第24章 圓（原卷版）

2022-2023學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級上冊章節(jié)考點(diǎn)精講精練第24章《圓》知識互聯(lián)網(wǎng)知識互聯(lián)網(wǎng)知識導(dǎo)航知識導(dǎo)航知識點(diǎn)01：圓的定義、性質(zhì)及與圓有關(guān)的角

1．圓的定義

(1)線段OA繞著它的一個(gè)端點(diǎn)O，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的，叫做圓.

(2)圓是到

細(xì)節(jié)剖析：

①圓心確定圓的，半徑確定圓的；確定一個(gè)圓應(yīng)先確定，再確定，二者缺一不可；

②圓是一條.2．圓的性質(zhì)

(1)旋轉(zhuǎn)：圓是，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形；圓是圖形，對稱中心是

在中，兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組，那么它所對應(yīng)的其他各組分別相等.

(2)軸對稱：圓是，都是它的對稱軸.

(3)垂徑定理及推論：

①垂直于弦的直徑這條弦，并且平分弦所對的.

②平分弦(不是直徑)的直徑于弦，并且平分弦所對的.

③弦的垂直平分線過，且平分弦對的兩條弧.

④平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且此弦.

⑤相等.

細(xì)節(jié)剖析：

在垂經(jīng)定理及其推論中：所對的優(yōu)弧、平分弦所對的劣弧，在這五個(gè)條件中，知道任意兩個(gè)，就能推出其他三個(gè)結(jié)論.（注意：“”作為題設(shè)時(shí)，平分的弦不能是直徑）3．兩圓的性質(zhì)

(1)兩個(gè)圓是一個(gè)形，對稱軸是

(2)相交兩圓的連心線公共弦，相切兩圓的連心線經(jīng)過4．與圓有關(guān)的角

(1)圓心角：叫圓心角.

圓心角的性質(zhì)：等于它所對的弧的度數(shù).

(2)圓周角：頂點(diǎn)在叫做圓周角.

圓周角的性質(zhì)：

①圓周角等于它

②所對的圓周角相等；在中，相等的圓周角所對的弧相等.

③90°的圓周角所對的弦為；半圓或直徑所對的圓周角為.

④如果三角形，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

⑤圓內(nèi)接四邊形的互補(bǔ)；外角等于它的

細(xì)節(jié)剖析：

(1)圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在；②角的兩邊都和圓(2)圓周角定理成立的前提條件是在中.

知識點(diǎn)02：與圓有關(guān)的位置關(guān)系1．判定一個(gè)點(diǎn)P是否在⊙O上

設(shè)⊙O的半徑為，OP=，則有

點(diǎn)P在⊙O外；點(diǎn)P在⊙O上；點(diǎn)P在⊙O內(nèi).

細(xì)節(jié)剖析：

點(diǎn)和圓的和點(diǎn)到圓心的距離的是相對應(yīng)的，即知道位置關(guān)系就可以確定；知道數(shù)量關(guān)系也可以確定.2．判定幾個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上的方法

當(dāng)時(shí)，在⊙O上.

3．直線和圓的位置關(guān)系

設(shè)⊙O半徑為R，點(diǎn)O到直線的距離為.

(1)直線和⊙O沒有公共點(diǎn)直線和圓相離.

(2)直線和⊙O有唯一公共點(diǎn)直線和⊙O相切.

(3)直線和⊙O有兩個(gè)公共點(diǎn)直線和⊙O相交.

4．切線的判定、性質(zhì)

(1)切線的判定：

①是圓的切線.

②是圓的切線.

(2)切線的性質(zhì)：

①圓的切線于過切點(diǎn)的半徑.

②經(jīng)過圓心作圓的切線的經(jīng)過切點(diǎn).

③經(jīng)過作切線的垂線經(jīng)過.

(3)切線長：從圓外一點(diǎn)作圓的切線，這叫做切線長.

(4)切線長定理：從圓外一點(diǎn)作，它們的切線長相等，平分兩條切線的夾角.

5．圓和圓的位置關(guān)系

設(shè)的半徑為，圓心距.

(1)和沒有公共點(diǎn)，且每一個(gè)圓上的所有點(diǎn)在另一個(gè)圓的外部外離

.

(2)和沒有公共點(diǎn)，且的每一個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)部內(nèi)含

(3)和有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓外部外切.

(4)和有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外，的每個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)部內(nèi)切.

(5)和有兩個(gè)公共點(diǎn)相交.

知識點(diǎn)03：三角形的外接圓與內(nèi)切圓、圓內(nèi)接四邊形與外切四邊形

1．三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心

(1)三角形的內(nèi)心：是，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示.

(2)三角形的外心：是，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點(diǎn)，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，通常用O表示.

(3)三角形重心：是，在三角形內(nèi)部；它到頂點(diǎn)的距離是到對邊中點(diǎn)距離的2倍，通常用G表示.

(4)垂心：是細(xì)節(jié)剖析：

(1)任何一個(gè)三角形都內(nèi)切圓，但任意一個(gè)圓都有外切三角形；

(2)解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問題時(shí)，面積法是常用的，即三角形的面積等于，即(S為三角形的面積，P為三角形的周長，r為內(nèi)切圓的半徑).

(3)三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：名稱確定方法圖形性質(zhì)外心(三角形外接圓的圓心)三角形三邊中垂線的交點(diǎn)(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內(nèi)部內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)三角形三條角平分線的交點(diǎn)(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.2．圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形

(1)叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對角，外角等于(2)叫圓外切四邊形，圓相等.

知識點(diǎn)04：圓中有關(guān)計(jì)算

1．圓中有關(guān)計(jì)算

圓的面積公式：，周長.

圓心角為、半徑為R的弧長.

圓心角為，半徑為R，弧長為的扇形的面積.

弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計(jì)算.

圓柱的側(cè)面圖是一個(gè)矩形，底面半徑為R，母線長為的圓柱的體積為，側(cè)面積為，全面積為.

圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為，高為的圓錐的側(cè)面積為，全面積為，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有.細(xì)節(jié)剖析：

(1)對于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即；

(2)在扇形面積公式中，涉及三個(gè)量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.

(3)扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點(diǎn)類似，可類比記憶；

(4)扇形兩個(gè)面積公式之間的聯(lián)系：.

考點(diǎn)提優(yōu)練考點(diǎn)提優(yōu)練考點(diǎn)01：垂徑定理1．（2022?荊門）如圖，CD是圓O的弦，直徑AB⊥CD，垂足為E，若AB＝12，BE＝3，則四邊形ACBD的面積為（）A．36 B．24 C．18 D．722．（2022秋?南崗區(qū)校級月考）如圖，在⊙O中，AD⊥BC，連接AB、CD，當(dāng)AB＝2，CD＝6時(shí)，則⊙O半徑長為．3．（2022?煙臺模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)P，AP＝4，BP＝12，∠APC＝30°，則CD的長為．4．（2022?開福區(qū)一模）如圖，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D、E．（1）求證：四邊形ADOE是正方形；（2）若AC＝2cm，求⊙O的半徑．5．（2021秋?嘉祥縣期末）如圖，線段AB＝10，AC＝8，點(diǎn)D，E在以AB為直徑的半圓O上，且四邊形ACDE是平行四邊形，過點(diǎn)O作OF⊥DE于點(diǎn)F，求AE的長．6．（2021?浦東新區(qū)模擬）如圖，已知AB是圓O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，∠CEA＝30°，OE＝4，DE＝5，求弦CD及圓O的半徑長．7．（2022?宣州區(qū)二模）如圖所示的是一圓弧形拱門，其中路面AB＝2m，拱高CD＝3m，則該拱門的半徑為（）A． B．2m C． D．3m考點(diǎn)02：圓周角定理8．（2022?梁子湖區(qū)二模）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，AO⊥BC于點(diǎn)E，若∠BDC＝150°，AE長為2+，則弦BC的長為（）A．2 B． C．2 D．49．（2022?南京模擬）如圖，在⊙O中，CD是⊙O上的一條弦，直徑AB⊥CD，連接AC、OD，∠A＝26°，則∠D的度數(shù)是（）A．26° B．38° C．52° D．64°10．（2022?姑蘇區(qū)校級一模）如圖，線段CD上一點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OD為半徑作圓，⊙O上一點(diǎn)A，連結(jié)AC交⊙O于B點(diǎn)，連結(jié)BD，若BC＝BD，且∠C＝25°，則∠BDA＝．11．（2022?宜興市校級二模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1），點(diǎn)C（x，y）為平面內(nèi)一動點(diǎn)，以AC為直徑作⊙E，若過點(diǎn)且平行于x軸的直線被⊙E所截的弦GH長為．則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是；經(jīng)過點(diǎn)A的直線y＝k（x﹣2）+1（k＜0）與點(diǎn)C運(yùn)動形成的圖象交于B，D兩點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)B的右側(cè)），F(xiàn)為該圖象的最高點(diǎn)，若△ADF的面積是△ABF面積的3倍，則k＝．12．（2022春?鼓樓區(qū)校級月考）如圖，AB為半圓O的直徑，CD＝AB＝2，AD，BC交于點(diǎn)E，且E為CB的中點(diǎn)，F(xiàn)為弧AC的中點(diǎn)，連接EF，求EF的長．13．（2022?西安模擬）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ADC＝90°．連接BD，作CF⊥BD，分別交BD，⊙O于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接BF，交AD于點(diǎn)M，AB＝BC．（1）求證：BF∥CD．（2）當(dāng)AD+CD＝5時(shí)，求線段BD的長．考點(diǎn)03：切線的判定與性質(zhì)14．（2022?社旗縣一模）如圖，直線交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)P是x軸上一動點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，以1個(gè)單位長度為半徑作⊙P，當(dāng)⊙P與直線AB相切時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）A． B．或 C． D．或15．（2022?新河縣二模）如圖，在直線l上有相距7cm的兩點(diǎn)A和O（點(diǎn)A在點(diǎn)O的右側(cè)），以O(shè)為圓心作半徑為1cm的圓，過點(diǎn)A作直線AB⊥l．將⊙O以2cm/s的速度向右移動（點(diǎn)O始終在直線l上），則⊙O與直線AB在（）秒時(shí)相切．A．3 B．3.5 C．3或4 D．3或3.516．（2021秋?海州區(qū)期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，以CD為直徑作⊙O．將矩形ABCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使所得矩形A'B'CD'的邊A'B'與⊙O相切，切點(diǎn)為E，邊CD'與⊙O相交于點(diǎn)F，則CF的長為（）A．6﹣ B．4 C．5 D．317．（2022?晉江市模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B是直線y＝﹣x上的一個(gè)動點(diǎn)，以A為圓心，以線段AB的長為半徑作⊙A，當(dāng)⊙A與直線y＝﹣x相切時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．18．（2022?宜興市一模）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝CD＝2，CB＝AB＝6，∠BAD＝∠BCD＝90°，點(diǎn)E在對角線BD上運(yùn)動，⊙O為△DCE的外接圓，當(dāng)⊙O與AD相切時(shí)，⊙O的半徑為；當(dāng)⊙O與四邊形ABCD的其它邊相切時(shí)，其半徑為．19．（2021秋?南皮縣校級月考）如圖，正方形ABCD的邊長為8，M是AB的中點(diǎn)，P是邊BC上的動點(diǎn)，連接PM，以點(diǎn)P為圓心，PM長為半徑作⊙P．（1）當(dāng)BP＝3時(shí)，點(diǎn)C在⊙P；（填“上“內(nèi)“或“外“）（2）當(dāng)⊙P與正方形ABCD的邊相切時(shí)，BP的長為．20．（2022?五華區(qū)校級模擬）如圖，AB為⊙O直徑，C，D為⊙O上的兩點(diǎn)，且∠ACD＝2∠A，CE⊥DB交DB的延長線于點(diǎn)E．（1）求證：CE是⊙O的切線；（2）若DE＝2CE，AC＝4，求⊙O的半徑．21．（2022?金水區(qū)校級模擬）如圖，AE是半圓O的直徑，D是半圓O上不同于A，E的一點(diǎn)，作∠FAD＝∠DAE，過點(diǎn)D作DC⊥AF于點(diǎn)C，CD的延長線與AE的延長線相交于點(diǎn)B．（1）求證：CD是半圓O所在圓的切線；（2）若，AC＝4，求⊙O的半徑．22．（2022?河南模擬）如圖所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，E是AC的中點(diǎn)，連接ED．點(diǎn)F在上．且FO⊥AB，連接BF并延長交AC的延長線于點(diǎn)C．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）連接AF，試說明AF、BG的數(shù)量關(guān)系．考點(diǎn)04：切線長定理23．（2021秋?西崗區(qū)期末）如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，CD切⊙O于點(diǎn)E，分別交PA、PB于點(diǎn)C、D，若PA＝8，則△PCD的周長為（）A．8 B．12 C．16 D．2024．（2020?河北模擬）如圖，⊙O內(nèi)切于正方形ABCD，O為圓心，作∠MON＝90°，其兩邊分別交BC，CD于點(diǎn)N，M，若CM+CN＝4，則⊙O的面積為（）A．π B．2π C．4π D．0.5π25．（2022?拱墅區(qū)模擬）如圖，AB、AC、BD是⊙O的切線，切點(diǎn)分別是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，則BD的長是（）A．3 B．4 C．5 D．626．（2021秋?高陽縣期末）如圖，△ABC是一張周長為17cm的三角形的紙片，BC＝5cm，⊙O是它的內(nèi)切圓，小明準(zhǔn)備用剪刀在⊙O的右側(cè)沿著與⊙O相切的任意一條直線MN剪下△AMN，則剪下的三角形的周長為（）A．12cm B．7cm C．6cm D．隨直線MN的變化而變化27．（2021秋?興化市月考）如圖，以正方形ABCD的AB邊為直徑作半圓O，過點(diǎn)C作直線切半圓于點(diǎn)F，交AD邊于點(diǎn)E，若△CDE的周長為12，則直角梯形ABCE周長為．28．（2015秋?宜興市校級期中）如圖，△ABC是一張三角形的紙片，⊙O是它的內(nèi)切圓，點(diǎn)D是其中的一個(gè)切點(diǎn)，已知AD＝10cm，小明準(zhǔn)備用剪刀沿著與⊙O相切的任意一條直線MN剪下一塊三角形（△AMN），則剪下的△AMN的周長為．29．（2013?西藏模擬）如圖，AD、AE、CB都是⊙O的切線，切點(diǎn)分別為D、E、F，AD＝4cm，則△ABC的周長是．30．（2021秋?原州區(qū)期末）如圖，PA、PB、DE分別切⊙O于A、B、C，DE分別交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切線長為8cm，那么△PDE的周長為．31．（2011秋?海淀區(qū)期中）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長線上，CD、CE分別與⊙O相切于點(diǎn)D、E，若AD＝2，∠DAC＝∠DCA，則CE＝．32．（2021?濱海縣一模）如圖，PA、PB是⊙O的切線，CD切⊙O于點(diǎn)E，△PCD的周長為12，∠APB＝60°．求：（1）PA的長；（2）∠COD的度數(shù)．33．（2018秋?硚口區(qū)期末）如圖，AB為⊙O直徑，PA、PC分別與⊙O相切于點(diǎn)A、C，PQ⊥PA，PQ交OC的延長線于點(diǎn)Q．（1）求證：OQ＝PQ；（2）連BC并延長交PQ于點(diǎn)D，PA＝AB，且CQ＝6，求BD的長．34．（2012秋?姜堰市校級月考）如圖，PA、PB是⊙O的切線，切點(diǎn)分別是A、B，直線EF也是⊙O的切線，切點(diǎn)為Q，交PA、PB于點(diǎn)E、F，已知PA＝12cm，∠P＝40°①求△PEF的周長；②求∠EOF的度數(shù)．35．（2008秋?恩平市校級期中）如圖，P是⊙O外的一點(diǎn)，PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，C是上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)C的切線分別交PA、PB于點(diǎn)D、E．（1）若PA＝4，求△PED的周長；（2）若∠P＝40°，求∠AFB的度數(shù)．考點(diǎn)05：正多邊形和圓36．（2022春?新昌縣期末）如圖，在同一平面內(nèi)，將邊長相等的正六邊形、正方形的一邊重合，則∠1的度數(shù)為（）A．18° B．25° C．30° D．45°37．（2022?石家莊三模）如圖，邊長相等的正八邊形和正方形部分重疊擺放在一起，已知正方形面積是2，那么非陰影部分面積是（）A．6 B． C． D．838．（2022?沙灣區(qū)模擬）已知圖標(biāo)（如圖）是由圓的六個(gè)等分點(diǎn)連接而成，若圓的半徑為1，則陰影部分的面積等于．39．（2022?雁塔區(qū)校級模擬）在正六邊形ABCDEF中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)M，則的值為．40．（2022?咸安區(qū)模擬）如圖，邊長為2的正六邊形ABCDEF的中心與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，AF∥y軸，將正六邊形ABCDEF繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n次，每次旋轉(zhuǎn)60°，當(dāng)n＝2024時(shí)，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為．41．（2022春?思明區(qū)校級期中）如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于半徑長為2的⊙O，點(diǎn)P在圓弧AB上以2倍速度從B向A運(yùn)動，點(diǎn)Q在圓弧BC上以1倍速度從C向B運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P，O，Q三點(diǎn)處于同一條直線時(shí)，停止運(yùn)動．（1）求點(diǎn)Q的運(yùn)動總長度；（2）若M為弦PB的中點(diǎn)，求運(yùn)動過程中CM的最大值．42．（2021秋?日喀則市月考）如圖，正方形ABCD是半徑為R的⊙O內(nèi)接四邊形，R＝6．求正方形ABCD的邊長和邊心距．43．（2019秋?墾利區(qū)期中）七年級數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)校的“數(shù)學(xué)長廊”中興奮地展示了他們小組探究發(fā)現(xiàn)的結(jié)果，內(nèi)容如下：（1）如圖1，等邊三角形ABC中，在AB、AC邊上分別取點(diǎn)M、N，使BM＝AN，連接BN、CM，發(fā)現(xiàn)BN＝CM，且∠NOC＝60°，試說明：∠NOC＝60°．（2）如圖2，正方形ABCD中，在AB、BC邊上分別取點(diǎn)M、N，使AM＝BN，連接AN、DM，那么∠DON＝度，并說明