高等數(shù)學(xué)公式知識點

僅含高數(shù)公式(不含線性代數(shù)和2u1-u2x.2du

cos%=…5,dx=-------------T

概率統(tǒng)計)1+1?,l+"21+w2

一些初等函數(shù)

高等數(shù)學(xué)公式［全］兩個重要極限：

導(dǎo)數(shù)公式：

基本積分表：

(arcsinx)/=/1

(fgx)'=sec2x

2

Vl-x三角函數(shù)公式:

(ctgx)(=-CSC2X1

?誘導(dǎo)公式：

(secx)r=secx-tgx(arccosx)/=一一.----；

A/1-X,2\函

(cscxY=-cscx-ctgx]sincostgctg

(arctgx)-,

(ax\=axIna角A\

1+x-a-sinacosa-tga-ctga

90°-acosasinactgatga

(logax)-(arcctg州-。

xlna\+x-900+acosa-sina-ctga-tga

180°-asina-cosa-tga-ctga

180°+a-sina-cosatgactga

三角函數(shù)的有理式積分：

Jtgxdx=-ln|cosx|+Cdx=jsec2xdx-tgx+C

cos2x

jctgxdx=ln|sinx|+C

dx=jcsc2xdx=-ctgx+C

jsecxdx=In卜ecx+fg'+Csin2x

jsecx-tgxdx=secx+C

jescxdx=ln|cscx-ctg^+C

jcscx-ctgxdx=-escx+C

rdx1x

7、一—arctg—+C

a+Xaa

[axdx=+C

dx1,x-aJIn。

22一—In+C

X2ax+ajshxdx=chx+C

dx1,a+x-

—In------+CIchxdx=shx+C

a2-X2一2aa-x

dxxf/"：=ln(x+Vx2±a2)+C

=arcsi?n—+C廠

da?-x1a3ylx2±a2

71

22

Hzlj

In=Jsin"xdx-^cos“xdx=ln-2

oon

2__________

^x2+a2-ln(x+dx2+〃)+c

22

2__________

1A/X2-a2dx=—yl1x—2Cl——ln|x+J-a?+c

esinx1

雙曲正弦:就九2u/irn——#l八

j^a2—x+-r=>?rcsm—+C

2\a

雙曲余弦:辦J*'lim(l+-)J=e=2.718281828—9045..

2?S8X

x

雙曲正切:加=四=9

chxex+e-X

arshx=In(x+Vx2+1)

archx^+\n(x+y/x2-1)

.1.\+X

arthx=~\n-----

21-x

270°-a-cosa-sinactgatga

270°+a-cosasina-ctga-tga

360°-a-sinacosa-tga-ctga

360°+asinacosatgactga

?和差角公式:?和

a+Ba-B

sin(a±p)=sinacosy9±cosasin0sina+sin°=2sin-------cos

2-------2

cos(a±/?)=cosacos^+sinasin0a-P

tgattg/3sina-sinp=2cos-^-sin

tg(a+/7)=2

\+tgatg(3cca+0cc-B

cosa+cos/?=2cos------cos-------

,,。、ctga-ctg/3+122

cts{a±^=-ct-c-

cosa-cos夕=2sin?！箂in?！?/p>

差化積公式:

?倍角公式:

sin2a=2sinacosa

cos2a=2cos2a-1=l-2sin2a=cos2?-sin2asin3a=3sina—4sin3a

ctg2a-icos3a=4cos3a-3cosa

ctgla

2ctga

2tga3誓箸

tg2a

Ig2a

弧微分公式：ds=y也x,奠申‘金tga

■半角公式：

水壓力：F=p-A

.a,/l-cosa圭野Xa:從M點到M',怎,?J線斜率的傾角妣量;

sin—=±-----------;As

2V2iM引力：E產(chǎn)==%Z生號簍次次為為引引力力系系數(shù)數(shù)

1jA&強(qiáng),"a&na卜”

al-cosa1-coscrsina4收卻nb

次萬=±

l+coscrsina1+cosali-cosaASTO4

,直線：K=0;

CLbc

.正弦定理：溫彳=溫"=碇=2八余弦半徑為a的圓:K=L「3dt

a

定理：c2=a2+b2-2abcosC

空間解析幾何和向量代數(shù):

,性質(zhì)：定積分的近似計算：

,反三角函

.nx1

arcsinx=----arccosxarctgx---法J/()~〃(%+H-+X,-i)

22a〃

梯形法J/(X)?勺3；(%+K)+M+…+X)-J

高階導(dǎo)數(shù)公式——萊布尼茲(Leibniz)公式:

(―嚴(yán)=ZC>("Y)網(wǎng)拋物線法與5

[(%+”)+2(h+”+~+%-2)+4(必+%+一

k=0

=〃"％+1%，+”(〃T)〃(“一1＞一(〃-4+1)(“_*)(*)

2!定積分應(yīng)用相關(guān)公式：

中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：

拉格朗日中值定理:f(b)-/(a)=f\^(b-a)

柯西中值定理:f(b)—f(a)■TC)

F(b)-F(a)FC)

當(dāng)F(x)=x時，柯西中值定理就啦格朗日中值定理,

曲率:

空間2點的距禺：d=M%|=1區(qū)-%)”+(小微分：蟲3二01》1+—題數(shù)z=狽/g鏤dx一方向/的，

—?I—d—?dxdydx

向量在軸上的投影PrjuAB=網(wǎng).cos*@是懶黨齡加家算："我為斕懶昉狗紙闞蚓

Pr"：H)PrM+Pr/%人皆性復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法函數(shù)2=/'(》廣)在_點/?(》廣)的梯度：翻(1/'(;

a-b=B*cos6=a,r+a,%+電么,ZE一個數(shù)星,dzdzdudzdv

兩向量之間的夾角cos”-3+3北',以曹與蹩啜麹絮是柒grad/(x,y)Z

+-,標(biāo)而焉菽(X，刈硒糜豕+菽天

jk當(dāng)〃=〃(x,y)，v=v(x,y)時■毋曰...、左小的地出

琴奧壯吃謁裂肥)在/上的投以

a,|c|=|a|-|^|sin。.例:

c=axb%ya

bbh多元贏的極畬及其求法：

xy

小、函數(shù)的求導(dǎo)么式：設(shè)以%,打)=々(%,光)=0,令：匕(%，加)=

aXaya

向量的混合積E拓司=(axb)chbb寤宙蝴(捌絳P為蹩叫芻*

y

dxAC-

,%>O,Vo，坊)為極小褶

代表平行六面體的體積隱函數(shù)"x,y,z)=O,包則上無極t

dx

@C—5遜o時，工不確定

平面的方程：dFdF

國磷及某應(yīng)用尸F(xiàn)"

1、點法式：A(x-Xo)+8(y-yo)+C(z-Zo)=隱獻(xiàn)魏程微dudv

'常注,y)dxdy=J伊俄os。dGdGG,

2、■般方程：Ax+By+Cz+D=0葡n網(wǎng)-用

DD'

du16(F,G)dv15(F,G)

3、截距世方程1+上+三=1————?----------------

abcdz

dx5(x,v)解面z=4(￡%的幅積4=j]+

平面外任意一點到該邛面的距離：d=您/噥用G)

dv_16(F,G)D

2

VB-j/CS(y,u)dyJ8(”,y)||xp(x,y)da

邛而簿片的蛆心：元=必;D

空間直線的方程二^=匕九=三幺方程4y=%+Mjjp(x,y)d(T'

mnPD

空間曲線jy=濟(jì))在點砒確由福，產(chǎn)(。

二次曲面:a

z=co(t)

222

橢球面二?+、+==1

1、:(p.x-Xo)+-的)(yCDz-zo)

a2b1c2

22"5磯盤器fl,%

2、拋物咤+力如洞號)若空間曲線方程為G(x,y,z)」b逑印典瞽利

2qGy部噱

3、雙曲面:曲面F(x,y,z)=0上一點唯便坐.標(biāo)箱球面嚶標(biāo)：

22

X1、過此點的法向量：n={F(x,y,z),F,(x,y,z),F(x，.yo,zo))

單葉雙曲面v000v00020

2、過此點的切平面方程F(x,y,z)(x-x)+F(x,y,z)(y-y)

222v0000v0000

雙葉雙曲面鼻-4+3=1(馬鞍面)

X7),一＞0

ab~c3、過此點的法線方程：。

工(Xo，>o，Zo)K(Xo，yo，Zo)工(尤o，yo，z0)

方向?qū)?shù)與梯度:

多元函數(shù)微分法及應(yīng)用

x=rcosO對面積的曲面積分“/小,超現(xiàn)怨.先更費甑3%那曖憾誄z和

JJJ/(??，y，z)dxdydz=jjjF(r,0,z)rdrdddz,%；p<l時，或數(shù)收斂

柱面坐標(biāo)，y=rsinO9

z=z對坐標(biāo)的曲面積分，，P(設(shè)y,力今"n叫嵐^,則<)曲Mt時R(輜數(shù)外散y

其中：F(r,^,z)=/(rcos^,rsin^,z)￡夕=1時，不確定

jjR(x,y,z)dxdy=±JJ用與),朝商蕾藪俁.取曲面的上側(cè)時取假;

x=rsingcos。

E2%

球面坐標(biāo)，y=rsin^sin^,dv=rd(p-rs\a(pdO'dr=rsin^/1置翳爛盥鰭取艱撇或^

JJr(x,y,z)dydz=士JJ」

z-rcos^z

〃一一>oou

2;r'zdx取曲喻的晉fel時械呼。

jjj/(x,y,z)dxdydz=JJjF(r,(pf)產(chǎn)sin(pdrd(^^^2

QQ2.0

重心：元「臚刖了」％即，兩爹典哪f版間的獨曲勝也刖腳町耐叫(摭腺斯解

MaMQMa0

轉(zhuǎn)動慣量:/、.=JjpV+z?)*H}pdv,I：=掰^^1)砂+“3-%+…(或-/+“2f3

，(2+絲+當(dāng)”幅翳轆施u…n>un.}照翦咚

曲線積分：

cdxdy6z

第一類曲線積分(對弧^的曲線積分)：E

晨鬲斯公式的物理意義絕對收趟驟辨牧酸::

設(shè)/'(x,y)在L上連續(xù)，L的參數(shù)方程為:??+〃■!--,其中%為任意實數(shù)；

M匹山和所產(chǎn)生的流體質(zhì)

P

J7(X,y)ds=J九夕⑺"⑺6’2⑺+/2⑺8逋量亞耳.無質(zhì)物理時嘲犍鍬

?炒蔓甜，瓠。陰隙絕對

第二類曲線積—積分)：因此：高斯公金可滂慧

，而⑴收斂，則稱①為條件收4

設(shè)L的參數(shù)方程止="")I攵斂;

，貝小

[y="⑺斯托克斯公式一一曲線積

級數(shù)》4收斂；

P分與曲面積分的關(guān)系：

JP(x,y)dx+Q(x,y)d>=J{2[夕《),*)]°'?)+怦y，孤吸?物"_叫d喘嚕T聾修皿盛。。+

Rd

adx「，

兩類曲線積分之間的：JPdx+Qdy=j(Pcosa+Qcos/3)ds,其/)翎應(yīng)^^dxdy\p〉l時收僉

COS6ZCOS2cos/

巢級數(shù)2Ada

L上積分起止點處切向量向方向角。上式左端又可寫成u

dxdydzOydz

@<1時小卜斂

格林公式Pdx+Qd)格林公式。(孚-)溫對用凈射暈'P...

■+X

卜I通或散

dP空間曲線積分與路徑麻的條件:生=絲，絲=0

當(dāng)尸=一乂。=修即:d等0—W=2時，得至⑺的面積：A=

dxdy=-\^dydzdz2dxdxdy

dxdy..乙I.IS)。。+4%+。2尤~+???+

ik

J/W<R時收

?平面上曲線積分與路筋關(guān)的條件:ddd_

旋度：rot4使(x|>火時發(fā)

1、G是一個單連通區(qū)域；dx辦寓:軸上都收斂，則必存生R,

…dQdPf盤意寄R點，姐0&),應(yīng)._同■=R時不

2,P(x,y),Q(x,y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)H.

向量場留耕有內(nèi)閉曲砥T的環(huán)流量,Ddx+Qdy+Rdz=^A-tds

減去對此奇點的積分，注意方向相反!rr

?二元函數(shù)的全微分求積常數(shù)項級數(shù)：求收斂半徑的方法：設(shè)im—=p,其中a,

C\7~\八PinnsQ

在要=學(xué)時，Pdx+Q/y才是二元函麴(x,醐陶微附+濫用+…+/-=」-

dxdy\-q

“(X,y)=jP(x,y)dx+Q(x,y)d?通常設(shè)飛港美數(shù)列」+2+3+…+，羸展開成幕級數(shù).

(%,%)1

調(diào)和級1數(shù)…+工1是發(fā)散的

曲面積分：23n

級數(shù)審斂法:

機(jī)函效的解R誠;)+m'+。其中為常數(shù)；

函數(shù)展開成泰勒級數(shù):/(幻=/(4)5-%)餡由丁+…+…

n7ix

篇方程粗亓卦/"+q=°，其中戶

余項：ar°)

2、求甘(△斌的兩個根斗弓—

;靠哪蹄5頡膽同情況,按下表里(*就白

%=0時即為麥克勞林公式：/(幻=/(0)+/'(0)x-

其中＜

n:朝味的輯主根(*)式的通解

一些函數(shù)展開成幕級數(shù)：

y=ceriX+ce^x

m(m-1)???(zn+1)*[12

(1+x)=1+mx+--------x+???+x+…(-^六軸)〉。)

2!械分方程的相關(guān)概念:兩個相等實根

比3r5,y=(G+

sinx=x-------1-------…+(-1)〃?------------F…一懶M里)>'=/(X或一購=8/,y)dx+<20,y)dy=0

幾一

3!5!(21)!可分離變量的微分方,g做微城淵呈度以■御J期,西毋a胭磨的

價?2G制S9(x)+c稱為隱式通解。

歐拉公式:Jg(y)dy=J/(x)dx

4=a+加，r=a-if3

cosx=j2

齊次方程：一階微分:濯可瑪蘆dy成押耳)=0(x,y),即寫成占

2

elx=cosx+zsinx或CC--------9P—-----------------“

,eix-e-ix設(shè)〃=2,則蟲=〃+無duMu2dx鼐分離變量,

sinx=-----------

2xdx

三角級數(shù):即得齊次方程通解。

/(?=/*"(幻型，/為常數(shù);

=包+自⑷。吧解贏翻"程:

/⑺=4+ZA“sin(rt(yr+(pn)

n=\2f-ix)=一［寫(x)cos如M；＜x)sincyx］型

其中，a0=a\,a“=A,sin°“，4=A“cos%,、a階線性微分方程@+P(x)y=Q(x)

正交性：l,sinx,cosx,sin2x,cos2x---sin〃xcos〃/…任意兩個不同項的藻科￡［-肛司

當(dāng)。(x)=0時，為齊次方程7y文匯團(tuán)作

上的積分=0。

P(x)dx

傅立葉級數(shù):當(dāng)。(x)w0時，為非齊次方程首

a9,1^3-------

fM=寸+￡(a,cosnx+bnsinnx),周期=2么貝努力方程"+p(x)y=Q(x)y",(〃牛0,1)

2〃=1—dx

]11

a〃=一J/(x)cosnxJx(?=0,1,2.-?)全微分方程：

其中4一兀如果P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0中左端是某函數(shù)的全彳粉方程,即：

]n

bn=—j/(x)sinnxJx(〃=1,2,3…)du(x,y)=P{x,y)dx+Q{x,y)dy=0,其中受=P(x,y),包=Q(x,y)

—n一.函數(shù)的概念&dy

,11TC~.??加，焉/應(yīng)該是該全微分方觸通解T限積分表示的函數(shù)

1+—+^-+---=i++-??=—(TOOT)考研數(shù)學(xué)知識點-高等數(shù)學(xué)

3252~8~

111乃一公式1.

//(x)三耐為齊次

-24

八h(x)。。時為非齊次

弗嘉奇函數(shù)

正弦級數(shù)：%=o,bn=—J/(%)sinvadxn-1,2,3---/(x)=￡b“Hin

71o二階常系數(shù)齊次線性微分.0X

2冗方程及其解法：&、LngU

余弦級數(shù)：a=0,an=—jf{x}CQsnxdx〃=0,1,2…/(x)=T+Za“coszM是偶函數(shù)

冗o

0y=I累)力，其中X)連續(xù)，財絲X)

()公式2.limyl

dx〃一*30\

y

12)z

(+

\V).-

取

其

中

以<P（）可導(dǎo)，A）

11

,i1m

連

續(xù)v->0

V

，

廣

則-

2[

比

用

等

O價

無

]

窮

小

更

o

深

如

{

數(shù)

A學(xué)

一

和

O}

]

6，

0}

4

?

用

無

窮

小

重

要

性

質(zhì)

和

等

價

無

窮

小

代

換

5

?

用

泰

勒

公

2.兩個無窮小的比較

X)

2

設(shè)limX)=0,limg()=0,且數(shù)學(xué)一)

lim

x4)

0

gQ/

當(dāng)

XT。時，

e

,r=1+X++A++

2!n\

(I)/=0,稱/()是比g()高階的無窮小,記以Qf"+i+

,CLo(>+i

()o[g(

f=)]

,稱

g()

是比X)低階的無窮

sinx

=x

XX

一十十

A+

3

j

5

j

2

4

2

n

+

1

!

CL

+0()

小。x2!4!

(2)/WO，稱H)與g。是同階無窮小。23

-A+

COSX1

XX

X

(3)/=1,稱/()與g()是等價無窮小，記以+X4X-+一+

“+2

一)~g()

0

In13

3

5

1

1

n

xxA

()“+

JC\

().

1

3.常見的等價無窮小1

arctanx=x-+-+n