三角函數(shù)復(fù)習(xí)教案-總結(jié)

《三角函數(shù)》復(fù)習(xí)教案【知識網(wǎng)絡(luò)】任意角的概念任意角的概念弧長公式角度制與弧度制同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式誘導(dǎo)公式計(jì)算與化簡證明恒等式任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)已知三角函數(shù)值求角圖像和性質(zhì)和角公式倍角公式差角公式應(yīng)用應(yīng)用應(yīng)用應(yīng)用應(yīng)用應(yīng)用應(yīng)用學(xué)法：1．注重化歸思想的運(yùn)用．如將任意角的三角函數(shù)值的問題化歸為銳角的三角函數(shù)的問題，將不同名的三角函數(shù)問題化成同名的三角函數(shù)的問題，將不同角的三角函數(shù)問題化成同角的三角函數(shù)問題等2．注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．如討論函數(shù)性質(zhì)等問題時，要結(jié)合函數(shù)圖象思考，便易找出解題思路和問題答案．第1課三角函數(shù)的概念【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解任意角的概念、弧度的意義．能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算．掌握終邊相同角的表示方法．掌握任意角的正弦、余弦、正切的意義．了解余切、正割、余割的定義．掌握三角函數(shù)的符號法則．【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、角的概念與推廣1．任意角的概念：正角、負(fù)角、零角2．象限角與軸線角：與終邊相同的角的集合：第一象限角的集合：第二象限角的集合：第三象限角的集合：第四象限角的集合：終邊在軸上的角的集合：終邊在軸上的角的集合：終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：要點(diǎn)詮釋：要熟悉任意角的概念，要注意角的集合表現(xiàn)形式不是唯一的，終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同，還要注意區(qū)間角與象限角及軸線角的區(qū)別與聯(lián)系.考點(diǎn)二、弧度制1．弧長公式與扇形面積公式：弧長，扇形面積（其中是圓的半徑，是弧所對圓心角的弧度數(shù)）.2．角度制與弧度制的換算：；要點(diǎn)詮釋：要熟悉弧度制與角度制的互化以及在弧度制下的有關(guān)公式.考點(diǎn)三、任意角的三角函數(shù)定義：在角上的終邊上任取一點(diǎn)，記則,,，，，.2.三角函數(shù)線：如圖，單位圓中的有向線段，，分別叫做的正弦線，余弦線，正切線.3.三角函數(shù)的定義域：，的定義域是；，的定義域是；，的定義域是.4.三角函數(shù)值在各個象限內(nèi)的符號：要點(diǎn)詮釋：①三角函數(shù)的定義是本章內(nèi)容的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn)，正確理解了三角函數(shù)的定義，則三角函數(shù)的定義域、三角函數(shù)在各個象限內(nèi)的符號以及同角三角函數(shù)之間的關(guān)系便可以得到牢固掌握．利用定義求三角函數(shù)值時，也可以自覺地根據(jù)角的終邊所在象限進(jìn)行分情況討論.②三角函數(shù)線是三角函數(shù)的幾何表示，是處理有關(guān)三角問題的重要工具，它能把某些繁雜的三角問題形象直觀地表達(dá)出來．有關(guān)三角函數(shù)值的大小比較問題、簡單三角不等式及簡單三角方程的解集的確定等問題的解決常結(jié)合使用三角函數(shù)線，這是數(shù)形結(jié)合思想在三角中的具體運(yùn)用.【典型例題】類型一、角的相關(guān)概念例1.已知是第三象限角,求角的終邊所處的位置.【答案】是第二或第四象限角【解析】方法一：∵是第三象限角，即，∴,當(dāng)時，,∴是第二象限角，當(dāng)時，,∴是第四象限角，∴是第二或第四象限角.方法二：由圖知:的終邊落在二，四象限.【總結(jié)升華】（1）要熟練掌握象限角的表示方法．本題容易誤認(rèn)為是第二象限角，其錯誤原因?yàn)檎J(rèn)為第三象限角的范圍是．解決本題的關(guān)鍵就是為了湊出的整數(shù)倍，需要對整數(shù)進(jìn)行分類．（2）確定“分角”所在象限的方法：若是第k(1、2、3、4)象限的角，利用單位圓判斷，()是第幾象限角的方法：把單位圓上每個象限的圓弧n等份，并從x正半軸開始，沿逆時針方向依次在每個區(qū)域標(biāo)上1、2、3、4，再循環(huán)，直到填滿為止，則有標(biāo)號k的區(qū)域就是角()終邊所在的范圍。如：k=3，如下圖中標(biāo)有號碼3的區(qū)域就是終邊所在位置．yyx12341234舉一反三：【變式1】已知是第二象限角,求角的終邊所處的位置.【答案】是第一或第二或第四象限角【解析】方法一：∵是第二象限角，即，∴,當(dāng)時，,∴是第一象限角，當(dāng)時，,∴是第二象限角，當(dāng)時，,∴是第四象限角，∴是第一或第二或第四象限角.方法二：k=2，如下圖中標(biāo)有號碼2的區(qū)域就是終邊所在位置．由圖知：的終邊落在一，二，四象限.【變式2】已知弧長50cm的弧所對圓心角為200度，求這條弧所在的圓的半徑（精確到1cm）.【答案】29cm.類型二、任意角的三角函數(shù)例2.若，則角在象限.【答案】第一或第三【解析】方法一：由知（1）或（2）由（1）知在第一象限，由（2）知在第三象限，所以在第一或第三象限.方法二：由有，所以,即當(dāng)時，為第一象限，當(dāng)時，為第三象限故為第一或第三象限.方法三：分別令，代入，只有、滿足條件，所以為第一或第三象限.【總結(jié)升華】角的象限和角的三角函數(shù)值符號可以相互判定，方法三只能用于選擇題或填空題.舉一反三：【變式1】確定的符號.【答案】原式小于零【解析】因?yàn)榉謩e是第三、第四、第一象限的角，所以，，，所以原式小于零.【變式2】已知，，則是第象限角.【答案】二【解析】∵，∴，，則是第二象限角.【變式3】求的值.【答案】當(dāng)為第一象限角時，值為3；當(dāng)為第二、三、四象限角時，值為-1.例3.已知角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊為射線，則的值是（）【答案】【解析】在角的終邊上任取一點(diǎn)，則有，則原式，故選.舉一反三：【變式】已知角的終邊過點(diǎn)，求、、的值【解析】（1）當(dāng)時，，∴，，；（2）當(dāng)時，，∴，，.【課堂練習(xí)】1．角α的終邊在第一、三象限的角平分線上，角α的集合可寫成．2．已知角α的余弦線是單位長度的有向線段，那么角α的終邊()A．在x軸上B．在y軸上C．在直線y=x上D．在直線y=－x上．3．已知角α的終邊過點(diǎn)p(－5，12)，則cosα=，tanα=．4．eq\f(tan(－3)cot5,cos8)的符號為．5．若cosθtanθ＞0，則θ是()A．第一象限角B．第二象限角C．第一、二象限角D．第二、三象限角【課后檢測】1．已知α是鈍角，那么eq\f(α,2)是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一與第二象限角D．不小于直角的正角2．角α的終邊過點(diǎn)P（－4k，3k）(k＜0}，則cosα的值是（）A．eq\f(eq\r(3),5)B．eq\f(4,5)C．－eq\f(3,5)D．－eq\f(4,5)3．已知點(diǎn)P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，則在［0，2π］內(nèi)，α的取值范圍是()A．(eq\f(π,2)，eq\f(3π,4))∪(π，eq\f(5π,4))B．(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))∪(π，eq\f(5π,4))C．(eq\f(π,2)，eq\f(3π,4))∪(eq\f(5π,4)，eq\f(3π,2))D．(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))∪(eq\f(3π,4)，π)4．若sinx=－eq\f(3,5)，cosx=eq\f(4,5)，則角2x的終邊位置在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限5．若4π＜α＜6π，且α與－eq\f(2π,3)終邊相同，則α=．6．角α終邊在第三象限，則角2α終邊在象限．7．已知｜tanx｜=－tanx，則角x的集合為．8．如果θ是第三象限角，則cos(sinθ)·sin(sinθ)的符號為什么？已知扇形AOB的周長是6cm，該扇形中心角是1弧度，求該扇形面積．參考答案：【課堂練習(xí)】1．{α|α=kπ+eq\f(π,4)，k∈Z}2．A3.－eq\f(5,13)，－eq\f(12,5)．4．＋5．C【課后檢測】1．A2．B3．B4．D5．eq\f(16π,3)6．一、二7．{2kπ+eq\f(π,2)＜x＜2kπ+π或2kπ+eq\f(3π,2)＜x＜2kπ+2π，k∈Z}8．負(fù)9．2cm2．第2課同角三角函數(shù)的關(guān)系及誘導(dǎo)公式【學(xué)習(xí)目標(biāo)】掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2α+cos2α=1，eq\f(sinα,cosα)=tanα，tanαcotα=1，掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式．能運(yùn)用化歸思想（即將含有較多三角函數(shù)名稱問題化成含有較少三角函數(shù)名稱問題）解題．【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系式1.平方關(guān)系：.2.商數(shù)關(guān)系：.3.倒數(shù)關(guān)系：要點(diǎn)詮釋：①同角三角函數(shù)的基本關(guān)系主要用于：（1）已知某一角的三角函數(shù)，求其它各三角函數(shù)值；（2）證明三角恒等式；（3）化簡三角函數(shù)式.②三角變換中要注意“1”的妙用，解決某些問題若用“1”代換，如，，則可以事半功倍；同時三角變換中還要注意使用“化弦法”、消去法及方程思想的運(yùn)用.考點(diǎn)二、誘導(dǎo)公式1.的三角函數(shù)值等于的同名三角函數(shù)值，前面加上一個把看成銳角時原函數(shù)值所在象限的符號.2.，的三角函數(shù)值等于的互余函數(shù)值，前面加上一個把看成銳角時原函數(shù)值所在象限的符號.要點(diǎn)詮釋：誘導(dǎo)公式其作用主要是將三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)值，本節(jié)公式較多，要正確理解和記憶，誘導(dǎo)公式可以用“奇變偶不變，符號看象限（奇、偶指的是的奇數(shù)倍、偶數(shù)倍）”這個口訣進(jìn)行記憶.在利用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)的值時，一定要注意符號。三角變換一般技巧有①切化弦，②降次，③變角，④化單一函數(shù)，⑤妙用1，⑥分子分母同乘除，類型三、誘導(dǎo)公式例4.已知，求的值.【答案】【解析】.舉一反三：【變式1】計(jì)算：【答案】【解析】原式.【變式2】化簡.【答案】【解析】原式.類型四、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式例5．已知，且．求、的值；【答案】；【解析】方法一：由可得：，即，∴∵，∴、是方程的兩根，∴或∵，∴，∴，，∴方法二：由可得：，即，∴∵，∴，∴，∴由∴舉一反三：【變式】已知，求的值.【答案】【解析】由可得：；于是，∴．例6．已知，求下列各式的值（1）；（2）【答案】；【解析】由得，（1）原式；（2）原式舉一反三：【變式】已知，求值（1）；（2）【答案】；【解析】（1）原式；（2）原式【課堂練習(xí)】1．sin2150°+sin2135°+2sin210°+cos2225°的值是()A．eq\f(1,4)B．eq\f(3,4)C．eq\f(11,4)D．eq\f(9,4)2．已知sin(π+α)=－eq\f(3,5)，則()A．cosα=eq\f(4,5)B．tanα=eq\f(3,4)C．cosα=－eq\f(4,5)D．sin(π－α)=eq\f(3,5)3．已tanα=3，eq\f(4sinα－2cosα,5cosα＋3sinα)的值為．4．化簡eq\r(1+2sin(π-2)cos(π+2))=．5．已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ=eq\f(5,9)，那么sin2θ等于()A．eq\f(2eq\r(2),3)B．－eq\f(2eq\r(2),3)C．eq\f(2,3)D．－eq\f(2,3)【課后反饋】1．sin600°的值是（）A．eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．eq\f(eq\r(3),2)D．－eq\f(eq\r(3),2)2．sin(eq\f(π,4)+α)sin（eq\f(π,4)－α）的化簡結(jié)果為（）A．cos2αB．eq\f(1,2)cos2αC．sin2αD．eq\f(1,2)sin2α3．已知sinx+cosx=eq\f(1,5)，x∈［0，π］，則tanx的值是（）A．－eq\f(3,4)B．－eq\f(4,3)C．±eq\f(4,3)D．－eq\f(3,4)或－eq\f(4,3)4．已知tanα=－eq\f(1,3)，則eq\f(1,2sinαcosα+cos2α)=．5．eq\f(eq\r(1－2sin10°cos10°),cos10°－eq\r(1－cos2170°))的值為．6．證明eq\f(1+2sinαcosα,cos2α－sin2α)=eq\f(1+tanα,1－tanα)．7．已知eq\f(2sinθ+cosθ,sinθ－3cosθ)=－5，求3cos2θ+4sin2θ的值．8．已知銳角α、β、γ滿足sinα+sinγ=sinβ，cosα－cosγ=cosβ，求α－β的值．參考答案：【課堂練習(xí)】1．A2．D3．eq\f(5,7)4．sin2－cos25．A【課后反饋】1．D2．B3．B4．eq\f(10,3)5．16．略7．eq\f(7,5)8．－eq\f(π,3)第3課兩角和與兩角差的三角函數(shù)（一）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能運(yùn)用化歸思想（將不同角化成同角等）解題．【知識梳理】一．兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：=1\*GB2⑴；=2\*GB2⑵；=3\*GB2⑶；=4\*GB2⑷；=5\*GB2⑸（）；=6\*GB2⑹（）．二．二倍角的正弦、余弦和正切公式：=1\*GB2⑴．=2\*GB2⑵（，）．=3\*GB2⑶．三．輔助角公式，其中．注：（１）這些公式既可以從左向右運(yùn)用，也可以從右向左運(yùn)用（２）要會把一個角分成兩個角的和與差（３）在一個十字中，若既有正余弦又有正切，一般是先切化弦，而后在計(jì)算【解題技巧】：1、以變角為主線，注意配湊和轉(zhuǎn)化；2、遇見切，想化弦；個別情況弦化切；3、見和差，想化積；見乘積，化和差；4、見分式，想通分，使分母最簡；5、見平方想降冪，見“1±cosα”想升冪；6、見2sinα，想拆成sinα+sinα；7、見sinα±cosα或sinα+sinβ=p及cosα+cosβ=q，想兩邊平方或和差化積。8、見asinα+bcosα，想化為。9、見cosα·cosβ·cosθ····，，若不行，則化和差?！镜湫屠}】例1已知sinα－sinβ=－eq\f(1,3)，cosα－cosβ=eq\f(1,2)，求cos(α－β)的值．分析由于cos(α－β)=cosαcosβ+sinαsinβ的右邊是關(guān)于sinα、cosα、sinβ、cosβ的二次式，而已知條件是關(guān)于sinα、sinβ、cosα、cosβ的一次式，所以將已知式兩邊平方．解∵sinα－sinβ=－eq\f(1,3)，①cosα－cosβ=eq\f(1,2)，②①2＋②2，得2－2cos(α－β)=eq\f(13,36)．∴cos(α－β)=eq\f(72,59)．【點(diǎn)評】審題中要善于尋找已知和欲求的差異，設(shè)法消除差異．例2求eq\f(2cos10°-sin20°,cos20°)的值．分析式中含有兩個角，故需先化簡．注意到10°=30°－20°，由于30°的三角函數(shù)值已知，則可將兩個角化成一個角．解∵10°=30°－20°，∴原式=eq\f(2cos(30°-20°)-sin20°,cos20°)=eq\f(2(cos30°cos20°+sin30°sin20°)-sin20°,cos20°)=eq\f(eq\r(3)cos30°,cos20°)=eq\r(3)．【點(diǎn)評】化異角為同角，是三角變換中常用的方法．例3已知：sin(2α+β)=－2sinβ．求證：tanα=3tan(α+β)．分析已知式中含有角2α+β和β，而欲求式中含有角α和α+β，所以要設(shè)法將已知式中的角轉(zhuǎn)化成欲求式中的角．解∵2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)－α，∴sin［(α+β)+α］=－2sin［(α+β)－α］．∴sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=－2sin(α+β)cosα+2cos(α+β)sinα．若cos(α+β)≠0，cosα≠0，則3tan(α+β)=tanα．【點(diǎn)評】審題中要仔細(xì)分析角與角之間的關(guān)系，善于運(yùn)用整體思想解題，此題中將α+β看成一個整體【注意】審題中，要善于觀察已知式和欲求式的差異，注意角之間的關(guān)系；整體思想是三角變換中常用的思想．例4求下列各式的值（1）tan10°＋tan50°+eq\r(3)tan10°tan50°；(2)eq\f(（eq\r(3)tan12°-3）csc12°,4cos212°-2)．(1)解原式=tan(10°+50°)（1－tan10°tan50°）+eq\r(3)tan10°tan50°=eq\r(3)．（2）分析式中含有多個函數(shù)名稱，故需減少函數(shù)名稱的個數(shù)，進(jìn)行切割化弦．解原式=eq\f(（eq\r(3)·eq\f(sin12°,cos12°)－3）eq\f(1,sin12°),2cos24°)===【點(diǎn)評】（1）要注意公式的變形運(yùn)用和逆向運(yùn)用，注意公式tanA+tanB=tan(A+B)（1－tanAtanB），asinx+bsinx=sin(x+φ)的運(yùn)用；（2）在三角變換中，切割化弦是常用的變換方法．例5求證eq\f(1+sin4θ-cos4θ,2tanθ)=eq\f(1+sin4θ+cos4θ,1-tan2θ)．分析三角恒等式的證明可從一邊開始，證得它等于另一邊；也可以分別從兩邊開始，證得都等于同一個式子；還可以先證得另一等式，從而推出需要證明的等式．由欲證的等式可知，可先證等式eq\f(1+sin4θ-cos4θ,1+sin4θ+cos4θ)=eq\f(2tanθ,1-tan2θ)，此式的右邊等于tan2θ，而此式的左邊出現(xiàn)了“1－cos4θ”和“1+cos4θ”，分別運(yùn)用升冪公式可出現(xiàn)角2θ，sin4θ用倍角公式可出現(xiàn)角2θ，從而等式可望得證．證略【點(diǎn)評】注意倍角公式cos2α=2cos2α－1，cos2α=1－2sin2α的變形公式：①升冪公式1+cos2α=2cos2α，1－cos2α=2sin2α，②降冪公式sin2α=eq\f(1-cos2α,2)，cos2α=eq\f(1＋cos2α,2)的運(yùn)用；三角恒等式證明的方法：從一邊推得另一邊；左右歸一，先證其等價等于等式；分析法等．例6已知cos(eq\f(π,4)+x)=eq\f(3,5)，eq\f(17π,12)＜x＜eq\f(7π,4)，求eq\f(sin2x＋sin2xtanx,1-tanx)的值．解原式=eq\f(sin2x（1＋tanx）,1-tanx)=sin2x×eq\f(taneq\f(π,4)＋tanx,1-taneq\f(π,4)tanx)=sin2xtan（eq\f(π,4)+x）=－cos［2(x+eq\f(π,4))］tan(x+eq\f(π,4))=－［2cos2(x+)－1］tan（eq\f(π,4)+x）∵eq\f(17π,12)＜x＜eq\f(7π,4)，∴eq\f(5π,3)＜x+eq\f(π,4)＜2π．∴sin(eq\f(π,4)+x)=－eq\f(4,5)，∴tan（eq\f(π,4)+x）=－eq\f(4,3)．∴原式=－eq\f(28,75)．【點(diǎn)評】（1）注意兩角和公式的逆用；（2）注意特殊角與其三角函數(shù)值的關(guān)系，如1=taneq\f(π,4)等；（3）注意化同角，將所求式中的角x轉(zhuǎn)化成已知條件中的角x+eq\f(π,4)．【注意】在三角變換中，要注意三角公式的逆用和變形運(yùn)用，特別要注意如下公式：tanA+tanB=tan(A+B)［1－tanAtanB］；asinx+bcosx=sin(x+φ)及升冪、降冪公式的運(yùn)用．【課堂練習(xí)1】1．cos105°的值為（）A．eq\f(eq\r(6)＋eq\r(2),4)B．eq\f(eq\r(6)－eq\r(2),4)C．eq\f(eq\r(2)－eq\r(6),4)D．eq\f(－eq\r(6)－eq\r(2),4)2．對于任何α、β∈（0，eq\f(π,2)），sin(α+β)與sinα+sinβ的大小關(guān)系是（）A．sin(α+β)＞sinα+sinβB．sin(α+β)＜sinα+sinβC．sin(α+β)=sinα+sinβD．要以α、β的具體值而定3．已知π＜θ＜eq\f(3π,2)，sin2θ=a，則sinθ+cosθ等于（）A．eq\r(a+1)B．－eq\r(a+1)C．eq\r(a2+1)D．±eq\r(a2+1)4．已知tanα=eq\f(1,3)，tanβ=eq\f(1,3)，則cot(α+2β)=．5．已知tanx=eq\f(1,2)，則cos2x=．【課堂練習(xí)2】求下列各式的值1．cos200°cos80°+cos110°cos10°=．2．eq\f(1,2)（cos15°+eq\r(3)sin15°）=．3．化簡1+2cos2θ－cos2θ=．4．cos(20°+x)cos(25°－x)－cos(70°－x)sin(25°－x)=．5．eq\f(1,1－tanθ)－eq\f(1,1＋tanθ)=．【課后反饋1】1．已知0＜α＜eq\f(π,2)＜β＜π，sinα=eq\f(3,5)，cos(α+β)=－eq\f(4,5)，則sinβ等于（）A．0B．0或eq\f(24,25)C．eq\f(24,25)D．0或－eq\f(24,25)2．eq\f(sin7°+cos15°sin8°,cos7°－sin15°sin8°)的值等于（）A．2+eq\r(3)B．eq\f(2+eq\r(3),2)C．2－eq\r(3)D．eq\f(2－eq\r(3),2)3．△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，則∠C的大小為（）A．eq\f(π,6)B．eq\f(5π,6)C．eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)D．eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)4．若α是銳角，且sin(α－eq\f(π,6))=eq\f(1,3)，則cosα的值是．5．coseq\f(π,7)coseq\f(2π,7)coseq\f(3π,7)=．6．已知tanθ=eq\f(1,2)，tanφ=eq\f(1,3)，且θ、φ都是銳角．求證：θ+φ=45°．7．已知cos(α－β)=－eq\f(4,5)，cos(α+β)=eq\f(4,5)，且（α－β）∈（eq\f(π,2)，π），α+β∈（eq\f(3π,2)，2π），求cos2α、cos2β的值．已知sin(α+β)=eq\f(1,2)，且sin(π+α－β)=eq\f(1,3)，求eq\f(tanα,tanβ)．【課后反饋2】1．cos75°+cos15°的值等于（）A．eq\f(eq\r(6),2)B－eq\f(eq\r(6),2)C．－eq\f(eq\r(2),2)D．eq\f(eq\r(2),2)2．a(chǎn)=eq\f(eq\r(2),2)（sin17°+cos17°），b=2cos213°－1，c=eq\f(eq\r(2),2)，則（）A．c＜a＜bB．b＜c＜aC．a(chǎn)＜b＜cD．b＜a＜c3．化簡eq\f(1+sin2θ-cos2θ,1+sin2θ+cos2θ)=．4．化簡sin(2α+β)－2sinαcos(α+β)=．在△ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，則taneq\f(A,2)+taneq\f(C,2)+eq\r(3)taneq\f(A,2)taneq\f(C,2)的值為．化簡sin2A+sin2B+2sinAsinBcos(A+B)．7化簡sin50°(1+eq\r(3)tan10°)．8已知sin(α+β)=1，求證：sin(2α+β)+sin(2α+3β)=0．參考答案：【課堂練習(xí)1】C2．B3．B4．eq\f(1,2)5．eq\f(3,5)【課堂練習(xí)2】1．－eq\f(1,2)2．eq\f(eq\r(2),2)3．24．eq\f(eq\r(2),2)5．tan2θ【課后反饋1】1．C2．C3．A4．eq\f(2eq\r(6)－1,6)5．eq\f(1,8)6．略7．cos2α=－eq\f(7,25)，cos2β=－18．eq\f(1,5)【課后反饋2】1．A2．A3．tanθ4．sinβ5．eq\r(3)6．sin2（A＋B）．7.18.略．第4課三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（一）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，能討論較復(fù)雜的三角函數(shù)的性質(zhì)．【典型例題】例1（1）函數(shù)的定義域?yàn)?2)若α、β為銳角，sinα＜cosβ，則α、β滿足（）A．α＞βB．α＜βC．α+β＜eq\f(π,2)D．α+β＞eq\f(π,2)分析（1）函數(shù)的定義域?yàn)?*)的解集，由于y=tanx的最小正周期為π，y=sinx的最小正周期為2π，所以原函數(shù)的周期為2π，應(yīng)結(jié)合三角函數(shù)y=tanx和y=sinx的圖象先求出(－eq\f(π,2)，eq\f(3π,2))上滿足（*）的x的范圍，再據(jù)周期性易得所求定義域?yàn)閧x｜2kπ－eq\f(π,2)＜x＜2kπ+eq\f(π,6)，或2kπ+eq\f(5π,6)＜x＜2kπ+eq\f(5π,4)，k∈Z}．分析（2）sinα、cosβ不同名，故將不同名函數(shù)轉(zhuǎn)化成同名函數(shù)，cosβ轉(zhuǎn)化成sin(eq\f(π,2)－β)，運(yùn)用y=sinx在［0，eq\f(π,2)］的單調(diào)性，便知答案為C．【點(diǎn)評】（1）討論周期函數(shù)的問題，可先討論一個周期內(nèi)的情況，然后將其推廣；（2）解三角不等式，要注意三角函數(shù)圖象的運(yùn)用；（3）注意運(yùn)用三角函數(shù)的單調(diào)性比較三角函數(shù)值的大小．例2判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)；(2)分析討論函數(shù)的奇偶性，需首先考慮函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，然后考f(－x)是否等于f(x)或－f(x)．解（1）定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，分子上為奇函數(shù)的差，又因?yàn)?+cosx=2cos2eq\f(x,2)，所以分母為偶函數(shù)，所以原函數(shù)是奇函數(shù)．（2）定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱（如x=－eq\f(π,2)，但x≠eq\f(π,2)），故不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．【點(diǎn)評】將函數(shù)式化簡變形，有利于判斷函數(shù)的奇偶性．例3求下列函數(shù)的最小正周期：（1）y=sin(2x－eq\f(π,6))sin(2x+eq\f(π,3))；(2)分析對形如y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)和y=Atan(ωx+φ)的函數(shù)，易求出其周期，所以需將原函數(shù)式進(jìn)行化簡．解（1）y=sin(2x－eq\f(π,6))sin(2x+eq\f(π,2)－eq\f(π,6))=eq\f(1,2)sin(4x－eq\f(π,3))，所以最小正周期為eq\f(2π,4)=eq\f(π,2)．（2）y===∴是小正周期為eq\f(π,2)．【點(diǎn)評】求復(fù)雜函數(shù)的周期，往往需先化簡，其化簡的目標(biāo)是轉(zhuǎn)化成y=Asin(ωx+φ)＋k或y=Acos(ωx+φ)＋k或y=Atan(ωx+φ)＋k的形式（其中A、ω、φ、k為常數(shù)，ω≠0）．例4已知函數(shù)f(x)=5sinxcosx－5cos2x+(x∈R)．(1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；（2）求f(x)圖象的對稱軸、對稱中心．分析函數(shù)表達(dá)式較復(fù)雜，需先化簡．解f(x)=eq\f(5,2)sin2x－5×eq\f(1+cos2x,2)＋=5sin(2x－eq\f(π,3))．（1）由2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,3)≤2kπ+eq\f(π,2)，得［kπ－eq\f(π,12)，kπ+eq\f(5π,12)］（k∈Z）為f(x)的單調(diào)增區(qū)間．（2）令2x－eq\f(π,3)=kπ+eq\f(π,2)，得x=eq\f(k,2)π+eq\f(5π,12)（k∈Z），則x=eq\f(k,2)π+eq\f(5π,12)（k∈Z）為函數(shù)y=f(x)圖象的對稱軸所在直線的方程，令2x－eq\f(π,3)=kπ，得x=eq\f(k,2)π+eq\f(π,6)（k∈Z），∴y=f(x)圖象的對稱中心為點(diǎn)（eq\f(k,2)π+eq\f(π,6)，0）（k∈Z）．【點(diǎn)評】研究三角函數(shù)的性質(zhì)，往往需先化簡，以化成一個三角函數(shù)為目標(biāo)；討論y=Asin(ωx+φ)(ω＞0)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)將ωx+φ看成一個整體，設(shè)為t，從而歸結(jié)為討論y=Asint的單調(diào)性．【注意】討論較復(fù)雜的三角函數(shù)的性質(zhì)，往往需要將原函數(shù)式進(jìn)行化簡，其目標(biāo)為轉(zhuǎn)化成同一個角的同名三角函數(shù)問題．討論三角函數(shù)的單調(diào)性，解三角不等式，要注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．注意函數(shù)性質(zhì)在解題中的運(yùn)用：若一個函數(shù)為周期函數(shù)，則討論其有關(guān)問題，可先研究在一個周期內(nèi)的情形，然后再進(jìn)行推廣；若要比較兩個角的三角函數(shù)值的大小，可考慮運(yùn)用三角函數(shù)的單調(diào)性加以解決．【課堂練習(xí)】1．若eq\r(3)+2cosx＜0，則x的范圍是．2．下列各區(qū)間，使函數(shù)y=sin(x+π)的單調(diào)遞增的區(qū)間是（）A．[eq\f(π,2)，π]B．［0，eq\f(π,4)］C．［－π，0］D．[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]3．下列函數(shù)中，周期為eq\f(π,2)的偶函數(shù)是（）A．y=sin4xB．y=cos22x－sin22xC．y=tan2xD．y=cos2x4．判斷下列函數(shù)的奇偶性（1）y=xsinx+x2cos2x是函數(shù)；（2）y=｜sin2x｜－xcotx是函數(shù)；（3）y=sin(eq\f(7π,2)+3x)是函數(shù)．5．函數(shù)f(x)=cos(3x+φ)是奇函數(shù)，則φ的值為．【課后反饋】1．函數(shù)y=lg(2cosx－1)的定義域?yàn)椋ǎ〢．{x｜－eq\f(π,3)＜x＜eq\f(π,3)}B．{x｜－eq\f(π,6)＜x＜eq\f(π,6)｝C．{x｜2kπ－eq\f(π,3)＜x＜2kπ+eq\f(π,3)，k∈Z}D．{x｜2kπ－eq\f(π,6)＜x＜2kπ+eq\f(π,6)，k∈Z}2．如果α、β∈（eq\f(π,2)，π），且tanα＜cotβ，那么必有（）A．α＜βB．β＜αC．α+β＜eq\f(3π,2)D．α+β＞eq\f(3π,2)3．若f(x)sinx是周期為π的奇函數(shù)，則f(x)可以是（）A．sinxB．cosxC．sin2xD．cos2x4．下列命題中正確的是（）A．若α、β是第一象限角，且α＞β，且sinα＞sinβB．函數(shù)y=sinxcotx的單調(diào)遞增區(qū)間是（2kπ－eq\f(π,2)，2kπ+eq\f(π,2)），k∈ZC．函數(shù)y=eq\f(1－cos2x,sin2x)的最小正周期是2πD．函數(shù)y=sinxcos2φ－cosxsin2φ的圖象關(guān)于y軸對稱，則φ=eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)，k∈Z5．函數(shù)y=sineq\f(x,2)+coseq\f(x,2)在（－2π，2π）內(nèi)的遞增區(qū)間是．6．y=sin6x+cos6x的周期為．7．比較下列函數(shù)值的大?。海?）sin2，sin3，sin4；(2)cos2θ，sin2θ，tan2θ（eq\f(π,4)＜θ＜eq\f(π,2)）．8．設(shè)f(x)=sin(eq\f(k,5)x+eq\f(π,3))(k≠0)．(1)寫出f(x)的最大值M，最小值m，以及最小正周期T；（2）試求最小的正整數(shù)k，使得當(dāng)自變量x在任意兩個整數(shù)間（包括整數(shù)本身）變化時，函數(shù)f(x)至少有一個M與m．第6課三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（二）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象，會用“五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象，理解參數(shù)A、ω、φ的物理意義．掌握將函數(shù)圖象進(jìn)行對稱變換、平移變換、伸縮變換．會根據(jù)圖象提供的信息，求出函數(shù)解析式．【課堂練習(xí)】1．將y=cosx的圖象作關(guān)于x軸的對稱變換，再將所得的圖象向下平移1個單位，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)是（）A．y=cosx+1B．y=cosx－1C．y=－cosx+1D．y=－cosx－12．函數(shù)f(x)=sin3x圖象的對稱中心的坐標(biāo)一定是（）A．(eq\f(1,2)kπ，0)，k∈ZB．（eq\f(1,3)kπ，0），k∈ZC．（eq\f(1,4)kπ，0），k∈ZD．（kπ，0），k∈Z3．函數(shù)y=cos(2x+eq\f(π,2))的圖象的一個對稱軸方程為（）A．x=－－eq\f(π,2)B．x=－eq\f(π,4)C．x=eq\f(π,8)D．x=π4．為了得到函數(shù)y=4sin(3x+eq\f(π,4))，x∈R的圖象，只需把函數(shù)y=3sin(x+eq\f(π,4))的圖象上所有點(diǎn)（）A．橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍，縱坐標(biāo)不變B．橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,3)倍，縱坐標(biāo)不變C．縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍，橫坐標(biāo)不變D．縱坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,3)倍，橫坐標(biāo)不變．5．要得到y(tǒng)=sin(2x－eq\f(π,3))的圖象，只需將y=sin2x的圖象（）A．向左平移eq\f(π,3)個單位B．向右平移eq\f(π,3)個單位C．向左平移eq\f(π,6)個單位D．向右平移eq\f(π,6)個單位【典型例題】例1函數(shù)y=Asin（ωx+φ)(A＞0，ω＞0，｜φ｜＜eq\f(π,2))的最小值為－2，其圖象相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)橫坐標(biāo)差3π，又圖象過點(diǎn)（0，1），求這個函數(shù)的解析式．分析求函數(shù)的解析式，即求A、ω、φ的值．A與最大、最小值有關(guān)，易知A=2，ω與周期有關(guān)，由圖象可知，相鄰最高點(diǎn)與最低點(diǎn)橫坐標(biāo)差3π，即eq\f(T,2)=3π．得T=6π，所以ω=eq\f(1,3)．所以y=2sin(eq\f(x,3)+φ），又圖象過點(diǎn)（0，1），所以可得關(guān)于φ的等式，從而可將φ求出，易得解析式為y=2sin(eq\f(x,3)＋eq\f(π,6)）．解略【點(diǎn)評】y=Asin(ωx+φ)中的A可由圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的確定，ω由周期的大小確定，φ的確定一般采用待定系數(shù)法，即找圖像上特殊點(diǎn)坐標(biāo)代入方程求解，也可由φ的幾何意義（圖象的左右平移的情況）等確定（請看下例）．xyxyeq\f(13π,3)ππeq\f(π,3)3－3O（1）試用y=Asin（ωx+φ)型函數(shù)表示其解析式；（2）求這個函數(shù)關(guān)于直線x=2π對稱的函數(shù)解析式．解：（1）T=eq\f(13π,3)－eq\f(π,3)=4π．∴ω=eq\f(2π,T)=eq\f(1,2)．又A=3，由圖象可知所給曲線是由y=3sineq\f(x,2)沿x軸向右平移eq\f(π,3)而得到的．∴解析式為y=3sineq\f(1,2)(x－eq\f(π,3))．(2)設(shè)（x，y)為y=3sin(eq\f(1,2)x－eq\f(π,6)）關(guān)于直線x=2π對稱的圖像上的任意一點(diǎn)，則該點(diǎn)關(guān)于直線x=2π的對稱點(diǎn)應(yīng)為（4π－x，y)，故與y=3sin(eq\f(1,2)x－eq\f(π,6)）關(guān)于直線x=2π對稱的函數(shù)解析式是y=3sin［eq\f(1,2)（4π－x)－eq\f(π,6)］=－3sin(eq\f(1,2)x＋eq\f(π,6)）．【點(diǎn)評】y=sin(ωx+φ)(ω＞0)的圖象由y=sinωx的圖象向左平移（φ＞0）或向右平移（φ＜0）eq\f(|φ|,ω)個單位．特別要注意不能搞錯平移的方向和平移的單位數(shù)量．求一個函數(shù)的圖象關(guān)于一條直線對稱圖象的函數(shù)解析式時，要注意解幾知識的運(yùn)用．例3已知函數(shù)y=eq\f(1,2)cos2x+eq\f(eq\r(3),2)sinxcosx+1(x∈R)．(1)當(dāng)y取得最大值時，求自變量x的集合；（2）該函數(shù)圖象可由y=sinx(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？解(1)y=eq\f(1,2)·eq\f(1+cos2x,2)+eq\f(eq\r(3),2)·eq\f(1,2)sin2x+1=eq\f(1,2)sin(2x+eq\f(π,6))+eq\f(5,4)．當(dāng)2x+eq\f(π,6)=2kπ+eq\f(π,2)，即x=kπ+eq\f(π,6)，k∈Z時，ymax=eq\f(7,4)．(2）由y=sinx圖象左移eq\f(π,6)個單位，再將圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,2)（縱坐標(biāo)不變），其次將圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,2)（橫坐標(biāo)不變），最后把圖象向上平移eq\f(5,4)個單位即可．思考還有其他變換途徑嗎？若有，請敘述．【點(diǎn)評】（1）回答圖像的變換時，不能省略“縱坐標(biāo)不變”、“橫坐標(biāo)不變”等術(shù)語．（2）周期變換后的左右平移要注意平移單位的變化．【注意】已知三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ）的圖象，欲求其解析式，必須搞清A、ω、φ和圖象的哪些因素有關(guān)；y=sinωx和y=sin(ωx+φ)兩圖象間平移變換的方向和平移的單位數(shù)量極易搞錯，解題時要倍加小心．【課后反饋】1．函數(shù)y=eq\f(1,2)sin(2x+θ)的圖象關(guān)于y軸對稱的充要條件是（）A．θ=2kπ+eq\f(π,2)B．θ=kπ+eq\f(π,2)C．θ=2kπ+πD．θ=kπ+π(k∈Z)2．先將函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移eq\f(π,3)個單位長度，再將所得圖象作關(guān)于y軸的對稱變換，則所得函數(shù)圖象對應(yīng)的解析式為（）A．y=sin(－2x+eq\f(π,3))B．y=sin(－2x－eq\f(π,3))yx－111C．y=sin(－2x+eq\f(2π,3))D．y=sin(－2x－eq\f(2π,3))yx－1113．右圖是周期為2π的三角函數(shù)y=f(x)的圖象，那么f(x)可以寫成（）A．sin(1+x)B．sin(－1－x)C．sin(x－1)D．sin(1－x)4．y=tan(eq\f(1,2)x－eq\f(π,3))在一個周期內(nèi)的圖象是（）OxxxxyyyyDCABOOOxxxxyyyyDCABOOOO5．已知函數(shù)y=2cosx(0≤x≤2π)的圖象與直線y=2圍成一個封閉的平面圖形，則該封閉圖形面積是．6．將y=sin(3x－eq\f(π,6))的圖象向（左、右）平移個單位可得y=sin(3x+eq\f(π,3)）的圖像．7．已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)，在同一個周期內(nèi)，當(dāng)x=eq\f(π,9)時取得最大值eq\f(1,2)，當(dāng)x=eq\f(4π,9)時取得最小值－eq\f(1,2)，若A＞0，ω＞0，｜φ｜＜eq\f(π,2)，求該函數(shù)的解析表達(dá)式．8．已知函數(shù)y=eq\r(3)sinx+cosx，x∈R．(1)當(dāng)y取得最大值時，求自變量x的取值集合；（2）該函數(shù)的圖象可由y=sinx(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？6101410203061014102030時間/hy溫度/℃（1）求這段時間的最大溫差；（2）寫出這段曲線的函數(shù)解析式．第7課三角函數(shù)的最值【學(xué)習(xí)目標(biāo)】掌握基本三角函數(shù)y=sinx和y=cosx的最值，及取得最值的條件；掌握給定區(qū)間上三角函數(shù)的最值的求法；能運(yùn)用三角恒等變形，將較復(fù)雜的三角函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化成一個角的一個三角函數(shù)的最值問題．【課堂練習(xí)】1．已知（1）cos2x=1.5；(2)sinx－cosx=2．5；(3)tanx+eq\f(1,tanx)=2；(4)sin3x=－eq\f(π,4)．上述四個等式成立的是（）A．（1）（2）B．（2）（4）C．（3）（4）D．（1）（3）2．當(dāng)x∈R時，函數(shù)y=2sin(2x+eq\f(π,12))的最大值為，最小值為，當(dāng)x∈〔－eq\f(5π,24)，eq\f(π,24)〕時函數(shù)y的最大值為，最小值為.3．函數(shù)y=sinx－eq\r(3)cosx的最大值為，最小值為．4．函數(shù)y=cos2x+sinx+1的值域?yàn)椋镜湫屠}】例1求函數(shù)f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最大值，并求出此時x的值．分析由于f（x）的表達(dá)式較復(fù)雜，需進(jìn)行化簡．解y=sin2x+cos2x+sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+2=eq\r(2)sin(2x+eq\f(π,4))+2當(dāng)2x+eq\f(π,4)=2kπ+eq\f(π,2)，即x=kπ+eq\f(π,8)(k∈Z)時，ymax=eq\r(2)+2．【點(diǎn)評】要熟練掌握y=asinx+bcosx類型的三角函數(shù)最值的求法，asinx+bcosx=eq\r(a2+b2)sin（x+φ）．例2若θ∈［－eq\f(π,12),eq\f(π,12)］，求函數(shù)y=cos(eq\f(π,4)+θ）+sin2θ的最小值．分析在函數(shù)表達(dá)式中，含有兩個角和兩個三角函數(shù)名稱，若能化成含有一個角和一個三角函數(shù)名稱的式子，則問題可得到簡化．解y=cos(eq\f(π,4)+θ)－cos［2(θ+eq\f(π,4))］=cos(eq\f(π,4)+θ)－［2cos2(θ+eq\f(π,4))－1］=－2cos2(θ+eq\f(π,4))+cos(eq\f(π,4)+θ)+1=－2［cos2(θ+eq\f(π,4))－eq\f(1,2)cos(θ+eq\f(π,4))］+1=－2［cos(θ+eq\f(π,4))－eq\f(1,4)］2+eq\f(9,8)．∵θ∈［－eq\f(π,12),eq\f(π,12)］，∴θ＋eq\f(π,4)∈［eq\f(π,6)，eq\f(π,3)］．∴eq\f(1,2)≤cos(θ+eq\f(π,4))≤eq\f(eq\r(3),2)，∴y最小值=eq\f(eq\r(3)－1,2)．【點(diǎn)評】（1）三角函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)化成一個角的一個三角函數(shù)的形式（即f(sinx)或g(cosx))，是常見的轉(zhuǎn)化目標(biāo)；（2）形如y=f(sinx)或y=g(cosx)的最值，常運(yùn)用sinx，cosx的有界性，通過換元轉(zhuǎn)化成y=at2+bt+c在某區(qū)間上的最值問題；（3）對于y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的最值的求法，應(yīng)先求出t=ωx+φ的值域，然后再由y=Asint和y=Acost的單調(diào)性求出最值．例3試求函數(shù)y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值．分析由于sinx+cosx與sinxcosx可以相互表示，所以令sinx+cosx=t，則原三角函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化成y=at2+bt+c在某區(qū)間上的最值問題．解令t=sinx+cosx，則y=t+t2+1=(t+eq\f(1,2))2+eq\f(3,4)，且t∈［－eq\r(2)，eq\r(2)］，∴ymin=eq\f(3,4)，ymax=3+eq\r(2)．【點(diǎn)評】注意sinx+cosx與sinxcosx的關(guān)系，運(yùn)用換元法將原三角函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化成y=at2+bt+c在某個區(qū)間上的最值問題．【注意】較復(fù)雜的三角函數(shù)的最值問題，往往通過需要恒等變形，轉(zhuǎn)化成形如y=f(sinx)或y=g(cosx)型或y=Asin(ωx+φ)+k型的三角函數(shù)的最值問題，運(yùn)用三角函數(shù)的有界性、單調(diào)性求三角函數(shù)的最值．用換元法解題，特別要注意sinx+tcosx與sinxcosx的關(guān)系，令sinx+cosx=t，則sinxcosx=eq\f(t2－1,2)．【課后反饋】1．函數(shù)y=eq\f(1,2+sinx+cosx)的最大值是（）A．eq\f(eq\r(2),2)－1B．eq\f(eq\r(2),2)＋1C．1－eq\f(eq\r(2),2)D．－1－eq\f(eq\r(2),2)2．若2α+β=π，則y=cosβ－6sinα的最大值和最小值分別為（）A．7，5B．7，－eq\f(11,2)C．5，－eq\f(11,2)D．7，－53．當(dāng)0≤x≤eq\f(π,2)時，函數(shù)f(x)=eq\f(sinx+1,cosx+1)的（）A．最大值為2，最小值為eq\f(1,2)B．最大值為2，最小值為0C．最大值為2，最小值不存在D．最大值不存在，最小值為04．已知關(guān)于x的方程cos2x－sinx+a=0，若0＜x＜eq\f(π,2)時方程有解，則a的取值范圍是（）A．［－1，1］B．（－1，1）C．［－1，0］D．（－∞，－eq\f(5,4)）5．要使sinα－eq\r(3)cosα=eq\f(4m－6,4－m)有意義，則m的取值范圍是．6．若f(x)=2sinωx(0＜ω＜1），在區(qū)間［0，eq\f(π,3)］上的最大值為eq\r(2)，則ω=．三、解答題7．y=sinxcosx+sinx+cosx，求x∈［0，eq\f(π,3)］時函數(shù)y的最大值．8．已知函數(shù)f(x)=－sin2x－asinx+b+1的最大值為0，最小值為－4，若實(shí)數(shù)a＞0，求a，b的值．9．已知函數(shù)f(x)=2cos2x+eq\r(3)sin2x+a，若x∈［0，eq\f(π,2)］，且｜f(x)｜＜2，求a的取值范圍．第8課解斜三角形【學(xué)習(xí)目標(biāo)】掌握正弦定理、余弦定理，能根據(jù)條件，靈活選用正弦定理、余弦定理解斜三角形．能根據(jù)確定三角形的條件，三角形中邊、角間的大小關(guān)系，確定解的個數(shù)．能運(yùn)用解斜三角形的有關(guān)知識，解決簡單的實(shí)際問題．【課堂練習(xí)】1．△ABC中，若sinAsinB＜cosAcosB，則△ABC的形狀為．2．在△ABC中，已知c=10，A=45°，C=30°，則b=．3．在△ABC中，已知a=eq\r(2)，b=2，∠B=45°，則∠A等于（）A．30°B．60°C．60°或120°D．30°或150°4．若三角形三邊之比為3∶5∶7，則這個三角形的最大內(nèi)角為（）A．60°B．90°C．120°D．150°5．貨輪在海上以40千米/小時的速度由B到C航行，航向的方位角∠NBC=140°，A處有燈塔，其方位角∠NBA=110°，在C處觀測燈塔A的方位角∠N′CA=35°，由B到C需航行半小時，則C到燈塔A的距離是（）CANBCN1‘1A．10eq\r(6)kmB．10eq\r(2)CANBCN1‘1C．10(eq\r(6)－eq\r(2))kmD．10（eq\r(6)＋eq\r(2)）km【典型例題】例1在△ABC中，已知a=3，c=3eq\r(3)，∠A=30°，求∠C及b分析已知兩邊及一邊的對角，求另一邊的對角，用正弦定理．注意已知兩邊和一邊的對角所對應(yīng)的三角形是不確定的，所以要討論．解∵∠A=30°，a＜c，c·sinA=eq\f(3eq\r(3),2)＜a，∴此題有兩解．sinC=eq\f(csinA,a)=eq\f(3eq\r(3)×eq\f(1,2),3)=eq\f(eq\r(3),2)，∴∠C=60°，或∠C=120°．∴當(dāng)∠C=60°時，∠B=90°，b=eq\r(a2+b2)=6．當(dāng)∠C=120°時，∠B=30°，b=a=3．【點(diǎn)評】已知兩邊和一邊的對角的三角形是不確定的，解答時要注意討論．例2在△ABC中，已知acosA=bcosB，判斷△ABC的形狀．分析欲判斷△ABC的形狀，需將已知式變形．式中既含有邊也含有角，直接變形難以進(jìn)行，若將三角函數(shù)換成邊，則可進(jìn)行代數(shù)變形，或?qū)⑦厯Q成三角函數(shù)，則可進(jìn)行三角變換．解方法一：由余弦定理，得a·（eq\f(b2+c2—a2,2bc)）=b·（eq\f(a2+c2—b2,2ac)），∴a2c2－a4－b2c2+b4=0．∴(a2－b2)(c2－a2－b2)=0．∴a2－b2=0，或c2－a2－b2=0．∴a=b，或c2=a2+b2．∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．方法二：由acosA=bcosB，得2RsinAcosA=2RsinBcosB．∴sin2A=sin2B．∴2A=2B，或2A=π－2B．∴A=B，或A+B=eq\f(π,2)．∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．【點(diǎn)評】若已知式中既含有邊又含有角，往往運(yùn)用余弦定理或正弦定理，將角換成邊或?qū)⑦厯Q成角，然后進(jìn)行代數(shù)或三角恒等變換．例3已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長分別為AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四邊形ABCD的面積．·ABCDO·ABCDO面積之和，由三角形面積公式及∠A+∠C=π可知，只需求出∠A即可．所以，只需尋找∠A的方程．解連結(jié)BD，則有四邊形ABCD的面積S=S△ABD+S△CDB=eq\f(1,2)AB·AD·sinA+eq\f(1,2)BC·CD·sinC．∵A+C=180°，∴sinA=sinC．故S=eq\f(1,2)（2×4+6×4）sinA=16sinA．在△ABD中，由余弦定理，得BD2=AB2+AD2－2AB·ADcosA=20－16cosA．在△CDB中，由余弦定理，得BD2=CB2+CD2－2CB·CD·cosC=52－48cosC．∴20－16cosA=52－48cosC．∵cosC=－cosA，∴64cosA=－32，cosA=－eq\f(1,2)．又∵0°＜A＜180°，∴A=120°．APCBba故S=16sin120°=8eq\r(3)APCBba【點(diǎn)評】注意兩個三角形的公用邊在解題中的運(yùn)用．例4墻壁上一幅圖畫，上端距觀察者水平視線b米，下端距水平視線a米，問觀察者距墻壁多少米時，才能使觀察者上、下視角最大．分析如圖，使觀察者上下視角最大，即使∠APB最大，所以需尋找∠APB的目標(biāo)函數(shù)．由于已知有關(guān)邊長，所以考慮運(yùn)用三角函數(shù)解之．解設(shè)觀察者距墻壁x米的P處觀察，PC⊥AB，AC=b，BC=a(0＜a＜b)，則∠APB=θ為視角．y=tanθ=tan(∠APC－∠BPC)=eq\f(tan∠APC—tan∠BPC,1+tan∠APC·tan∠BPC)==eq\f(b—a,x+eq\f(ab,x))≤eq\f(b—a,2eq\r(ab))，當(dāng)且僅當(dāng)x=eq\f(ab,x),即x=eq\r(ab)時，y最大．由θ∈（0，eq\f(π,2)）且y=tanθ在（0，eq\f(π,2)）上為增函數(shù)，故當(dāng)且僅當(dāng)x=eq\r(ab)時視角最大．【點(diǎn)評】注意運(yùn)用直角三角形中三角函數(shù)的定義解決解三角形的有關(guān)問題．【注意】運(yùn)用正弦定理或余弦定理，有時將有關(guān)式子轉(zhuǎn)化成僅含有邊的或僅含有角的式子，然后進(jìn)行代數(shù)或三角恒等變形，問題往往可以得解．在解決較復(fù)雜的幾何問題時，要注意兩個三角形公用邊的運(yùn)用．【課后反饋】1．△ABC中，tanA+tanB+eq\r(3)=eq\r(3)tanAtanB，sinAcosA=eq\f(eq\r(3),4)，則該三角形是（）A．等邊三角形B．鈍角三角形C．直角三角形D．等邊三角形或直角三角形2．在△ABC中，已知（b+c）∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，則此三角形的最大內(nèi)角為（）A．120°B．150°C．60°D．90°3．若A、B是銳角△ABC的兩個內(nèi)角，則點(diǎn)P（cosB－sinA，sinB－cosA）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限4．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC=5∶12∶13，則cosA=．5．在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，則∠C的大小為．6．已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的對邊，S是△ABC的面積，若a=4，b=5，s=5eq\r(3)，求c的長度．ACBOA‘7．在△ABC中，sin2ACBOA‘8．半圓O的直徑為2，A為直徑延長線上一點(diǎn)，且OA=2，B為半圓上任意一點(diǎn)，以AB為邊向外作等邊△ABC，問B