第06講 平行線的性質(zhì)（核心考點(diǎn)講與練）-2021-2022學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期考試滿分全攻略（滬教版）（原卷版）

第06講平行線的性質(zhì)（核心考點(diǎn)講與練）一．平行線的性質(zhì)1、平行線性質(zhì)定理定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，同位角相等．定理2：兩條平行線被地三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．．簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等．簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．2、兩條平行線之間的距離處處相等．二．平行線的判定與性質(zhì)（1）平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．（2）應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時(shí)，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆．（3）平行線的判定與性質(zhì)的聯(lián)系與區(qū)別區(qū)別：性質(zhì)由形到數(shù)，用于推導(dǎo)角的關(guān)系并計(jì)算；判定由數(shù)到形，用于判定兩直線平行．聯(lián)系：性質(zhì)與判定的已知和結(jié)論正好相反，都是角的關(guān)系與平行線相關(guān)．（4）輔助線規(guī)律，經(jīng)常作出兩平行線平行的直線或作出聯(lián)系兩直線的截線，構(gòu)造出三類角．三．平行線之間的距離（1）平行線之間的距離從一條平行線上的任意一點(diǎn)到另一條直線作垂線，垂線段的長(zhǎng)度叫兩條平行線之間的距離．（2）平行線間的距離處處相等．一．平行線的性質(zhì)（共10小題）1．（2021春?浦東新區(qū)期末）如圖，由AB∥CD可以得到（）A．∠BAC＝∠DAC B．∠DAC＝∠ACB C．∠BAC＝∠DCA D．∠D+∠DCB＝180°2．（2021春?黃浦區(qū)期中）如圖，AB∥EG∥DC，AC∥EF，則圖中與∠1相等的角（不含∠1）有（）個(gè)．A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)3．（2021春?松江區(qū)期末）如圖，已知在△ABC中，點(diǎn)D在邊AC上，DA＝DB，過點(diǎn)D作DE∥AB交邊BC于點(diǎn)E，請(qǐng)說明∠BDE＝∠CDE的理由．4．（2021春?奉賢區(qū)期中）下列說法中，錯(cuò)誤的的個(gè)數(shù)有（）①如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角②連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短③如果兩條直線被第三條直線所截，那么同旁內(nèi)角互補(bǔ)④經(jīng)過點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．（2021春?普陀區(qū)期中）下列說法中，正確的有（）①如果兩條直線被第三條直線所截，那么內(nèi)錯(cuò)角相等；②在同一平面內(nèi)，經(jīng)過直線外的一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行；③聯(lián)結(jié)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短；④如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)6．（2021春?上海期中）已知AB∥CD，∠1＝95°，則∠2的度數(shù)是（）A．85° B．75° C．65° D．55°7．（2021秋?普陀區(qū)期中）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E是邊CD上一點(diǎn)，且AE平分∠BAD，BE平分∠ABC．求證：（1）AE⊥BE；（2）E是線段CD的中點(diǎn)．8．（2021春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）（1）如圖a所示，AB∥CD，且點(diǎn)E在射線AB與CD之間，請(qǐng)說明∠AEC＝∠A+∠C的理由；（2）現(xiàn)在如圖b示，仍有AB∥CD，但點(diǎn)E在AB與CD的上方，請(qǐng)嘗試探索∠1，∠2，∠E三者的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．9．（2021秋?玉門市期末）如圖1，直線AC∥BD，直線AC、BD及直線AB把平面分成（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）六個(gè)部分．點(diǎn)P是其中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA、PB，觀察∠APB、∠PAC、∠PBD三個(gè)角．規(guī)定：直線AC、BD、AB上的各點(diǎn)不屬于（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）六個(gè)部分中的任何一個(gè)部分．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第（1）部分時(shí)，可得：∠APB＝∠PAC+∠PBD，請(qǐng)閱讀下面的解答過程，并在相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)填注理由解：過點(diǎn)P作EF∥AC，如圖2因?yàn)锳C∥BD（已知），EF∥AC（所作），所以EF∥BD．所以∠BPE＝∠PBD．同理∠APE＝∠PAC．因此∠APE+∠BPE＝∠PAC+∠PBD，即∠APB＝∠PAC+∠PBD．（1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第（2）部分時(shí)，∠APB、∠PAC、∠PBD之間的關(guān)系是怎樣的？請(qǐng)直接寫出∠APB、∠PAC、∠PBD之間滿足的關(guān)系式，不必說明理由．（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在第（3）部分時(shí)，∠APB、∠PAC、∠PBD之間的關(guān)系是怎樣的？請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的結(jié)論．（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在第（4）部分時(shí)，∠APB、∠PAC、∠PBD之間的關(guān)系是怎樣的？請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的結(jié)論．10．（2021春?青浦區(qū)期中）已知，直線AB∥CD（1）如圖（1），點(diǎn)G為AB、CD間的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AG、CG．若∠A＝140°，∠C＝150°，則∠AGC的度數(shù)是多少？（2）如圖（2），點(diǎn)G為AB、CD間的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AG、CG．∠A＝x°，∠C＝y(tǒng)°，則∠AGC的度數(shù)是多少？（3）如圖（3），寫出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之間有何關(guān)系？直接寫出結(jié)論．二．平行線之間的距離（共3小題）11．（2018春?虹口區(qū)期中）兩條平行線間的距離是指（）A．其中一條直線上的一點(diǎn)到另一條直線的垂線 B．其中一條直線上的一點(diǎn)到另一條直線的垂線的長(zhǎng) C．其中一條直線上的一點(diǎn)到另一條直線的垂線段 D．其中一條直線上的一點(diǎn)到另一條直線的垂線段的長(zhǎng)12．（2011春?松江區(qū)期中）如圖：直線a∥b，則圖中與△BAD面積相等的三角形是．13．（2007春?浦東新區(qū)期末）如圖，已知點(diǎn)E、F分別在長(zhǎng)方形ABCD的邊AB、CD上，且AF∥CE，AB＝3，AD＝5，那么AE與CF的距離是．三．平行線的判定與性質(zhì)（共8小題）14．（2021春?閔行區(qū)期末）下列說法錯(cuò)誤的是（）A．經(jīng)過直線外的一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行 B．平行于同一條直線的兩條直線互相平行 C．兩條直線被第三條直線所截，截得的同位角相等 D．在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行15．（2021春?青浦區(qū)期中）下列說法不正確的是（）A．如果兩條平行線被第三條直線所截，那么一對(duì)同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直 B．同一平面內(nèi)，兩條不重合的直線不平行就相交 C．兩條直線的夾角α滿足0°＜α＜90° D．兩直線相交所形成的角中，若有三個(gè)角相等，則兩條直線垂直16．（2021春?楊浦區(qū)期中）下列說法中，正確的有（）①過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；②從直線外一點(diǎn)到直線的垂線段叫做點(diǎn)到直線的距離；③兩平行線間距離處處相等；④平行于同一直線的兩直線互相平行．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)17．（2021秋?普陀區(qū)期末）如圖，已知∠ABC與∠DCB互補(bǔ)，AC⊥BD，如果∠A＝40°，那么∠D的度數(shù)是．18．（2021春?閔行區(qū)期末）如圖，已知∠AHF＝130°，∠CGE＝50°，那么AB∥CD嗎？為什么？解：AB∥CD．理由如下：因?yàn)椤螦HF+∠AHE＝180°（），又因?yàn)椤螦HF＝130°（已知），所以∠AHE＝180°﹣∠AHF＝180°﹣130°＝50°（等式性質(zhì)）．因?yàn)椤螩GE＝50°（已知），得∠CGE＝∠AHE（）．所以AB∥CD（）．19．（2021春?楊浦區(qū)期末）如圖，已知∠ADE＝∠B，∠1+∠2＝180°，CD⊥AB，請(qǐng)?zhí)顚懤碛?，說明GF⊥AB．解：因?yàn)椤螦DE＝∠B（已知），所以DE∥BC（）．得∠1＝∠3（）．又因?yàn)椤?+∠2＝180°（已知），所以∠2+∠3＝180°（）．所以∥（）．所以∠FGB＝∠CDB（）．因?yàn)镃D⊥AB（已知），所以∠CDB＝90°（垂直的意義）．得∠FGB＝90°，所以GF⊥AB（垂直的意義）．20．（2021春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）如圖，AF、BD、CE是直線，點(diǎn)B在直線AC上，點(diǎn)E在直線DF上．∠A＝∠F，∠C＝∠D．說明∠1與∠2互補(bǔ)的理由．解：因?yàn)椤螦＝∠F（已知），所以AC∥DF（）．所以（）．因?yàn)椤螩＝∠D（已知），所以∠C＝∠DBA（等量代換），所以DB∥CE（），所以∠2+∠3＝180°（），因?yàn)椤?＝∠3（），所以∠2+∠1＝180°（等量代換）．21．（2021春?黃浦區(qū)期中）如圖，已知AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，EF⊥BC，垂足為點(diǎn)F，∠1+∠2＝180°，請(qǐng)補(bǔ)充完成∠CGD＝∠CAB的推理過程．證明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴∠ADC＝90°，∠EFC＝90°．∴∠ADC＝∠EFC．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練一．選擇題（共7小題）1．（2021春?松江區(qū)期中）下列說法中不正確的是（）A．平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行 B．過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行 C．平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 D．直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做這個(gè)點(diǎn)到直線的距離2．（2020春?金山區(qū)期末）如圖，若l1∥l2，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．∠1＝∠3 B．∠4＝∠2 C．∠1+∠3＝180° D．∠5+∠3＝180°3．（2020?鄒城市一模）如圖，把一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，如果∠1＝32°，那么∠2的度數(shù)是（）A．32° B．68° C．60° D．58°4．（2020?周村區(qū)二模）若將一個(gè)長(zhǎng)方形紙條折成如圖的形狀，則圖中∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系是（）A．∠1＝2∠2 B．∠1＝3∠2 C．∠1+∠2＝180° D．∠1+2∠2＝180°5．（2020春?嘉定區(qū)期末）如圖，將三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，如果∠1＝70°，那么∠2的度數(shù)為（）A．10° B．15° C．20° D．25°6．（2020春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）如圖，直線l1∥l2，∠1＝110°，∠2＝120°，那么∠3的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．60° D．70°7．（2020春?普陀區(qū)期末）如圖，已知直線a、b被直線c所截，a∥b，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的（）A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠3 C．∠2+∠3＝180° D．∠1+∠4＝180°二．填空題（共9小題）8．（2021?嘉定區(qū)三模）實(shí)驗(yàn)證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等，如圖，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射到平面鏡b上，又被b反射，如果被b反射出的光線n與光線m平行，且∠1＝37°，那么∠2的度數(shù)為．9．（2021春?松江區(qū)期中）如圖，如果AD∥BC，下列結(jié)論正確的是．（將正確的編號(hào)填寫在橫線上）①∠B＝∠D；②∠DAC＝∠ACB；③∠BAC＝∠ACD；④∠B+∠DCB＝180°．10．（2021春?西吉縣期末）如圖，∠ABC與∠DEF的邊BC與DE相交于點(diǎn)G，且BA∥DE，BC∥EF，如果∠B＝54°，那么∠E＝．11．（2021春?紅谷灘區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知a∥b，如果∠1＝70°，∠2＝35°，那么∠3＝度．12．（2021春?浦東新區(qū)期中）如圖，已知AB∥CD，∠ABC＝120°，∠1＝27°，則∠BCE＝°．13．（2021春?楊浦區(qū)期中）如圖，已知AB∥CD，如果∠1＝100°，∠2＝120°，那么∠3＝度．14．（2021春?普陀區(qū)期中）如圖，已知長(zhǎng)方形紙帶ABCD，AB∥CD，AD∥BC，∠C＝90°，∠DEF＝52°，將紙帶沿EF折疊后，點(diǎn)C、D分別落在H、G的位置，則下列結(jié)論中，正確的序號(hào)是．①∠BFE＝52°；②∠BMG＝52°；③∠AEG＝76°；④∠BFH＝76°．15．（2021春?普陀區(qū)期中）如圖，直線a、b被直線c、d所截，如果∠1＝∠2，∠3＝105°，那么∠4度數(shù)為．16．（2021春?青浦區(qū)期中）已知∠A＝30°，∠A的兩邊與∠B的兩邊分別平行，∠B＝．三．解答題（共11小題）17．（2021春?靜安區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，請(qǐng)說明AD∥BC的理由．解：因?yàn)锳B∥CD（已知），所以∠4＝∠BAE（），因?yàn)椤?＝∠4（已知），所以∠3＝∠BAE（），因?yàn)椤?＝∠2（已知），所以∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE，即∠BAE＝．所以∠3＝．（等量代換）因此AD∥BC（）．18．（2021春?浦東新區(qū)期末）如圖，∠ABE＝80°，BF是∠ABE的平分線，且BF∥CD，求∠C的度數(shù)．19．（2021春?松江區(qū)期末）閱讀并填空：如圖，AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分別為D、F，∠2+∠3＝180°．請(qǐng)說明∠GDB＝∠C的理由．解：因?yàn)锳D⊥BC，EF⊥BC（已知），所以∠ADC＝∠EFC＝90°（）．所以EF∥AD（）．所以∠1+∠2＝180°（）．又因?yàn)椤?+∠3＝180°（已知），所以∠1＝∠3（同角的補(bǔ)角相等）．所以∥（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．所以∠GDB＝∠C（）．20．（2021春?青浦區(qū)期中）如圖，已知AB∥CD，∠DAE＝∠CAB，∠ACB＝∠EFC，請(qǐng)說明AD∥BC．21．（2021春?金山區(qū)期末）已知：如圖，AB∥CD，AD和BC交于點(diǎn)O，E為OC上一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，且∠CEF+∠BOD＝180°．求證：∠EFC＝∠A．22．（2021春?上海期中）如圖，已知直線AB∥EF，AB∥CD，∠ABE＝50°，EC平分∠BEF，求∠DCE的度數(shù)．23．（2021春?浦東新區(qū)月考）如圖，已知CF⊥AB于F，ED⊥AB于D，∠1＝∠2，試說明FG與BC的位置關(guān)系．24．（2021春?浦東新區(qū)期中）如圖：∠1+∠2＝180°，∠C＝∠D，則∠A＝∠F嗎？請(qǐng)說明理由．答：解：25．（2021春?浦東新區(qū)期中）如圖，AB∥CD，∠B＝55°，∠D＝125°，試說明：BC∥DE．請(qǐng)補(bǔ)充說明過程，并在括號(hào)內(nèi)填上相應(yīng)的理由．解：∵AB∥CD（已知），∴∠C＝∠B（），又∵∠B＝55°（已知），∴∠C＝°（），∵∠D＝125°（），∴，∴BC∥DE（）．26．（2021春?奉賢區(qū)期中）已知，如圖，已知AB∥CD，BE⊥DE，那么∠B+∠D是多少度？為什么？解：過點(diǎn)E作EF∥AB，得∠B+∠BEF＝180°（）．因?yàn)锳B∥CD（已知），EF∥AB（已作），所以EF∥CD（）．得（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．所以∠B+∠BEF+∠DEF+∠D＝360°（）．即∠B+∠BED+∠D＝360°．因?yàn)锽E⊥DE，所以∠BED＝90°（）．所以∠B+∠D＝°（等式性質(zhì)）．27．（2021春?松江區(qū)期中）如圖所示，已知AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，EF⊥BC，垂足為點(diǎn)F，∠1+∠2＝180°．請(qǐng)?zhí)顚憽螩GD＝∠CAB的理由．解：因?yàn)锳D⊥BC，EF⊥BC（）所以∠ADC＝90°，∠EFD＝90°（）得∠ADC＝∠EFD（等量代換），所以AD∥EF（）得∠2+∠3＝180°（）由∠1+∠2＝180°（）得∠1＝∠3（）所以DG∥AB（）所以∠CGD＝∠CAB（）題組B能力提升練一．選擇題（共2小題）1．（2021春?羅湖區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知AB∥MN∥DC，AD∥BC，∠CBD＝∠CDB，則圖中與∠CBD相等的角除了∠CDB外還有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)2．（2020春?虹口區(qū)期末）如圖，已知∠1＝∠2，∠3＝65°，那么∠4的度數(shù)是（）A．65o B．95o C．105o D．115o二．填空題（共4小題）3．（2021春?青浦區(qū)期中）如圖，直線a、b被直線l所截，且a∥b，∠1＝（5x﹣20）°，∠2＝（3x+20）°，那么∠1＝°．4．（2021春?浦東新區(qū)期中）如圖，已知AD∥CE，∠BCF＝∠BCG，CF與∠BAH的平分線交于點(diǎn)F，若∠AFC的余角等于2∠B的補(bǔ)角，則∠BAH的度數(shù)是．5．（2020春?閔行區(qū)期末）如圖，已知直線a∥b∥c，△ABC的頂點(diǎn)B、C分別在直線b、c上，如果∠ABC＝60°，邊BC與直線b的夾角∠1＝25°，那么邊AB與直線a的夾角∠2＝度．6．（2020春?浦東新區(qū)期末）如圖，直線a∥b且直線c與a、b相交，若∠1＝70°，則∠2＝°．三．解答題（共9小題）7．（2021春?楊浦區(qū)期中）如圖，已知在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、AB、AC上，且DF∥AB，∠1＝∠A，試說明DE∥AC的理由．解：因?yàn)镈F∥AB（），所以∠1+＝180°（）．因?yàn)椤?＝∠A（已知），所以∠A+＝180°（）．所以DE∥AC（）．8．（2021春?楊浦區(qū)期中）如圖，已知AB∥CD，直線MN分別交直線AB、CD于點(diǎn)E、F，射線EG、FH分別平分∠AEF、∠DFE，試說明EG∥FH的理由．解：因?yàn)锳B∥CD（已知），所以∠AEF＝∠DFE（），因?yàn)樯渚€EG、FH分別平分∠AEF、∠DFE（已知），所以∠＝∠AEF，∠＝∠EFD（）．所以（等式性質(zhì)）．所以EG∥FH（）．9．（2021春?楊浦區(qū)期中）已知：AB∥CD，截線MN分別交AB、CD于點(diǎn)M、N．（1）如圖①，點(diǎn)E在線段MN上，設(shè)∠EBM＝α°，∠DNM＝β°，且滿足+（β﹣60）2＝0，求∠BEM的度數(shù)；（2）如圖②，在（1）的條件下，射線DF平分∠CDE，且交線段BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F；請(qǐng)寫出∠DEF與∠CDF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)P在射線NT上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠DCP與∠BMT的平分線交于點(diǎn)Q，則∠Q與∠CPM的比值為（直接寫出答案）．10．（2021春?普陀區(qū)期中）已知AB∥CD，點(diǎn)M為平面內(nèi)的一點(diǎn)，∠AMD＝90°．（1）當(dāng)點(diǎn)M在如圖①的位置時(shí)，求∠MAB與∠D的數(shù)量關(guān)系．解：．（根據(jù)如圖填射線MN的畫法）因?yàn)锳B∥CD，所以∥∥（）．所以∠D＝∠NMD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）；（請(qǐng)繼續(xù)完成接下去的說理過程）（2）當(dāng)點(diǎn)M在如圖②的位置時(shí)，∠MAB與∠D的數(shù)量關(guān)系是（直接寫出答案）；（3）在（2）的條件下，如圖③，過點(diǎn)M作ME⊥AB，垂足為點(diǎn)E，∠EMA與∠EMD的平分線分別交射線EB于點(diǎn)F、G，回答下列問題（直接寫出答案）；圖中與∠MAB相等的角是，∠FMG＝度．11．（2021春?上海期中）如圖，已知∠A＝∠C，EF∥DB．說明∠AEF＝∠D的理由．解：因?yàn)椤螦＝∠C（已知），所以AB∥（）．所以∠D＝∠B（）．又因?yàn)镋F∥DB（已知），所以∠AEF＝∠B（）．又因?yàn)椤螪＝∠B（已證），所以∠AEF＝∠D（）．12．（2021春