第06講 正多邊形和圓（知識(shí)解讀+真題演練+課后鞏固）（解析版）-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)（蘇科版）

第第頁(yè)第06講正多邊形和圓了解正多邊形和圓的有關(guān)概念；理解并掌握正多邊形半徑和邊長(zhǎng)、邊心距、中心角之間的關(guān)系，會(huì)應(yīng)用多邊形和圓的有關(guān)知識(shí)畫(huà)多邊形．知識(shí)點(diǎn)1圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算（1）正三角形在⊙中△是正三角形，有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行：；（2）正四邊形同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行，：（3）正六邊形同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行，.知識(shí)點(diǎn)2與正多邊形有關(guān)的概念1、正多邊形的中心正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心。2、正多邊形的半徑正多邊形的外接圓的半徑叫做這個(gè)正多邊形的半徑。3、正多邊形的邊心距正多邊形的中心到正多邊形一邊的距離叫做這個(gè)正多邊形的邊心距。4、中心角正多邊形的每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角叫做這個(gè)正多邊形的中心角。知識(shí)點(diǎn)3正多邊形的對(duì)稱性1、正多邊形的軸對(duì)稱性正多邊形都是軸對(duì)稱圖形。一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都通過(guò)正n邊形的中心。2、正多邊形的中心對(duì)稱性邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形是中心對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱中心是正多邊形的中心。3、正多邊形的畫(huà)法先用量角器或尺規(guī)等分圓，再做正多邊形?！绢}型1正多邊形與圓求角度】【典例1】（2023?青羊區(qū)校級(jí)模擬）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，∠ADB的度數(shù)是（）A．20° B．30° C．45° D．60°【答案】B【解答】解：連接OB，∵多邊形ABCDEF是正多邊形，∴∠AOB＝＝60°，∴∠ADB＝∠AOB＝×60°＝30°．故選：B．【變式1-1】（2023?周村區(qū)二模）正八邊形的中心角的度數(shù)為（）A．36° B．45° C．60° D．72°【答案】B【解答】解：正八邊形的中心角的度數(shù)＝360°÷8＝45°，故選：B．【變式1-2】（2023?舒城縣二模）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P在上，Q是的中點(diǎn)，則∠CPQ的度數(shù)為（）A．30° B．36° C．45° D．60°【答案】C【解答】解：如圖，連接OC，OD，OQ，OE，∵正六邊形ABCDEF，Q是的中點(diǎn)，∴，，∴∠COQ＝∠COD+∠DOQ＝90°，∴，故選：C．【變式1-3】（2023?懷寧縣一模）如圖，五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形，AF是⊙O的直徑，則∠CDF的度數(shù)是（）A．18° B．36° C．54° D．72°【答案】A【解答】解：∵AF是⊙O的直徑，五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形，∴，，∠BAE＝∠BCD＝108°，∴，∴∠BAF＝∠BAE＝54°，∴∠BDF＝∠BAF＝54°，∵∠BCD＝108°，BC＝CD，∴∠BDC＝108°＝（180°﹣108°）＝36°，∠CDF＝∠BDF﹣∠BDC＝54°﹣36°＝18°．故選：A．【變式1-4】（2023?儀征市二模）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)F在弧AE上．若∠CDF＝95°，則∠FCD的大小為（）A．38° B．42° C．49° D．58°【答案】C【解答】解：如圖，連接OE，OD，CE，∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠CDE＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，∵∠CDF＝95°，∴∠FDE＝∠CDE﹣∠CDF＝108°﹣95°＝13°，∴∠FCE＝13°，∵正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，∴∠EOD＝360°÷5＝72°，∴∠ECD＝＝36°，∴∠FCD＝∠FCE+∠ECD＝36°+13°＝49°，故選：C．【變式1-5】（2023?丹陽(yáng)市模擬）如圖，邊長(zhǎng)相等的正五邊形和正六邊形如圖拼接在一起，則∠ABC的度數(shù)為（）A．22° B．23° C．24° D．25°【答案】C【解答】解：由題意得：正六邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于120°，正五邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于108°，∴∠BAC＝360°﹣120°﹣108°＝132°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝＝＝24°，故選：C．【題型2正多邊形與圓求線段長(zhǎng)度】【典例2】（2023?龍港市二模）如圖，要擰開(kāi)一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正六邊形螺帽，則扳手張開(kāi)的開(kāi)口b至少為（）A．2a B． C． D．【答案】B【解答】解：如圖，正六邊形ABCDEF的外接圓為⊙O，連AE，OA，BE，則點(diǎn)O在BE上，∵正六邊形ABCDEF，∴AB＝AF＝EF＝a，∠F＝∠FAB＝120°，∴∠FAE＝∠FEA＝＝30°，∴∠BAE＝120°﹣30°＝90°，在Rt△BEF中，AB＝a，∠AEB＝×60°＝30°，∴AE＝AB＝a，即b＝a，故選：B．【變式2-1】（2023?武威一模）生活中處處有數(shù)學(xué)，多邊形在生活中的應(yīng)用更是不勝枚舉．如圖是一個(gè)正六邊形的螺帽，它的邊長(zhǎng)是4cm，則這個(gè)正六邊形的半徑R和扳手的開(kāi)口a的值分別是（）A．2cm， B．4cm， C．4cm， D．4cm，【答案】B【解答】解：依題意一個(gè)正六邊形的螺帽，它的邊長(zhǎng)是4cm，則R＝4cm，連接AC，過(guò)B作BD⊥AC于D；∵AB＝BC，∴△ABC是等腰三角形，∴AD＝CD；∵此多邊形為正六邊形，∴∠ABC＝＝120°，∴∠ABD＝＝60°，∴∠BAD＝30°，AD＝AB?cos30°＝4×＝2，∴a＝2AD＝4cm．故選：B．【變式2-2】（2022秋?武義縣期末）如圖，一個(gè)蜂巢巢房的橫截面為正六邊形ABCDEF，若對(duì)角線AD的長(zhǎng)約為10mm，則正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為（）A．4mm B． C．5mm D．【答案】C【解答】解：連接BE，CF，BE、CF交于點(diǎn)O，如圖2，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，AD的長(zhǎng)約為10mm，∴∠AOF＝60°，OA＝OD＝OF，OA＝OD約為5mm，∴AF＝OA約為5mm，故選：C．【變式2-3】（2023?利州區(qū)模擬）一個(gè)圓的半徑為4，則該圓的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為（）A．2 B． C． D．8【答案】C【解答】解：如圖所示：⊙O的半徑為4，∵四邊形ABCD是正方形，∠B＝90°，∴AC是⊙O的直徑，∴AC＝2×4＝8，∵AB2+BC2＝AC2，AB＝BC，∴AB2+BC2＝64，解得：AB＝4，即⊙O的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)等于4．故選：C．【題型3正多邊形與圓求半徑】【典例3】（2022秋?鞏義市期末）如圖，已知⊙O的內(nèi)接正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則⊙O的半徑為（）A． B． C．1 D．【答案】B【解答】解：連接OB、OC，如圖所示，∵⊙O的內(nèi)接正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，∴OB＝OC，BC＝1，∠BOC＝90°，在Rt△BOC中，OB2+OC2＝2OB2＝BC2＝1，∴OB＝．故選：B．【變式3-1】（2022秋?慈溪市期末）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，正六邊形的周長(zhǎng)是12，則⊙O的半徑是（）A．1 B． C．2 D．【答案】C【解答】解：連接OB，OC，∵多邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形，∴OB＝OC＝BC，∵正六邊形的周長(zhǎng)是12，∴BC＝2，∴⊙O的半徑是2．故選：C．【變式3-2】（2023?宜春一模）若正方形的邊長(zhǎng)為8，則其外接圓的半徑是．【答案】．【解答】解：如圖：過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，∵圓O是四邊形ABCD的外接圓，∴∠OBE＝45°，∴△OBE是等腰直角三角形，∴BE＝CE，∵OE⊥BC，BC＝8，∴，∴．故其半徑等于．故答案為：．【題型4正多邊形與圓求面積】【典例4】（2022秋?呈貢區(qū)期末）正六邊形的邊長(zhǎng)為6cm，則該正六邊形的內(nèi)切圓面積為（）A．48πcm2 B．36πcm2 C．24πcm2 D．27πcm2【答案】D【解答】解：如圖，連接OA、OB，OG；∵正六邊形的邊長(zhǎng)為6cm，∴六邊形ABCDEF是半徑為6的正六邊形，∴△OAB是等邊三角形，∴OA＝AB＝6cm，∠OAB＝60°，∴OG＝OA?sin60°＝6×＝3（cm），∴邊長(zhǎng)為6cm的正六邊形的內(nèi)切圓的半徑為3cm．該正六邊形的內(nèi)切圓面積為cm2故選：D．【變式4-1】（2022秋?邯山區(qū)校級(jí)期末）如圖是一個(gè)正八邊形，圖中空白部分的面積等于12，則正八邊形的面積等于（）A．12 B．20 C．24 D．12【答案】A【解答】解：作出正方形ABCD．如圖所示：△AEF中，AE＝x，則AF＝x，EF＝x，正八邊形的邊長(zhǎng)是x．則正方形的邊長(zhǎng)是（2+）x．根據(jù)題意得：x（2+）x＝12，解得：x2＝6（﹣1）．則陰影部分的面積是：2[x（2+）x﹣2×x2]＝2（+1）x2＝2（+1）×6（﹣1）＝12．故選：A．【變式4-2】（2023?衡水二模）如圖，BD，DF是正六邊形ABCDEF的兩條對(duì)角線，已知四邊形ABDF的面積為8，則陰影部分的面積為（）?A．2 B．4 C． D．【答案】B【解答】解：如圖，連接AD，則AD過(guò)正六邊形ABCDEF的外接圓的圓心O，連接OB，由對(duì)稱性可知，S△ABD＝S△FAD＝S四邊形AFDB＝4，S△BCD＝S△DEF，∵正六邊形ABCDEF，∴∠AOB＝＝60°，BC∥AD，∵OA＝OB，∴△AOB是等邊三角形，∴OA＝OB＝AB＝BC，∴S△BCD＝S△BOD＝S△AOB，∴S陰影部分＝S△ABD＝4，故選：B．【變式4-3】（2023?桓臺(tái)縣一模）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，若⊙O的周長(zhǎng)等于6π，則正六邊形的面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：連接OB、OC，作OH⊥BC于點(diǎn)H，∵⊙O的周長(zhǎng)等于6π，∴⊙O的半徑為：，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴，∴△BOC是等邊三角形，∴BC＝OB＝OC＝3，∴OH＝OB?sin∠OBC＝3×＝，∴＝，∴，故選：D【題型5正多邊形與圓求周長(zhǎng)】【典例5】（2023?欽州一模）如圖，若一個(gè)正六邊形的對(duì)角線AB的長(zhǎng)為10，則正六邊形的周長(zhǎng)（）A．5 B．6 C．30 D．36【答案】C【解答】解：如圖，連接CD、EF，則點(diǎn)O是正六邊形ACEBDE的中心，∵正六邊形ACEBDE，∴∠AOC＝∠COE＝∠EOB＝∠BOD＝∠DOF＝∠FOA＝＝60°，∵OA＝OC＝OE＝OB＝OD＝OF，∴△AOC是正三角形，∴AC＝AB＝5，∴正六邊形ACEBDF的周長(zhǎng)為5×6＝30，故選：C．【變式5-1】（2022秋?開(kāi)封期末）一個(gè)正多邊形的邊長(zhǎng)是3，從一個(gè)頂點(diǎn)可以引出4條對(duì)角線，則這個(gè)正多邊形的周長(zhǎng)是（）A．12 B．15 C．18 D．21【答案】D【解答】解：∵經(jīng)過(guò)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有4條對(duì)角線，∴這個(gè)多邊形有4+3＝7條邊，∴這個(gè)正多邊形的周長(zhǎng)是7×3＝21，故選：D．【變式5-2】（2022秋?盤龍區(qū)期末）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑是1，則正六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)是（）A． B．6 C． D．12【答案】B【解答】解：如圖，連接OA，OB．在正六邊形ABCDEF中，OA＝OB＝1，∠AOB＝＝60°，∴△OAB是等邊三角形，∴AB＝OA＝1，∴正六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)是1×6＝6．故選：B．【題型6正多邊形與直角坐標(biāo)系綜合】【典例6】（2023?西和縣一模）在2022年北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大同、天下一家”的主題，讓世界觀眾感受到中國(guó)人的浪漫，如圖，將“雪花”圖案（邊長(zhǎng)為4的正六邊形ABCDEF）放在平面直角坐標(biāo)系中，“雪花”中心與原點(diǎn)重合，C，F(xiàn)在y軸上，則頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A．（4，2） B．（4，4） C． D．【答案】C【解答】解：連接OB，OA，如圖所示：∵正六邊形是軸對(duì)稱圖形，中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，∴△AOB是等邊三角形，AO＝BO＝AB＝4，AB⊥x軸，AM＝BM，∵AB＝4，∴AM＝BM＝2，∴OM＝，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（2，2），故選：C．【變式6-1】（2023?洛龍區(qū)一模）在2022年北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大同、天下一家”的主題，讓世界觀眾感受了中國(guó)人的浪漫．如圖，將“雪花”圖案（邊長(zhǎng)為4的正六邊形ABCDEF）放在平面直角坐標(biāo)系中，若AB與x軸垂直，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，﹣3），則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）?A．） B． C．D．【答案】B【解答】解：如圖，連接BD交CF于點(diǎn)M，則點(diǎn)B（2，1），在Rt△BCM中，BC＝4，∠BCM＝×120°＝60°，∴CM＝BC＝2，BM＝BC＝2，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為﹣（2﹣2）＝2﹣2，縱坐標(biāo)為1+2＝3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2﹣2，3），故選：B．【變式6-2】（2022秋?綿陽(yáng)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正六邊形OABCDE的邊長(zhǎng)是4，則它的內(nèi)切圓圓心M的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．（2，4）【答案】A【解答】解：如圖所示，作OE、CD的垂直平分線交于點(diǎn)F，即為內(nèi)切圓圓心M，連接MO，ME，∵正六邊形OABCDE的邊長(zhǎng)是4，∴OH＝HE＝2，△OME為等邊三角形，∠OMH＝30°，∴MO＝2OH＝4，∴∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為：故選：A．1．（2023?臨沂）將一個(gè)正六邊形繞其中心旋轉(zhuǎn)后仍與原圖形重合，旋轉(zhuǎn)角的大小不可能是（）A．60° B．90° C．180° D．360°【答案】B【解答】解：由于正六邊形的中心角為＝60°，所以正六邊形繞其中心旋轉(zhuǎn)后仍與原圖形重合，旋轉(zhuǎn)角可以為60°或60°的整數(shù)倍，即可以為60°，120°，180°，240°，300°，360°，不可能是90°，故選：B．2．（2023?內(nèi)江）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P在上，點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，則∠CPQ的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．36° D．60°【答案】B【解答】解：如圖，連接OC，OD，OQ，OE，∵正六邊形ABCDEF，Q是的中點(diǎn)，∴∠COD＝∠DOE＝＝60°，∠DOQ＝∠EOQ＝∠DOE＝30°，∴∠COQ＝∠COD+∠DOQ＝90°，∴∠CPQ＝∠COQ＝45°，故選：B．3．（2023?安徽）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，連接OC，OD，則∠BAE﹣∠COD＝（）A．60° B．54° C．48° D．36°【答案】D【解答】解：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠BAE＝＝108°，∠COD＝＝72°，∴∠BAE﹣∠COD＝108°﹣72°＝36°，故選：D．4．（2023?自貢）第29屆自貢國(guó)際恐龍燈會(huì)“輝煌新時(shí)代”主題燈組上有一幅不完整的正多邊形圖案，小華量得圖中一邊與對(duì)角線的夾角∠ACB＝15°，算出這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】D【解答】解：∵AB＝CB，∠ACB＝15°，∴∠ABC＝180°﹣15°﹣15°＝150°，設(shè)這個(gè)正多邊形為正n邊形，則＝150°，解得n＝12，經(jīng)檢驗(yàn)n＝12是原方程的解，即這個(gè)正多邊形是正十二邊形，故選：D．5．（2022?綿陽(yáng)）在2022年北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大同、天下一家”的主題，讓世界觀眾感受了中國(guó)人的浪漫．如圖，將“雪花”圖案（邊長(zhǎng)為4的正六邊形ABCDEF）放在平面直角坐標(biāo)系中，若AB與x軸垂直，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，﹣3），則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）（2﹣2，3）B．（0，1+2）C．（2﹣，3） D．（2﹣2，2+）【答案】A【解答】解：如圖，連接BD交CF于點(diǎn)M，則點(diǎn)B（2，1），在Rt△BCM中，BC＝4，∠BCM＝×120°＝60°，∴CM＝BC＝2，BM＝BC＝2，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為﹣（2﹣2）＝2﹣2，縱坐標(biāo)為1+2＝3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2﹣2，3），故選：A．6．（2022?雅安）如圖，已知⊙O的周長(zhǎng)等于6π，則該圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距OG為（）A．3 B． C． D．3【答案】C【解答】解：連接OC，OD，∵正六邊形ABCDEF是圓的內(nèi)接多邊形，∴∠COD＝60°，∵OC＝OD，OG⊥CD，∴∠COG＝30°，∵⊙O的周長(zhǎng)等于6π，∴OC＝3，∴OG＝3cos30°＝，故選：C．1．（2023?長(zhǎng)沙縣二模）正六邊形的半徑為4，則它的邊心距是（）A．2 B．4 C．2 D．2【答案】C【解答】解：如圖，連接OA、OB；過(guò)點(diǎn)O作OG⊥AB于點(diǎn)G．在Rt△AOG中，OA＝4，∠AOG＝30°，∴OG＝OA?cos30°＝4×＝2，故選：C．2．（2022秋?中山區(qū)期末）如圖，已知正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，連結(jié)BD，則∠CDB的度數(shù)是（）A．72° B．54° C．36° D．30°【答案】C【解答】解：∵正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，∴∠COB＝×360°＝72°，∴∠CDB＝∠COB＝×72°＝36°，∴∠CDB的度數(shù)是36°，故選：C．3．（2022秋?江津區(qū)期末）如圖，⊙O是正方形ABCD的外接圓，若⊙O的半徑為2，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為（）A．1 B． C． D．【答案】D【解答】解：連接OA、OC，∵⊙O是正方形ABCD的外接圓，∴∠AOD＝×360°＝90°，∵⊙O的半徑為2，∴OA＝OD＝2，∴AD＝＝＝2，∴正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，故選：D．4．（2022秋?南開(kāi)區(qū)校級(jí)期末）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為2，則邊心距OM的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵六邊形ABCDEF為正六邊形，，∵OA＝OB，∴△OAB是等邊三角形，∴AB＝OA＝2，∵OM⊥AB，∴，∴，故選：A．4．（2023?順慶區(qū)校級(jí)二模）如圖，在正六邊形ABCDEF中，M，N分別為邊CD，BC的中點(diǎn)，AN與BM相交于點(diǎn)P，則∠APM的度數(shù)是（）A．110° B．120° C．118° D．122°【答案】B【解答】解：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠ABC＝∠BCD＝＝120°，AB＝BC＝CD，∵M(jìn)，N分別為邊CD，BC的中點(diǎn)，∴BN＝CM，∴△ABN≌△BCM（SAS），∴∠BNP＝∠CMB，∵∠CBM＝∠PBN，∴∠BPN＝∠BCD＝120°，∴∠APM＝120°，故選：B．5．（2023?張家口四模）如圖，點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為4的正六邊形ABCDEF的中心，對(duì)角線CE，DF相交于點(diǎn)G，則△GEF的面積為（）A．2 B．3 C． D．【答案】C【解答】解：∵ABCDEF是邊長(zhǎng)為4的正六邊形，∴CD＝DE＝DF，∠CDE＝∠DEF＝120°，∴∠CED＝∠ECD＝∠EDF＝∠EFD＝30°，∴∠FEG＝90°，∵EF＝4，∴EG＝EF＝，∴△GEF的面積＝EF?GE＝4×＝．故選：C．6．（2022秋?河西區(qū)校級(jí)期末）如圖，一個(gè)亭子的地基是半徑為4m的正六邊形，則該正六邊形地基的面積是（）A．24m2 B． C．48m2 D．【答案】B【解答】解：如圖，連接OB，OC，則OB＝OC＝4m，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴，∴△OBC是等邊三角形，∴BC＝CO＝BO＝4m，，∴．故選：B．7．（2023?忻州模擬）大自然中有許多小動(dòng)物都是“小數(shù)學(xué)家”