(3.2)-第七章 灰色預(yù)測與數(shù)值插值

1.灰色預(yù)測2.數(shù)值插值1

第七章灰色預(yù)測與數(shù)值插值第一節(jié)1.GM(1,1)模型2.GM(1,n)模型灰色預(yù)測

第七章3.灰色Verhulst模型24.灰色波形預(yù)測5.GM(2,1)模型6.DGM模型7.案例分析灰色預(yù)測背景灰色預(yù)測理論灰色理論認為信息不完全系統(tǒng)的行為現(xiàn)象盡管是朦朧的，數(shù)據(jù)是復(fù)雜的，但它具備一定的潛在規(guī)律，是有整體功能的?；疑A(yù)測就是從雜亂中尋找出規(guī)律，從而對系統(tǒng)進行預(yù)測。灰色模型（GreyModels，GM）

通過離散隨機數(shù)經(jīng)過生成變?yōu)檩^有規(guī)律的生成數(shù)，進而直接轉(zhuǎn)化成微分方程的模型。常用模型有GM(1,1)模型、GM(1,N)模型、Verhulst模型、GM(2,1)模型,DGM模型和灰色波形預(yù)測。模型的提出：基于隨機的原始時間序列，經(jīng)按時間累加后形成的新的時間序列所呈現(xiàn)的規(guī)律用一階線性微分方程的解來逼近的模型。模型的適用條件：1.數(shù)據(jù)量不少于4個；2.原始數(shù)據(jù)非負、符合指數(shù)規(guī)律變化且變化不是很快；3.

.

一、GM(1,1)模型模型的基本定義1.原始數(shù)列（非負）: 2.一次累加生成數(shù)列:

,其中 . 3.級比:4.的灰導(dǎo)數(shù):

5.的緊鄰均值生成序列:

,其中建模過程1.構(gòu)造GM(1,1)的灰微分方程模型為

其中a稱為發(fā)展系數(shù),b稱為灰作用量，稱為白化背景值

令,則上式可寫為2.引入矩陣記號 ,,

則GM(1,1)模型的矩陣形式為利用最小二乘法獲得參數(shù)為3.對于GM（1，1）的灰微分方程,如果將灰導(dǎo)數(shù)的時刻視為連續(xù),

則其可視為時間t的函數(shù).構(gòu)造相應(yīng)的白化微分方程為：

4.得到白化方程的解(離散響應(yīng))為：5.對數(shù)據(jù)模型作逆生成處理（累減），還原得：

例1以我國1998-2006年全國人口總量作為預(yù)測樣本，采用GM(1,1)模型進行數(shù)據(jù)預(yù)測。年份199819992000200120022003200420052006人口/萬人1247611257861267431276271284531292271299881307561314481.建立GM(1,1)模型對原始數(shù)據(jù)作一次累加得

的緊鄰均值生成序列2.參數(shù)估計:利用最小二乘法得于是得到a=-0.0062,b=124786.3.模型求解

灰微分方程為

把系數(shù)a，b代入GM(1,1)模型白化方程的解并作逆生成處理,還原

可見，短期人口預(yù)測結(jié)果與實際情況十分接近。用MATLAB實現(xiàn)建模如下：%GM(1,1)模型clc,clearx0=[124761125786126743127627128453129227129988130756131448]'%輸入數(shù)據(jù)注意這里為列向量n=length(x0)lamda=x0(1:n-1)./x0(2:n)%級比range=minmax(lamda')%級比范圍ifrange(1,1)<exp(-2/(n+2))|range(1,2)>exp(2/(n+2))error('級比沒有落入灰色模型的范圍內(nèi)')else

%空行輸出

disp('');disp('可以用GM(1,1)建模')endx1=cumsum(x0)%累加運算B=[-0.5*(x1(1:n-1)+x1(2:n)),ones(n-1,1)];Y=x0(2:n);u=B\Y%擬合參數(shù)k=10;forecast1=(x1(1)-u(2)./u(1)).*exp(-u(1).*([0:n-1+k]))+u(2)./u(1);exchange=diff(forecast1)%最后10個為預(yù)測的數(shù)據(jù)epsilon=x0(2:n)'-exchange(1:n-1)%計算殘差delta=abs(epsilon./x0(2:n)')%計算相對誤差

rho=1-(1-0.5*u(1))/(1+0.5*u(1))*lamda'%計算級比偏差值二、GM(1，N)模型模型的提出：GM(1,N)即GM(1,1)的推廣，為N個變量的一階線性動態(tài)模型，以多個變量的時間序列為基礎(chǔ)，主要用于事物的狀態(tài)分析和決策。模型的適用條件：1.數(shù)據(jù)量不少于4個；2.原始數(shù)據(jù)非負、符合指數(shù)規(guī)律變化且變化不是很快；3.

建模過程1.確定原始序列令為原始數(shù)列的一次累加生成序列,為的緊鄰生

成序列.2.構(gòu)造GM(1,N)模型為3.引入矩陣記號,

當時,利用最小二乘法求得一級參數(shù)4.構(gòu)造方程的白化模型為當變化幅度較小時，可視為灰變量5.得出模型的近似時間響應(yīng)式為6.得出累減還原式為例2某商品的生，產(chǎn)需要甲.乙兩種原料，產(chǎn)品利潤以及甲、乙兩種原料的市場供給等數(shù)據(jù)如表15.7所列，試預(yù)測2004年甲的供應(yīng)量為400kg.乙的供應(yīng)量為500kg時的產(chǎn)品利潤(要求建立灰色GM(1,N))。表2.原始數(shù)據(jù)表年度19992000200120022003i12345產(chǎn)品利潤/元43837625105001131617818甲原料/kg83131180195306乙原料/kg146212233259404

這里有3個變量其中表示利潤（預(yù)測對象），分別表示甲原料和乙原料的量，每個變量都有5個相互對應(yīng)的歷史數(shù)據(jù)，于是形成了3個原始數(shù)列：

記為的累加生成數(shù)列，這里：

的緊鄰均值生成序列：于是有所以得估計模型

及近似時間響應(yīng)式

預(yù)測結(jié)果為23405.94元。%GM(1,N)clc,clearx0=[4383762510500113161781883131180195306146212233259404];%錄入數(shù)據(jù)[m,n]=size(x0);x1_d=cumsum(x0,2);%累加序列x11=x1_d(1,:);z11=0.5*(x11(1:end-1)+x11(2:end));%緊鄰均值生成b=[-z11'x1_d(2,2:end)'x1_d(3,2:end)'];y=x0(1,2:end)';u=b\y%參數(shù)矩陣%%引入條件x20=[x0(2,:),400];x30=[x0(3,:),500];x21=cumsum(x20);x31=cumsum(x30);fork=0:length(x21)-1x1(k+1)=(x0(1,1)-u(2)/u(1)*x21(k+1)-u(3)/u(1)*x31(k+1)).*exp(-u(1)*k)+u(2)/u(1)*x21(k+1)+u(3)/u(1)*x31(k+1);endx10hat=[x1(1),diff(x1)];%進行差分運算epsilon=x0(1,:)-x10hat(1:end-1);%計算殘差delta=abs(epsilon./x0(1,:));%計算相對誤差

xhat=x10hat(end)%預(yù)測最終值三、灰色Verhulst模型模型的提出：將離散的隨機數(shù)列進行一次累加，生成新序列，再對其進行建模計算，得到預(yù)測值。該模型主要用來描述具有飽和狀態(tài)的過程，即S型過程，常用于人口預(yù)測，生物生長，繁殖預(yù)測及產(chǎn)品經(jīng)濟壽命預(yù)測等。模型算法1.構(gòu)造灰色Verhulst模型為模型算法2.引入矩陣記號,,

利用最小二乘法求得參數(shù)3.構(gòu)造灰色Verhulst模型的白化方程:4.得出時間響應(yīng)式:5.對模型作逆生成處理:例3以湖南省水稻產(chǎn)量為例，該省2002——2009年水稻產(chǎn)量如下表所示。（數(shù)據(jù)來源于湖南統(tǒng)計信息網(wǎng)）

湖南省2002——2009年水稻產(chǎn)量值

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，請對湖南省水稻產(chǎn)量進行預(yù)測．發(fā)現(xiàn)表中產(chǎn)量數(shù)據(jù)是呈“S”型增長的，故在不考慮外界環(huán)境因素對湖南省今后幾年經(jīng)濟作物發(fā)展影響的前提下，我們利用Verhulst模型對其進行預(yù)測。年份20022003200420052006200720082009水稻產(chǎn)量（萬噸）2.1192.0702.4422.4852.5072.4962.6402.7101.原始序列2.一次累加生成3.緊鄰均值加權(quán)生成序列4.建立灰色Verhulst模型其中，5.利用最小二乘法估計參數(shù)a，b的值6.將a，b代入白化模型，得到時間響應(yīng)式

則7.對

作逆生成處理

利用公式

，計算得到

%灰色verhulstclc,clearx0=[2.1192.0702.4422.4852.5072.4962.6402.710]%輸入數(shù)據(jù)n=length(x0)year=0:n-1x1=cumsum(x0)%累加運算fori=2:nz1(i)=0.5*(x1(i)+x1(i-1));%緊鄰均值序列endz1B=[-z1(2:end)',z1(2:end)'.^2]Y=x0(2:end)';u=B\Y%擬合參數(shù)forecast1=(u(1)*x0(1))./(u(2)*x0(1)+(u(1)-u(2)*x0(1))*exp(u(1).*([2:n])))exchange=diff(forecast1)epsilon=x0(2:n-1)-exchange%計算殘差delta=abs(epsilon./x0(2:n-1))%計算相對誤差統(tǒng)一思路模型微分方程↓矩陣形式（最小二乘法）相應(yīng)白化微分方程↓↓時間響應(yīng)式逆處理還原↓四、灰色波形預(yù)測模型的提出：當原始數(shù)據(jù)頻繁波動且擺動幅度較大時，往往難以找到適當?shù)哪M模型，這時可以考慮根據(jù)原始數(shù)據(jù)的波形預(yù)測未來行為數(shù)據(jù)發(fā)展變化的波形。建模過程1.確定原始序列為

為序列X的k段折線圖形,仍記稱為等高線建模過程聯(lián)立

所得解為等高點.由上述方程組還可得到 ,并記則稱為等高時刻序列。2.建立等高時刻序列的GM(1,1)模型,可得等高時刻序列預(yù)測值例4

以上海證券交易所綜合指數(shù)2008年3月-2009年3月數(shù)據(jù)為例，來預(yù)測上海證券交易所綜合指數(shù)未來走勢.模型求解：1.由表格數(shù)據(jù)作出2008年3月至2009年3月收盤指數(shù)曲線2.以最低點和最高點為界限，等距離的取等高線3.去掉對應(yīng)時刻點較少的等高線

列出余下等高線

對應(yīng)的等高時刻序列

以

為例，在波形圖上作等高線，取等高線與波形圖交點的橫坐標，得到等高時刻序列：4.對

作一次累加生成，得到

，利用GM(1,1)模型預(yù)測等高序列響應(yīng)式5.利用逆生成公式

得到等高預(yù)測序列

6.剔除無效點

觀察上一步中得到的等高預(yù)測序列中是否存在相同值，若存在即意味著該時刻對應(yīng)兩個不同預(yù)測值，該點無效，應(yīng)當剔除。

可以發(fā)現(xiàn)，本例中不存在無效點，因而只需對等高預(yù)測序列得到的時刻按從小到大排序，最后將每個時刻與其所在序列的等高線數(shù)值對應(yīng)，作出預(yù)測波形?；疑Ｐ偷臋z驗1.殘差檢驗殘差：相對誤差：

平均相對誤差精度一般要求,最好；一般要求,最好.

2.關(guān)聯(lián)度檢驗絕對差關(guān)聯(lián)系數(shù)關(guān)聯(lián)度通常3.后驗差檢驗原始序列均值方差殘差序列均值方差后驗差比值小誤差頻率精度等級PC1級（好）P≥0.95C≤0.352級（合格）0.80≤P<0.950.35<C≤0.53級（勉強）0.70≤P<0.800.35<C≤0.54級（不合格）P<0.700.65<C五、*GM(2,1)模型模型的提出：

將離散的隨機數(shù)列分別進行一次累加、一次累減生成新序列，再對其進行建模計算，得到預(yù)測值。該模型主要用來描述非單調(diào)擺動發(fā)展序列。（DGM(2,1)模型同理）。模型的基本定義1.原始數(shù)列（非負）: 2.一次累加生成數(shù)列:

,其中 . 3.一次累減生成數(shù)列:其中，4.的緊鄰均值生成序列:

,其中模型算法2.引入矩陣記號利用最小二乘法求得參數(shù)

1.構(gòu)造GM(2,1)模型為模型算法3.構(gòu)造GM(2,1)模型的白化方程:4.關(guān)于GM(2,1)白化方程的解:若是的特解，是對應(yīng)齊次方程的通解，則是白化方程的通解。

5.對模型作IAGO還原處理:六、*DGM(2,1)模型

模型的基本定義1.原始數(shù)列（非負）: 2.一次累加生成數(shù)列:

,其中 . 3.一次累減生成數(shù)列:其中，模型算法2.引入矩陣記號利用最小二乘法求得參數(shù)

1.構(gòu)造DGM(2,1)模型為模型算法3.構(gòu)造DGM(2,1)模型的白化方程:4.得出時間響應(yīng)式:5.還原值:7、案例分析2005年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模A題長江水質(zhì)的預(yù)測長江的水質(zhì)問題是一個復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，但是由于數(shù)據(jù)樣本少，需要預(yù)測的時間長，直接應(yīng)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)很難取得理想的效果?？紤]到污水排放量的變化規(guī)律是一個不確定的系統(tǒng)且本題給出污水排放量數(shù)據(jù)樣本比較少，還要求做出長達10年的預(yù)測，因此\采用灰色預(yù)測方法來預(yù)測未來的污水排放量。對原題附件4中的數(shù)據(jù)進行整理可以得到10年的長江污水量排放數(shù)據(jù)，如下表所列：年份1995199619971998199920002001200220032004污水量/億噸174179183189207234220.52562702851.建立GM(1,1)模型對原始數(shù)據(jù)作一次累加得

的緊鄰均值生成序列2.參數(shù)估計:利用最小二乘法得于是得到a=-0.0624,b=156.61623.模型求解

灰微分方程為

把系數(shù)a，b代入GM(1,1)模型白化方程的解并作逆生成處理,還原

4.模型檢驗

①殘差檢驗對于所有的

都有

，達到一般要求。②級比偏差值檢驗

由上述可得，對于所有的有，可認為達到一般要求。5、預(yù)測結(jié)果

第二節(jié)1.Lagrange插值2.Hermite插值數(shù)值插值

第七章3.三次樣條插值53一、Lagrange插值問題的提法已知：

與其個樣本值且彼此互異。記所有次數(shù)不超過n的代數(shù)多項式的全體為54插值問題：求滿足稱為被插函數(shù)，為n次多項式插值函數(shù)，為插值節(jié)點，的Lagrange插值問題。

并稱而上述問題被稱為關(guān)于節(jié)點5556關(guān)于適定性和Lagrange插值公式

插值問題的解是存在且唯一的.首先構(gòu)造特殊插值多項式克羅內(nèi)克爾(Kronecker)符號。（1）存在性

(2.1)

57(2.1)所以

又由即解得58(2.1)所以又由即解得可以驗證滿足插值條件。(2)唯一性設(shè)n次多項式記且均為插值問題的解,則有由高等代數(shù)基本知識知，若一個n次代數(shù)多項式至少存在n+1個根，則它一定恒為零。

唯一性得證。

59稱為f(x)的n次多項式插值的

Lagrange公式也稱為Lagrange插值多項式。60例當n=1時，線性插值公式61當n=2時，拋物插值公式62建模過程1.構(gòu)造Lagrange插值基函數(shù)2.構(gòu)造n次Lagrange插值函數(shù)ps：當n=1時，有兩點一次（線性）插值多項式

當n=2時，有兩點一次（線性）插值多項式Lagrange插值模型的優(yōu)缺點及優(yōu)化優(yōu)點：形式簡潔，利于理論分析。缺點：沒有承襲性，每當增加新的節(jié)點時需要全部重新計算，影響計算效率。優(yōu)化：Lagrange插值問題的Newton型插值公式差商表6566二、Hermite插值問題的提法前面提到的插值，僅要求插值多項式p(x)與被插值函數(shù)f(x)在插值點處有相同的值，這種多項式往往不能反映插值函數(shù)的變化趨勢?，F(xiàn)在提出一個新的插值問題：

要求構(gòu)造一個多項式H(x)，使它與函數(shù)f(x)在插值點處不僅有相同的函數(shù)值，

而且還有相同的導(dǎo)數(shù)值.這種帶導(dǎo)數(shù)的插值叫做Hermite插值。

67兩點三次Hermite插值公式本節(jié)主要討論兩點Hermite插值，即n=1的情形。

插值問題變?yōu)椋呵鬂M足下面構(gòu)造性地給出兩點Hermite插值問題:1、適定性證明2、相應(yīng)的插值公式兩點Hermite插值問題的解存在且唯一。參照Lagrange插值多項式的“基函數(shù)法”，令其中且滿足插值條件：均為三次多項式3969為了構(gòu)造上述“基函數(shù)”，首先在標準單元[0,1]上構(gòu)造兩個特殊的三次代數(shù)多項式：滿足插值條件容易求得

70若令即滿足：則其中71若令即滿足：則72類似地若令則

73綜合為則且容易驗證

滿足插值條件(3.2)，從而存在性得證.74稱(3.5)式為兩點Hermite插值公式，為兩點Hermite插值多項式；相應(yīng)的而被稱為關(guān)于的兩點Hermite插值問題的基函數(shù).

是一個非常重要的Hermite插值多項式，在點和處它所刻畫的曲線與不僅有相同的函數(shù)值，而且有相同的斜率。

75現(xiàn)在證明唯一性.假設(shè)另有一三次數(shù)多項式G(x)滿足插值條件R(x)是次數(shù)小于3的代數(shù)多項式,而上式表明，它有2個重根，令R=H3-G,則有即：除非1.構(gòu)造Hermite插值基函數(shù)2.構(gòu)造Hermite插值函數(shù)建模過程例5已知

及

的數(shù)據(jù)見下表，試用兩點三次Hermite插值公式計算

的近似值.x12114411121/221/24解:由兩點Hermite插值公式得

將

代入上式，

可得

.Hermite插值模型的優(yōu)缺點及優(yōu)化優(yōu)點：形式簡潔，利于理論分析。缺點：沒有承襲性，每當增加新的節(jié)點時需