第04講 有理數的乘方（3大考點7種解題方法）（原卷版）

第04講有理數的乘方（3大考點7種解題方法）考點考點考向一．有理數的乘方（1）有理數乘方的定義：求n個相同因數積的運算，叫做乘方．乘方的結果叫做冪，在an中，a叫做底數，n叫做指數．an讀作a的n次方．（將an看作是a的n次方的結果時，也可以讀作a的n次冪．）（2）乘方的法則：正數的任何次冪都是正數；負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數；0的任何正整數次冪都是0．（3）方法指引：①有理數的乘方運算與有理數的加減乘除運算一樣，首先要確定冪的符號，然后再計算冪的絕對值；②由于乘方運算比乘除運算又高一級，所以有加減乘除和乘方運算，應先算乘方，再做乘除，最后做加減．二．非負數的性質：偶次方偶次方具有非負性．任意一個數的偶次方都是非負數，當幾個數或式的偶次方相加和為0時，則其中的每一項都必須等于0．三．有理數的混合運算（1）有理數混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內的運算．（2）進行有理數的混合運算時，注意各個運算律的運用，使運算過程得到簡化．【規(guī)律方法】有理數混合運算的四種運算技巧1．轉化法：一是將除法轉化為乘法，二是將乘方轉化為乘法，三是在乘除混合運算中，通常將小數轉化為分數進行約分計算．2．湊整法：在加減混合運算中，通常將和為零的兩個數，分母相同的兩個數，和為整數的兩個數，乘積為整數的兩個數分別結合為一組求解．3．分拆法：先將帶分數分拆成一個整數與一個真分數的和的形式，然后進行計算．4．巧用運算律：在計算中巧妙運用加法運算律或乘法運算律往往使計算更簡便．四．近似數和有效數字（1）有效數字：從一個數的左邊第一個不是0的數字起到末位數字止，所有的數字都是這個數的有效數字．（2）近似數與精確數的接近程度，可以用精確度表示．一般有，精確到哪一位，保留幾個有效數字等說法．（3）規(guī)律方法總結：“精確到第幾位”和“有幾個有效數字”是精確度的兩種常用的表示形式，它們實際意義是不一樣的，前者可以體現出誤差值絕對數的大小，而后者往往可以比較幾個近似數中哪個相對更精確一些．五．科學記數法—表示較大的數（1）科學記數法：把一個大于10的數記成a×10n的形式，其中a是整數數位只有一位的數，n是正整數，這種記數法叫做科學記數法．【科學記數法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數．】（2）規(guī)律方法總結：①科學記數法中a的要求和10的指數n的表示規(guī)律為關鍵，由于10的指數比原來的整數位數少1；按此規(guī)律，先數一下原數的整數位數，即可求出10的指數n．②記數法要求是大于10的數可用科學記數法表示，實質上絕對值大于10的負數同樣可用此法表示，只是前面多一個負號．六．科學記數法—表示較小的數用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．【規(guī)律方法】用科學記數法表示有理數x的規(guī)律x的取值范圍表示方法a的取值n的取值|x|≥10a×10n1≤|a|＜10整數的位數﹣1|x|＜1a×10﹣n第一位非零數字前所有0的個數（含小數點前的0）七．科學記數法—原數（1）科學記數法a×10n表示的數，“還原”成通常表示的數，就是把a的小數點向右移動n位所得到的數．若科學記數法表示較小的數a×10﹣n，還原為原來的數，需要把a的小數點向左移動n位得到原數．（2）把一個數表示成科學記數法的形式及把科學記數法還原是兩個互逆的過程，這也可以作為檢查用科學記數法表示一個數是否正確的方法．考點考點精講考點一．有理數的乘方（共3小題）1．（2022春?萊州市期末）小明在計算某數的平方時，將這個數的平方誤看成它的2倍，使答案少了35，則這個數為．2．（2021秋?南關區(qū)期末）（1）請寫出所有平方等于本身的數．（2）請寫出一個平方小于本身的數；（3）請寫出兩個平方大于本身的數；（4）已知a≠0且a≠1，比較a與a2的大?。?．（2022春?廣陵區(qū)期末）如果實數x，y滿足方程組，那么（2x﹣y）2022＝．考點二．非負數的性質：偶次方（共1小題）4．（2021秋?任丘市期末）已知（a+1）2與|b﹣2|互為相反數，求（a+b）2019+a99的值．考點三．有理數的混合運算（共6小題）5．（2022春?欒城區(qū)期末）計算（﹣2）2021+（﹣2）2022等于（）A．﹣24043 B．﹣2 C．﹣22021 D．220216．（2022春?楊浦區(qū)校級期末）計算：32﹣（﹣2）3＝．7．（2022春?楊浦區(qū)校級期末）x、y表示兩個有理數，規(guī)定新運算“*”為：x*y＝3x+my，其中m為有理數，已知1*2＝5，則m的值為．8．（2022春?楊浦區(qū)校級期末）計算：．9．（2021秋?鐵東區(qū)期末）計算：．10．（2021秋?井研縣期末）計算：（﹣2）2+3×（﹣1）2021﹣|1﹣5|÷2．考點四．近似數和有效數字（共2小題）11．（2022?濟寧）用四舍五入法取近似值，將數0.0158精確到0.001的結果是（）A．0.015 B．0.016 C．0.01 D．0.0212．（2022?曲阜市一模）將0.3512精確到百分位是（）A．0.35 B．0.351 C．0.4 D．0.350考點五．科學記數法—表示較大的數（共2小題）13．（2022?日照）全民免費接種新冠病毒疫苗是黨中央、國務院作出的重大決策部署，通過接種疫苗，讓更多人獲得免疫力，盡早形成人群免疫屏障，截至2022年5月20日，全國31個?。ㄗ灾螀^(qū)、直轄市）和新疆生產建設兵團累計報告接種新冠病毒疫苗336905萬劑次．數據336905萬用科學記數法表示為（）A．0.336905×1010 B．3.36905×1010 C．3.36905×109 D．33.6905×10914．（2022?北海二模）2022年冬奧會會徽“冬夢”的主題調為藍色，寓意著夢想與未來以及冰雪的明亮純潔，據了解此次冬奧會的會徽在網上關鍵詞的收錄量約為42700000次，用科學記數法表示為（）A．42.7×106 B．4.27×106 C．4.27×107 D．4.27×105考點六:乘方的應用規(guī)律15.（2020秋?盧龍縣期末）一根1m長的繩子，第一次剪去繩子的23，第二次剪去剩下繩子的23A．(13)99m B．(216.（2021春?松北區(qū)期末）某種細菌在培養(yǎng)過程中，每半小時分裂1次，每次一分為二，若這種細菌由一個分裂到16個，那么這個過程要經過分鐘．17.（2020秋?農安縣期中）有一種紙的厚度為0.1毫米，若拿兩張重疊在一起，將它對折一次后，厚度為22×0.1毫米．（1）對折2次后，厚度為多少毫米？（2）對折6次后，厚度為多少毫米？考點七：乘方應用中的新定義問題18.（2021?永州）定義：若10x＝N，則x＝log10N，x稱為以10為底的N的對數，簡記為lgN，其滿足運算法則：lgM+lgN＝lg（M?N）（M＞0，N＞0）．例如：因為102＝100，所以2＝lg100，亦即lg100＝2；lg4+lg3＝lg12．根據上述定義和運算法則，計算（lg2）2+lg2?lg5+lg5的結果為（）A．5 B．2 C．1 D．019.（2020秋?驛城區(qū)校級期中）請認真閱讀下面材料，并解答下列問題．如果a（a＞0，a≠1）的b次冪等于N，即指數式ab＝N，那么數b叫做以a為底N的對數，對數式記作：logaN＝b．例如：①因為指數式22＝4，所以以2為底4的對數是2，對數式記作：log24＝2；②因為指數式42＝16，所以以4為底16的對數是2，對數式記作：log416＝2．（1）請根據上面閱讀材料將下列指數式改為對數式：①62＝36；②43＝64；（2）將下列對數式改為指數式：①log525＝2；②log327＝3；（3）計算：log232．20.（2020秋?寧化縣月考）（1）計算下面兩組算式：①（3×5）2與32×52；②[（﹣2）×3]2與（﹣2）2×32；（2）根據以上計算結果猜想：（ab）3等于什么？（直接寫出結果）（3）猜想與驗證：當n為正整數時，（ab）n等于什么？請你利用乘方的意義說明理由．（4）利用上述結論，求（﹣4）2020×0.252021的值．21.（2020秋?聊城期中）概念學習：規(guī)定：求若干個相同的有理數（均不等于0）的除法運算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，類比有理數的乘方，我們把2÷2÷2記作2③，讀作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）記作（﹣3）④，讀作“﹣3的圈4次方”，一般地，把n個a（a≠0）a÷a÷a÷??÷a︸n個初步探究：直接寫出計算結果：2③＝，(-1深入思考：例如（﹣3）④＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）=(（1）試一試：仿照上面的算式，將下列運算結果直接寫成冪的形式．5⑥＝；(-1（2）算一算：22÷(-1鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021·四川省成都市七中育才學校七年級開學考試）把3450000用科學記數法表示應是（）A． B． C． D．2．（2021·全國七年級課時練習）若，則的值為（）A． B．1 C．2 D．3．（2021·全國七年級課時練習）下列各式，計算正確的是（）A． B．C． D．4．（2021·全國七年級課時練習）下面的式子很有趣：，…，則（）A．225 B．625 C．115 D．1005．（2021·安徽合肥38中七年級月考）從權威部門獲悉，中國海洋面積是289.7萬平方公里，數289.7萬用科學記數法表示為（）A．289.7×104 B．2.897×107 C．2.897×106 D．0.2897×1076．（2021·焦作市實驗中學七年級期中）現有以下五個結論：①若a與b互為相反數，則a+b＝0；②倒數等于其本身的數是0和1；③任何數的平方都是正數；④絕對值等于其本身的有理數是零；⑤幾個有理數相乘，負因數個數為奇數，則乘積為奇數．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4二、填空題7．（2021·上海市市北初級中學七年級期末）上海市于2011年6月8日宣布撤銷黃浦區(qū)、盧灣區(qū)建制，設立新的黃浦區(qū)，新黃浦區(qū)全區(qū)戶籍人口約有906300人，把這個人口數用科學記數法來表示為________．8．（2021·重慶實驗外國語學校七年級期中）新疆有三寶，“石油煤炭兩黑寶，棉花遍野品質高”，2020年，新疆棉花總產量達5161000噸，占全國棉花總產量的87.3%，數據5161000用科學記數法可表示為_______．9．（2021·全國七年級課時練習）有理數中，非負整數的個數是________．10．（2021·云南昆明市·）下列各數﹣0.2，|﹣2|，﹣（﹣2），﹣（﹣2）2，（﹣2）3中，負數的個數有_____個．11．（2021·廣東深圳市·）若，那么的值是______．12．（2021·江蘇宿遷市·七年級期中）定義新運算“?”，規(guī)定α?β＝α﹣αβ，則﹣2?3＝___．13．（2021·山東濰坊市·七年級期中）n是正整數，則（-2）2n+1+2×（-2）2n=__________．14．（2021·陜西西安市·七年級期中）大于的最小整數是__________．15．（2021·江蘇七年級專題練習）對于（﹣2）3，指數是_____，底數是______，（﹣2）3＝______；對于﹣42，指數是_____，底數是_____，冪是_____．16．（2021·貴州銅仁市·七年級期末）已知，則______．17．（2021·全國七年級課時練習）已知，則a是大于的整數，b是大于的分數，則的結果為______．18．（2021·焦作市實驗中學七年級期中）人民日報社客戶端推送的一則微博“我們14億人都是護旗手”，被全國網民大量轉發(fā)．請用科學記數法表示14億為_____．19．（2021·焦作市實驗中學七年級期中）對正有理數a、b，定義運算※如下：a※b＝2a+3b﹣1，則3※（2※1）＝_____．三、解答題20．（2021·吉林四平市·七年級期末）計算：．21．（2021·廣東七年級期中）計算∶-32÷（-2）2-|-1|×6+（-2）322．（2021·河北承德市·七年級期末）（1）計算：．（2）計算：．23．（2021·常州市同濟中學七年級期中）我們已經知道一個數的絕對值是表示這個數的