2021年中考數(shù)學(xué)-三輪專題沖刺：等腰三角形(含答案)

2021中考數(shù)學(xué)三輪專題沖刺：等腰三角形一、選擇題1.（2020·臨沂）如圖，在中，，，，則（）A.40° B.50° C.60°. D.70°2.（2020·福建）如圖，是等腰三角形的頂角平分線，，則等于（）A.10 B.5 C.4 D.33.一個(gè)等腰三角形兩邊的長(zhǎng)分別為eq\r(75)和eq\r(18)，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為()A．10eq\r(3)＋3eq\r(2) B．5eq\r(3)＋6eq\r(2)C．10eq\r(3)＋3eq\r(2)或5eq\r(3)＋6eq\r(2) D．無(wú)法確定4.如圖，等邊三角形OAB的邊長(zhǎng)為2，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ()A.(1，1) B.(1，3) C.(3，1) D.(3，5.（2020·河南）如圖，在△ABC中，AB=BC=，∠BAC=30°，分別以點(diǎn)A，C為圓心，AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D，連接DA，DC，則四邊形ABCD的面積為()A.B.9C.6D.6.△ABC中，AB＝AC，∠A為銳角，CD為AB邊上的高，I為△ACD的內(nèi)切圓圓心，則∠AIB的度數(shù)是()A.120°B.125°C.135°D.150°7.如圖，在五邊形ABCDE中，AB＝AC＝AD＝AE，且AB∥ED，∠EAB＝120°，則∠BCD的度數(shù)為()A．150° B．160°C．130° D．60°8.（2020·無(wú)錫）如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)D在邊AC上，AD＝EQ\F(1,2)，線段PQ在邊BA上運(yùn)動(dòng)，PQ＝EQ\F(1,2)，有下列結(jié)論：①CP與QD可能相等；②△AQD與△BCP可能相似；③四邊形PCDQ面積的最大值為EQ\F(31\R(,3),16)；④四邊形PCDQ周長(zhǎng)的最小值為3＋EQ\F(\R(,37),2).其中，正確結(jié)論的序號(hào)為（）A．①④B．②④C．①③D．②③二、填空題9.若等腰三角形的一個(gè)底角為72°，則這個(gè)等腰三角形的頂角為.

10.如圖，AD是△ABC的邊BC上的高，由下列條件中的某一個(gè)就能推出△ABC是等腰三角形的是________．(把所有正確答案的序號(hào)都填寫在橫線上)①∠BAD＝∠ACD②∠BAD＝∠CAD③AB＋BD＝AC＋CD④AB－BD＝AC－CD11.（2020·常州）如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線分別交BC、AB于點(diǎn)E、F．若△AFC是等邊三角形，則∠B＝________°．12.（2020·湖北孝感）某型號(hào)飛機(jī)的機(jī)翼形狀如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計(jì)算AB的長(zhǎng)為________米．（結(jié)果保留根號(hào)）13.如圖，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，MN過(guò)點(diǎn)O且MN∥BC，設(shè)AB＝12，AC＝18，則△AMN的周長(zhǎng)為________．14.（2020·營(yíng)口）如圖，△ABC為等邊三角形，邊長(zhǎng)為6，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是線段AD和AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CE，EF，則CE+EF的最小值為．15.在邊長(zhǎng)為4的等邊三角形ABC中，D為BC邊上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D分別作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，則DE+DF=.

16.（2020·綿陽(yáng)）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，點(diǎn)M是四邊形ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足∠AMD＝90°，則點(diǎn)M到直線BC的距離的最小值為．三、解答題17.（2020·廣東）如題20圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，BD=CE，∠ABE=∠ACD，BE與CD相交于點(diǎn)F．求證：△ABC是等腰三角形．18.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AB邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)求證:△BDE≌△CDF;(2)當(dāng)AD⊥BC，AE=1，CF=2時(shí)，求AC的長(zhǎng).

19.如圖，△ABC中，點(diǎn)E在BC邊上，AE=AB，將線段AC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到AF的位置，使得∠CAF=∠BAE.連接EF，EF與AC交于點(diǎn)G.(1)求證:EF=BC;(2)若∠ABC=65°，∠ACB=28°，求∠FGC的度數(shù).

20.已知AB是半徑為1的圓O直徑，C是圓上一點(diǎn)，D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)的直線交AC于E點(diǎn)，交AB于F點(diǎn)，且△AEF為等邊三角形．(1)求證：△DFB是等腰三角形；(2)若DA＝eq\r(7)AF，求證CF⊥AB.

21.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB邊上一點(diǎn)(點(diǎn)D與A，B不重合)，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到線段CE，連接DE交BC于點(diǎn)F，連接BE.(1)求證:△ACD≌△BCE;(2)當(dāng)AD=BF時(shí)，求∠BEF的度數(shù).

2021中考數(shù)學(xué)三輪專題沖刺：等腰三角形-答案一、選擇題1.【答案】D【解析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的等邊對(duì)等角且，，可得：；然后根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等且可得：，所以選D．2.【答案】B【解析】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，∵是等腰三角形的頂角平分線，，∴CD=BD=5，因此本題選B．3.【答案】[解析]A因?yàn)閑q\r(75)＝5eq\r(3)，eq\r(18)＝3eq\r(2).當(dāng)5eq\r(3)為腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的周長(zhǎng)為10eq\r(3)＋3eq\r(2)；當(dāng)5eq\r(3)為底邊長(zhǎng)時(shí)，因?yàn)?eq\r(2)＋3eq\r(2)＝6eq\r(2)＝eq\r(72)，eq\r(72)<eq\r(75)，所以不能構(gòu)成三角形，故三角形的周長(zhǎng)為10eq\r(3)＋3eq\r(2).4.【答案】B[解析]過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AO于點(diǎn)H，∵△OAB是等邊三角形，∴OH=1，BH=3，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，3).5.【答案】D【解析】∵分別以點(diǎn)A、C為圓心，AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D，∴AD=AC=CD，∴△ACD是等邊三角形，∴∠DAC=60°.∵AB=BC，AD=CD，連接BD交AC于點(diǎn)E，∴BD垂直平分AC，∴∠AEB=90°.∵∠BAC=30°，AB=，∴BE=，AE=，∴AC=3．在Rt△ADE中，∵∠DAC=60°，∠AED=90°，AE=，∴DE=，∴BD=，∴四邊形ABCD的面積為：．6.【答案】C【解析】由CD為腰上的高，I為△ACD的內(nèi)心，則∠IAC＋∠ICA＝eq\f(1,2)(∠DAC＋∠DCA)＝eq\f(1,2)(180°－∠ADC)＝eq\f(1,2)(180°－90°)＝45°，所以∠AIC＝180°－(∠IAC＋∠ICA)＝180°－45°＝135°.又可證△AIB≌△AIC，得∠AIB＝∠AIC＝135°.7.【答案】A[解析]∵AB∥ED，∴∠E＝180°－∠EAB＝180°－120°＝60°.又∵AD＝AE，∴△ADE是等邊三角形．∴∠EAD＝60°.∴∠BAD＝∠EAB－∠EAD＝120°－60°＝60°.∵AB＝AC＝AD，∴∠B＝∠ACB，∠ACD＝∠ADC.在四邊形ABCD中，∠BCD＝∠B＋∠ADC＝eq\f(1,2)(360°－∠BAD)＝eq\f(1,2)×(360°－60°)＝150°.故選A.8.【答案】D【解析】設(shè)AQ＝x，則BP＝EQ\F(5,2)—x①如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，此時(shí)QD為最大，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AC，∵AQ＝EQ\F(5,2)，∴AE＝EQ\F(5,4)，QE＝EQ\F(5\R(,3),4)，∴DE＝EQ\F(3,4)，∴此時(shí)QD＝EQ\F(eq\r(21),2)，即0≤QD≤EQ\F(eq\r(21),2)；而EQ\F(3\R(,3),2)≤CP≤3，兩個(gè)范圍沒(méi)有交集，即不可能相等；①錯(cuò)誤②若△AQD∽△BCP，則EQ\F(AD,BP)＝EQ\F(AQ,BC)，代入得2x2—5x+3＝0，解得x1＝1，x2＝EQ\F(3,2)，∴都存在，∴②正確；③如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC，S四邊形PCDQ=S△ABC—S△AQD—S△BPC＝EQ\F(\R(,3),4)×32－EQ\F(1,2)xEQ\F(\R(,3),4)－EQ\F(1,2)×3×EQ\F(\R(,3),4)（EQ\F(5,2)－x）＝EQ\F(\R(,3),4)x＋EQ\F(21\R(,3),16)，∵EQ\F(5,2)—x≥0，即x≤EQ\F(5,2)，∴當(dāng)x=EQ\F(5,2)時(shí)面積最大為EQ\F(31\R(,3),16)；③正確；④如圖，將D沿AB方向平移EQ\F(1,2)個(gè)單位得到E，連接PE，即四邊形PQDE為平行四邊形，∴QD=PE，四邊形周長(zhǎng)為PQ+QD+CD+CP=3+PE+PC，即求PE+PC的最小值，作點(diǎn)E關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)F，連接CF，線段CF的長(zhǎng)即為PE+PC的最小值；過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB，∴AG＝EQ\F(1,4)，EN=FN=HM=EQ\F(\R(,3),4)，∴CH＝EQ\F(3\R(,3),2)＋EQ\F(\R(,3),4)＝EQ\F(7\R(,3),4)，F(xiàn)H＝MN＝EQ\F(3,2)－EQ\F(1,4)－EQ\F(1,2)＝EQ\F(3,4)，∴FC＝EQ\F(\R(,39),2)，∴四邊形PCDQ周長(zhǎng)的最小值為3＋EQ\F(\R(,39),2)，④錯(cuò)誤.二、填空題9.【答案】36°[解析]∵等腰三角形的一個(gè)底角為72°，∴這個(gè)等腰三角形的頂角為180°-72°×2=36°.10.【答案】②③④【解析】序號(hào)正誤逐項(xiàng)分析①×△BAD與△ACD中，雖有兩角和一邊相等，但不是對(duì)應(yīng)關(guān)系的角和邊，所以不能判定兩三角形全等，因而也就不能得出AB＝AC②√∠BAD＝∠CAD結(jié)合AD是△ABC的邊BC上的高，可得∠B＝∠C，所以AB＝AC，因而△ABC是等腰三角形③√由于AD是△ABC的邊BC上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，因而AB2－BD2＝AC2－CD2，于是(AB＋BD)(AB－BD)＝(AC＋CD)(AC－CD)，由AB＋BD＝AC＋CD，得AB－BD＝AC－CD，兩式相加得2AB＝2AC，所以，AB＝AC，得△ABC是等腰三角形④√由于AD是△ABC的邊BC上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，因而AB2－BD2＝AC2－CD2，于是(AB＋BD)(AB－BD)＝(AC＋CD)(AC－CD)，由AB－BD＝AC－CD，得AB＋BD＝AC＋CD，兩式相加得2AB＝2AC，所以AB＝AC，得△ABC是等腰三角形11.【答案】30°【解析】本題考查了等邊三角形和等腰三角形以及垂直平分線的性質(zhì)．因?yàn)镕E垂直平分BC，∴FC＝FB∴∠B＝∠BCF∵△ACF是等邊三角形，∴∠AFC＝60°，∴∠B＝30°12.【答案】（-1.6）．【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)A作AMCM于M，則CM=5m，在Rt△BCM中，∠BCM＝30°,所以BM=CMtan30°=.由題意可知△DCN是等腰直角三角形，所以CN=CD=3.4m,所以MN=5-3.4=1.6(m),因?yàn)椤鰽MN是等腰直角三角形，所以MN=AM=1.6m，所以AB=BM-AM=（-1.6）m.故答案為（-1.6）．13.【答案】30[解析]∵M(jìn)N∥BC，∴∠MOB＝∠OBC.∵∠OBM＝∠OBC，∴∠MOB＝∠OBM.∴MO＝MB.同理NO＝NC.∴△AMN的周長(zhǎng)＝AM＋MO＋AN＋NO＝AM＋MB＋AN＋NC＝AB＋AC＝30.14.【答案】【解析】如圖1，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可得CE+EF≥CF，又根據(jù)垂線段最短可得，當(dāng)CF⊥AB時(shí)，CF有最小值，此時(shí)CF與AD的交點(diǎn)即為點(diǎn)E（如圖2），在Rt△AFC中，AC=6，∠AFC=90°，∠FAC=60°，∴FC=AC·sin60°=6×=．圖圖1圖215.【答案】23[解析]如圖，作AG⊥BC于G，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=60°，∴AG=32AB=23連接AD，則S△ABD+S△ACD=S△ABC，∴12AB·DE+12AC·DF=12BC∵AB=AC=BC=4，∴DE+DF=AG=23.16.【答案】3－2【解析】延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)P，作MH⊥PB于H.∵AB∥CD，∴＝，∠ABC＝∠DCP＝60°.∵AD＝BC＝CD＝4，∴PD＝PC，∴△PDC為等邊三角形，∴PD＝PC＝CD＝4，∠P＝60°.由∠AMD＝90°，可知點(diǎn)M在以AD為直徑的⊙E上，且在四邊形ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)垂線段最短可知E、M、H三點(diǎn)共線時(shí)MH最小.在Rt△PEH中，EP＝6，∠P＝60°，∴EH＝EP·sin60°＝3，∴MH的最小值＝EH－EM＝3－2.三、解答題17.【答案】證明：在△BFD和△CFE中，∠ABE=∠ACD，∠DFB=∠CFE，BD=CE，∴△BFD≌△CFE（AAS）.∴∠DBF=∠ECF.∵∠ABE=∠ACD∴∠DBF+∠ABE=∠ECF+∠ACD.∴∠ABC=∠ACB.∴AB=AC.∴△ABC是等腰三角形.【解析】先利用三角形邊邊角的判定方法證明∠DBF=∠ECF，再根據(jù)等式的性質(zhì)，加上相等角得到∠ABC=∠ACB，等角對(duì)等邊，得到AB=AC.根據(jù)等腰三角形定義得到△ABC是等腰三角形.18.【答案】解:(1)證明:∵CF∥AB，∴∠B=∠FCD，∠BED=∠F.∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD，∴△BDE≌△CDF.(2)∵△BDE≌△CDF，∴BE=CF=2，∴AB=AE+BE=1+2=3.∵AD⊥BC，BD=CD，∴AC=AB=3.19.【答案】解:(1)證明:∵線段AC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到AF的位置，∴AC=AF.∵∠CAF=∠BAE，∴∠CAF+∠CAE=∠BAE+∠CAE，即∠EAF=∠BAC.在△ABC和△AEF中，AB=AE，∠BAC=∠EAF，AC=AF，∴△ABC≌△AEF(SAS)，∴EF=BC.(2)∵AE=AB，∴∠AEB=∠ABC=65°.∵△ABC≌△AEF，∴∠AEF=∠ABC=65°，∴∠FEC=180°-∠AEB-∠AEF=180°-65°-65°=50°.∵∠FGC是△EGC的外角，∠ACB=28°，∴∠FGC=∠FEC+∠ACB=50°+28