高考復(fù)習(xí)二輪專項(xiàng)練習(xí)數(shù)學(xué)專題突破練15空間位置關(guān)系空間角的向量方法

專題突破練15空間位置關(guān)系、空間角的向量方法1.(2021·江蘇揚(yáng)州一模)如圖,在四棱錐PABCD中,四邊形ABCD為平行四邊形,BD⊥DC,△PCD為正三角形,平面PCD⊥平面ABCD,E為PC的中點(diǎn).求證:(1)AP∥平面EBD;(2)BE⊥PC.2.(2021·江蘇泰州模擬)在正四棱錐PABCD中,AB=2,PA=6,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),過直線EF的平面α分別與側(cè)棱PB,PD交于點(diǎn)M,N.(1)求證:MN∥BD;(2)若EF=2MN,求直線PA與平面α所成角的正弦值.3.(2021·湖南常德一模)如圖,已知斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形,D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且四邊形ABCD是菱形,AC∩BD=O,四邊形ACC1A1為正方形,平面A1DC1⊥平面A1B1C1.(1)求證:B1O⊥平面ABCD;(2)求二面角CDC1A1的正弦值.4.(2021·全國(guó)乙,理18)如圖,四棱錐PABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,M為BC的中點(diǎn),且PB⊥AM.(1)求BC;(2)求二面角APMB的正弦值.5.(2021·山東泰安一模)如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2AD=2,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點(diǎn).(1)若PA=1,求證:AE⊥平面PCD;(2)當(dāng)直線PC與平面ACE所成的角最大時(shí),求三棱錐EABC的體積.6.(2021·山東日照二模)如圖,在三棱錐ABCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,∠ACB=∠ACD=θ.(1)求證:AC⊥BD.(2)有三個(gè)條件:①θ=60°;②直線AC與平面BCD所成的角為45°;③二面角ACDB的余弦值為33.請(qǐng)你從中選擇一個(gè)作為條件,求直線BC與平面ACD所成角的正弦值專題突破練15空間位置關(guān)系、空間角的向量方法1.證明(1)連接AC交BD于點(diǎn)O,連接OE,因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形,所以O(shè)為AC的中點(diǎn).又E為PC的中點(diǎn),所以AP∥OE.又AP?平面EBD,OE?平面EBD,所以AP∥平面EBD.(2)因?yàn)椤鱌CD為正三角形,E為PC的中點(diǎn),所以PC⊥DE.因?yàn)槠矫鍼CD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,BD?平面ABCD,BD⊥CD,所以BD⊥平面PCD.又PC?平面PCD,所以PC⊥BD.又BD∩DE=D,所以PC⊥平面BDE.又BE?平面BDE,所以BE⊥PC.2.(1)證明因?yàn)镋,F分別是AB,AD的中點(diǎn),所以EF∥BD,又EF?平面PBD,BD?平面PBD,所以EF∥平面PBD.又EF?平面α,平面α∩平面PBD=MN,所以EF∥MN,所以MN∥BD.(2)解因?yàn)镋,F分別是AB,AD的中點(diǎn),所以EF=12BD又EF=2MN,所以BD=4MN.由(1)知MN∥BD,所以PM=14PB如圖,以BD的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,則A(1,1,0),E(1,0,0),F(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,2),所以AP=(1,1,2),EF=(1,1,0),PB=(1,1,2),EB=(0,1,0),所以MB=34設(shè)平面α的法向量為n=(x,y,z),則n令x=3,則y=3,z=2,所以n=(3,3,2)為平面α的一個(gè)法向量.設(shè)直線PA與平面α所成的角為θ,則sinθ=|cos<AP,n>|=|AP所以直線PA與平面α所成角的正弦值為333.(1)證明如圖,取A1C1的中點(diǎn)M,連接MD,MB1,MO.由題意可知B1M∥BD,B1M=BO=OD,所以四邊形B1MDO是平行四邊形.因?yàn)锳1B1=B1C1,所以B1M⊥A1C1.因?yàn)樗倪呅蜛CC1A1為正方形,所以O(shè)M⊥A1C1.又OM∩B1M=M,所以A1C1⊥平面B1MDO.又MD?平面B1MDO,所以A1C1⊥DM.又平面A1DC1⊥平面A1B1C1,平面A1DC1∩平面A1B1C1=A1C1,DM?平面A1DC1,所以DM⊥平面A1B1C1.又平面ABCD∥平面A1B1C1,所以DM⊥平面ABCD.因?yàn)樗倪呅蜝1MDO是平行四邊形,所以B1O∥DM,所以B1O⊥平面ABCD.(2)解以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OC,OD,OB1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則C(1,0,0),D(0,3,0),C1(1,3,1),A1(1,3,1),所以CD=(1,3,0),DC1=(1,0,1),A1C1=(2,0,0),OD設(shè)平面CDC1的法向量為m=(x,y,z),則m令y=1,則x=3,z=3,所以m=(3,1,3)為平面CDC1的一個(gè)法向量.因?yàn)镺D·A1C1=0,OD·DC1=0,所以O(shè)D=(0,設(shè)二面角CDC1A1的大小為θ,則|cosθ|=|cos<m,OD>|=|m·OD||m||所以二面角CDC1A1的正弦值為424.解(1)連接BD.∵PD⊥底面ABCD,AM?底面ABCD,∴PD⊥AM.∵PB⊥AM,PB∩PD=P,∴AM⊥平面PBD,∴AM⊥BD,∴∠ADB+∠DAM=90°.又∠DAM+∠MAB=90°,∴∠ADB=∠MAB,∴Rt△DAB∽R(shí)t△ABM,∴AD∴12BC2=1,∴(2)如圖,以D為原點(diǎn),DA,DC,DP分別為x,y可得A(2,0,0),B(2,1,0),M22,1,0,P(0,0,1),AP=(2,0,1),AM=22,1,0,BM=22,0,0,BP=(2設(shè)平面AMP的一個(gè)法向量為m=(x1,y1,z1),則m令x1=2,則y1=1,z1=2,可得m=(2,1,2).設(shè)平面BMP的一個(gè)法向量為n=(x2,y2,z2),同理可得n=(0,1,1).則cos<m,n>=m設(shè)二面角APMB的平面角為θ,則sinθ=15.(1)證明∵PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,∴PA⊥CD.∵四邊形ABCD為矩形,∴AD⊥CD.又AD∩PA=A,∴CD⊥平面PAD.又AE?平面PAD,∴CD⊥AE.∵PA=AD=1,E為PD的中點(diǎn),∴AE⊥PD.又PD∩CD=D,∴AE⊥平面PCD.(2)解以A為原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.設(shè)AP=a(a>0),則C(2,1,0),P(0,0,a),E0,∴AC=(2,1,0),AE=0,12,a2,PC=(2,1,設(shè)平面ACE的法向量為n=(x,y,z),則AC令y=a,則x=a2,z=1,∴n=a2,-a設(shè)直線PC與平面ACE所成的角為θ,則sinθ=|cos<n,PC>|=|n當(dāng)且僅當(dāng)20a2=5a2,即a=2時(shí),∴當(dāng)a=2時(shí),直線PC與平面ACE所成的角最大,此時(shí)三棱錐EABC的體積為13×126.(1)證明如圖,取BD的中點(diǎn)O,連接OA,OC,則OC⊥BD.因?yàn)锽C=DC,∠ACB=∠ACD=θ.AC=AC,所以△ABC≌△ADC,所以AB=AD,所以O(shè)A⊥BD.又OA∩OC=O,所以BD⊥平面AOC.又AC?平面AOC,所以AC⊥BD.(2)解在直線AC上取點(diǎn)P,使得∠POC=90°,連接PB,PD,由(1)知BD⊥平面AOC,PO?平面AOC,所以BD⊥PO.又OC∩BD=O,所以PO⊥平面BCD.由(1)知OC⊥BD,所以O(shè)C,OD,OP兩兩互相垂直.以O(shè)為原點(diǎn),OC,OD,OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.如圖所示.因?yàn)椤螧CD=90°,BC=CD=1,所以O(shè)C=OB=OD=2又PO⊥平面BCD,所以PB=PC=PD.選①,由θ=60°,可知△PCD是等邊三角形,所以PD=CD=1,OP=22.所以P0,0,22,C22,0,0,D0設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z),則n取x=1,則y=z=1,所以n=(1,1,1)為平面PCD的一個(gè)法向量.設(shè)直線BC與平面PCD所成的角為α,則sinα=|cos<BC,n>|=|因?yàn)槠矫鍭CD與平面PCD為同一個(gè)平面,所以直線BC與平面ACD所成角的正弦值為6選②,由PO⊥平面BCD,可知∠PCO為直線AC與平面BCD所成的角,所以∠PCO=45°,所以O(shè)P=OC=22.所以P0,0,22,C22,0,0,D0,22,設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z),則n取x=1,則y=z=1,所以n=(1,1,1)為平面PCD的一個(gè)法向量.設(shè)直線BC與平面PCD所成的角為α,則sinα=|cos<BC,n>|=|因?yàn)槠矫鍭CD與平面PCD為同一個(gè)平面,所以直線BC與平面ACD所成角的正弦值為6選③,作PM⊥CD,垂足為M,連接OM.由PO⊥平面BCD,CD?平面BCD,可知PO⊥CD.又PO∩PM=P,所以