高等數(shù)學(xué)公式概念

目錄

第一章函數(shù)與極限藻...................................................

第一節(jié)函數(shù)...............................................................

第二節(jié)數(shù)列的極限.................................................................

第三節(jié)函數(shù)的極限................................................................

第四節(jié)無窮小與無窮大.............................................................

第五節(jié)極限四則運算法則............................................................

第六節(jié)極限存在準(zhǔn)則、兩個重要極限..................................................

第七節(jié)無窮小的比較................................................................

第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點........................................................

第九節(jié)連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性..........................................

第十節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)......................................................

第二章導(dǎo)數(shù)與微分......................................................

第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念...................................................................

第二節(jié)函數(shù)的求導(dǎo)法則..............................................................

第三節(jié)初等函數(shù)的求導(dǎo)問題...........................................................

雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)..........................................................

第四節(jié)高階導(dǎo)數(shù)....................................................................

第五節(jié)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)辯化率......................

第六節(jié)函數(shù)的微分...................................................................

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用...........................................

第一節(jié)中值定理..................................................................

第二節(jié)洛必達(dá)法則..................................................................

第三節(jié)泰勒公式....................................................................

第四節(jié)函數(shù)單調(diào)性的判定法..........................................................

第五節(jié)函數(shù)的極值與最值............................................................

第六節(jié)曲線的凹凸與拐點............................................................

第七節(jié)曲率.........................................................................

第八節(jié)方程的近似解................................................................

第四章不定積分......................................................

第一節(jié)不定積分的概念及其性質(zhì)..................................................

第二節(jié)不定積分的換元積分........................................................

第三節(jié)不定積分的分部積分法.......................................................

第四節(jié)幾種特殊類型函數(shù)的積分......................................................

第五章定積分........................................................

第一節(jié)定積分概念與性質(zhì)..........................................................

第二節(jié)微積分基本定理...........................................................

第三節(jié)定積分換元積分法與分部積分法..........................................

第四節(jié)廣義積分..............................................................

第六章定積分的應(yīng)用................................................

定積分的元素法..................................................................

功水壓力和引力.................................................................

平均值..........................................................................

第七章空間解析幾何與向量代數(shù)......................................

第一節(jié)空間直角坐標(biāo)系...........................................................

第二節(jié)向量及其加減法向量與數(shù)的乘法...........................................

第三節(jié)向量的坐標(biāo)..............................................................

第四節(jié)數(shù)量積向量積混合積....................................................

第五節(jié)曲面及其方程............................................................

第六節(jié)空間曲線及其方程........................................................

第七節(jié)平面及其方程.............................................................

第八節(jié)空間直線及其方程........................................................

第九節(jié)二次曲面................................................................

第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用.....................................

第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念....................................................

第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù).................................................................

第三節(jié)全微分.................................................................

第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則................................................

第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)法則......................................................

第六節(jié)微分法在幾何上的應(yīng)用...................................................

第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度.........................................................

第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法..................................................

第九章重積分.....................................................

第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)................................................

第二節(jié)二重積分的計算..........................................................

第三節(jié)二重積分的應(yīng)用..........................................................

第四節(jié)三重積分的概念及其計算法................................................

第五節(jié)利用柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)計算三重積分.....................................

第十章曲線積分與曲面積分.........................................

第一節(jié)對弧長的曲線積分......................................................

第二節(jié)對坐標(biāo)的曲線積分......................................................

第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用......................................................

第四節(jié)對面積的曲面積分......................................................

第五節(jié)對坐標(biāo)的曲面積分......................................................

第六節(jié)高斯公式通量與散度..................................................

第七節(jié)斯托克斯公式環(huán)流量與旋度...........................................

第十一章無窮級數(shù)...............................................

第一節(jié)常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)...............................................

第二節(jié)常數(shù)項級數(shù)的申斂法....................................................

第三節(jié)募級數(shù).................................................................

第四節(jié)函數(shù)展開成幕級數(shù)......................................................

第五節(jié)函數(shù)的塞級數(shù)展開式的應(yīng)用.............................................

第七節(jié)傅里葉級數(shù).............................................................

第八節(jié)正弦級數(shù)與余弦級數(shù)....................................................

第九節(jié)周期為21的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù).......................................

第十二章微分方程................................................

第一節(jié)微分方程的基本概念...................................................

第二節(jié)可分離變量的微分方程..................................................

第三節(jié)齊次方程............................................................

第四節(jié)一階線性微分方程....................................................

第五節(jié)全微分方程............................................................

第六節(jié)可降階的高階微分方程..................................................

第七節(jié)高階線性微分方程......................................................

第八節(jié)二階常系數(shù)齊次線性微分方程........................................

第九節(jié)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程.........................................

第十節(jié)歐拉方程..............................................................

第十一節(jié)微分方程的幕級數(shù)解法................................................

第十二節(jié)常系數(shù)線性微分方程組解法舉例.......................................

第一章函數(shù)與極限

第一節(jié)函數(shù)

教學(xué)目的：本節(jié)主要是復(fù)習(xí)高中階段學(xué)過的集合以及函數(shù)的概念、性質(zhì)；介紹鄰域、

分段函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的概念。

教學(xué)重點：分段函數(shù)、復(fù)合函數(shù)；

一、集合、常量與變量

（-）集合

1、集合：集合是具有某種特定性質(zhì)的事物所組成的全體。通常用大寫字母A、B、C……等來表

示，組成集合的各個事物稱為該集合的元素。若事物a是集合M的一個元素，就記asM（讀

a屬于M）；若事物a不是集合M的一個元素，就記agM或aeM（讀a不屬于M）；集合

有時也簡稱為集。

注意：（1）對于一個給定的集合，要具有確定性的特征，即對于任何一個事物或元素，能夠判斷

它屬于或不屬于給定的集合，二者必居其一.

（2）對于一個給定的集合，其中的元素應(yīng)是互異的，完全相同的元素，不論數(shù)量多少，

在一個集合里只算作一個元素，就是說，同一個元素在同一個集合里不能重復(fù)出現(xiàn).

（3）若一集合只有有限個元素，就稱為有限集；否則稱為無限集

2.集合的表示法

表示集合的方法，常見的有列舉法和描述法兩種.

列舉法：按任意順序列出集合的所有元素，并用花括號{}括起來，這種方法稱為列舉法.

3.全體自然數(shù)集記為N,全體整數(shù)的集合記為Z,全體有理數(shù)的集合記為Q,全體實數(shù)的集合記為Ro

以后不特別說明的情況下考慮的集合均為數(shù)集。

4.集合間的基本關(guān)系：若集合A的元素都是集合B的元素，即若有xeA,必有xeB,就稱A

為B的子集，記為Au或BA（讀B包含A）。

顯然：NuZuQuR.

若Au3,同時8uA,就稱A、B相等，記為A=B。

5.不含任何元素的集稱為空集，記為①，如：（#2+1=0,xeR}=①,{x:2、=一1}=①，空集是任

何集合的子集，即①uA。

（-）區(qū)間與鄰域

1.區(qū)間

設(shè)a和b都是實數(shù),且a<b,

數(shù)集{xlavxvb}稱為開區(qū)間，記作（a,b）,即

（a,b）={xIa<x<b}.

a和b稱為開區(qū)間（a,b）的端點，這里a任（a,b）,b仁（a,b）.

數(shù)集{xla稱為閉區(qū)間，記作[a,b],即

[a,b]={xla<x<b}.

a和b稱為閉區(qū)間[a,b]的端點，這里ae[a,b],be[a,b].

類似地可以說明：

[a,b)==|xIa<x<b},

(a,b]={xla<x<b},

[a,b#H(a,b]都稱為半開區(qū)間.

以上這些區(qū)間都稱為有限區(qū)間.數(shù)b-a稱為這些區(qū)間的長度.從數(shù)軸上看，這些有限區(qū)間是

長度為有限的線段.閉區(qū)間[a,b]與開區(qū)間(a,b)在數(shù)軸上表示出來，分別如圖1-7(a)與(b).此外

還有無限區(qū)間，引進(jìn)記號+8(讀作正無窮大)及-8(讀作負(fù)無窮大)，則可類似地表示下面的

無限區(qū)間：

[a,+8)={xIa<x},

(-℃>,b)={xIx<b),

全體實數(shù)的集合也可記作(-8,+8),它也是無限區(qū)間.

2.鄰域.

設(shè)3是任一正數(shù)，a為某一實數(shù)，把數(shù)集{xllx-al<3}稱為點a的3鄰域，記作

U(a,3),即

U(a,S)={xllx-aI}

點a稱為這鄰域的中心，6稱為這鄰域的半徑.

由于a-bvxva+b相當(dāng)于Ix-a1<6,因此

U(a,8)={xla-b<x<a+3},也就是開區(qū)間(a-3,a+6)

因為Ix-aI表示點x與點a間的距離，所以U(a,b)表示：與點a距離小于3的一切點x的

全體.

有時用到的鄰域需要把鄰域中心去掉.點a的3鄰域去掉中心a后，稱為點a的去心的5鄰

A

域，記作U(a,3),即

A

U(a,3)={xIOvlx-aIv3}.

這里0<lx-al就表示xWa.

(三)常量與變量

在自然科學(xué)中，我們會遇到各種不同的量，然而在觀察這些量時，發(fā)現(xiàn)有著非常不同的狀態(tài)，有

的量在過程中不起變化，保持一定的數(shù)值，此量稱為常量；又有些量有變化，可取各種不同的數(shù)

值，這種量稱為變量。

注I：常量與變量是相對而言的，同一量在不同場合下，可能是常量，也可能是變量，如在一天

或在一年中觀察某小孩的身高；從小范圍和大范圍而言，重力加速度可是常量和變量，然而，

一旦環(huán)境確定了，同一量不能既為常量又為變量，二者必居其一。

2：常量一般用a,b,c……等字母表示，變量用x,y,u,t……等字母表示，常量a為一定值，在數(shù)軸上

可用定點表示，變量x代表該量可能取的任一值，在數(shù)軸上可用動點表示，如：了€(4,。)表示工

可代表(凡刀中的任一個數(shù)。

二、函數(shù)的概念

定義：設(shè)X和y為兩個變量,，。為一個給定的數(shù)集，如果對每一個按照一定的法則/變

量y總有確定的數(shù)值與之對應(yīng)，就稱y為x的函數(shù)，記為y=/(x).數(shù)集。稱為該函數(shù)的定義域，

x叫做自變量，y叫做因變量。

當(dāng)x取數(shù)值xoeD時，依法則f的對應(yīng)值稱為函數(shù)y=/(x)在x=時的函數(shù)值。所有函數(shù)值組

成的集合卬={y|y=/(x),xe。}稱為函數(shù)丫=/(x)的值域。

關(guān)于函數(shù)定義的幾點說明：

(1)我們這里所講的函數(shù)是指單值函數(shù)，也就是說，對于每一個x值只能對應(yīng)變量y的一個值.

(2)符號“f”的意義：

符號“f”表示自變量x與函數(shù)y的某種對應(yīng)關(guān)系.例如y=f(x)=5x2+3x-l,它的對應(yīng)關(guān)系T

是自變量的平方乘以5加上自變量的3倍減去1,我們不妨簡化為y=f()=5()2+3()-1。如x=3

時，對應(yīng)的函數(shù)值是

f(3)=5x32+3x3-l.

同樣當(dāng)x=a時;對應(yīng)的函數(shù)值是

f(a)=5a2+3a-l.

表示函數(shù)對應(yīng)法則的符號也常常用“g”、“F”等表示，這時函數(shù)就記作y=g(x)、

y=F(x)等.

(3)確定函數(shù)的兩個要素——定義域和對應(yīng)法則

函數(shù)概念反映著自變量和因變量之間的依賴關(guān)系.它涉及到定義域、對應(yīng)法則和值域.很明

顯，只要定義域和對應(yīng)法則確定了，值域也就隨之確定.因此，定義域和對應(yīng)法則是確定函數(shù)的

兩個要素，只要兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則都相同，那么，這兩個函數(shù)就相同；如果定義域或

對應(yīng)法則有?個不相同，那么這兩個函數(shù)就不相同.

X

例如:函數(shù)f(x)=—與g(x)=l,因為f(x)的定義域為(-8,o)U(0,+8),而g(x)的定義域

x

為(-8,+8),所以f(X)與g(X)是不同的函數(shù).

(4)函數(shù)定義域的求法

對于由實際問題得到的函數(shù)，其定義域應(yīng)該由問題的具體條件來確定.如例1函數(shù)

中，自變量r是圓的半徑，故此函數(shù)的定義域就是(0,+8).例2中，自變量Q表示銷售的臺數(shù),

故此函數(shù)的定義域是全體自然數(shù).

若函數(shù)由公式給出時，不考慮函數(shù)的實際意義，這時函數(shù)的定義域就是使式子有意義的

變量的一切實數(shù)值.

注1：函數(shù)通常還可用y=g(x),y=F(x),s="(f)等表示。

2：約定：函數(shù)的定義域就是自變量所能取的，使算式有意義的一切實數(shù)值的全體。

3、若對每一個xe。，只有唯一的一個y與之對應(yīng)，就稱函數(shù)y=/(x)為單值函數(shù)；若有不

止一個y與之對應(yīng)，就稱為多值函數(shù)。如：V+y2=i,x2-y2=1等。以后若不特別聲明，

只討論單值函數(shù)。

4、函數(shù)的表示法有三種：解析法、圖象法、列表法。其中解析法較普遍，它是借助于數(shù)學(xué)式

子來表示對應(yīng)法則，上例均為解析法，注意例3的法則是：當(dāng)自變量X在(0J上取值，其函數(shù)

值為》2；當(dāng)x取。時，當(dāng)x在[一1,0)上取值時，其函數(shù)值為l—x。(這種函數(shù)稱為

分段函數(shù)，在以后經(jīng)常遇見，希望注意！)盡管有幾個不同的算式，但它們合起來只表示一個函

數(shù)！

5、對。中任一固定的X,依照法則有一個數(shù)y與之對應(yīng)，以x為橫坐標(biāo)，y為縱坐標(biāo)在坐標(biāo)平

面上就確定了一個點。當(dāng)X取遍。中的每一數(shù)時，便得到?個點集

C={(x,y)\y=f(x),xeD],我們稱之為函數(shù)y=/(x)的圖形。換言之，當(dāng)x在。中變動時,

點(x,y)的軌跡就是y=/(x)的圖形。

三、函數(shù)的幾種特性

1函數(shù)的有界性：設(shè)y=/(x)在。上有定義，若對VXWOJMAO,使得：就

稱/(x)在。上有界，否則稱為無界。

注：1、若對WxeD,3M,使得就稱/(x)在。上有上(下)界。/(%)

在。上有界=/*)在。上同時有上界和下界。

2、/(x)在。上無界也可這樣說：對VM80,總?cè)?6。，使得|/(Xo)〉M。

2、函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)/(x)在區(qū)間/上有定義，若對立|、x2el,當(dāng)占YX2時總有：

(1)/(項)〈/(々)，就稱/(x)在/上單調(diào)遞增，特別當(dāng)嚴(yán)格不等式/(XJY/(X2)成立時，就

稱/(x)在/上嚴(yán)格單調(diào)遞增。

(2)f(Xi)>f(x2),就稱/(x)在/上單調(diào)遞減，特別當(dāng)嚴(yán)格不等式/(匹)8/(X2)成立時，就

稱/(x)在/上嚴(yán)格單調(diào)遞減。

注：1、此處的定義與書上有區(qū)別，希望注意！

2、這樣的函數(shù)分別稱為單調(diào)函數(shù)和嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)。

3、調(diào)遞增有時簡稱單增、遞增或不減，其它也一樣。

3、函數(shù)的奇偶性：設(shè)函數(shù)/(x)的定義域。為對稱于原點的數(shù)集，即若xe。，有-xe。，

(1)若對Wxe。，有/(一x)=/(x)恒成立，就稱/(x)為偶函數(shù)。

(2)若對WxeO,有/(r)=—/*)恒成立，就稱/(x)為奇函數(shù)。

注：1、偶函數(shù)的圖形是關(guān)于y軸對稱的，奇函數(shù)的圖形是關(guān)于原點對稱的。

2、若/(x)是奇函數(shù)，且Oe。，則必有/(0)=0。

3、兩偶函數(shù)和為偶函數(shù)；兩奇函數(shù)和為奇函數(shù)；兩偶函數(shù)的積為偶函數(shù)；兩奇函數(shù)的枳也為

偶函數(shù)；一奇一偶的積為奇函數(shù)。

4、周期性：設(shè)函數(shù)/(x)的定義域為。，如果X/0,使得對Wxe。，有x±/e。，且

/(x+/)=/(x)恒成立，就稱/(x)為周期函數(shù)，/稱為/(x)的周期。

注1：若/為/(x)的周期，由定義知2/,3/,4/……也都是/(x)的周期，故周期函數(shù)有無窮多個

周期，通常說的周期是指最小正周期(基本周期)，然而最小正周期未必都存在(為什么？)

2：周期函數(shù)在一每個周期(“+%/,“+(k+1)/)為任意數(shù)，%為任意常數(shù))上，有相同的形

狀。

四、反函數(shù)

定義：設(shè)“X)的定義域為。，值域為W,因此，對WyeW,必玉e。，使得/(x)=y,這樣

的x可能不止一個，若將y當(dāng)作自變量，x當(dāng)作因變量，按函數(shù)的概念，就得到-新函數(shù)x=e(y),

稱之為函數(shù)y=/(x)的反函數(shù)，而/(x)叫做直接函數(shù)。

注1：反函數(shù)x=9(y)的定義域為W,值域為。：

2：由上討論知，即使y=/(x)為單值函數(shù)，其反函數(shù)卻未必是單值函數(shù)，以后對此問題還作

研究；

3：在習(xí)慣上往往用x表示自變量，y表示因變量，因此將x=0(y)中的x與y對換一下，

y--(x)的反函數(shù)就變成y=g(x)，事實上函數(shù)y=p(x)與x=0(y)是表示同一函數(shù)的，

因為，表示函數(shù)關(guān)系的字母"右沒變，僅自變量與因變量的字母變了，這沒什么關(guān)系。所以

說：若y=/(x)的反函數(shù)為x=e(y),那么y=夕(外也是y=/(x)的反函數(shù)，且后者較常

用；

4：反函數(shù)y=夕(幻的圖形與直接函數(shù)y=/(x)的圖形是對稱于y=x

五、初等函數(shù)

(-)幕函數(shù)

形如y=x"(〃為常數(shù))的函數(shù)叫做賽函數(shù)。

其定義域較為復(fù)雜，下作一些簡單的討論：

(-)當(dāng)〃為非負(fù)整數(shù)時，定義域為(一8,+8);

(1)當(dāng)〃為負(fù)整數(shù)時，定義域為(—8,0)。(0,+8);

(2)當(dāng)〃為其它有理數(shù)時，要視情況而定。

(3)當(dāng)//為無理數(shù)時，規(guī)定其定義域為(0,+8),其圖形也很復(fù)雜，但不論〃取何值，圖形

總過(1,1)點，當(dāng)〃>0時，還過(0,0)點。

(-)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

1.指數(shù)函數(shù)：形如)，=a\a>0,aH1)的函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)，其定義域為(-oo,+8),其圖形總在x

軸上方，且過(0,1)點，

(1)當(dāng)。>1時，y=優(yōu)是單調(diào)增加的；

(2)當(dāng)0<a<l時，y=a”是單調(diào)減少的；

以后我們經(jīng)常遇到這樣一個指數(shù)函數(shù)？=6、,6的意義以后講，其圖形大致如下圖所示，特別地，

y=a"與y=a~x關(guān)于y軸對稱。

2、對數(shù)函數(shù)：指數(shù)函數(shù)y=a”的反函數(shù)，記為y=log。為常數(shù)，a＞0,aA1）,稱為對數(shù)函

數(shù)，其定義域為（0,+8）,由前面反函數(shù)的概念知：），="的圖形和》=1（花“工的圖形是關(guān)于

y=x對稱的，從此，不難得y=logax的圖形，

y=log,,x的圖形總在y軸右方，且過（1,0）點

（1）當(dāng)。＞1時，y=log“x單調(diào)遞增，且在（0,1）為負(fù)，（1,+8）上為正；

（2）當(dāng)0＜。＜1時，y=log“x單調(diào)遞減，且在（0,1）為正，（1,+8）上為負(fù)；

特別當(dāng)a取e時，函數(shù)記為y=lnx,稱為自然對數(shù)函數(shù)。

（三）三角函數(shù)與反三角函數(shù)

三角函數(shù)

三角函數(shù)主要是：

正弦函數(shù):y=sinxxe(-oo,+oo)

余弦函數(shù):y=cosxxe(-8,+8)

兀

正切函數(shù):y=tanxxnjr-\——n-0,±l,±2,....

2

余切函數(shù):y-cotxx^njun=0,±l,±2,...

正弦函數(shù)和余弦函數(shù)均為周期為2%的周期函數(shù)，正切函數(shù)和余切函數(shù)均為周期為萬的周期函數(shù)。

正弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)都是奇函數(shù)，余弦函數(shù)為偶函數(shù)；另外還有兩個：正割

y=secx=—-—和余割y=cscx=—-—，其圖形在此不做討論了。

cosxsinx

反三角函數(shù)：

反三角函數(shù)是三角函數(shù)的反函數(shù)，它們分別為：

反正弦函數(shù)：y=Arcsinxxe[-l,l]

反余弦函數(shù)：y=Arccosx[-1,1]

反正切函數(shù)：y=ArctanxXE(—8,+8)

反余切函數(shù)：y=ArccotxXG(—8,+8)

顯然反三角函數(shù)都是多值函數(shù)，單我們可選取其一個單值分支，叫做主值，選法如下：

將＞=Arcsinx限制在［一］,］］上，得一單值函數(shù)，記為y=arcsinx,它就是所取主值函數(shù),

［一生，生］叫做主值區(qū)間,顯然<arcsinx<-,

2222

同理:將y=Arccosx限制在［0,萬］上，=arccosx

將y=Arctanx限制在上，得^=arctanx

將y=Arccotx限制在［0,乃］上，得y=arccotx

從圖中不難看出arcsinx和arctanx是單調(diào)遞增的，arccosx和arccotx是單調(diào)遞減的。

六復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)

1.定義：設(shè)y=/(“)，定義域為。〃="(x),定義域為。2,值域為%，且卬2<=。1，這樣對

于WxeZ)2，由“=0(幻可算出函數(shù)值Me%u￡>|,所以“e?,由y=/(“)又可算出其函數(shù)

值y,因此對于X/xe￡>2,有確定的值y與之對應(yīng)，從而得一個以x為自變量，y為因變量的函數(shù),

我們稱之為以y=/(“)為外函數(shù)，“=夕(幻為內(nèi)函數(shù)復(fù)合成的復(fù)合函數(shù)，記為y=/(［(x)),其

中“為中間變量。

注1：并非任何兩函數(shù)都可以復(fù)合的，

2：復(fù)合可推廣到三個或更多的函數(shù)上去，

3：在函數(shù)復(fù)合中，未必都有y=/(〃)、"=*(x)的形式，一般為y=/(x)和y=g(x),這時

候就要注意哪個為外函數(shù)，哪個為內(nèi)函數(shù)，從而復(fù)合后有y=/(x)和y=g(x)之分。

2、初等函數(shù)

我們把幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。由常數(shù)和基本

初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次復(fù)合后所得到的能用?個解析式子表示的函數(shù)，稱為初等函

數(shù)。

七分段函數(shù)舉例

第二節(jié)數(shù)列的極限

教學(xué)目的：使學(xué)生理解數(shù)列極限的定義及性質(zhì)，并能用定義證明一些簡單數(shù)列的極

限。

教學(xué)重點：數(shù)列極限的定義及性質(zhì)。

一、數(shù)列的定義：

定義：數(shù)列是定義在自然數(shù)集上的函數(shù)，記為=/(〃)，n=1,2,3……，由于全體自然數(shù)可

以從小到大排成一列，因此數(shù)列的對應(yīng)值也可以排成一列：x,,x2,…………，這就是最常見

的數(shù)列表現(xiàn)形式了，有時也簡記為｛%｝或數(shù)列X,。數(shù)列中的每一數(shù)稱為數(shù)列的項，第〃項Z稱

為一般項或通項。

注：在數(shù)軸上，數(shù)列的每項都相應(yīng)有點對應(yīng)它。如果將X“依次在數(shù)軸上描出點的位置，限我們

能否發(fā)現(xiàn)點的位置的變化趨勢呢？顯然，是無限接近于0的；｛2〃｝是無增大的;

｛（-1）1｝的項是在1與-1兩點跳動的，不接近于某一常數(shù)；|巴mj無限接近常數(shù)1。

對于數(shù)列來說，最重要的是研究其在變化過程中無限接近某一常數(shù)的那種漸趨穩(wěn)定的狀態(tài)，這

就是常說的數(shù)列的極限問題。

二、數(shù)列的極限

定義：若對\/￡>0（不論￡多么?。?，總?cè)匀粩?shù)N>0,使得當(dāng)">N時都有用一4<￡成立,

這是就稱常數(shù)。是數(shù)列x?的極限，或稱數(shù)列x?收斂于a,記為limx?=a,或x“-a

〃一>8

（“78）。如果數(shù)列沒有極限，就說數(shù)列是發(fā)散的。

注1：￡是衡量無“與。的接近程度的，除要求為正以外，無任何限制。然而，盡管￡具有任意性,

但一經(jīng)給出，就應(yīng)視為不變。（另外，￡具有任意性，那么三,2￡,￡2等也具有任意性，它們也可

2

代替￡）

2：N是隨￡的變小而變大的，是￡的函數(shù)，即N是依賴于￡的。在解題中，N等于多少關(guān)

系不大，重要的是它的存在性，只要存在一個N,使得當(dāng)〃>N時，有氏一同<￡就行了,

而不必求最小的N。

3：有時找N比較困難，這時我們可把適當(dāng)?shù)刈冃?、放大（千萬不可縮?。。?，若放大后

小于￡,那么必有,“一《<￡。

收斂數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)：

定理1:（唯一性）數(shù)列X,,不能收斂于兩個不同的極限。

定理2：（有界性）若數(shù)列收斂，那么它一定有界，即：對于數(shù)列X”,若三正數(shù)對一切

n,有kJWM。

注：本定理的逆定理不成立，即有界未必收斂。例如數(shù)列X”=(-1)的是有界的(|x“|Wl)，但數(shù)

列不收斂。

第三節(jié)函數(shù)的極限

教學(xué)目的：使學(xué)生理解函數(shù)極限的概念；理解函數(shù)左右極限的概念，以及函數(shù)極限

存在與左、右極限之間的關(guān)系。理解函數(shù)極限的性質(zhì)。

教學(xué)重點：函數(shù)極限的概念。

一、復(fù)習(xí)數(shù)列極限的定義及性質(zhì)

二、導(dǎo)入新課：

由上節(jié)知，數(shù)列是自變量取自然數(shù)時的函數(shù)，X“=/(〃)，因此，數(shù)列是函數(shù)的一種特殊

情況。對于函數(shù)，自變量的變化主要表現(xiàn)在兩個方面：

一、自變量X任意接近于有限值X。，記為XTX。，相應(yīng)的函數(shù)值/(X)的變化情況。

二、當(dāng)自變量X的絕對值N無限增大，記X78,相應(yīng)的函數(shù)值/(X)的變化情況。

三、講授新課：

(-)自變量趨向有限值X。時函數(shù)的極限

與數(shù)列極限的意義相仿，自變量趨于有限值尤0時的函數(shù)極限可理解為：當(dāng)X7X。時，/(x)TA

(A為某常數(shù))，即當(dāng)XTXo時，/*)與A無限地接近，或說|/(x)-A|可任意小，亦即對于

預(yù)先任意給定的正整數(shù)￡(不論多么小)，當(dāng)x與尤0充分接近時，可使得|/(幻-山小于￡。用

數(shù)學(xué)的語言說，即

定義1：如果對\/￡>0(不論它多么小)，總>0,使得對于適合不等式0<,一公卜6

的一切x所對應(yīng)的函數(shù)值/(x)滿足：|/(劃一4卜￡,就稱常數(shù)A為函數(shù)/(x)當(dāng)XTX。時

的極限，記為

lim/(x)=A,或/(x)—>A(當(dāng)x7X。時)

〃一>8

注1：“x與人充分接近”在定義中表現(xiàn)為：皿>0,有O<|x-Xo|<6,即⑶。

顯然b越小，x與與接近就越好，此6與數(shù)列極限中的N所起的作用是一樣的，它也依

賴于￡。一般地，￡越小，b相應(yīng)地也小一些。

2：定義中O<|x-Xo|表示XHX(),這說明當(dāng)X->Xo時，/(X)有無限與/(%)在X。點(是

否有)的定義無關(guān)(可以無定義，即使有定義，與/(%0)值也無關(guān))。

3：幾何解釋：對V￡>0,作兩條平行直線y=4+￡,y=4—￡。由定義，對此￡與6>0,

當(dāng)彳0-3<x</+b,且xH時，有</(x)<A+￡。即函數(shù)y=/(x)的圖形夾在直

線)>=A+￡,y=A—￡之間(/(X。)可能除外)。換言之：當(dāng)xwuUo，b)時，/(X)€U(A,￡)。

從圖中也可見3不唯一！

(―)左、右極限

在函數(shù)極限的定義中，X是既從X。的左邊(即從小于X。的方向)趨于今,也從X。的右邊(即從

大于X。的方向)趨于與。但有時只能或需要X從X。的某一側(cè)趨于X。的極限。如分段函數(shù)及在區(qū)

間的端點處等等。這樣，就有必要引進(jìn)單側(cè)極限的定義：

定義2：對V￡>0>3^>0,當(dāng)X。-b<x<X。時，［當(dāng)x(,<x<x()+6時］,有|/(x)-A|<￡.

這時就稱4為了(X)當(dāng)XIX。時的左［右］極限，記為

lim/(x)=A或/(x-0)=A。

XTX。-0

［lim/(x)=4或/(%+0)=4］。

定理：limf(x)=A<=>limf(x)=limf(x)=A。

XTX°Xf0-0Xfo+0

(三)自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限

定義3：設(shè)/(x)當(dāng)兇>“(。>0)忖是有定義的，若對X/￡>OjX(>a),當(dāng)忖〉X時，有

\f(x)一A|<￡，就稱A為f(x)當(dāng)x78時的極限，記為lim/(x)=A或/(x)TX

11XT8

(當(dāng)X->8時)。

注1：設(shè)/(x)在［a,+8),((-8,短)上有定義，若對X/￡>0JX>0,當(dāng)W>X(x<—X)時，

有，(x)-A|<￡，就稱A為/(x)當(dāng)x7+8(xT-oo)時的極限，記為Jim/(x)=A,

或/(x)7A(當(dāng)x7+8)(lim/(x)=A，或/(x)7A(當(dāng)x—>-8))。

X—>—oo

2：lim/(x)=A=limf(x)=limf(x)=A。

XT8XT+ooXT-oo

3：若lim/(x)=A,就稱y=A為y=/(x)的圖形的水平漸近線(若lim/(x)=A或

XT8X—>-K?

lim/(x)=A,有類似的漸近線)。

x—>-oo

(四)函數(shù)極限的性質(zhì)

定理(保號性):設(shè)lim/(x)=A,

XT*。

(i)若A>0(A<0),則三6>0,當(dāng)x€U(￡,3)時，/(x)>0(/(x)<0)o

(ii)^/(x)>0(/(x)<0),必有ANO(AWO)。

第四節(jié)無窮小與無窮大

教學(xué)目的：1.使學(xué)生理解無窮小的概念及性質(zhì)；

2.使學(xué)生理解無窮大的概念，無窮大與無窮小的關(guān)系；

3.掌握無窮小的比較方法.

(-)無窮小

若/(X)當(dāng)X-?X?；騒->+8時的極限為零，就稱/(X)為當(dāng)X->X。或X->+8時的無窮

小，即有

定義1：對義￡>0,若mb>O(X>0),使得當(dāng)O<|x-Xo|<b(W<XW4,有|/(x)|<￡成立,

就稱/(x)為當(dāng)x->x()(x7+8)時的無窮小，記為lim/(x)=0(lim/(x)=0)?

x-?x0X-?+<*?

注1:除上兩種之外，還有X—>-oo,X—>+8,x-?X。-0,x7X。+0的情形。

2：無窮小不是一個數(shù)，而是一個特殊的函數(shù)(極限為0),不要將其與非常小的數(shù)混淆，因為

任一常數(shù)不可能任意地小，除非是0函數(shù)，由此得：0是唯一可作為無窮小的常數(shù)。

定理：當(dāng)自變量在同一變化過程XT%(或X78)中時：

(i)具有極限的函數(shù)等于其極限與一個無窮小之和，即：4為/(x)的極限=/(》)-A為無窮

小。

(ii)若一函數(shù)可表示為一常數(shù)與無窮小之和，那么該常數(shù)就是其極限。

定理：有限個無窮小的和仍為無窮小，即設(shè)lima=0』im夕=0nlim(a+￡)=0。

定理：有界函數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小，即設(shè)〃有界，Iima=0nlim〃a=0。

注1：〃與a都表示函數(shù)i，(x)與a(x),而不是常數(shù)。

2：“l(fā)im”下放沒標(biāo)自變量的變化過程，這說明對/及X78均成立，但須同一過程

推論1：常數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小，即若k為常數(shù)，lima=Onlim女a(chǎn)=0。

推論2：有限個無窮小的乘積仍為無窮小，設(shè)

lima,=lima,=.......=lima,,=0n\im{a](x2........an)=0?

二、無窮大

若當(dāng)XT/或XT8時/(x)78,就稱/(》)為當(dāng)》一＞/或工78時的無窮大。

定義2：若對VM＞0,皿＞0(X＞0),使得當(dāng)0＜卜一與卜5(國＞X)時,有依x)|＞M,就

稱/(x)當(dāng)x7x(xT8)時的無窮大，記作：lim/(x)=8(lim/(x)=8)。

0x—X—?8

注1:同理還有/(X)T—8,/(X)7+8時的定義。

2:無窮大也不是一個數(shù)，不要將其與非常大的數(shù)混淆。

3：若lim/(x)=8或lim/(x)=8,按通常意義將，/(x)的極限不存在。

定理：當(dāng)自變量在同一變化過程中時，

(i)若/(x)為無窮大，則」一為無窮小。

“X)

(ii)若/(x)為無窮小，且/(x)HO,則」一為無窮大。

/(x)

第五節(jié)極限四則運算法則

教學(xué)目的：使學(xué)生掌握極限的四則運算法則，并會利用它們求極限；

教學(xué)重點：有理函數(shù)極限的計算；

極限四則運算法則

由極限定義來求極限是不可取的，也是不行的，因此需尋求一些方法來求極限。

定理L若lim/(x)=A/img(x)=8,則lim"(x)±g(x)]存在,且

lim[/(x)±g(x)]=A±B=limf(x)±limg(x)o

注：本定理可推廣到有限個函數(shù)的情形。

定理2：若lim/(x)=A/img(x)=5,則lim/(x)?g(x)存在，且

lim/(x)g(x)=AB=lim/(1)?limg(x)。

推論1：\im[cf(x)]=clim/(x)(c為常數(shù))。

推論2：lim"(x)]〃=[lim/(x)]〃(〃為正整數(shù))。

定理3：設(shè)lim/(x)=A,limg(x)=8H0,!fli]lim^^=-=hm/(V)?

g(x)Bhmg(x)

注：以上定理對數(shù)列亦成立。

定理4：如果夕(x)2”(x),且limp(x)=a,lim〃(x)=匕，則a2b。

推論1：設(shè)/(x)=a()x"+%x"T+........+%_/+*為一多項式，當(dāng)

，

lim/(x)=aoxo'+axx0"~'+......+an_ix0+an=/(x0)o

推論2：設(shè)尸(x),Q(x)均為多項式，且。(Xo)HO,則lim也=￡豆2。

-Q(x)Q(x0)

注：若0（/）=0,則不能用推論2來求極限，需采用其它手段。

第六節(jié)極限存在準(zhǔn)則、兩個重要極限

教學(xué)目的：1使學(xué)生掌握極限存在的兩個準(zhǔn)則；并會利用它們求極限;

2使學(xué)生掌握利用兩個重要極限求極限的方法；

教學(xué)重點：利用兩個重要極限求極限

準(zhǔn)則I：如果數(shù)列X”方,Z,滿足下列條件:

⑴對V〃,yn<xn<Zn；

（ii）limy=limz〃=a

”一>oonM—>oo

那么,數(shù)列的極限存在，且

x”〃li一m>8xn=a.

準(zhǔn)則「：如果函數(shù)y（x）,g（x）,力（光）滿足下列條件:

(i)當(dāng)xeU(x；/)(|x|>M)時，有g(shù)(x)</(x)W〃(x)。

(ii)當(dāng)x—>Xy(x-1°°)時，有g(shù)(x)->4/z(x)—>A。

那么當(dāng)X-%。7°°)時，/(X)的極限存在，且等于A。

cinY

第一個重要極限：lim也二二1

1。x

作為準(zhǔn)則I'的應(yīng)用，下面將證明第一個重要極限：lim照=1。

KTOX

準(zhǔn)則n：單調(diào)有界數(shù)列必有極限

如果數(shù)列X“滿足：X,<X,<……<X?<……，就稱之為單調(diào)增加數(shù)列；若滿足:

X,>X2>……>X?>……，就稱之為單調(diào)減少數(shù)列；同理亦有嚴(yán)格單增或單減，以上通稱為

單減數(shù)列和嚴(yán)格單減數(shù)列。

如果,使得：x?<M(n=1,2,……),就稱數(shù)列x“為有上界；若辿,使得:

x?>M(n=l,2,……),就稱｛X,｝有下界。

準(zhǔn)則H'：單調(diào)上升，且有上界的數(shù)列必有極限。

準(zhǔn)則II":單調(diào)下降，且有下界的數(shù)列必有極限。

注1：山前已知，有界數(shù)列未必有