2023-2024學年人教A版必修第二冊 6-2-3　向量的數(shù)乘運算 學案

6.2.3向量的數(shù)乘運算新課程標準解讀核心素養(yǎng)1.通過實例分析、掌握平面向量數(shù)乘運算及運算法則，理解其幾何意義，理解兩個平面向量共線的含義數(shù)學運算2.了解平面向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義邏輯推理一根細繩東西方向擺放，一只螞蟻在細繩上做勻速直線運動，如果螞蟻向東運動1秒鐘的位移對應的向量為a，那么它在同一方向上運動3秒鐘的位移對應的向量怎樣表示？是3a嗎？螞蟻向西運動3秒鐘的位移對應的向量又怎樣表示？是－3a嗎？你能用圖形表示嗎？問題類比實數(shù)的運算“a＋a＋a＝3a”你能猜想a＋a＋a的結(jié)果嗎？

知識點一向量的數(shù)乘運算及運算律1.向量的數(shù)乘（1）定義：一般地，我們規(guī)定實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作λa；（2）規(guī)定：①｜λa｜＝｜λ｜｜a｜；②當λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0；（－1）a＝－a.2.向量數(shù)乘的運算律設λ，μ為實數(shù)，那么（1）λ（μa）＝（λμ）a；（2）（λ＋μ）a＝λa＋μa；（3）λ（a＋b）＝λa＋λb.特別地，我們有（－λ）a＝－（λa）＝λ（－a），λ（a－b）＝λa－λb.提醒（1）向量的數(shù)乘仍是向量；（2）實數(shù)λ與向量不能相加；（3）若λa＝0，則λ＝0或a＝0；（4）當a≠0時，向量a｜a｜是與向量知識點二共線向量定理向量a（a≠0）與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa.共線向量定理中為什么規(guī)定a≠0？提示：（1）若將條件a≠0去掉，即當a＝0時，顯然a與b共線；（2）當a＝0時，若b≠0，則不存在實數(shù)λ，使b＝λa，但此時向量a與b共線；（3）當a＝0時，若b＝0，則對任意實數(shù)λ，都有b＝λa，與存在唯一一個實數(shù)λ矛盾.1.已知非零向量a，b滿足a＝4b，則（）A.｜a｜＝｜b｜B.4｜a｜＝｜b｜C.a與b的方向相同D.a與b的方向相反解析：C∵a＝4b，4＞0，∴｜a｜＝4｜b｜且a與b方向相同.2.12a＋b＋32a－4b＝（A.2a＋3bB.a－3bC.2a－3b D.2a－2b解析：C原式＝（12＋32）a＋（1－4）b＝2a－3b.3.若向量e1，e2不共線，則下列各組中，向量a，b共線的有.（填序號）

①a＝2e1，b＝－2e1；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；③a＝4e1－25e2，b＝e1－110e④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.解析：①中，a＝－b，所以a，b共線；②中，b＝－2a，所以a，b共線；③中，a＝4b，所以a，b共線；④中，不存在λ∈R，使a＝λb，所以a，b不共線.答案：①②③題型一向量的線性運算【例1】（1）化簡：14[2（2a＋4b）－4（5a－2b（2）已知3（2a－b＋c）＋x＝2（－a＋3b），求x.解（1）14[2（2a＋4b）－4（5a－2b）]＝14（4a＋8b－20a＋8b）＝14（－16a＋16b）＝－4a（2）因為3（2a－b＋c）＋x＝2（－a＋3b），所以6a－3b＋3c＋x＝－2a＋6b，即x＝－8a＋9b－3c.通性通法向量線性運算的方法（1）向量的線性運算是向量的加、減、數(shù)乘三種運算的通稱，類似于代數(shù)多項式的運算，主要是“合并同類項”“提取公因式”，但這里的“同類項”“公因式”指向量，實數(shù)是向量的系數(shù)；（2）向量也可以通過列方程來解，把所求向量當作未知數(shù)，利用移項，合并同類項，系數(shù)化為1等步驟求解.1.已知e1，e2是兩個不共線的向量，向量a＝e1＋2e2，b＝3e1－5e2，則4a－3b＝（用e1，e2表示）.

解析：∵a＝e1＋2e2，b＝3e1－5e2，∴4a－3b＝4（e1＋2e2）－3（3e1－5e2）＝－5e1＋23e2.答案：－5e1＋23e22.已知向量a，b，未知向量x，y，向量a，b，x，y滿足關系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，則向量x＝，y＝.

解析：由3x－2y＝a①，－4x＋3y＝b②，①×3＋②×2，得x＝3a＋2b，代入①得3×（3a＋2b）－2y＝a，即y＝4a＋3b.∴x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.答案：3a＋2b4a＋3b題型二向量共線的判定及應用【例2】設a，b是不共線的兩個非零向量.（1）若OA＝2a－b，OB＝3a＋b，OC＝a－3b，求證：A，B，C三點共線；（2）若8a＋kb與ka＋2b共線，求實數(shù)k的值.解（1）證明：∵AB＝OB－OA＝（3a＋b）－（2a－b）＝a＋2b，BC＝OC－OB＝（a－3b）－（3a＋b）＝－（2a＋4b）＝－2AB，∴AB與BC共線，且有公共點B，∴A，B，C三點共線.（2）∵8a＋kb與ka＋2b共線，∴存在實數(shù)λ，使得8a＋kb＝λ（ka＋2b），即（8－λk）a＋（k－2λ）b＝0.∵a與b不共線，∴8解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4.通性通法1.證明或判斷三點共線的方法（1）一般來說，要判斷A，B，C三點是否共線，只需看是否存在實數(shù)λ，使得AB＝λAC（或BC＝λAB等）即可；（2）利用結(jié)論：若A，B，C三點共線，O為直線外一點?存在實數(shù)x，y，使OA＝xOB＋yOC且x＋y＝1.2.利用向量共線求參數(shù)的方法判斷、證明向量共線問題的思路是根據(jù)共線向量定理尋求唯一的實數(shù)λ，使得b＝λa（a≠0）.而已知向量共線求λ，常根據(jù)向量共線的條件轉(zhuǎn)化為相應向量系數(shù)相等求解，利用待定系數(shù)法建立方程，從而解方程求得λ的值.若兩向量不共線，必有向量的系數(shù)為零.1.設e1，e2是兩個不共線的向量，若向量m＝－e1＋ke2（k∈R）與向量n＝e2－2e1共線，則（）A.k＝0 B.k＝1C.k＝2 D.k＝1解析：D由共線向量定理可知存在實數(shù)λ，使m＝λn，即－e1＋ke2＝λ（e2－2e1）＝λe2－2λe1，又e1與e2是不共線向量，∴－1=－2.若A，B，C三點共線，O為直線外一點，且OA＝xOB＋yOC，則x＋y＝.

解析：∵A，B，C三點共線，∴存在實數(shù)λ，使得AB＝λBC，即OB－OA＝λ（OC－OB），∴OA＝（1＋λ）OB－λOC，則x＝1＋λ，y＝－λ，∴x＋y＝1.答案：1題型三用已知向量表示未知向量【例3】在△ABC中，已知D是BC上的點，且CD＝2BD，設AB＝a，AC＝b，試用a和b表示AD.解∵B，C，D三點共線，且CD＝2BD，∴BD＝13∴AD＝AB＋BD＝AB＋13BC＝AB＋13（AC－AB）＝23AB＋13AC（變條件）若將本例中的“CD＝2BD”改為“CD＝BD”，你能用兩種方法解答嗎？解：法一如圖①，∵BC＝AC－AB，且CD＝BD，∴AD＝AB＋BD＝AB＋12BC＝AB＋12（AC－AB）＝12AB＋12AC＝法二如圖②，以AB，AC為鄰邊作?ABEC，則AE＝AB＋AC.∵CD＝BD，∴D是AE的中點.∴AD＝12AE＝12（AB＋AC）＝12（a通性通法用已知向量表示未知向量的兩種方法（1）直接法（2）方程法：當直接表示比較困難時，可以首先利用三角形法則或平行四邊形法則建立關于所求向量和已知向量的等量關系，然后解關于所求向量的方程.1.在△ABC中，P，Q分別是邊AB，BC上的點，且AP＝13AB，BQ＝13BC，若AB＝a，AC＝b，則PQA.13a＋13bB.－13aC.13a－13b D.－13a解析：A如圖所示，PQ＝BQ－BP＝13BC－23BA＝13（AC－AB）＋23AB＝13AB＋12.如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝a，AD＝b，M是DC的中點，則向量AM＝.（用a，b表示）

解析：AM＝AD＋12DC＝AD＋12AB＝b答案：b＋121.如圖所示，在正方形ABCD中，E為BC的中點，F(xiàn)為AE的中點，則DF＝（）A.－12ABB.12ABC.13ABD.12AB解析：DAE＝AB＋BE＝AB＋12AD，DF＝DA＋AF＝DA＋12AE＝－AD＋12（AB＋12AD）＝－AD＋12.（多選）下列運算正確的是（）A.（－3）·2a＝－6aB.2（a＋b）－（2b－a）＝3aC.（a＋2b）－（2b＋a）＝0D.2（3a－b）＝6a－2b解析：ABD根據(jù)向量數(shù)乘運算和加、減運算律知A、B、D正確；C中，（a＋2b）－（2b＋a）＝a＋2b－2b－a＝0，是零向量，而不是0，所以該運算錯誤.3.化簡：1312（2解析：1312（2a+8b)-(4a－2b）＝1答案：2b－a4.設e1與e2是兩個不共線向量，AB＝3e1＋2e2，CB＝ke1