中考數(shù)學(xué)幾何模型重點(diǎn)突破講練：專題20 中點(diǎn)四邊形模型（教師版）

內(nèi)容導(dǎo)航：模型分析→典例分析→模型演練內(nèi)容導(dǎo)航：模型分析→典例分析→模型演練【模型】如圖20-1,已知點(diǎn)E、F、G、H分別為四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，分別連接→(1)四邊形EFGH為平行四邊形；(2)四邊形EFGH的周長(zhǎng)為AC+BD。,,,圖20-1如圖20-2,除具備模型中所有結(jié)論外，還可知四邊形EFGH為菱形?！纠?】下列命題中，假命題是()D.順次聯(lián)結(jié)兩組鄰邊互相垂直的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形【分析】根據(jù)平行四邊形、特殊的平行四邊形的判定、中位線定理、中點(diǎn)四邊形的定義進(jìn)行判定即可.D:順次聯(lián)結(jié)兩組鄰邊互相垂直的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形，錯(cuò)誤.【例2】如圖，連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形EFGH,還要添加一個(gè)條件,能使四邊形∠1=∠2,再證明四邊形EFGH是平行四邊形，當(dāng)∠EFG=90°,四邊形EFGH是矩形，所以∠2=90°,因此故還要添加AC⊥BD,才能保證四邊形EFGH是矩形.【例3】我們給出如下定義：順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形.圖1圖2(1)如圖1,在四邊形ABCD中，點(diǎn)E,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，中點(diǎn)四邊形EFGH(2)如圖2,點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,點(diǎn)E,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn).猜想中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想.(3)若改變(2)中的條件，使∠APB=∠CPD=90°,其他條件不變，直接寫出中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀【答案】(1)平行四邊形；(2)菱形，見(jiàn)解析；(3)正方形【分析】(1)連接BD,根據(jù)三角形中位線定理證明EH|FG,EH=FG,根據(jù)平行四邊形的判定定理證明即(2)證明△APC≌△BPD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC=BD,再證明EF=FG,根據(jù)菱形的判定定理證(3)證明∠EHG=90°,利用△APC≌△BPD,得到∠ACP=∠BDP,即可證明∠COD=∠CPD=90°,再根據(jù)平行線的性質(zhì)證明∠EHG=90°,根據(jù)正方形的判定定理證明即可.【解析】解：(1)如圖1,連接BD,圖1∵點(diǎn)E,H分別為邊AB,DA的中點(diǎn)，∵點(diǎn)F,G分別為邊BC,CD的中點(diǎn)，∴中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形，故答案為：平行四邊形；(2)結(jié)論：四邊形EFGH是菱形，理由：如圖2,連接AC,BD.∵點(diǎn)E,F,G分別為邊AB,BC,CD由(1)知中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形，(3)結(jié)論：四邊形EFGH是正方形，理由：如圖2,設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O.AC與PD交于點(diǎn)M,由(2)知中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形，∴菱形EFGH是正方形.一、單選題1.我們把順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形，下列說(shuō)法正確的是()A.任意一個(gè)四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形B.任意一個(gè)平行四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形C.對(duì)角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形D.對(duì)角線垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是正方形正方形.由此即可解答.【解析】選項(xiàng)A,由任意一個(gè)四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形可判定選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B,任意一個(gè)平行四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形，選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C,由對(duì)角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形可判定選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D,由對(duì)角線垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形可判定選項(xiàng)D錯(cuò)誤.2.若順次連接一個(gè)四邊形的四邊中點(diǎn)所組成的四邊形是矩形，則原四邊形一定是()A.一般平行四邊形【解析】因?yàn)槿我馑倪呅蔚闹悬c(diǎn)四邊形都是平行四邊形，而中點(diǎn)四邊形的兩組對(duì)邊條對(duì)角線平行的，矩形相鄰兩邊是互相垂直的，所以原四邊形的對(duì)角線應(yīng)該互相垂直.3.我們給出如下定義，順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形.如圖，點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,點(diǎn)E,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，則中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀是()【分析】連接AC、BD,證明△APC≌△BPD(SAS),再根據(jù)中位線定理得到EF=FG=GH=EH,從而證:·:·A.4B.6故選A.5.李優(yōu)的窗簾廠準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種規(guī)格相同但顏點(diǎn)綴窗簾，點(diǎn)E、F、G、H分別是四邊形ABCD各邊的中點(diǎn).其中陰影部分用甲布料，其余部分用乙布料(裁剪兩種布料時(shí)，損耗不計(jì)).若生產(chǎn)這批圖案需要甲布料50匹，那么需要乙布料()【分析】連接AC,BD,根據(jù)三角形中位線定理證明△BEF∽△BAC,可得同理可得,從而得到,繼而得到∵甲布料50匹，∴乙布料50匹.則圖中陰影部分的面積為()A.8【分析】連接AC,BD,FH,EG,得出平行四邊形ABFH,推出HF=AB=2,同理EG=AD=4,求出四邊形EFGH是菱形，根據(jù)菱形的面積等于,代入求出即可.分別為邊AB,BC,CD,DA,,∴AD=BC,AD//BC,二、填空題四邊形ABCD,E,F,G,H是四邊形的中點(diǎn)，故答案為：平行四邊形.8.如圖，連接四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，得到四邊形EFGH,還要添加,才能保證四邊形EFGH是正方形.【分析】根據(jù)三角形中位線定理、平行四邊形的判定定理得到四邊形EFGH為平行四邊形，根據(jù)正方形的判定定理即可得解.【解析】解：當(dāng)AC⊥BD,AC=BD時(shí)，四邊形EFGH為正方形.當(dāng)AC⊥BD,AC=BD時(shí)，EF⊥EH,EF=EH,【分析】如圖所示，由四邊形EFGH為矩形，根據(jù)矩形的四個(gè)角為直角得到∠FEH=90°,又EF為三角形ABD的中位線，根據(jù)中位線定理得到EF與DB平行，根據(jù)兩直線垂直定義得到AC與BD垂直.又∵點(diǎn)E、H分別是AD、CD各邊的中則AC⊥BD,故四邊形ABCD滿足的條件為對(duì)角線垂直故答案為ACLBD10.已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=60°,AC=3,BC=5,分別以AB,AC為邊向外側(cè)作等邊三角形ABM和等邊三角形ACN,連接MN,D,E,F,G分別是MB,BC,CN,MN的中點(diǎn)，則四邊形DEFG的【分析】連接BN,CM,過(guò)點(diǎn)N作NP⊥BC角BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,先證明△CAM≌△NAB,可得CM=NB,再三角形中位線定理可得四邊形DEFG是菱形，從而得到,再由直角三角形的性質(zhì)可得然后根據(jù)勾股定理可得BN=7,即可求解.【解析】解：如圖，連接BN,CM,過(guò)點(diǎn)N作NP⊥BC角BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,,EF//,EF//BW,,,∴四邊形DEFG是平行四邊形，故答案為：1411.如圖，順次連接菱形ABCD四邊的中點(diǎn)M,N,P,Q,則四邊形MNPQ是形.【答案】矩【分析】連接AC、BD交于點(diǎn)O,由菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD,再利用三角形中位線的性質(zhì)證明四邊形MNPQ是平行四邊形，MN1MQ,進(jìn)而證明四邊形MNPQ是矩形.∵點(diǎn)M,N,P,Q,故答案為：矩.12.如圖，順次連接第一個(gè)矩形各邊的中點(diǎn)得到第1個(gè)菱形，順次連接這個(gè)菱形各邊的中點(diǎn)得到第二個(gè)矩形，再順次連接第二個(gè)矩形各邊的中點(diǎn)得到第2個(gè)菱形，按照此方法繼續(xù)下去.已知第一個(gè)矩形的面積為6,則第n個(gè)菱形的面積為而而第1個(gè)菱形的面積為第1個(gè)矩形面積的一半，據(jù)此即可求解.【解析】解：∵已知第一個(gè)矩形的面積為6;由題意易得：第1個(gè)菱形的面積為第1個(gè)矩形的面積的一半，則第n個(gè)菱形的面積為第n個(gè)矩形的面積的一半，13.如圖，四邊形ABCD的四邊中點(diǎn)分別為E、F、G、H,順次連接E、F、G、H,(1)判斷四邊形EFGH形狀，并說(shuō)明理由；【答案】(1)平行四邊形，理由見(jiàn)解析；(2)菱形，理由見(jiàn)解析【分析】(1)連接AC,根據(jù)三角形中位線定理即可證得；(2)連接BD,由(1)得，四邊形EFGH是平行四邊形，再由三角形中位線定理，證得鄰邊相等，即可證得菱形.【解析】(1)四邊形EFGH為平行四邊形，理由如下：,∴EF/AC,且AC;GH|AC,(2)若AC=BD,則四邊形EFGH為菱形，(已證),且AC=BD(已證),且AC=BD,又∵四邊形EFGH為平行四邊形(已證),(1)我們知道：無(wú)論四邊形ABCD怎樣變化，它的中點(diǎn)四邊形EFGH都是平行四邊形.特殊的：②當(dāng)對(duì)角線AC⊥BD時(shí)，四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形是形.(2)如圖：四邊形ABCD中，已知∠B=∠C=60°,且BC=AB+CD,請(qǐng)利用(1)中的結(jié)論，判斷四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀并進(jìn)行證明.【答案】(1)①菱；②矩；(2)菱形，菱形見(jiàn)解析【分析】(1)①連接AC、BD,根據(jù)三角形中位線定理證明四邊形(2)分別延長(zhǎng)BA、CD相交于點(diǎn)M,連接AC、BD,證明△ABC≌△DMB,得到AC=DB,根據(jù)(1)①證明即可.【解析】(1)解：(1)①連接AC、BD,同理EF//HG∴四邊形EFGH都是平行四邊形，∵對(duì)角線AC=BD,∴四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形是菱形；②當(dāng)對(duì)角線AC⊥BD時(shí)，EF⊥EH,∴四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形是矩形；(2)四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形.理由如下：分別延長(zhǎng)BA、CD相交于點(diǎn)M,連接AC、BD,∴四邊形ABCD的對(duì)角線相等，中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形.15.如圖1,在四邊形ABCD中，如果對(duì)角線AC和BD相交并且相等，那么我們把這樣的四邊形稱為等角線四邊形.(2)如圖2,已知在△ABC中，∠ABC=90°,AB=4,BC=3,D為平面內(nèi)一點(diǎn).①若四邊形ABCD是等角線四邊形，且AD=BD,求符合條件的等角線四邊形的面積.②設(shè)點(diǎn)E是△ABC所在平面上的任意一點(diǎn)且CE=1,若四邊形ABED是等角線四邊形，求出四邊形ABED面積的最大值，并說(shuō)明理由.【答案】(1)①矩形；②AC⊥BD;(2)①3+2√21;②18,理由見(jiàn)解析(2)①如圖2中，作DE⊥AB于E.根據(jù)S邊形ABCD=SADE+SEBC計(jì)算，求出相關(guān)線段即可；②如圖3中，設(shè)AE與BD相交于點(diǎn)Q,連接CE,只要證明當(dāng)AC⊥BD且A、C、E共線時(shí)，四邊形ABED的面積最大即可.②當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形MNPQ是正方形.理由：如圖1,,分別是等角線四邊形ABCD四邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，,Pol/AC,MQI/BD,∴四邊形NMPQ是正方形.(2)①如圖2,作DE⊥AB于E.∵四邊形ABCD是等角線四邊形，②如圖3中，設(shè)AE與BD相交于點(diǎn)Q,連接CE,作DH⊥AE于H,BG⊥AE于G.則DHDQ,BGBQ,;;圖1圖2(2)如圖2,某市有一塊四邊形土地ABCD,AD=60米，DC=80米，∠ADC是直角，P是該四邊形土地內(nèi)王師傅設(shè)計(jì)出如下方案：取四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)E,F,G,H,然后在四邊形EFGH的GH,EH鋪上人行道地磚(人行道寬度不計(jì)),鋪設(shè)地磚成本為20元/米，經(jīng)測(cè)量AP=BP,CP=DP,∠APB=∠CPD=90°,設(shè)計(jì)要求是四邊形EFGH為正方形，請(qǐng)問(wèn)王師傅的設(shè)計(jì)方案是否符合要求，若符合，請(qǐng)寫【分析】(1)根據(jù)正方形的判定定理證明即可；證明AC⊥BD,利用四邊形EFGH為正方形.由勾股定理，得AC=100(米),)(米),即可求出鋪設(shè)地磚所需的費(fèi)用.∵AC=BD,∴EF=HG=EH=FG,∴四邊形EFGH是菱形，∵AC⊥BD,∴EF⊥FG,∴四邊形EFGH是正方形.∴AC⊥