2023-2024學(xué)年人教A版必修第二冊(cè) 6-4-3　第三課時(shí)　用余弦定理、正弦定理解三角形 學(xué)案

6.4.3第三課時(shí)用余弦定理、正弦定理解三角形題型一有關(guān)三角形面積的計(jì)算【例1】（1）在△ABC中，已知a＝5，b＝7，B＝120°，則△ABC的面積為；

（2）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若sinB＝2sinA，且△ABC的面積為a2sinB，則cosB＝.

解析（1）由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，即c2＋5c－24＝0，解得c＝3或c＝－8（舍去）.所以S△ABC＝12acsinB＝12×5×3sin120°＝（2）由sinB＝2sinA，得b＝2a，由△ABC的面積為a2sinB，得12acsinB＝a2sinB，由sinB≠0，知c＝2a，所以cosB＝a2＋c2答案（1）1534（2通性通法求三角形面積的解題思路在應(yīng)用三角形面積公式S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB求解時(shí)1.在△ABC中，已知a＝1，c＝2且△ABC的面積為32，則B＝（A.30° B.60°C.30°或150° D.60°或120°解析：D由面積公式S△ABC＝12acsinB＝12×1×2×sinB＝32，解得sinB＝32，所以B＝60°或1202.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若a＝2，b＝3，sinA＝2sinBcosC，則△ABC的面積為.

解析：依題意sinA＝2sinBcosC，由正弦定理得a＝2bcosC，2＝2×3×cosC，cosC＝13＞0，所以0＜C＜π2，所以sinC＝1－cos2C＝223，所以△ABC的面積為12absinC＝1答案：22題型二求解平面幾何問題【例2】如圖所示，在平面四邊形ABCD中，AB＝2，BC＝3，AB⊥AD，AC⊥CD.（1）若sin∠BAC＝14，求sin∠BCA（2）若AD＝3AC，求AC.解（1）在△ABC中，由正弦定理得ABsin∠BCA＝BCsin∠BAC，即2sin∠BCA＝（2）設(shè)AC＝x，則AD＝3x，在Rt△ACD中，CD＝AD2－AC2＝22x，sin∠在△ABC中，由余弦定理的推論得cos∠BAC＝AB2＋又∠BAC＋∠CAD＝π2所以cos∠BAC＝sin∠CAD，即x2－1整理得3x2－8x－3＝0，解得x＝3或x＝－13（舍去），即AC＝通性通法正、余弦定理本身是研究幾何圖形計(jì)算的工具，因此在面對(duì)幾何圖形時(shí)，關(guān)鍵是尋找相應(yīng)的三角形，并在三角形中運(yùn)用正、余弦定理，特別是涉及公共邊時(shí)，要利用公共邊來進(jìn)行過渡，即利用公共邊創(chuàng)造互補(bǔ)或互余關(guān)系列式，其本質(zhì)是構(gòu)建關(guān)于角的關(guān)系的方程.如圖，在△ABC中，B＝π3，AB＝8，點(diǎn)D在BC邊上，且CD＝2，cos∠ADC＝1（1）求sin∠BAD；（2）求BDAC的值解：（1）在△ADC中，因?yàn)閏os∠ADC＝17，所以sin∠ADC＝4所以sin∠BAD＝sin（∠ADC－B）＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝437×12－17×（2）在△ABD中，由正弦定理得BD＝AB·sin∠BAD在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝82＋52－2×8×5×12＝49所以AC＝7，所以BDAC＝3題型三正、余弦定理的綜合問題【例3】設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bsinA＝3acosB.（1）求B的大??；（2）若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值.解（1）∵bsinA＝3acosB，∴由正弦定理，得sinBsinA＝3sinAcosB.在△ABC中，sinA≠0，即得tanB＝3，∴B＝π3（2）∵sinC＝2sinA，∴由正弦定理，得c＝2a，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，即9＝a2＋4a2－2a·2acosπ3解得a＝3，∴c＝2a＝23.通性通法利用正、余弦定理解三角形的注意點(diǎn)正、余弦定理都是用來解三角形的，但在解題過程中要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更合適，或是兩個(gè)定理都要用，應(yīng)抓住兩個(gè)定理的特點(diǎn)：正弦定理“邊對(duì)角”，余弦定理“邊夾角”，正確選擇定理是解決此類題目的關(guān)鍵.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，asinA＋csinC－2asinC＝bsinB.（1）求B的大??；（2）若A＝75°，b＝2，求a，c的值.解：（1）由正弦定理，得a2＋c2－2ac＝b2.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB.故cosB＝22，又0°＜B＜180°，因此B＝45°（2）sinA＝sin（30°＋45°）＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝2＋故由正弦定理，得a＝b·sinAsinB＝1由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，故c＝b·sinCsinB＝2×sin601.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若a＝3，b＝4，C＝π6，則△ABC的面積為（A.23 B.3C.13 D.39解析：B由題意可知，a＝3，b＝4，C＝π6，所以S△ABC＝12absinC＝12×3×4×12.在△ABC中，sin2A＝sinBsinC，若A＝π3，則B＝（A.π6 B.π4 C.π3 解析：C因?yàn)閟in2A＝sinBsinC，所以a2＝bc，由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccosπ3＝b2＋c2－bc＝bc，即（b－c）2＝0，得b＝c，所以△ABC是等邊三角形，B＝π3.3.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，∠ADC＝60°，CD＝AD＝2，BD＝4，則sinB＝（）A.12 B.C.714 D.解析：D由題意，得△ADC為等邊三角形，則∠ADB＝120°，AC＝2，由余弦定理，得AB2＝BD2＋AD2－2BD·ADcos∠ADB，即AB＝27，由正弦定理，得ADsinB＝ABsin∠ADB，則sinB＝4.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若2cosA（bcosC＋ccosB）＝a＝13，△ABC的面積為33，則A＝，b＋c＝.

解析：由已知及正弦定理可得，2cosA（sinBcosC＋sinCcosB）＝sinA，可得2cosAsin（B＋C）＝sinA，即2