2）由題可知，，則可得滿足題意的整數(shù)的的值為1、2、3；（3）由，可知，是某個整數(shù)的平方，又是符合條件的所有數(shù)中最大的數(shù)，則，再依次進(jìn)行計算．【詳解】解：（1）由定義可得，，，．故答案為：2；．（2），，即，整數(shù)的值為1、2、3．故答案為：1、2、3．（3），即，可設(shè)，且是自然數(shù)，是符合條件的所有數(shù)中的最大數(shù)，，，，，，即．故答案為：256，4．【點(diǎn)睛】本題屬于新定義類問題，主要考查估算無理數(shù)大小，無理數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分，理解定義內(nèi)容是解題關(guān)鍵．22．（2019·上海市松江區(qū)九亭中學(xué)七年級期中）對于實數(shù)a，我們規(guī)定：用符號表示不大于的最大整數(shù)，稱為a的根整數(shù)，例如：，=3．(1)仿照以上方法計算：=______；=_____．(2)若，寫出滿足題意的x的整數(shù)值______．如果我們對a連續(xù)求根整數(shù)，直到結(jié)果為1為止．例如：對10連續(xù)求根整數(shù)2次=1，這時候結(jié)果為1．(3)對100連續(xù)求根整數(shù)，____次之后結(jié)果為1．(4)只需進(jìn)行3次連續(xù)求根整數(shù)運(yùn)算后結(jié)果為1的所有正整數(shù)中，最大的是____．【答案】（1）2；5；（2）1，2，3；（3）3；（4）255【分析】（1）先估算和的大小，再由并新定義可得結(jié)果；（2）根據(jù)定義可知x＜4，可得滿足題意的x的整數(shù)值；（3）根據(jù)定義對120進(jìn)行連續(xù)求根整數(shù)，可得3次之后結(jié)果為1；（4）最大的正整數(shù)是255，根據(jù)操作過程分別求出255和256進(jìn)行幾次操作，即可得出答案．【詳解】解：（1）∵22=4，62=36，52=25,∴5＜＜6，∴[]=[2]=2，[]=5，故答案為2，5；（2）∵12=1，22=4，且[]＝1，∴x=1，2，3，故答案為1，2，3；（3）第一次：[]=10，第二次：[]=3，第三次：[]=1，故答案為3；（4）最大的正整數(shù)是255，理由是：∵[]=15，[]=3，[]=1，∴對255只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?，∵[]=16，[]=4，[]=2，[]=1，∴對256只需進(jìn)行4次操作后變?yōu)?，∴只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是255，故答案為255．【點(diǎn)睛】本題考查了估算無理數(shù)的大小的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的閱讀能力和猜想能力，同時也考查了一個數(shù)的平方數(shù)的計算能力．23．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如果把一個奇數(shù)位的自然數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字從最高位到個位依次排列，與從個位到最高位依次排列出的一串?dāng)?shù)字完全相同，相鄰兩個數(shù)位上的數(shù)字之差的絕對值相等（不等于0），且該數(shù)正中間的數(shù)字與其余數(shù)字均不同，我們把這樣的自然數(shù)稱為“階梯數(shù)”，例如自然數(shù)12321，從最高位到個位依次排出的一串?dāng)?shù)字是：1，2，3，2，1，從個位到最高位依次排出的一串?dāng)?shù)字仍是：1，2，3，2，1，且|1﹣2|=|2﹣3|=|3﹣2|=|2﹣1|=1，因此12321是一個“階梯數(shù)”，又如262，85258，…，都是“階梯數(shù)”，若一個“階梯數(shù)”t從左數(shù)到右，奇數(shù)位上的數(shù)字之和為M，偶數(shù)位上的數(shù)字之和為N，記P（t）=2N﹣M，Q（t）=M+N．（1）已知一個三位“階梯數(shù)”t，其中P（t）=12，且Q（t）為一個完全平方數(shù)，求這個三位數(shù)；（2）已知一個五位“階梯數(shù)”t能被4整除，且Q（t）除以4余2，求該五位“階梯數(shù)”t的最大值與最小值．【答案】（1）171；（2）最大值是67876，最小值是21012【分析】（1）設(shè)“階梯數(shù)”t的百位為x，相鄰兩數(shù)的差為k，則t=，可得M=a+a=2a，N=a+k，根據(jù)P（t）=12，得到關(guān)于k的方程，可求得k=6，再根據(jù)Q（t）=3a+6為一個完全平方數(shù)，其中1≤a≤9，可求3a+6=9，16，25，可求a=1，從而得到這個三位數(shù)；（2）設(shè)某五位階梯數(shù)為，根據(jù)==2778a+302k+，可得2k﹣a是4的倍數(shù)，根據(jù)M=3a+2k，N=2A+2K，可得Q（t）=M+N=5a+4k，則=k+a+，可得a﹣2是4的倍數(shù)，根據(jù)完全平方數(shù)的定義得到a=2，6，再分兩種情況求出T的值，進(jìn)一步得到該五位“階梯數(shù)”t的最大值和最小值．【詳解】解：（1）設(shè)“階梯數(shù)”t的百位為x，相鄰兩數(shù)的差為k，則t=，∴M=a+a=2a，N=a+k，∴P（t）=2N﹣M=2（a+k）﹣2a=2k=12，∴k=6．∵Q（t）=M+N=2a+a+k=3a+6為一個完全平方數(shù)，其中1≤a≤9，∴9≤3a+6≤33，∴3a+6=9，16，25，∴a=1，∴t=171；（2）設(shè)某五位階梯數(shù)為．∵==2778a+302k+，∴2k﹣a是4的倍數(shù)．∵M(jìn)=3a+2k，N=2a+2k，∴Q（t）=M+N=5a+4k，∴=k+a+，∴a﹣2是4的倍數(shù)．∵1≤a≤9，∴﹣1≤a﹣2≤7，∴a﹣2=0，4，∴a=2，6．當(dāng)a=2時，為整數(shù)且0≤2+2k≤9，∴﹣1≤k≤3.5，∴k=±1，3，所以t=21012，23432，25852；當(dāng)a=6時，為整數(shù)且0≤6+2k≤9，∴﹣3≤k≤1.5，∴k=±1，﹣3，所以t=63036，65456，67876．所以該五位“階梯數(shù)”t的最大值是67876，最小值是21012．【點(diǎn)睛】考查了完全平方數(shù)，解題的關(guān)鍵是弄清楚“階梯數(shù)”的定義，從而寫出符合題意的數(shù)．24．（2021·重慶巴蜀中學(xué)九年級開學(xué)考試）閱讀材料，完成下列問題：材料一：若一個四位正整數(shù)（各個數(shù)位均不為0），千位和十位數(shù)字相同，百位和個位數(shù)字相同，則稱該數(shù)為成對數(shù)，，例如5353、3535都是成對數(shù)材料二：將一位四位正整數(shù)m的百位和十位交換位置后得到四位數(shù)n，F(xiàn)（m）=，（1）F(1234)=：F(3232)=（2）試證明任意成對數(shù)能被101整除；（3）若t為一個成對數(shù)，另一個成對數(shù)s＝1000a＋100（a＋4）＋10a＋（a＋4）．（1≤a≤8）．若F（s）＋F（t）為一個完全平方數(shù)，請求出所有滿足條件的F（t）的值．【答案】（1）；（2）見解析；（3）【分析】（1）按照F（m）＝進(jìn)行求解；（2）設(shè)成對數(shù)個位、百位數(shù)字為a，十位、千位數(shù)字為b，然后根據(jù)定義成對數(shù)的數(shù)值進(jìn)行整理后可以得到解答；（3）可設(shè)t=m+100m+10n+1000n，則由題意可以用m、n表示出F（s）＋F（t），再根據(jù)題意由完全平方數(shù)的意義可以得到結(jié)果．【詳解】解：（1）由題意可得：F（1234）＝=，F(xiàn)（3232）＝=，故答案為；（2）設(shè)某成對數(shù)個位、百位數(shù)字為a，十位、千位數(shù)字為b，則其值為：a+100a+10b+1000b=101a+1010b=101（a+10b），∵a、b為整數(shù)，∴a+10b為整數(shù)，∴任意成對數(shù)能被101整除；（3）設(shè)t=m+100m+10n+1000n，則：F（t）=，由題意可得：F（s），∴F（s）＋F（t）=360+=90，∵1≤m≤9，1≤n≤9，∴0≤|m-n|≤8，∴4≤4+|m-n|≤12，由題意可得：4+|m-n|=10，即|m-n|=6，∵F（t）=90，∴F（t）=540．【點(diǎn)睛】本題考查新定義下的實數(shù)運(yùn)算，通過閱讀材料搞清新定義的概念及運(yùn)算是解題關(guān)鍵．25．（2021·浙江浙江·七年級期末）材料一：一個正整數(shù)x能寫成（a，b均為正整數(shù)，且），則稱x為“雪松數(shù)”，a，b為x的一個平方差分解，在x的所有平方差分解中，若最大，則稱a，b為x的最佳平方差分解，此時．例如：，24為雪松數(shù)，7和5為24的一個平方差分解，，因為，所以9和7為32的最佳平方差分解，．材料二：若一個四位正整數(shù)，它的千位數(shù)字與個位數(shù)字相同，百位數(shù)字與十位數(shù)字相同，但四個數(shù)字不全相同，則稱這個四位數(shù)為“南麓數(shù)”，例如4334，5665均為“南麓數(shù)”．根據(jù)材料回答：（1）請直接寫出兩個雪松數(shù)，并分別寫出它們的一對平方差分解；（2）試說明10不是雪松數(shù)；（3）若一個數(shù)t既是“雪松數(shù)”又是“南麓數(shù)”，并且另一個“南麓數(shù)”的前兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)與后兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)恰好是t的一個平方差分解，請求出所有滿足條件的數(shù)t．【答案】（1），；（2）見解析；（3）2772，5445【分析】（1）根據(jù)雪松數(shù)的特征即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意即可得到結(jié)論；（3）設(shè)，均為正整數(shù)，且，另一個“南麓數(shù)”為，均為正整數(shù)，且，根據(jù)“南麓數(shù)”的特征即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）由題意可得：，；（2）若10是“雪松數(shù)”，則可設(shè)，均為正整數(shù)，且，則，又，，均為正整數(shù)，，，或，解得：或，與，均為正整數(shù)矛盾，故10不是雪松數(shù)；（3）設(shè)，均為正整數(shù)，且，另一個“南麓數(shù)”為，均為正整數(shù)，且，則，，整理得，，，，均為正整數(shù)，，經(jīng)探究，，符合題意，的值分別為：2772，5445．【點(diǎn)睛】本題主要考查分解因式的應(yīng)用，實數(shù)的運(yùn)算，理解新定義，并將其轉(zhuǎn)化為實數(shù)的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．26．（2021·重慶萬州·七年級期末）若一個四位數(shù)t的前兩位數(shù)字相同且各位數(shù)字均不為0，則稱這個數(shù)為“前介數(shù)”；若把這個數(shù)的個位數(shù)字放到前三位數(shù)字組成的數(shù)的前面組成一個新的四位數(shù)，則稱這個新的四位數(shù)為“中介數(shù)”；記一個“前介數(shù)”t與它的“中介數(shù)”的差為P（t）．例如，5536前兩位數(shù)字相同，所以5536為“前介數(shù)”；則6553就為它的“中介數(shù)”，P（5536）＝5536﹣6553＝-1017．（1）P（2215）＝，P（6655）＝．（2）求證：任意一個“前介數(shù)”t，P（t）一定能被9整除．（3）若一個千位數(shù)字為2的“前介數(shù)”t能被6整除，它的“中介數(shù)”能被2整除，請求出滿足條件的P（t）的最大值．【答案】（1）-3006，990；（2）見解析；（3）P（t）的最大值是P（2262）=36．【分析】（1）根據(jù)“前介數(shù)”t與它的“中介數(shù)”的差為P（t）的定義求解即可；（2）設(shè)“前介數(shù)”為且a、b、c均不為0的整數(shù)，即1a、b、c，根據(jù)定義得到P（t）=，則P（t）一定能被9整除；（3）設(shè)“前介數(shù)”為，根據(jù)題意得到能被3整除，且b只能取2，4，6，8中的其中一個數(shù)；對應(yīng)的“中介數(shù)”是，得到a只能取2，4，6，8中的其中一個數(shù)，計算P（t），推出要求P（t）的最大值，即要盡量的大，要盡量的小，再分類討論即可求解．【詳解】（1）解：2215是“前介數(shù)”，其對應(yīng)的“中介數(shù)”是5221，∴P（2215）=2215-5221=-3006；6655是“前介數(shù)”，其對應(yīng)的“中介數(shù)”是5665，∴P（6655）=6655-5665=990；故答案為：-3006，990；（2）證明：設(shè)“前介數(shù)”為且a、b、c均為不為0的整數(shù)，即1a、b、c，∴，又對應(yīng)的“中介數(shù)”是，∴P（t）=，∵a、b、c均不為0的整數(shù)，∴為整數(shù)，∴P（t）一定能被9整除；（3）證明：設(shè)“前介數(shù)”為且即1a、b，a、b均為不為0的整數(shù)，∴，∵能被6整除，∴能被2整除，也能被3整除，∴為偶數(shù)，且能被3整除，又1，∴b只能取2，4，6，8中的其中一個數(shù)，又對應(yīng)的“中介數(shù)”是，且該“中介數(shù)”能被2整除，∴為偶數(shù)，又1，∴a只能取2，4，6，8中的其中一個數(shù)，∴P（t）=，要求P（t）的最大值，即要盡量的大，要盡量的小，①的最大值為8，的最小值為2，但此時，且14不能被3整除，不符合題意，舍去；②的最大值為6，的最小值仍為2，但此時，能被3整除，且P（t）=2262-2226=36；③的最大值仍為8，的最小值為4，但此時，且16不能被3整除，不符合題意，舍去；其他情況，減少，增大，則P（t）減少，∴滿足條件的P（t）的最大值是P（2262）=36．【點(diǎn)睛】本題考查用新定義解題，根據(jù)新定義，表示出“前介數(shù)”，與其對應(yīng)的“中介數(shù)”是求解本題的關(guān)鍵．本題中運(yùn)用到的分類討論思想是重要一種數(shù)學(xué)解題思想方法．27．（2021·江蘇·鎮(zhèn)江市外國語學(xué)校七年級階段練習(xí)）一般地，n個相同的因數(shù)a相乘；記為；如，此時；3叫做以2為底8的對數(shù)，記為（即）．一般地，若（且，），則n叫做以a為底b的對數(shù)，記為（即）．如，則4叫做以3為底81的對數(shù)，記為（即）．（1）計算下列各對數(shù)的值：______；_______；_______；（2）你能得到、、之間滿足怎樣的關(guān)系式：_______；（3）由（2）的結(jié)果，請你歸納出、、之間滿足的關(guān)系式：_________，（4）根據(jù)冪的運(yùn)算以及對數(shù)的含義驗證（3）的結(jié)論．【答案】（1）2，4，6；（2）log24+log216=log264；（3）logaM+logaN=loga（MN）；（4）見解析【分析】（1）根據(jù)對數(shù)的定義求解；（2）認(rèn)真觀察，不難找到規(guī)律：根據(jù)4×16=64，可判斷l(xiāng)og24+log216=log264；（3）由特殊到一般，得出結(jié)論：logaM+logaN=loga（MN）；（4）首先可設(shè)logaM=b1，logaN=b2，再根據(jù)冪的運(yùn)算法則：an?am=an+m以及對數(shù)的含義證明結(jié)論．【詳解】解：（1）∵22=4，∴l(xiāng)og24=2，∵24=16，∴l(xiāng)og216=4，∵26=64，∴l(xiāng)og264=6；（2）∵4×16=64，∴l(xiāng)og24+log216=log264；（3）由題意可得：logaM+logaN=loga（MN）；（4）證明：設(shè)logaM=x，logaN=y，則ax=M，ay=N，∴MN=ax?ay=ax+y，∴x+y=loga（MN）即logaM+logaN=loga（MN）．【點(diǎn)睛】此題主要考查了同底數(shù)冪的乘法應(yīng)用，本題是開放性的題目，難度較大．借考查對數(shù)，實際考查學(xué)生對指數(shù)的理解、掌握的程度；要求學(xué)生不但能靈活、準(zhǔn)確的應(yīng)用其運(yùn)算法則，還要會類比、歸納，推測出對數(shù)應(yīng)有的性質(zhì)．28．（2021·重慶一中七年級期中）把一個各個數(shù)位的數(shù)值互不相等且均不為0的正整數(shù)重新排列各數(shù)位上的數(shù)字，必可得到一個最大數(shù)和一個最小數(shù)，用最大數(shù)減去最小數(shù)可得原數(shù)的極差數(shù)，記為P（t）．例如，254的極差數(shù)P（254）＝542﹣245＝297，3245的極差數(shù)P（3245）＝5432﹣2345＝3087（1）P（326）＝；P（6152）＝；（2）已知一個三位數(shù)（其中a＞b＞3）的極差數(shù)P＝495，且這個三位數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字之和為6的倍數(shù)，求這個三位數(shù)；（3）若一個兩位數(shù)m＝11a＋b，一個三位數(shù)n＝111a＋b＋200，（其中1≤a≤4，1≤a＋b≤9，a，b為正整數(shù)），交換三位數(shù)n的個位數(shù)字和百位數(shù)字得到新數(shù)n′，當(dāng)m的個位數(shù)字的3倍與n′的和能被13整除時，稱這樣的兩個數(shù)m和n為“組合數(shù)對”，求所有“組合數(shù)對”中P（n）的最大值．【答案】（1）396，5265；（2）837；（3）594【分析】（1）直接根據(jù)極差數(shù)的定義計算可得；（2）首先根據(jù)P＝495，列出99a-297=495，求出a值，再根據(jù)三位數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字之和為6的倍數(shù)，結(jié)合b的范圍得到b值，即可得到結(jié)果；（3）首先求出n′，得到3（a+b）+n′，根據(jù)整除的定義，變形得到為整數(shù)，結(jié)合a，b的范圍，求出，化簡可得，求