2019-2020學年人教A版廣東省江門市高一第一學期期末數學試卷 含解析

2019-2020學年高一第一學期期末數學試卷

一、選擇題

1.設集合/={x|-l<x<2},集合6={x[l<x<3},貝iJ/U6=()

A.{x\-l<x<3}B.{x\~C.{x\1<JT<2}D.U|2<x<3}

2.函數/1(x)='l-x+，Ju的定義域是()

7x+3

A.{x|xWl}B.{x\x>-3}C.{x|-3<xWl}D.{x|-3Wx<l}

3.已知/'(x)=x+bx+c,且f(l)=0,f(3)=0,則/'(-1)=()

A.2B.4C.6D.8

4.在直角坐標系內，角-2019°的終邊在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

'x(x+4),x》0,

5.函數f(x)=<是（)

x(x-4),x<0.

A.奇函數B.偶函數C.增函數D.減函數

6.已知指數函數f（x）=a*（a>0且aWl）的圖象經過拋物線y=/+2^+3的頂點，則a

=（）

A.5B.2C.《

D.3

23

7.若10gli3<1（a>0且a￥l）,則a的取值范圍是（）

A.0<a<lB.a>3C.l<a<3D.0<a<l或a>3

8.角耳匕的終邊與單位圓相交于P,點夕的橫坐標是（）

O

9.為了得到函數y=cos（x《），x￡R的圖象，只需把余弦曲線上所有的點（）

A.向左平移個單位B.向右平移■個單位

C.向左平移1■個單位D.向右平移［■個單位

OO

10.函數F（x）=J5cosx-sinx的一個單調遞增區(qū)間是（）

A.g2n］B.4K-V兀］口兀，■|冗］D.佟兀，羋兀］

226666

,53

11.已知a、B都是銳角，cos（a+B）=~^sin（Q-B）=—,則sina=（）

135

A-B.C,^/65D,^/65

12.已知函數f(x)=cosx-g)x，xG[-2020n,2020JI].f3零點的個數是()

A.2020B.2021C.4040D.4041

二、填空題

13.用列舉法表示集合/={xez|-3<2x-1W3},/=.

sinx,x<0,

14.已知函數/(x)=《、則/1"(-2019JT)]=.

2X,x>0.

15.若函數f(x)=/+(a-2)x+3a是偶函數，貝[(1)常數a=；

(2)函數f(x)的值域是(用區(qū)間表示).

EZ的口玷….17兀14兀

16.用不等萬填仝：sin一:一_____cos一z--

oy

三、解答題

17.已知a是第二象限角，其終邊上的一點為戶(x,5),且cosa=*.

J.O

(I)求X的值；

(II)求tan(a?k1-)的值.

18.大西洋鞋魚每年都要逆流而上2000加，游回產地產卵.研究表明，宜圭魚的游速可表示為

1P

函數y=2logQ"懸單位是Ws,其中一表示魚的耗氧量的單位數.

2J1UU

(I)當一條鞋魚的耗氧量是2700個單位時，它的游速是多少？

(II)若甲直圭魚的游速n是乙處魚游速吸的1■倍，求甲處魚耗氧量的單位數4與乙鞋魚

耗氧量的單位數總之間的關系式.

19.已知函數f(x)=x+—,xWO.

x

(i)證明：f(x)在區(qū)間a,+8)上是增函數；

(II)比較/'(ef)與f⑹的大小(e是自然對數的底數).

20.已知函數/'(x)=/sin(x+cp)(A>0,0<<p<n),xGR.f(x)的最大值為2,

且吟)=L

(I)求/■(x)的解析式；

(II)將函數y=f(x)的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的六倍，縱坐標不變，得到

O

函數y=g(x)的圖象，求gG^-)的值.

O

21.試證明函數f(x)=父-3"在定義域區(qū)間內有3個零點.

22.(I)求值：(Iog43+log83)(log32+log94)；

(II)先化簡再求值：(/-a?)4-(，-2+/2),其中a=tan—T-.

8

參考答案

一、選擇題

1.設集合/={x|-1<X<2},集合方={x[l<x<3},貝！|/U8=()

A.{x\-1<^<3}B.U|-1<^<1}C.{x[l<x<2}D.{x[2<x<3}

【分析】運用并集的定義即可得到所求集合.

解：集合4={x|-l<x<2},集合6={x[l<x<3},

貝!|/U6=3-l<x<3},

故選：A.

2.函數/'(x)=71-x的定義域是()

VX+3

A.{x|xWl}B.{x|x>-3}C.{x\-3<xWl}D.3-3Wx<l}

【分析】建立不等式組，解出即可.

、fl-x》O

解：依題意，*{c、c，解得-3<xWl.

[x+3>0

即函數的定義域為(-3,1].

故選：C.

3.已知f(x)=x+bx+c,且『(1)=0,f(3)=0,則/'(-1)=()

A.2B.4C.6D.8

【分析】利用已知的兩個函數值列出關于6,c的方程組求出6,c是解決本題的關鍵.求

出該二次函數的表達式之后，讓自變量x取-1求出所求的函數值.

l+b+c=0

解：依題意有

9+3b+c=0

b=-4

c=3

：.f(x)=x-4x+3,

：.f(-1)=(-1)2-4X(-1)+3=8.

故選：D.

4.在直角坐標系內，角-2019°的終邊在(

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【分析】終邊相同的角相差了360°的整數倍，由a=-2019°+k?360°,k^l,令A

=6,即可得解.

解：終邊相同的角相差了360°的整數倍,

設與-2019°角的終邊相同的角是a,則a=-2019°+A?360°,k^T,

當k=6時，a=141°.

可得角-2019°的終邊在第二象限.

故選：B.

'x(x+4),x>0,

5.函數f(x)=<,八/c是()

x(x-4),x<0.

A.奇函數B.偶函數C.增函數D.減函數

【分析】根據題意，由函數的解析式按x的取值分3種情況討論，分析f(-x)與f(x)

的關系，綜合即可得答案.

,、x(x+4),x>0,

解：根據題意，/(x)=4,,、-

x(x-4j,x<0.

若x>0,則-x<0,此時/'(x)=x(x+4)，/'(-x)=(-x)(-jr-4)=x(x+4),

有f(.-x)=f(x),

若x<0,則-x>0,此時fQx)=x(x-4),f1(-或)=(-x)(-x+4)=x(￡-4),

有/'(-x)=fQx),

若x—0,有f(0)=0,

綜合可得：f(X)=fLx)對任意X都成立，則/'(x)為偶函數；

故選：B.

6.已知指數函數f(x)=a'(a>0且aWl)的圖象經過拋物線y=/+2^+3的頂點，則a

=()

A.-J-B.2C.-J-D.3

23

【分析】求出拋物線y=f+2x+3的頂點坐標，代入指數函數f(x)中求出a的值.

解：拋物線y=f+2x+3的頂點為(-1,2),

代入指數函數F(x)=/(a>0且aWl)中，

得2=a\解得a=*.

故選：A.

7.若loga3VlQ>0且aWl),則a的取值范圍是()

A.0<a<lB.a>3C.l<a<3D.0<a<l或a>3

【分析】由題意利用對數不等式的解法，對數函數的單調性，求得a的范圍.

解：Vloga3<l(a>0且a￥l),；.loga3<0,或0<loga3<l,

.,.0<a<l,或a>3,

故選：D.

8.角蘭一的終邊與單位圓相交于只點一的橫坐標是（）

O

A.返B.C.春I

222

【分析】由題意利用任意角的三角函數的定義，求得點尸的橫坐標.

解：???角4L的終邊與單位圓相交于只

O

.?.點戶的橫坐標為cos4Lucos(空L-空L)=cosn、兀1

--^-)=COS—

OOO332

故選：C,

9.為了得到函數y=cos（x［）,xGR的圖象，只需把余弦曲線上所有的點（）

TTTT

A.向左平移個單位B.向右平移個單位

Oo

C.向左平移1■個單位D.向右平移1■個單位

oO

【分析】直接利用函數的圖象的平移變換的應用求出結果.

解：為了得到函數y=cos（x+1）,X6R的圖象，只需把余弦曲線上所有的點向左平移,

O

個單位即可得到.

故選：C.

10.函數f（x）=J5cosx-sinx的一個單調遞增區(qū)間是（）

A.［口，2汨B.白冗，曰兀］C.兀，1-71］D.■兀，羋兀］

226666

【分析】先結合輔助角公式進行化簡，然后結合余弦函數的性質即可求解.

解：廣（x）=^/^cosx-sinx=2cos（/-券）,

結合余弦函數的性質可知，兀＜乂十卷＜2幾，

可得，答《X《等，

66

結合選項可知，〃符合題意.

故選：D.

,52

11.已知a、B都是銳角，cos(a+B)=:7，sin(Q-B),則sina=()

135

A-l3?^0B.C.^/65D.^65

【分析】由已知結合同角平方關系可求sin(a+8),cos(a-B),然后結合cos2

a=cos［(Q+B)+(a-8)］及二倍角公式即可求解.

52

解：Q、B都是銳角，cos(a+B)=-7,sin(Q-B)=七

135

194

.,.sin(Q+B)cos(Q-B)=—

135

貝！Icos2a=cos[(a+0)+(a-0)]=cos(Q+B)cos(a一B)-sinsin(a+

B)sin(Q-B),

45312-16

51351365,

Vcos2a=1-2sin2a=16

65

?.2_81

..sina

~l30

'.'sina>0,

.-.sin=-^0

130

故選：A.

12.已知函數f(x)=cosx-x￡[-2020兀,2020兀].F(x)零點的個數是(

A.2020B.2021C.4040D.4041

【分析】畫出函數了=。0$丫和y=g)x的圖象，通過函數cosx的周期性即可得到答案

【解答】解，令/1(x)=0,則cosx=(5)X,畫出函數曠=(305殳和y=g)x的圖象如

圖：

如圖，顯然兩函數圖象在(-8,0)上沒有交點，故只需考慮［0,2020"］上零點個數

即可,

在［0,3］上有2個交點，從皆開始，每個周期有2個交點，

則在［全，2020五］共1010個周期，共有2X1010-1=2019個交點,

故總共有2019+2=2021個交點，

故選：B.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分.

13.用列舉法表示集合/={xeZ|-3<2x-IW3},4={0,1,2}.

【分析】推導出集合/={xez|-3<2x-1W3}={XGZ|-1<X<2},由此能求出結果.

解：集合力={xGZ|-3<2x-lW3}={xdZ|-1<XW2}={0,1,2},

故答案為：{0,1,2).

'sinx,x<0,

14.已知函數/(x)=《、則丹/(-2019n)]=1.

2X,x>0.

【分析】推導出f(-2019兀)=sin(-2019兀)=sin兀=0,從而f[f(-2019兀)]

=f(0),由此能求出結果.

sinx,x<C0,

解：.?.函數=<v.

2X,x>0.

2019Ji)=sin(-2019n)=sinJt=0,

Af(-2019it)]=f(0)=2°=1.

故答案為：1.

15.若函數f(或)=/+(a-2)x+3a是偶函數，則(1)常數a=2；

(2)函數f(x)的值域是［6,+8)(用區(qū)間表示).

【分析】(1)根據題意，由二次函數的性質可得等=0,解可得a的值；

(2)根據題意，由(1)的結論可得f(x)的解析式，進而分析可得答案.

解：(1)根據題意，函數f(x)=7+(a-2)x+3a為二次函數，其對稱軸為x=2|電

若f(x)是偶函數，則要=0,即a=2,

(2)由(1)的結論，fQx)=/+6,

必有f(X>26,即函數_f(x)的值域為［6,+8)；

故答案為：(1)2,(2)［6,+8).

16.用不等號填空：sin*~>cos^~~.

oy

【分析】先根據誘導公式把所比較的兩個三角函數值進行轉化，再結合正弦函數的單調

性即可求解.

碗用工.17兀.z兀、.兀

解：因為sin---=sin（29兀-H—）=sin--；

888

14兀/04兀、，4兀、4兀./兀4兀、.兀

cos-T-=cos（2兀---）=cos（-----）=cos---=sin（―-------）=sin——；

99992918

JTTTJTTT

0<—<—<—；且正弦函數在（0,—）上單調遞增；

18822

缶》.17兀、14兀

所以：sin--->cos-~-.

89

故答案為：>.

三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知a是第二象限角，其終邊上的一點為戶(x,5),且cosa=*>

(I)求X的值；

JT

(II)求tan(a4^%-)的值.

【分析】(I)由三角函數的定義列方程求出X的值；

(II)由同角的三角函數關系求出tana的值，再利用兩角和的正切公式計算即可.

解：（I）由點戶（X,5）,得cosa=-j=q=

3+25

由cosa噬.得者

解得x=0,或x=12,或x=-12；(無x=0不扣分)

又Q是第二象限角，則XV0,

所以X=-12；

（II）由（I）得cosa=—TT-,

所以sina=71_CQS2aA；

sina5

所以tana=

cosCL12；

ntana+tarr^~-j^-+l7

所以tan(ar)=----------------~(寫出公式給1分).

1-tanCItarr~^l-k-rz-)

412

18.大西洋卷圭魚每年都要逆流而上2000勿，游回產地產卵.研究表明，鞋魚的游速可表示為

函數y=/log3芫J，單位是Ms，其中P表示魚的耗氧量的單位數.

(I)當一條鯉魚的耗氧量是2700個單位時，它的游速是多少？

(II)若甲鯉魚的游速匕是乙鞋魚游速診的5倍，求甲鞋魚耗氧量的單位數X與乙處魚

耗氧量的單位數？之間的關系式.

【分析】(I)依題意，尸=2700,代入口求解即可.

201UU

23

(II)通過推出白_)，得到a與2之間的關系式.

2N<100，“00，

解：(I)依題意，—2700,

1P1

v91°83而a1"327=1?5,

答：鞋魚的游速是1.5〃/s.

2

(II)依題意，V1=7779?

124

助1.P13、，1?P2

即51"3礪='><51"3礪，

23

PlP2PiP2

21oS=31o§，

3loo3Kiolog3(^y)=1。83(礪)，

匕L)=(立-)，即必與2之間的關系式是lOOPjnpJ

“00，'100，

19.已知函數/'(x)—x+—,x#0.

X

(I)證明：f(￡)在區(qū)間(1,+8)上是增函數；

(II)比較，(或，與f(3)的大小(e是自然對數的底數).

【分析】(I)直接利用定義法證明函數/'(x)的單調性；

(II)由f(a1)=e1^-^-=e-^-=f(e),1<e<^2,結合函數的單調即可判斷f(e

ee

-1)與f(3)的大小.

解：(I)證明：設任意實數荀、X2,1<^1<^2,

則f（Xi）-f（乂2）=（X］」-）

X1xX2n

z11、（x1-x2）（x1x2-l）

X1x2

V?二芯一次＜0,Xi苞＞l＞0,

xlx2

.?.F(XI)<r(x2),(x)在(i,+8)上是增函數.

(II)依題意，f(eD=ed=f(e),

,.,l<e<e2,f(x)在區(qū)間(1,+8)上是增函數，

/.f(e)<f(e),(e「i)=f(e),

:.f(e-1)<f(e2).

20.已知函數f(x)=/sin(x+(p)(A>0,0<<p<n),xGR.f(x)的最大值為2,

?，兀、

且f(-^)=L

(I)求f(x)的解析式；

(II)將函數y=f(x)的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的六倍，縱坐標不變，得到

TT

函數y=g(x)的圖象，求g(《-)的值.

【分析】(1)要求函數解析式，只要根據最值求解4根據f(令)=1求中，進而可求

函數解析式，

(2)根據函數的圖象平移法則可求g(x),代入即可求解.

解：(I)因為(x)=Zsin(x+(p),T4>0,X￡R,

所以f(x)的最大值為A,

所以J=2,

則f(x)=2sin(x+(p),

TTTT1

由得2sin(_^_+，)=l,cos(|)=—,

因為OVcpVn,所以，f(x)=2sin(x-t^y")，

Q兀

(II)依題意，g(x)=2sin(—x-^~),