《實(shí)變函數(shù)》電子教案

《實(shí)變函數(shù)》電子教案

（重慶郵電大學(xué)數(shù)理學(xué)院鄧志穎）

課程名稱：實(shí)變函數(shù)

學(xué)時(shí)/學(xué)分：48/3.0

教材名稱：實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)（第三版）

出版社：高等教育出版社

編著者：程其襄等

適用專(zhuān)業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)（大三上學(xué)期）

序言：實(shí)變函數(shù)簡(jiǎn)介

微積分發(fā)展的三個(gè)階段：

?創(chuàng)立（17世紀(jì)）:Newton（力學(xué)）Leibniz（幾何）（無(wú)窮小）

?嚴(yán)格化（19世紀(jì)）：Cauchy,Riemann,Weierstrass（極限理論（e-N,e-8語(yǔ)言），實(shí)數(shù)理

論）

?外微分形式（20世紀(jì)初）：Grassmann,Poincare,Cartan（微積分基本定理如何在高維

空間得到體現(xiàn)）

微積分繼續(xù)發(fā)展的三個(gè)方向：

?外微分形式（整體微分兒何）（微積分基本定理如何在高維空間得到體現(xiàn)）

?復(fù)數(shù)域上的微積分（復(fù)變函數(shù)）

?微積分的深化和拓展（實(shí)變函數(shù)）

1.Riemann積分回顧：

（1）Riemann積分的定義

-b?

（/?）jlim自其中Ax,=%f,尤IW4WX：

積分與分割、介點(diǎn)集的取法無(wú)關(guān).

幾何意義（非負(fù)函數(shù)）：函數(shù)圖象下方圖形的面積。

（2）Riemann可積的充要條件

f（x）在上Riemann可積

oj"取S鶻獸K5=肥與心￡/（x）辦

其中：

Mj=sup{/（x）:<x<xt}

m,.=inf{/（x）:x,..,<x<x,.}

<=>Vf>0,3分劃T,使得￡0）即《e

i=l

=V￡,分劃T,使得所有振幅用之〃的小區(qū)間的總長(zhǎng)度不超過(guò)￡.

例：Dirichlet函數(shù)不Riemann可積.

~、J1光e[O,l]cQ

D(x)=[(o%G[o,i]-e

因?yàn)樯戏e分為Jf(x)dx-limo^M,Ar).=1

下積分為ff(x)dx=limV/nAv.=0

所以對(duì)于W分劃T,有巨姐a=1

/=1

所以Dirichlet函數(shù)不Riemann可積.

⑶Riemann積分的局限性

。)微積分基本定理

定理：若/(X)在句上連續(xù)，貝尸⑺力=尸(幻-尸(a)

1881年Volterra作出一可微函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)有界但不Riemann可積；

份積分與極限交換次序(一般要求一致收斂)

例：設(shè)匕｝為[0,1]中全體有理數(shù)(因?yàn)槠錇榭蓴?shù)集，故可把它排成序列)，作[0,1]上的函數(shù)

列

1xe{e2〃，編〃=],2,3,…

fn(X)=<

0xe

則"?(％)｝在[凡句上Riemann可積，但

1XG[0,l]nQ

lim0(x)=D(x)=<不Riemann可積.

rt—[0xG[o,i]-e

故對(duì)一般收斂函數(shù)列，在Riemann積分意義下極限運(yùn)算與積分運(yùn)算不一定可交換次序，即:

力(X)公=/lim力(x)公

lim

〃->8JaJa

不一定成立.

l.Lebesgue積分思想簡(jiǎn)介:

為使/(無(wú))在上Riemann可積，按Riemann積分思想，必須使得分劃后在多數(shù)小區(qū)

間上的振幅足夠小，這迫使在較多地方振動(dòng)的函數(shù)不可積.Lebesgue提出，不從分割定義域

入手，而從分割值域入手；即采取對(duì)值域作分劃，相應(yīng)得到對(duì)定義域的分劃(每一塊不一定

是區(qū)間)，使得在每一塊上的振幅都很小，即按函數(shù)值的大小對(duì)定義域的點(diǎn)加以歸類(lèi)

對(duì)此Lebesgue自己曾經(jīng)作過(guò)一個(gè)比喻，他說(shuō)：

?假如我欠人家一筆錢(qián)，現(xiàn)在要還，此時(shí)按鈔票的面值的大小分類(lèi)，然后計(jì)算每一類(lèi)

的面額總值，再相加，這就是Lebesgue積分思想；

?如不按面額大小分類(lèi)，而是按從錢(qián)袋取出的先后次序來(lái)計(jì)算總數(shù)，那就是Riemann

枳分思想

即：V^>0,作分劃?rùn)C(jī)=*<y<%<…<%=M其中y—<瓦"2W/（x）<M

作點(diǎn)集={X:%W/（X）</}/（X）在4上的振幅不會(huì)大于3.

作和：s=t。"狙〃省表示耳的“長(zhǎng)度，丫㈠<。<y,-

/=1

取極限：⑷1“/（劃公=照'殺耳

i=l

3.Lebesgue積分構(gòu)思產(chǎn)生的問(wèn)題：

?（1）先介紹集合耳（第一章集合，第二章點(diǎn)集）

?（2）集合月的“長(zhǎng)度，如何定義（第三章測(cè)度論）；

?（3）怎樣的函數(shù)可使耳都有“長(zhǎng)度”（第四章可測(cè)函數(shù)）；

?（4）定義Lebesgue積分并研究其性質(zhì)（第五章積分論）；

?（5）將牛頓一萊布尼茲公式加以推廣（第六章微分與不定積分）

?教材：實(shí)變函數(shù)論與泛函分析基礎(chǔ)（第三版），程其襄等編，高等教育出版社，2010

年6月.

參考文獻(xiàn)：

?實(shí)變函數(shù)論（第二版），江澤堅(jiān)，吳智泉編，高等教育出版社，2003年7月.

?周民強(qiáng)，實(shí)變函數(shù)（論），北京大學(xué)出版社，1995.6（2001）

?周性偉，實(shí)變函數(shù)，科學(xué)出版社，1998.9

?胡適耕，實(shí)變函數(shù)，高等教育出版社，1999.7

?徐森林，實(shí)變函數(shù)論，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2002

?鄭維行等，實(shí)變函數(shù)論與泛函分析概要，高等教育出版社,1987

?夏道行等，實(shí)變函數(shù)論與泛函分析，高等教育出版社，1983.2

?Halmos,測(cè)度論（Measuretheory）

?Rudin,實(shí)分析與復(fù)分析（Realandcomplexanalysis）.

教時(shí)安排：第一章集合6學(xué)時(shí)，第二章點(diǎn)集6學(xué)時(shí)，

第三章測(cè)度論8學(xué)時(shí)，第四章可測(cè)函數(shù)10學(xué)時(shí)，

第四章積分論12學(xué)時(shí)，第六章微分與不定積分6學(xué)時(shí)，

共六章48學(xué)時(shí)。

第一章集合（總授課時(shí)數(shù)6學(xué)時(shí)）

由德國(guó)數(shù)學(xué)家Cantor所創(chuàng)立的集合論，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中一個(gè)獨(dú)立的分支，按其本性

而言，集合論是整個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)：而就其發(fā)展歷史而言，則與近代分析（包括

實(shí)變函數(shù)論）的發(fā)展密切相關(guān)，實(shí)變函數(shù)通常是第一門(mén)大量運(yùn)用集合論知識(shí)的大學(xué)數(shù)學(xué)

課程.因此，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育中，對(duì)集合論知識(shí)的較系統(tǒng)的介紹，通常構(gòu)成實(shí)變函數(shù)教

材的第一章.不過(guò)，對(duì)于實(shí)變函數(shù)論來(lái)說(shuō)，集合論畢竟只是一個(gè)輔助工具，因此，本章

僅介紹那些必不可少的集論知識(shí).

§1、集合及其運(yùn)算

教學(xué)目的引入集的概念與集的運(yùn)算，使學(xué)生掌握集和集的基本運(yùn)算規(guī)律.

本節(jié)重點(diǎn)DeMorgan公式是常用的公式.證明兩個(gè)集相等和包含關(guān)系是經(jīng)常要遇到的論

證，通過(guò)例子使學(xué)生掌握其基本方法.集列的極限是?種新型的運(yùn)算，學(xué)生應(yīng)理解其概念.

本節(jié)難點(diǎn)對(duì)集列極限的理解.

授課時(shí)數(shù)2學(xué)時(shí)

一、集合的概念及其表示

集合也稱作集，是數(shù)學(xué)中所謂原始概念之一，即不能用別的概念加以定義，它像幾

何學(xué)中的“點(diǎn)”、“直線”那樣，只能用?組公理去刻畫(huà).就目前來(lái)說(shuō)，我們只要求掌握

以下樸素的說(shuō)法：

“在一定范圍內(nèi)的個(gè)體事物的全體，當(dāng)將它們看作一個(gè)整體時(shí)，我們把這個(gè)整體稱

為一個(gè)集合，其中每個(gè)個(gè)體事物叫做該集合的元素.”

?個(gè)集合的元素必須彼此互異，而且哪些事物是給定集合的元素必須明確.以集合

作為元素的集合，也常稱為集族或集類(lèi).

以后常用大寫(xiě)字母4用。,。,乂,匕2一表示集合，用小寫(xiě)字母a,仇c,x,y…表示集合中的

元素.

如果。是集合A的元素，則說(shuō)a屬于A,記作aeA,或說(shuō)A含有a.

如果a不是集A的元素，則說(shuō)a不屬于A,記作或說(shuō)不含有a.

有些集合可用列舉其元素的辦法來(lái)表示，如：

只含有一個(gè)元素。的集合稱為單元素集或獨(dú)點(diǎn)集，可表示為｛研.

由n個(gè)元素4,生…凡所組成的集合，可表示為｛a”的…4｝

由全體自然數(shù)所組成的集合稱為自然數(shù)集，可表示為｛1,2,…,〃，…｝

當(dāng)集A是具有某性質(zhì)p的元素之全體時(shí)，我們用下面的形式表示A：

A-{x\x具有性質(zhì)p}

例如，方程尤2-1=0的解X的全體組成的數(shù)集是“|爐一1=0},

實(shí)際上就是{1,-1}.

有時(shí)我們也把集{x|九e具有性質(zhì)p}改寫(xiě)成E[尤具有性質(zhì)p].例如，設(shè)/")

是定義在集合E上的一實(shí)函數(shù)，。是一個(gè)實(shí)數(shù)，我們把集{x|xeE,/(x)>a}寫(xiě)成

戈/(外>0或￡">0.

不含任何元素的集合稱為空集，記作0.

設(shè)A,B是兩個(gè)集，若A和B的元素完全相同，就稱A和B相等，記作A=B(或

B=A).

若集合A的元素都是集合B的元素，就稱為A是8的子集，記作AeB(或BeA),

讀作A包含于B(或B包含A).

若AeB且AHB,就稱A是B的真子集，規(guī)定空集是任何集的子集.

由集的“相等”與“包含”的定義可得如下定理：

定理1對(duì)任何集合A,8,C,均有

(I)AuA；

(2)若AuB,BuC,則AuC：

(3)A=8QAU8且BuA.

二集合的運(yùn)算

設(shè)A,B是兩個(gè)集合，集合A與6的并集或并AUB={x:xwA或XG3}

集合A與8的交集或交An8={x：xwAllxeB}

特別地，若Ac8=0,稱A與8不相交；反之，則稱A與8相交.

集合A減8的差集或差：A-Bs^A\B-{x:xeA但xeB}

當(dāng)BuA時(shí)，稱差集A-B為B關(guān)于A的余集記作(C.B).

當(dāng)我們研究一個(gè)問(wèn)題時(shí)，如果所討論的集合都是某個(gè)固定集A的子集時(shí)，就稱A

為基本集或全集，并把A的子集3關(guān)于A的余集GB簡(jiǎn)稱為B的余集，記為8?；駽8.

并集與交集的概念可以推廣到任意個(gè)集的情形，設(shè)r為?非空集合，并且對(duì)每一個(gè)

aef,指定了一個(gè)集合A“，此時(shí)我們稱{4|ae「}是以「為指標(biāo)集的集族，集族

{A。|aer}的并與交分別定義為：

UA={x:3ae「，使xeA}

aeraa

PlAa={x:VaeT,有xeAa]

aer

例設(shè)A“={x：_l_L<_rWl_3，〃eN,則

nn

QA?=[-1,O],0A,=(-2,1)

n=ln=l

關(guān)于集合的并和交顯然有下面的性質(zhì)：(見(jiàn)課本P9-P10)

更一般地有:DeMorgan公式

(UAj=nN，(nAj=u意

aeraeraeraer

證明(略)

注：通過(guò)取余集，使A與Aju與c互相轉(zhuǎn)換.

三、集列極限

設(shè)A,a,…,4,,…是一個(gè)集合序列,,其上限集和下限集分別定義為

上極限集：

limA“(或limsupA")={x:x屬于無(wú)限多個(gè)集合A,,}={x:存在無(wú)限多個(gè)4，使xeAJ

<x>co

={x:VNJ〃>N,使An}=nUA"

N=1n=N

下極限集：

U型A“(或liminfAn)={x:除去有限個(gè)集外，有xwA,,}={x:當(dāng)〃充分大時(shí)，有x&AJ

〃一>8n

COoo

={x：mN,V〃2N,有xwA,,}=|JDA,

N=ln=N

注：nA，ulimA,,climA,,CQA?

n=ln=\

例：設(shè)A2n=[0』],4向=[L2]，則上極限集為[0,2],下極限集為{1}.

極限集

如果集列{A,J的上極限集與下極限集相等，即有4=至4=A

“T8“78

則稱集列{A,J收斂，稱其共同的極限為集列{4}的極限集，記為：limAa=A

單調(diào)增集列極限

若集列{4}滿足兒u4川(X/〃eN),則稱{A,J為單調(diào)增加;

若集列｛A,,｝滿足4Z）4+1（v〃eN）,則稱｛4｝為單調(diào)減少；

定理2:單調(diào)集列是收斂的

1）如果集列｛4｝單調(diào)增加，則limA,,=U4

“Toon=l

2）如果集列｛｝單調(diào)減少，則limA,=A4

〃->oo〃=]

例1：設(shè)=（一1+,』+,）,4“=（-”,+〃）,〃€N,則

nn

limAn=（—g,+oo）,limA?J=（—1,1]

例2：設(shè)4,T=d,4」]，4“=[」,1+與〃eN,則

nnnn

lim4=[0,4）,limA?=（0,l]

〃T8"7a

小結(jié)本節(jié)介紹了集的基本概念，集的運(yùn)算和運(yùn)算性質(zhì).這些知識(shí)是本課程的基礎(chǔ).

證明兩個(gè)集的相等是經(jīng)常會(huì)遇到的，應(yīng)掌握其證明方法.DeMorgan公式很重要，以后

會(huì)經(jīng)常用到.集列的極限是種與數(shù)列極限不同的極限，應(yīng)正確理解其概念.

作業(yè)：P305,7,8

練習(xí)題

1.設(shè)｛4｝為一集列：

/I-I

(1)作用=A，紇=4-U證明｛紇｝為一列互不相交的集列，且

k=\

U=UBk(n=1,2,???)

k=\k=T

(2)若｛A“｝是單調(diào)減少的集列，證明

A=(A-43)5??54-4+1)口…u(64),

k=\

并且其中各項(xiàng)互不相交.

2.證明：

⑴limA,=QClA,A,=nUA,

"->8N=1n=N"T8N=\n=N

⑵limulim4

“ToonT8

⑶｛｝單調(diào)遞增時(shí)，有叵1=limAn=limAn=UAn

"Toon=l

__8

(4)｛AJ單調(diào)遞減時(shí)，有l(wèi)imAn=limAn=limAn=AAn

〃T8〃T8〃=1

3.已知4“=E,4,T=R(〃=L2,…)，求limA和垣4,并問(wèn)limA是否存在？

〃T8"一8〃->8

§2對(duì)等與基數(shù)

教學(xué)目的介紹映射，基數(shù)，等概念和它們的屬性.

本節(jié)要點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)的思想與方法是貫穿本節(jié)的核心.基數(shù)的概念，討論都要用一一對(duì)

應(yīng)的方法.證明兩個(gè)集對(duì)等或具有相同的基數(shù)，有時(shí)需要一定的技巧，因而具有一定難度,

通過(guò)較多的例題和習(xí)題，使學(xué)生逐步掌握其中的技巧.

本節(jié)難點(diǎn)證明兩個(gè)集對(duì)等或具有相同的基數(shù).

授課時(shí)數(shù)2學(xué)時(shí)

1映射的定義

在數(shù)學(xué)分析課程中我們對(duì)函數(shù)已經(jīng)很熟悉.其中函數(shù)的定義域通常是此的子集，值域

是實(shí)數(shù)集或者復(fù)數(shù)集.若將函數(shù)的定義域和值域換成一般的集，可得到映射的概念.

定義：設(shè)x,y是兩個(gè)非空集合，若依照對(duì)應(yīng)法則了,對(duì)x中的每個(gè)x,均存在y中唯一

的>與之對(duì)應(yīng)，則稱這個(gè)對(duì)應(yīng)法則f是從x到Y(jié)的一個(gè)映射，記作/：x-?y

或：設(shè)X,y是兩個(gè)非空集合，/是Xxy的子集，且對(duì)任意xeX,存在唯一的yeY

使(x,y)w/,則/是從X到y(tǒng)的一個(gè)映射.

注：集合，元素，映射是一相對(duì)概念.

略：像，原像，像集，原像集，映射的復(fù)合，單射，滿射，一一映射(雙射)

在數(shù)學(xué)分析課程中研究的函數(shù)當(dāng)然是一種映射.除此之外，我們還經(jīng)常會(huì)遇到許多其它

的映射.例如，定積分可以看作是可積函數(shù)集到實(shí)數(shù)集的映射，求導(dǎo)運(yùn)算可以看作是可導(dǎo)函

數(shù)集到函數(shù)集的映射，線性代數(shù)中的線性變換就是線性空間到線性空間的映射等.

2集合運(yùn)算關(guān)于映射的性質(zhì)(像集)

定理1：設(shè)/:X『)是X的子集，稱｛/(x):xeA｝為A的像集，

記作/(A),則有：

2)/(AUB)=/(A)U/(B),一般地有4)=U/(4)；

aerOCEV

3）/（AAB）u/04川/（8）,一般地有/（。AJcp|/（AJ;

如「aer

證明的過(guò)程略

注：y（/inB）=/（A）A/（B）一般不成立，如常值映射，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)了為單射.

集合運(yùn)算關(guān)于映射的性質(zhì)（原像集）

定理2：設(shè)/:X7匕AuX,C,D,Ca（aw「）是丫的子集，稱｛x:/（x）eC｝為C的

原像集，記作/t（。）（/不一定有逆映射），則有：

1）CUO=>/T（C）U/T（。）；

2）尸（CU。）=（QU尸（。）,一般地有：（UQ）=U尸C）；

aer

3）廣（?？?=尸（。）0尸（。）,一般地有：f-'（r\ca）=p\f-'（cay,

如「

4）尸（C\0=尸（C）\尸（0;

5）r'（c'）=[/-1（c）r；

6）Au尸"（A）];

wr'occ；

證明略.

注：6）,7）一般不能使等號(hào)成立，6）等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)/為單射，7）等號(hào)成立當(dāng)且

僅當(dāng)f為滿射.

3對(duì)等與勢(shì)

1）定義

設(shè)A,8是兩非空集合，若存在著A到8的一一映射（既單又滿），則稱A與8對(duì)等,

記作A?8.約定0?。.

注：（1）稱與A對(duì)等的集合為與A有相同的勢(shì)（基數(shù)），記作入.

（2）勢(shì)是對(duì)有限集元素個(gè)數(shù)概念的推廣.

2）性質(zhì)

。）自反性：A-A;

b）對(duì)稱性：A~8=>8?A;

c）傳遞性：A??C;

例：1）N?N奇數(shù)?N偶數(shù)?Z

2)(—1,1)~(-oo,+o°)

TT

證明：令,則/是(-1,1)到(—8,+8)的——映射.故

?(―°°,+°°)

注：有限集與無(wú)限集的本質(zhì)區(qū)別：無(wú)限集可與其某個(gè)真子集合有相同多的元素個(gè)數(shù)(對(duì)

等)且一定能做到，而有限集則不可能.

3)基數(shù)的大小比較

。)若A?B,則稱入=良

8)若A?4u8,則稱及相當(dāng)于：A到B有一個(gè)單射，也相當(dāng)于8到A有一個(gè)滿射.

c)若入〈瓦且入H上,則稱入＜Z.

注：不能用A與8的一個(gè)真子集對(duì)等描述.如：(-1,1)-(-1,1)G(-oo,+oo)

4Bernstein定理

引理：設(shè)如：&A｝,｛Ba：/leA｝是兩個(gè)集族，A是一個(gè)指標(biāo)集，又

A,4?%，而且｛%：/leA｝中的集合兩兩不交，｛當(dāng)：/UA｝中的集合兩兩不交，

那么：

U4~U當(dāng)

芥AMA

證明略

定理3:(Bernstein定理)若有A的子集A*,使8?A*,及8的子集8*,使A?B*,則

A?R即：若Nw及方則入=及

證明：根據(jù)題設(shè)，存在A到8*上的一一映射/,以及8到A*上的一一映射g.令

A=4\4*,4=/(&),4=g(a),B2=f(A2),Aug?),員=/(4),……

由g(B)=A*知4=g(BJuA*,而A=A\A*,故A與4不交.從而在/的

像耳，員不交，4,不在g下的像4,A不交.

由A3UA*,知4與4不交，故4,4，43兩兩不交從而4，42,4在/的像耳，與，員

也兩兩不交，....

從而4,4,A?,…兩兩不交，耳，星,鳥(niǎo),…也兩兩不交且乩(〃=1,2,…)，

所以

U"U4

n=ln—\

另外由紇（A=1,2,…），可知

0線汨.

A=lk=\

又3：A*,所以

B\U^~^\UA+1-A-\QA+I=（A\A）\UA+1=A\UA

&=1k-\&=1A=1k=}

???B\\jBk^A\\jAk

k=\k=\

??.A=M\QA）U（QA）~（5\U^）U（U^）=5

4=1*=1blk=l

證畢.

注：要證.=及需要在A與8間找一個(gè)既單又滿的映射；而要證入4瓦，只需找一個(gè)

單射即可；從而我們把找既單又滿的映射轉(zhuǎn)化成找兩個(gè)單射.

例：（-1,1）-[-1,1]

證明:由（-l,l）u[—1,1]U（P,+OO）?可知,（-1,1）-[-1,1]

作業(yè)：P309,10

練習(xí)題

1.網(wǎng)上以有理數(shù)為端點(diǎn)的區(qū)間的全體所成之集與自然數(shù)集之間能否建立?一對(duì)應(yīng)？

2.證明：若An3＞。,4口C,則AD8口C.

3.證明：若AuB,ADAuC,則有B口BuC.

4.設(shè)廠是[0,1]上的全體實(shí)函數(shù)所成的集合，而M是[0,1]的全體子集所成的集合，則

FQM.

§3、可數(shù)集合

教學(xué)目的介紹可數(shù)集概念及其運(yùn)算它們的屬性.

本節(jié)要點(diǎn)可數(shù)集是具有最小基數(shù)的無(wú)限集.可數(shù)集性質(zhì)十分重要，不少對(duì)等問(wèn)題可以

與可數(shù)集聯(lián)系起來(lái)，可數(shù)集證明技巧較強(qiáng)通過(guò)較多的例題和習(xí)題，使學(xué)生逐步掌握.

本節(jié)難點(diǎn)證明集合可數(shù).

授課時(shí)數(shù)1學(xué)時(shí)

1可數(shù)集的定義

與自然數(shù)集N對(duì)等的集合稱為可數(shù)集或可列集，其基數(shù)記為?；?/p>

123,4,5,6……

q,%,%，4，見(jiàn)，%....

注：A可數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)A可以寫(xiě)成無(wú)窮序列的形式{q,a2M3，4，%，&……}

例：1）Z={0,1,-1,2,-2,3,-3…}

2）[0,1]中的有理數(shù)全體={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,???}

2可數(shù)集的性質(zhì)（子集）

定理1任何無(wú)限集合均含有可數(shù)子集.

證明：設(shè)M是一個(gè)無(wú)限集，取出其中的一個(gè)元素從M中任取?元素，記為q.則

M-{ejH0,在M—{,}中取一元素4，顯然4Hq.設(shè)從M中已取出〃個(gè)互異元素

^^，…〃，由于加是無(wú)限集，故M-{e}e2,---en}H0，于是又可以從M-{e}e2,---en}中

取出一元素e“+],它自然不同于qq,…e”.

所以，由歸納法，我們就找到M的?個(gè)無(wú)限子集佰02,…,e”…}它顯然是一個(gè)可數(shù)集.證

畢.

這個(gè)定理說(shuō)明可數(shù)集的一個(gè)特征：它在所有無(wú)限集中有最小的基數(shù).

可數(shù)集的性質(zhì)（并集）

有限集與可數(shù)集的并仍為可數(shù)集

有限個(gè)可數(shù)集的并仍為可數(shù)集

可數(shù)個(gè)可數(shù)集的并仍為可數(shù)集

A={al,a2,a3,---},5={4也，…也}，C={cl,c2,ci,---}

假設(shè)A,8,C兩兩不交，則

AuB={4也，…也,4，/，…}（當(dāng)集合有公共元素時(shí)，不重復(fù)排）

AuC={q,q,生,c2,小，C3,…}

關(guān)于可數(shù)個(gè)可數(shù)集的并仍為可數(shù)集的證明

當(dāng)4互不相交時(shí)，按箭頭所示，我們得到一個(gè)無(wú)窮序列;

當(dāng)4有公共元時(shí)，在排列的過(guò)程中除去公共元素；

因此U4,是可數(shù)集。

n=l

說(shuō)明：與Hilbert旅館問(wèn)題比較；如何把無(wú)限集分解成無(wú)限個(gè)無(wú)限集合的并？

例全體有理數(shù)之集Q是可數(shù)集

首先［0,1］中的有理數(shù)全體={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,…}是可數(shù)集，

。=（。C［0J）5。C［-1,0］）u（QC口,2］）5。C［-2,-1］）?！?/p>

所以Q是可數(shù)集（可數(shù)個(gè)可數(shù)集的并）

說(shuō)明：有理數(shù)集在直線上稠密，但仍與稀疏分布在直線上的整數(shù)集有相同多的點(diǎn)（對(duì)等意

義下）.

3可數(shù)集的性質(zhì)（卡氏積）

定理：有限個(gè)可數(shù)集的卡氏積是可數(shù)集

只須證：設(shè)是可數(shù)集，則AxB也是可數(shù)集（利用數(shù)學(xué)歸納法即得有限個(gè)乘積的情形）

AxB={（x,y）\xEA,yeB}=.它ye團(tuán)二會(huì)

從而AxB也是可數(shù)集（可數(shù)個(gè)可數(shù)集的并）固定，y在變

例1平面上以有理點(diǎn)為圓心，有理數(shù)為半徑的圓全體A為可數(shù)集

證明：平面上的圓由其圓心（x,y）和半徑r唯一決定，從而

A?QxQx。*={（x,y,r）|x,yw

例2代數(shù)數(shù)全體是可數(shù)集

整系數(shù)多項(xiàng)式方程的實(shí)根稱為代數(shù)數(shù)；不是代數(shù)數(shù)的實(shí)數(shù)成為超越數(shù)。

設(shè)P是整系數(shù)多項(xiàng)式全體所成之集，巴是“次整系數(shù)多項(xiàng)式全體

Pn={a?x"++…+%GZ,i=1,2,…,n,a產(chǎn)0}

首先PQZ,~（Z-{0}）xZxZx--xZ（有限個(gè)可數(shù)集的卡氏積）

0V

〃個(gè)

故「=。匕為可數(shù)集（可數(shù)個(gè)可數(shù)集的并）

〃=0

由代數(shù)基本定理知任意〃次整系數(shù)多項(xiàng)式至多有有限個(gè)實(shí)根，從而結(jié)論成立.

例3設(shè)A是一個(gè)無(wú)限集，則必有A*uA,使4*口4，而A—A*可數(shù)

證明：由A是一個(gè)無(wú)限集，則A包含可數(shù)子集{0,62,63,…},令

4）=A-{e,,e2,e3,---},A*=A-{ex,ei,e5,---］,

則

A*uA,A*=4U{e2,e4,e6,---}04\J{el,e2,e3,---}A

且

A-A*={4,63,e$,…}

是可數(shù)集，證畢.

小結(jié)本節(jié)利用一一對(duì)應(yīng)的思想，給出了集的基數(shù)和可數(shù)集的定義.集的基數(shù)是有限

集元素的個(gè)數(shù)在無(wú)限集的推廣.可數(shù)集是具有最小基數(shù)的無(wú)限集.可數(shù)集經(jīng)過(guò)有限或

可數(shù)并運(yùn)算后仍是可數(shù)集.有理數(shù)集是一個(gè)重要的可數(shù)集

作業(yè)：P3012,15

練習(xí)題

1、設(shè)A中的元素是直線上兩兩不交的開(kāi)區(qū)間，則A為至多可數(shù)集.

2、怎樣建立無(wú)限集與它的一個(gè)真子集的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系？

3、證明任一可數(shù)集的所有有限子集全集是可數(shù)集.

4、證明遞增函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)的全體為至多可數(shù)集.

§4、不可數(shù)集合

教學(xué)目的介紹不可數(shù)集概念及其屬性.

本節(jié)要點(diǎn)區(qū)間［0,1］是典型不可數(shù)集，注意比較可數(shù)集與不可數(shù)集性質(zhì)的異同，利用R集

證明相關(guān)問(wèn)題具有重要意義，相應(yīng)的證明技巧較強(qiáng)，通過(guò)較多的例題和習(xí)題,使學(xué)生逐步掌

握.

本節(jié)難點(diǎn)證明集合不可數(shù).

授課時(shí)數(shù)1學(xué)時(shí)

不是可數(shù)集的無(wú)限集稱為不可數(shù)集.

1不可數(shù)集的存在性

定理1區(qū)間［0,1］是一個(gè)不可數(shù)集.

證明：假設(shè)［0,1］可數(shù)，則［0,1］上的點(diǎn)可以排成一個(gè)無(wú)窮序列：

百，，,,?，5***

記［05為3把/°三等分于其中取一不含玉的閉區(qū)間，記為則人的長(zhǎng)度.再

把《三等分，取其中不含馬的閉區(qū)間，記為，2,貝“721=5,這樣下去，可以得到一列閉

區(qū)間｛/“｝滿足：

故｛/“｝形成閉區(qū)間套，因此存在唯一點(diǎn)X?！?“(〃=0,1,2,…)，而由假設(shè)，使

得與任兒，這與玉,€/“(〃=0,1,2,…)矛盾，故［0,1］是不可數(shù)集.

2連續(xù)勢(shì)集的定義

定義1：與區(qū)間［0,1］對(duì)等的集的基數(shù)稱為連續(xù)基數(shù)(連續(xù)勢(shì))，這個(gè)基數(shù)記作c.

推論1C>Q

證明：由定理1.4.1知,。人.但［0,12［1,；,，一｝口｛1,2,3」一｝,故c>a.

證畢.

推論2開(kāi)區(qū)間(0,1)的基數(shù)也是c.

定理2全體實(shí)數(shù)所成之集R的基數(shù)是c.

2Y—1

證明令(p(x)-tan~—%，xe(0,l),則夕是(0,1)到(-8,+8)上的---映射，

所以R的基數(shù)是c.

推論1全體無(wú)理數(shù)所成之集的基數(shù)是c.

3連續(xù)勢(shì)集的性質(zhì)(卡氏積)

（1）有限個(gè)、可數(shù)個(gè)連續(xù)勢(shì)的卡氏積仍為連續(xù)勢(shì)集

定理3設(shè)4={（玉,％產(chǎn)、尤/一）：王€（0,1）},則N=N（證明略）

推論n維Euclid空間R"的勢(shì)為N

（2）連續(xù)勢(shì)集的性質(zhì)（并集）

連續(xù)勢(shì)集的（有限個(gè)，可數(shù)個(gè)，連續(xù)勢(shì)個(gè)）并仍為連續(xù)勢(shì)集

定理4實(shí)數(shù)列全體所成之集邑的基數(shù)是C.（證明略）

4無(wú)最大勢(shì)定理

定理5（Cantor）：設(shè)A是一個(gè)任意給定的非空集合，則2人>a.

證明：首先A與2A的一個(gè)子集對(duì)等是顯然的，只考慮A?{{a}:awA}u2A即可。

假設(shè)A?2狐則存在A到2A上的一一映射e：A?2人，令A(yù)*={a:awA,ae9（a）},

由于A*是A的子集，即4*€2狐因此存在a*eA,使得9（a*）=A*

（1）若a*eA*,則由A*的定義，有a*史°（a*）=A*

（2）若a*eA*=夕伍*）,則由A*的定義，有a*eA*

這是矛盾的.故齊》Z.

5可數(shù)勢(shì)與連續(xù)勢(shì)

定理6：2"=元或{0,1}'=R（即N=2*。）

證明：由于N的子集全體與特征函數(shù)全體存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，故2'與{0,1}'對(duì)等；

下證：{0,1}*=N

對(duì)任意的“e{0,1}。令/（夕）=￡絲?;易知了:{0,l}N-是單射，所以

n=l3

{0,1}^<K.

另一方面，對(duì)Vxw（0,l）,設(shè)光=￡&,%=0』（有無(wú)窮多1）（即：將x寫(xiě)成二進(jìn)

77=12

制小數(shù)0.44%…，且要求不以0為循環(huán)節(jié)）.

作g:(0,l)T{0,l}3%~濟(jì){0,1}”其中9(〃)=%,〃=1,2,3廣?(即將小數(shù)

0.qa2a3…對(duì)應(yīng)到序歹”{。1，。2，。3，.一})

易證g：(0,1)T{0,1廣是單射，因此2.2N.山Bernstein定理知=N.

連續(xù)統(tǒng)假設(shè)

Cantor認(rèn)為在N。與N之間不存在別的基數(shù)，即不存在這樣的集合A,使得Xo<A<K,

但Cantor證明不了，這就是著名的Cantor連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。

Hilbert在1900年第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上將它列為二十三個(gè)難題的第一個(gè)問(wèn)題。

小結(jié).直線上的區(qū)間是典型的不可數(shù)集.證明一個(gè)給定的集是可數(shù)集或不可數(shù)集是應(yīng)

當(dāng)掌握的基木技巧.

作業(yè)：P3017,18

練習(xí)題

1.直線”中任何包含非空開(kāi)區(qū)間的點(diǎn)集都具有連續(xù)勢(shì)N.

2.設(shè)，貝ijA,8中至少有一個(gè)勢(shì)為N.

3.設(shè)JA?=N,則中至少有一個(gè)勢(shì)為X.

71=1

4.[0,1]上的全體連續(xù)函數(shù)集E的勢(shì)為N.

第二章點(diǎn)集(總授課時(shí)數(shù)6學(xué)時(shí))

教學(xué)目的：歐氏空間配上的測(cè)度與積分是本課程的主要研究對(duì)象.本節(jié)討論歐氏空間

上的若干拓?fù)涓拍?通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，可以熟悉歐氏空間上的開(kāi)集，閉集和Borel集,Cantor集

等常見(jiàn)的集,為后面的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

本章要點(diǎn)由R"上的距離給出鄰域，內(nèi)點(diǎn)，聚點(diǎn)的定義，從而給出開(kāi)集，閉集的定義.

由開(kāi)集生成一個(gè)CT-代數(shù)引入Borel集.Cantor集是一個(gè)重要的集，它有一些很特別

的性質(zhì).應(yīng)使學(xué)生深刻理解本節(jié)介紹的各種集的概念并熟練應(yīng)用.充分利用幾何圖形的

直觀,可以幫助理解本節(jié)的內(nèi)容.

本章難點(diǎn)Borel集、Cantor集的性質(zhì).

授課時(shí)數(shù)6學(xué)時(shí)

本章先介紹R”中的距離、極限、鄰域、區(qū)間及其體積等基本概念，然后定義了內(nèi)點(diǎn)、

聚點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)、開(kāi)集、閉集等特殊點(diǎn)和集，并討論了開(kāi)集與閉集的性質(zhì)及其構(gòu)造.最

后介紹了聚點(diǎn)原理、有限覆蓋定理.

§1度量空間，〃維歐氏空間

教學(xué)目的1、深刻理解中的距離、鄰域、點(diǎn)列收斂等概念，弄清它們?cè)诳虅澆煌?lèi)型

的點(diǎn)及點(diǎn)集中的作用.

2、理解距離的性質(zhì)、點(diǎn)到集合的距離、兩集合之間的距離、集合的直徑等概念,

理解有界集、無(wú)界集、區(qū)間及區(qū)間的體積等概念.

3、了解鄰域的四條性質(zhì).

本節(jié)要點(diǎn)度量空間的概念.

本節(jié)難點(diǎn)度量空間的概念.

授課時(shí)數(shù)1學(xué)時(shí)

一、度量空間

定義1：設(shè)X為一非空集合，d：XxX~R為一映射，且滿足

(1)d(x9y)>0,d(x9y)=0?x=y(正定性)

(2)d(x,y)=d(y,x)(對(duì)稱性)

(3)d(x9y)<d(x9z)+J(z,y)(三角不等式)

則稱(X,4)為度量空間.

例1：

(1)歐氏空間(R",d),其中d(x,y)=

]VWy

(2)離散空間(X,d),其中或x,y)=1'

ox=y

(3)q,加空間(q詞表示閉區(qū)間[a,同上實(shí)值連續(xù)函數(shù)全體)，其中

J(x,^)=max|x(/)-y(OI

二、鄰域

定義2：稱集合｛P|d(P，4)<b｝為4的6鄰域，并記為U(4?).《稱為鄰域的中

心，6稱為鄰域的半徑.在不需要特別指出是什么樣的半徑時(shí)，也簡(jiǎn)稱為弓的鄰域，并記為

U(R).

不難看出：點(diǎn)列｛匕,｝收斂于《的充分必要條件是對(duì)任意￡>0,存在N,當(dāng)

〃?>N時(shí)有：PmeU(P0).

容易驗(yàn)證鄰域具有下面的基本性質(zhì)：

1)PsU(P)：

2)對(duì)于V，(P)和％(P)，如果存在「€U[(P)CU2(P)，則存在

q(P)=a(P)c〃(P)

3)對(duì)于VQeU(P),存在U(0)=U(P)；

4)對(duì)于VQmP,存在U(。)和U(P)滿足U(0)CU(P)H。

定義3：兩個(gè)非空的點(diǎn)集A,3間的距離定義為

"(48)=3服*(尸，Q)

ren

如果A,8中至少有一個(gè)是空集，則規(guī)定d(A,8)=0；若3=｛乂｝,貝IJ記

d(A,B)=d(A,X)

顯然，若ACBH0,則d(A,B)=0。

定義4：一個(gè)非空的點(diǎn)集E的直徑定義為：

3(E)=supd(P,Q)

P,QwE

當(dāng)E=0時(shí)，規(guī)定6(0)=0。顯然，6(E)=0oE至多只有一個(gè)元素。

若b(E)<+o?,則稱E為有界集。

定義5：稱｛3，乂2/-',)阿€4/=1,2廣?,〃｝為集合4的直積，記為

X]xX2x…xX“或fid

/=1

定義6：若/=其中4=<4,4>為直線上的區(qū)間，則稱/為〃維歐氏空間R"

/=1

中的區(qū)間；如果所有都是開(kāi)(閉、左開(kāi)右閉、左閉右開(kāi))區(qū)間，則稱/是開(kāi)(閉、左開(kāi)右閉、

左閉右開(kāi))區(qū)間。如果所有的4都是直線上的有界區(qū)間，則稱/是H"中的有界區(qū)間；如果至

少有一個(gè)/，.是直線上的無(wú)界區(qū)間，則稱/是R"中的無(wú)界區(qū)間.

注：A?中的有界區(qū)間即矩形，R3中的區(qū)間即長(zhǎng)方體，因此R"中的區(qū)間有時(shí)也稱為“長(zhǎng)

方體”.

顯然，E為有界集的充要條件是存在有界區(qū)間/E或E為有界集的充要條件是存在

有界鄰域線uU(后,。)

定義7：/=1｛/',/'=<"”>,稱川=『[(〃-")為區(qū)間/的“體積”，即

z=l1=1

=當(dāng)然，這里約定0x8=8義0=0,當(dāng)awO時(shí)，aX8=8xa=8.

<=1

注：”中的區(qū)間體積即區(qū)間的長(zhǎng)度，R2中的區(qū)間體積即矩形面積=長(zhǎng)又寬，R3中的

區(qū)間體積即長(zhǎng)方體體積=長(zhǎng)乂寬X高，因此規(guī)定H"中的區(qū)間體積=〃個(gè)邊長(zhǎng)的乘積，既是

合理的又是自然.

§2、聚點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)、界點(diǎn)

教學(xué)目的1、深刻理解內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、界點(diǎn)、聚點(diǎn)、孤立點(diǎn)的概念，弄清它們的區(qū)別與聯(lián)系.

2、理解并掌握開(kāi)核、導(dǎo)集、閉包、邊界及孤立點(diǎn)集等概念，對(duì)一個(gè)已知的點(diǎn)集E,

會(huì)求這些相關(guān)的點(diǎn)集.

3、了解Bolzano—Weierstrass定理.

本節(jié)要點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、界點(diǎn)、聚點(diǎn)、孤立點(diǎn)及開(kāi)核、導(dǎo)集、閉包、邊界及孤立點(diǎn)集等概

念.

本節(jié)難點(diǎn)對(duì)一個(gè)已知的點(diǎn)集E,求這些相關(guān)的點(diǎn)集.

授課時(shí)數(shù)1學(xué)時(shí)

一、歐氏空間中各類(lèi)點(diǎn)的定義

(1)穌為E的內(nèi)點(diǎn)：m3>0,使得。(〃,6)匚￡,記為￡'

(2)母為E的外點(diǎn)：m6>0,使得E的外點(diǎn)的全體記為

(3)玲為E的邊界點(diǎn)：Vb〉0,有U(4?)CEH0且U(4，b)c￡記為HE

(4)玲為E的聚點(diǎn)：Vb>0,有U(4，b)c(E—{p°})H0,E的聚點(diǎn)的全體稱為E的

導(dǎo)集，記為E'

(5)玲為E的孤立點(diǎn)：36>0,使得。(兄?)門(mén)后={。0}

(6)4為E的接觸點(diǎn)：V6>0,有U(《,6)CEH0

注：聚點(diǎn)、邊界點(diǎn)不一定屬于E,內(nèi)點(diǎn)、孤立點(diǎn)一定屬于E.

由定義可知E=E'<j{E的孤立點(diǎn)全體}=EuE=￡uHE

例1：(1)令E=Q,則豆=E'=HE=R,E°=0

⑵令E=，…L…I，則9={0}對(duì)一切工伙=1,2,3,…)均為E的孤立

[23%Jk

點(diǎn)

二、聚點(diǎn)的等價(jià)定義

定理1下面三個(gè)陳述是等價(jià)的：

(1)E';

(2)對(duì)\/6〉0,(U(4?)—{々})CEH0

(3)E中有各項(xiàng)互異的點(diǎn)列{《}(6。4,％=1,2,3,…)，使《~玲(攵78)

證明(1)=>(2)是顯然的.

(2)=>(3)：因?yàn)?U(《,l)-{4})cE/0,取[e(U(4，l)-{4})cE,則

[eE且4H4.令a則U(4石)中至少有一點(diǎn)鳥(niǎo)eE且

呂。4，，H,令&=min卜仍,兄),卷，則。(外,可)中至少有一點(diǎn)Qc￡且

鳥(niǎo)。匕(i=0,1,2).這樣繼續(xù)下去，便得到點(diǎn)列{鼻}且滿足要求.

⑶n⑴：XM>0,存在自然數(shù)%,當(dāng)kN勺時(shí)，有&e。國(guó)?)，即U%,6)cE

為無(wú)限集，故兄eE'.

三、開(kāi)核、邊界、導(dǎo)集之間的關(guān)系

定理2設(shè)力UB,則A'uB',A°uB°,Nu瓦

定理3(Au8y=AU",XUfi=AuB

證明：(1)因?yàn)锳uAuB,BuAu8,由定理2知，A'c(AuB)',B'c(AuB)'

從而A'D8'U(ADB)'.另一方面，任取PW(ADB)',若PEA'UB',則P史A'且

Pi8'.于是

孫>0,使

(0仍博)-{叩門(mén)4=0,

3^2>0,使

(U(P。)—{P})cB=0,

取6=min{b1?2},則

(U(P?)-{P})c{AuB}=[(U(尸》)-{P})CA]“(U(P?)-{P})CB]=0

這說(shuō)明P任(AuB)',這與Pe(Au8)'矛盾.所以PeA'uB',即(AuB)'uA'u8'

綜合以上兩個(gè)方面，即有(AuB)'=AUB'.

=證畢

定理4(Bolzano-Weierstrass定理)R"中的有界點(diǎn)列必有收斂子列.(證略)

作業(yè)：P492,3,4,5