線性代數(shù)第四章練習(xí)題答案完美版

線性代數(shù)第四章練習(xí)題答案完美版

第四章線性代數(shù)第四章練習(xí)題答案完美版二次型 練習(xí)4、11、寫出下列二次型的矩陣（1）=；（2）=。解：（1）因?yàn)?,所以二次型的矩陣為：。（2）因?yàn)?，所以二次型的矩陣為：。2、寫出下列對(duì)稱矩陣所對(duì)應(yīng)的二次型：（1）；（2）。解：（1）設(shè)，則=XTAX==。（2）設(shè)，則=XTAX==。練習(xí)4、21、用正交替換法將下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所作的線性替換。（1）=；（2）=；（3）=。解：（1）二次型的矩陣A=。A的特征方程為===0，由此得到A的特征值，，。對(duì)于，求其線性方程組，可解得基礎(chǔ)解系為。對(duì)于，求其線性方程組，可解得基礎(chǔ)解系為：。對(duì)于，求其線性方程組，可解得基礎(chǔ)解系為：。將單位化，得，，，令P==，則PTAP=diag(-2,1,4)=。作正交替換X=PY，即，二次型可化為標(biāo)準(zhǔn)形：。（2）類似題（1）方法可得：P=，PTAP=，即得標(biāo)準(zhǔn)形：。（3）類似題（1）的方法可得：P=，PTAP=，即得標(biāo)準(zhǔn)形：。2、用配方法將下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形：（1）=；（2）=；（3）=。解：（1）先將含有的項(xiàng)配方。=++－+++=+++，再對(duì)后三項(xiàng)中含有的項(xiàng)配方，則有=+++=+。設(shè)Y=，X=，B=，令Y=BX，則可將原二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。（2）此二次型沒(méi)有平方項(xiàng)，只有混合項(xiàng)。因此先作變換，使其有平方項(xiàng)，然后按題（1）的方法進(jìn)行配方。令，即=。則原二次型化為=+=－++=－，設(shè)Y=，Z=，B=，令Z=BY，則可將原二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。（3）類似題（2）的方法，可將原二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形：。3、用初等變換法將下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形：（1）=；（2）=；（3）=。（此題與課本貌似而已，注意哈）解：（1）二次型的矩陣為A=。于是=。令C=，作可逆線性變換X=CY，原二次型可化為標(biāo)準(zhǔn)形：=。（2）類似題（1）的方法，原二次型可化為標(biāo)準(zhǔn)形：=。（3）類似題（1）的方法，原二次型可化為標(biāo)準(zhǔn)形：=。4、已知二次型=的秩為2。求參數(shù)c的值，并將此二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。解：二次型的矩陣為A=。因?yàn)锳的秩為2，令detA=0，可得c=3。即=也就是A=，通過(guò)初等變換法，即可將其化為標(biāo)準(zhǔn)形：。5、設(shè)2n元二次型=試用可逆線性替換法將其化為標(biāo)準(zhǔn)形。解：令，P=，即作正交變換X=CY，二次型可化為標(biāo)準(zhǔn)型：。6、已知二次型=(a>0)通過(guò)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)型，求的值及所作的正交替換矩陣。解：因?yàn)樵涡涂苫癁?，可知原二次型的矩陣的特征值?，2和5。而原二次型的矩陣為A=。故A的特征方程為===0。因此將此特征方程的解1，2，5代入得：a=2。對(duì)于，求其線性方程組，可解得基礎(chǔ)解系為。對(duì)于，求其線性方程組，可解得基礎(chǔ)解系為：。對(duì)于，求其線性方程組，可解得基礎(chǔ)解系為：。將單位化，得，，，故正交替換矩陣為：P==。練習(xí)4、31、判別下列二次型是否為正定二次型：（1）=；（2）=；（3）=。解：（1）二次型的矩陣為A=。由于5>0，=26>0，=84>0,即A的一切順序主子式都大于零，故此二次型為正定的。（2）二次型的矩陣為A=。由于|A|==-3588<0，故此二次型不為正定的。（3）二次型的矩陣為：A=。由于=-9<0，故此二次型不為正定的。2、當(dāng)t為何值時(shí)，下列二次型為正定二次型：（1）=；（2）=；（3）=。解：（1）二次型的矩陣為：A=。由于=，=，但易知不等式組無(wú)解，因此，不論t取何值，此二次型都不是正定的。（2）二次型的矩陣為：A=。此二次型正定的充要條件為1>0,=>0,|A|=>0，由此解得：。（3）二次型的矩陣為：A=。由2>0,>0,|A|=>0，解得：。3、設(shè)A、B為n階正定矩陣，證明BAB也是正定矩陣。證明：由于A、B是正定矩陣，故A及B為實(shí)對(duì)稱矩陣。所以(BAB)T=BTATBT=BAB，即BAB也為實(shí)對(duì)稱矩陣。由于A、B為正定矩陣，則存在可逆矩陣C1，C2，有A=C1TC1，B=C2TC2，所以BAB=C2TC2C1TC1C2TC2=(C1C2TC2)T(C1C2TC2)，即BAB也是正定矩陣。4、如果A，B為n階正定矩陣，則A+B也為正定矩陣。證明：由于A、B是正定矩陣，故A及B為實(shí)對(duì)稱矩陣。從而A+B也為實(shí)對(duì)稱矩陣，而且，，為正定二次型。于是對(duì)不全為零的實(shí)數(shù)，有，。故h==+，即二次型h=為正定的，故A+B為正定矩陣。5、設(shè)A為正定矩陣，則A-1和A*也是正定矩陣。其中A*為A的伴隨矩陣。證明：因?yàn)锳為正定矩陣，故A為實(shí)對(duì)稱矩陣。從而即也為對(duì)稱矩陣，即也為對(duì)稱矩陣。由已知條件可知，存在可逆矩陣C，使得。于是=，===，其中Q=，P=都為可逆矩陣。故A-1和A*都為正定矩陣。6、設(shè)A為n×m實(shí)矩陣，且r(A)=m<n，求證：（1）ATA為m階正定矩陣；（2）AAT為n階半正定矩陣。證明（1）因?yàn)锳為n×m實(shí)矩陣，所以為m×n矩陣，又r(A)=m<n，因此，方程組AX＝O,只有零解。于是對(duì)于任意的XO,有AXO。則XT（ATA）X＝（AX）T（AX）＞0。因此，為正定矩陣。（2）因?yàn)锳為n×m實(shí)矩陣，所以為m×n矩陣，又r(A)=m<n，因此，方程組ATX＝O,有非零解。即存在X0O,有AX0=O。于是對(duì)于任意的XO,有XT（AAT）X＝（ATX）T（ATX）0。因此,為半正定矩陣。7、試證實(shí)二次型是半正定的充分必要條件是的正慣性指數(shù)等于它的秩。證明：充分性。設(shè)的正慣性指數(shù)等于它的秩，都是r，則負(fù)慣性指數(shù)為零。于是可經(jīng)過(guò)線性變換X=CY變成=。從而對(duì)任一組實(shí)數(shù)，由X=CY可得Y=C-1X，即有相應(yīng)的實(shí)數(shù)，使=0.即為半正定的。必要性。設(shè)為半正定的，則的負(fù)慣性指數(shù)必為零。否則，可經(jīng)過(guò)線性變換X=CY化為=，s<r。于是當(dāng)yr=1，其余yi=0時(shí)，由X=CY可得相應(yīng)的值，帶入上式則得=－1<0。這與為半正定的相矛盾，從而的正慣性指數(shù)與秩相等。8、證明：正定矩陣主對(duì)角線上的元素都是正的。證明：設(shè)矩陣A為正定矩陣，因此為正定二次型。于是對(duì)不全為零的實(shí)數(shù)，有，取，(i=1,2,…,n)則，(i=1,2,…,n)即主對(duì)角線上的元素都是正的。（注：所有答案我已全部整理至此，有些題沒(méi)找到，希望對(duì)大家有所幫助！——君不器）行列式§1行列式的概念填空(1)排列6427531的逆序數(shù)為，該排列為排列。(2)=，=時(shí)，排列1274569為偶排列。(3)階行列式由項(xiàng)的代數(shù)和組成，其中每一項(xiàng)為行列式中位于不同行不同列的個(gè)元素的乘積，若將每一項(xiàng)的各元素所在行標(biāo)按自然順序排列，那么列標(biāo)構(gòu)成一個(gè)元排列。若該排列為奇排列，則該項(xiàng)的符號(hào)為號(hào)；若為偶排列，該項(xiàng)的符號(hào)為號(hào)。(4)在6階行列式中，含的項(xiàng)的符號(hào)為，含的項(xiàng)的符號(hào)為。用行列式的定義計(jì)算下列行列式的值(1)解：該行列式的項(xiàng)展開式中，有項(xiàng)不為零，它們分別為，所以行列式的值為。(2)解：該行列式展開式中唯一不可能為0的項(xiàng)是，而它的逆序數(shù)是，故行列式值為。證明：在全部元排列中，奇排列數(shù)與偶排列數(shù)相等。證明：元排列共有個(gè)，設(shè)其中奇排列數(shù)有個(gè)，偶排列數(shù)為個(gè)。對(duì)于任意奇排列，交換其任意兩個(gè)元的位置，就變成偶排列，故一個(gè)奇排列與許多偶排列對(duì)應(yīng)，所以有，同理得，所以。若一個(gè)階行列式中等于0的元素個(gè)數(shù)比多，則此行列式為0，為什么？階行列式中，若負(fù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，則至少為多少？（提示：利用3題的結(jié)果）利用對(duì)角線法則計(jì)算下列三階行列式（1）（2）

§2行列式的性質(zhì)利用行列式的性質(zhì)計(jì)算系列行列式。(1)(2)(3)證明下列恒等式(1)（提示：將行列式按第一列分解為兩個(gè)行列式之和，再利用性質(zhì)證明）(2)(3)(提示：從最后一列起，后列的倍加到前一列)已知四階行列式D的第三行元素分別為：；第四行元素的對(duì)應(yīng)的余子式依次是2，10，，4，求的值。已知1365，2743，4056，6695，5356能被13整除，證明：能被13整除。（提示：注意觀察行列式中第2，3，4，5列元素的特點(diǎn)）已知，求：(1)；(2)和。（提示：利用行列式按行（列）展開的性質(zhì)計(jì)算）設(shè)，求的根。解1：首先，行列式展開式中含項(xiàng)，所以有四個(gè)根。而通過(guò)觀察，將代入行列式，行列式中均有兩行元素相同，此時(shí)行列式值為0，即為根。然后，把所有列加到第一列上，可發(fā)現(xiàn)第四個(gè)根，計(jì)算如下：解2：（注意各行元素之和相等，可計(jì)算的值后，求根。）

§3行列式的計(jì)算利用三角行列式的結(jié)果計(jì)算下列階行列式(1)（提示：注意各行（列）元素之和相等）(2)（提示：可考慮按第一行（列）展開）(3)（提示：可考慮第一行的倍加到各行，再化為三角行列式）用迭代法計(jì)算下列行列式(1)解：按第一行（列）展開，得遞推公式：=+。于是==。由此得：+++。(2)。解：按第一行展開，有遞推公式+，得遞推公式：=1\*GB3①同理可得：=2\*GB3②聯(lián)立=1\*GB3①與=2\*GB3②，解方程組得：利用范德蒙行列式的結(jié)果計(jì)算下列行列式(1)，（提示：利用行列式的性質(zhì)，先化行列式為標(biāo)準(zhǔn)形式的范德蒙行列式，再利用范德蒙行列式的結(jié)果計(jì)算行列式）

(2)，解：在行中提出因子，4．構(gòu)造輔助行列式法計(jì)算下列行列式(1)(缺行的范德蒙行列式)解：構(gòu)造輔助范德蒙行列式，為中元素的余子式，而(2)解：構(gòu)造輔助行列式，則，而用數(shù)學(xué)歸納法證明：證明：（1）時(shí)，等式顯然成立；（2）假定等式對(duì)于小于階的行列式成立；（3）（下證階行列式成立）由于，+（注：按最后一行（列）展開）==所以，6．，求(提示：將所有行加到最后一行)

§3克來(lái)姆（Cramer）法則用克來(lái)姆法則解下列方程組(1)(2)當(dāng)取何值時(shí)，方程組有非零解？

矩陣§1矩陣的概念及運(yùn)算判斷正誤（1）設(shè)為矩陣，為矩陣，若，則與必為同階方陣。（）（2）與為階方陣，為實(shí)數(shù)，有。（）（3）與為階方陣，。（）（4）與為階方陣，。（）（5）為階方陣，。（）（6）與為階方陣，。（）（7）為階方陣，。（）（8）與為階方陣，。（）（9）與為階方陣，。（）選擇題(1)設(shè)均為階方陣，，則（）(A)（B）(C)(D)(2)若為實(shí)對(duì)稱矩陣，則的值（）(A)（B）(C)(D)不能確定（3）設(shè)為方陣，，則為（）(A)（B）(C)(D)不能確定設(shè)，，計(jì)算：(1)；(2)；(3)。計(jì)算。(提示：先計(jì)算出，以此歸納出，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論)設(shè)為階方陣，若對(duì)任意的維列向量，均有，證明：。(提示：由于維列向量的任意性，考察維列向量，證中各元素為0)設(shè)為實(shí)對(duì)稱矩陣，若，證明。(提示：證中各元素為0)若為階方陣，且滿足。若，求。(提示：先證明)試證：若為奇數(shù)階方陣，且滿足，，則。(提示：先證明)若為奇數(shù)階反對(duì)稱方陣，證明：。(提示：由反對(duì)稱陣的定義證明)設(shè)都是對(duì)稱矩陣，證明：為對(duì)稱矩陣的充要條件是。設(shè)階方陣，，且與的各行元素之和為1，是矩陣，且每個(gè)元素都為1，求證：(1)；(2)的各行元素之和都等于1；(3)若各行元素之和分別為，則的各行元素之和都等于什么？

§2逆矩陣判斷正誤(均為階方陣)(1)。()(2)。()(3)為階方陣。則或。()(4)。()(5)，。()(6)。()填空(1)設(shè)，則，，=。(2)設(shè)為3階方陣，且，則=，=，=，=。(3)已知，則=。(4)設(shè)，則=。設(shè)，證明：。(提示：證明)設(shè)方陣滿足，證明：及都可逆，并求其逆矩陣。（提示：利用可逆的定義證明）設(shè)是階方陣，證明：(1)若，則；(2)；(3)。（提示：凡是與伴隨矩陣有關(guān)的結(jié)論，可先考慮等式）設(shè)階非零方陣的伴隨矩陣為，且=，求證：。(提示：可考慮用反證法證明)設(shè)是階方陣，如有非零矩陣使，則。設(shè)均為階可逆方陣，求。

§3分塊矩陣設(shè)，，利用分塊矩陣計(jì)算。設(shè)，，(1)利用分塊矩陣求；(2)計(jì)算。 設(shè)均為階方陣，令證明可逆的充要條件是均可逆；設(shè)，使，求出；當(dāng)可逆時(shí)，求出。設(shè)，利用矩陣分塊求。設(shè)為階可逆方陣，為矩陣，為常數(shù)，，計(jì)算；(2)證明：可逆的充要條件是。設(shè)為4階矩陣，且，把按列分塊為，其中是的第列，求。(提示：根據(jù)行列式的性質(zhì)計(jì)算)

§4矩陣的初等變換把矩陣化為階梯形和簡(jiǎn)單階梯形。利用初等變換求逆矩陣，。利用初等變換求解下列矩陣方程（1）（2）已知，用初等變換求，并計(jì)算的所有代數(shù)余子式之和。(提示：利用，可求)

§5矩陣的秩判斷正誤(1)若為矩陣，，則。()(2)若，則的所有的階子式都不為0，而所有的階子式都為0。()(3)若矩陣存在一個(gè)階子式都不為0，則。()(4)任何一個(gè)可逆矩陣都可分解為初等方陣的乘積，且分解唯一。()（5）設(shè)為矩陣，為矩陣，且，則。()設(shè)，求。設(shè)矩陣，(1)為何值時(shí)，最大？(2)為何值時(shí)，最??？(提示：利用初等變換求秩)討論階方陣的秩。不全為零，不全為零，求矩陣的秩。(提示：利用秩的定義，考慮行列式的一階及二階子式)設(shè)均為階方陣，證明：若，則；若，則。(提示：利用可逆矩陣可分解為初等方陣的乘積，以及初等變換不改變矩陣的秩證明)

向量組的線性相關(guān)性§1維向量設(shè)，且，求向量?！?向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)用定義判斷下列向量組的線性相關(guān)性（1）。解：設(shè)即有齊次線性方程組。線性方程組的系數(shù)行列式為，故由克拉姆法則方程組有非零解，即存在不全為零的數(shù)使得成立，故線性相關(guān)。（2）。解：設(shè)即有齊次線性方程組。線性方程組的系數(shù)行列式為，故由克拉姆法則方程組只有零解，即只存在全為零的數(shù)使得成立，故線性無(wú)關(guān)。

設(shè)，，把表示成的線性組合，問(wèn)線性表示是否唯一？解：設(shè)即有非齊次線性方程組。線性方程組的系數(shù)行列式為，故由克拉姆法則方程組有唯一解，即能表示成的線性組合，且表示唯一。設(shè)，問(wèn)：當(dāng)為何值時(shí)，線性無(wú)關(guān)？當(dāng)為何值時(shí)，線性相關(guān)？當(dāng)相關(guān)時(shí)，將表示為的線性組合。解：(1)線性相關(guān)，從而線性無(wú)關(guān)(2)當(dāng)時(shí)4．證明：若向量組中含有零向量，則此向量組一定線性相關(guān)。（提示：用定義證明）證明:不妨設(shè)法一：顯然，即存在不全為零的數(shù)使得線性組合為零，故向量組一定線性相關(guān)。法二：由可知向量組線性相關(guān)，又，故向量組一定線性相關(guān)。注意：因?yàn)橄蛄拷M中含有零向量，故行列式，故向量組一定線性相關(guān)。（這樣證明是錯(cuò)誤的，因?yàn)椴灰欢ㄊ欠疥嚒＃?．已知向量組線性無(wú)關(guān)，，，用定義證明：向量組線性無(wú)關(guān)。解：設(shè)，由題條件可得又線性無(wú)關(guān)，故有方程組系數(shù)行列式為由克拉姆法則方程組有只有零解，故只有全為零才成立，故向量組線性無(wú)關(guān)。6．若向量可由線性表出，則表示法唯一的充要條件為線性無(wú)關(guān)。（提示：可考慮用反證法證明）證明：充分性（線性無(wú)關(guān)表示法唯一）：若表示不唯一，設(shè)有兩個(gè)不同的表示為由（1）（2）得，由兩個(gè)表示不一樣有不全為零，這與線性無(wú)關(guān)矛盾。故當(dāng)線性無(wú)關(guān)時(shí)表示法唯一必要性：（表示法唯一線性無(wú)關(guān)）若線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)設(shè)為有又可由線性表出記為由（3）（4）可得由不全為零知道（4）（5）是兩個(gè)不同的表示，這與表示唯一矛盾。故表示法唯一線性無(wú)關(guān)若向量組線性無(wú)關(guān)，問(wèn)常數(shù)需滿足什么條件時(shí)，向量組線性無(wú)關(guān)？（提示：用定義判定）解：設(shè)即有由向量組線性無(wú)關(guān)得方程組的系數(shù)行列式為，由克拉姆法則得時(shí)方程組只有零解。當(dāng)時(shí)線性無(wú)關(guān)。

8．判斷題（1）若向量組線性相關(guān)，則任一向量可由其余向量線性表出。（）正確為：若向量組線性相關(guān)，則至少有一個(gè)向量可由其余向線性表出。反例：（2）對(duì)任意一組不全為零的數(shù)，有，則向量組線性相關(guān)。（）思考一下這在什么情況下發(fā)生（3）若線性相關(guān)，亦線性相關(guān)，則有不全為零的數(shù)，使，同時(shí)成立。（）（4）若有不全為0的數(shù)，使成立，則線性相關(guān)，亦線性相關(guān)。（）（5）對(duì)于三維向量，若兩向量線性相關(guān)，則這兩向量平行；若三向量線性相關(guān)，則這三向量共面。（）9．選擇題（1）維向量組線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是（D）（A）存在不全為零的數(shù)，使；反例線性相關(guān)但正確應(yīng)為：維向量組線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是對(duì)任意的不全為零的數(shù)，使（B）中任意兩個(gè)向量線性無(wú)關(guān)；（C）中存在一個(gè)向量，它不能用其余向量線性表出；（D）中任意一個(gè)向量都不能用其余向量線性表出。（2）設(shè)均為維向量，那么下列結(jié)論正確的是（B）（A）若，則線性相關(guān)；注意：無(wú)論是否無(wú)關(guān)，當(dāng)時(shí)均有（B）對(duì)任意一組不全為零的數(shù)，有，則向量組線性無(wú)關(guān)；注意：（B）意味著只有。（C）若線性相關(guān)，則對(duì)任意一組不全為零的數(shù)，有；注意：線性相關(guān)只是至少存在不全為零的數(shù)，有未必是對(duì)任意一組不全為零的數(shù)有（D）因?yàn)?，所以線性無(wú)關(guān)。(3)設(shè)有任意兩個(gè)維向量組和，若存在兩組不全為零的數(shù)和,使，則（D）。（A）

和都線性相關(guān)；（B）

和都線性無(wú)關(guān)；（C）

線性無(wú)關(guān)；（D）

線性相關(guān)。注意：（4）向量組線性無(wú)關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是（B）。（A）；（B）；（C）；（D）。注意：向量組與向量組等價(jià)。線性無(wú)關(guān)故秩為3，故秩也為3。（5）設(shè)向量組（I）：，，；向量組（II）：，，，，則（）（A）

（I）相關(guān)（II）相關(guān)；（B）（I）無(wú)關(guān)（II）無(wú)關(guān)；（C）（II）無(wú)關(guān)（I）無(wú)關(guān)；（D）（I）無(wú)關(guān)（II）無(wú)關(guān)。（6）若向量組線性無(wú)關(guān)，線性相關(guān)，則（C）（A）必可由線性表示；（B）必不可由線性表示；（C）必可由線性表示；（B）必不可由線性表示。注意：向量組線性無(wú)關(guān)，線性無(wú)關(guān)，又線性相關(guān)必可由線性表示；必可由線性表示；

§3向量組的秩求下列向量組的秩和一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，并把其余向量用最大無(wú)關(guān)組線性表示。（1）；（提示：首先將向量作為列向量構(gòu)成矩陣，然后對(duì)矩陣進(jìn)行初等行變換化為最簡(jiǎn)階梯形）解：作矩陣故，是其一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。（2）。解：作矩陣故，是其一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。設(shè)向量組的秩為2，求。解：法一，作矩陣故即時(shí)秩為2。法二：由向量組秩為2可得線性相關(guān)，故由向量組秩為2可得線性相關(guān)，故設(shè)向量組能由向量組線性表出，證明：（）（）（注：該結(jié)論是線性代數(shù)重要結(jié)論之一。凡是與秩有關(guān)的命題，大多需用該結(jié)論證明，如第4題等）證明：令（）=，不妨設(shè)=為的極大無(wú)關(guān)組；令（）=q，為的極大無(wú)關(guān)組?？紤]向量組=，為的極大無(wú)關(guān)組，則線性無(wú)關(guān)且能被線性表出。又能由向量組線性表出，故也能表示，從而線性無(wú)關(guān)且表示=，即是=的極大無(wú)關(guān)組，故。由線性無(wú)關(guān)及秩的定義有。故（）（）設(shè)是個(gè)維向量，若標(biāo)準(zhǔn)基向量能由它們線性表出，證明：線性無(wú)關(guān)。（提示：用秩法判定向量組的線性相關(guān)性）證明：已知，由能由線性表出有，又可得線性無(wú)關(guān)證明：任意個(gè)維向量必定線性相關(guān)。（提示：考慮它們與單位向量組的表示關(guān)系，再利用第3題給出的秩的范圍，最后用秩法判定）證明：作矩陣則由又必定線性相關(guān)。設(shè)向量組與向量組的秩相等，且向量組能由向量組線性表出，證明：與等價(jià)。證明：設(shè)它們的秩為，為的極大無(wú)關(guān)組；為的極大無(wú)關(guān)組?？紤]向量組=。容易證明也是向量組=的極大無(wú)關(guān)組，故。若不能線性表示則必存在一個(gè)向量不妨設(shè)滿足線性無(wú)關(guān)，若不能線性表示則必存在一個(gè)向量不妨設(shè)滿足線性無(wú)關(guān)，如此繼續(xù)下去必能找到向量組線性無(wú)關(guān)且能表示故是向量組=的極大無(wú)關(guān)組，故，矛盾。故能線性表示從而能線性表示。故與等價(jià)。設(shè)，證明：與等價(jià)。（提示：可利用克來(lái)姆法則反解出）證明：由條件可得能線性表示，且，其中計(jì)算所以可逆，故，即能線性表示，故與等價(jià)。設(shè)有向量組，試證：向量組線性無(wú)關(guān)，其中為個(gè)互不相等且不為0的常數(shù)。（提示：用定義證明，其間涉及范德蒙行列式的計(jì)算）證明：作矩陣，故。計(jì)算矩陣的秩，顯然。且矩陣有一個(gè)階子式，故。故向量組線性無(wú)關(guān)設(shè)向量組的秩為，向量組的秩為向量組的秩為，證明：。證明：設(shè)是的極大無(wú)關(guān)組，是的極大無(wú)關(guān)組。顯然能線性表示故又，所以。顯然能線性表示和。故，且。設(shè)同為矩陣，證明（1），（2）。證明：記，，則，記向量組，，則，，，作向量組由向量組秩的關(guān)系得顯然向量組能表示向量組，故，即有，

設(shè)為矩陣，為矩陣，證明。（提示：令，證，證明方法也是考慮它們的列向量組之間的關(guān)系；再由，證）向量線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是（提示：令，則）證明：線性無(wú)關(guān)

選擇題（1）設(shè)是階矩陣，且，則中（C）必有一列元素全為零；必有兩列元素對(duì)應(yīng)成比例；必有一列向量是其余列向量的線性組合；任一列向量都是其余向量的線性組合。（2）已知線性方程組的系數(shù)矩陣是矩陣，且的行向量組線性無(wú)關(guān)，則下列結(jié)論正確的是（C）。（A）的列向量組線性無(wú)關(guān)；注：的行向量組線性無(wú)關(guān)的列向量組線性相關(guān)（B）的增廣矩陣的任意四個(gè)列向量線性無(wú)關(guān)；（C）的增廣矩陣的行向量組線性無(wú)關(guān)；注：的行向量組線性無(wú)關(guān)，又（D）的增廣矩陣的列向量組線性無(wú)關(guān)。（3）設(shè)向量，而則下列結(jié)論中正確的是（A）。（A）=；（B）>；（C）<；（D）不能確定。注：容易證明與等價(jià)（4）若存在矩陣，使，則（）（A）；（B）>；（C）<；（D）不能確定。注：，（5）矩陣在下列（D）變換時(shí)改變秩。轉(zhuǎn)置；（B）初等變換；（C）乘以非奇異陣（D）乘以奇異陣。

§4維向量空間證明：是的子空間。證明：，不妨記，，則，。故。，故。故是的子空間。設(shè)問(wèn)是不是向量空間？為什么？解;是向量空間（仿照上題證明對(duì)線性運(yùn)算封閉）不是向量空間，因?yàn)椋?，則。證明：由構(gòu)成的一個(gè)基，并求在這個(gè)基下的坐標(biāo)。證明：，故，故線性無(wú)關(guān)且構(gòu)成的一個(gè)基。設(shè)，，證明：。（提示：只需證明與等價(jià)）證明：由題的條件可知：；即與等價(jià)設(shè)，說(shuō)明平面上=的幾何意義。（1）；（2）；（3）。

§5內(nèi)積與正交向量組試用施密特法把下列向量組正交化（1）；設(shè)是維向量，且，證：。（提示：根據(jù)模與內(nèi)積的關(guān)系以及內(nèi)積的性質(zhì)證明）證明：又所以證明：。證明：

線性方程組§1線性方程組的一般理論判斷題（1）有解的充要條件有三種：=1\*GB3①；=2\*GB3②能由的列向量組線性表出；=3\*GB3③向量組與向量組等價(jià)。（）（2）有非零解的充要條件是的列向量組的秩小于（是未知數(shù)的個(gè)數(shù)）。（）（3）若有無(wú)窮多解，則有非零解。（）（4）若有非零解，則必有無(wú)窮多解。（）選擇題（1）為階矩陣，齊次線性方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解，則必有D。（A）；（B）；（C）中有兩列對(duì)應(yīng)元素成比例；(D)的列向量組線性相關(guān)。注：有無(wú)數(shù)個(gè)解有非零解的列向量組線性相關(guān)（2）為階矩陣，非齊次線性方程組的解不唯一，則下列結(jié)論正確的是D。（A）；（B）；（C）為零矩陣；(D)的解不唯一。注：的解不唯一的解不唯一，反之不成立，因?yàn)榈慕獠晃ㄒ粫r(shí)無(wú)解。但的解不唯一是的解不唯一必要條件。（3）已知是非齊次線性方程組的兩個(gè)不同的解，是非齊次線性方程組導(dǎo)出方程組的基礎(chǔ)解系，，則方程組的通解必是B。（A）；（B）；（C）；（D）。注：（A）中不是特解（C）中不是的解，也不是特解（D）中與可能相關(guān)。（4）設(shè)是四元非齊次非線性方程組的3個(gè)解向量，且，，，表示任意常數(shù)，則線性方程組的通解為C。（A）；（B）；（C）；（D）。（5）設(shè)元個(gè)方程的非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，則A。（A）時(shí)，必有解；（B）時(shí)，有唯一解；（C）時(shí)，有唯一解；（D）時(shí)，有無(wú)窮多解。注：（A）時(shí)，，又，故時(shí)有必有解（B）時(shí)，方程可能無(wú)解。若在有解的前提下時(shí)有唯一解；（C）時(shí)，有唯一解；這時(shí)任何情況都可能發(fā)生。（D）時(shí)，方程可能無(wú)解。若在有解的前提下，時(shí)有無(wú)窮多解。填空題（1）方程組有解的充要條件是。；有解的充要條件是（2）設(shè)階矩陣的各行元素之和均為0，且，則方程組的通解為。階矩陣的各行元素之和均為0是的解，，故方程組的通解為（3）設(shè)為階方陣，對(duì)任何維列向量，方程都有解的充要條件是。對(duì)任何維列向量，方程都有解的充要條件是的列向量組能線性表示任何維列向量。故，又，故充要條件是或（4）若元齊次線性方程組有個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，則=。元齊次線性方程組有個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量判定齊次線性方程組是否有非零解。法一：用克拉姆法則。法二：求出系數(shù)矩陣的秩與未知數(shù)個(gè)數(shù)比較。問(wèn)：取何值時(shí)，非齊次線性方程組有唯一解？無(wú)解？有無(wú)窮多解？解：系數(shù)矩陣行列式為由克拉姆法則可知即且是有唯一解。當(dāng)時(shí)增廣矩陣為即有且，故當(dāng)方程組有無(wú)窮多解。當(dāng)時(shí)增廣矩陣為即有，故當(dāng)方程組無(wú)解。線性方程組，證明：若互不相等，則方程組無(wú)解。證明：系數(shù)矩陣為階矩陣，故。又增廣矩陣為，故故，所以方程組無(wú)解。設(shè)有三維列向量，問(wèn)取何值時(shí)，（1）可由唯一線性表示？（2）可由多種線性表示？（3）不能由線性表示？（提示：將線性表示問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程組解的討論）解：設(shè)，問(wèn)題化為方程組有唯一解？無(wú)解？有無(wú)窮多解。仿照EX5已知三個(gè)平面：，，，試求使三平面：=1\*GB3①有唯一交點(diǎn)；=2\*GB3②有無(wú)窮多交點(diǎn)；=3\*GB3③無(wú)公共交點(diǎn)。（提示：相交問(wèn)題即是三平面方程聯(lián)立成的方程組的解的判定問(wèn)題）設(shè)，則三直線：交于一點(diǎn)的充要條件是線性相關(guān)，而線性無(wú)關(guān)。

§3齊次線性方程組求解下列齊次線性方程組（1）（2）（3）設(shè)，求一個(gè)矩陣，使，且。（分析的列向量是的解；又的列向量是的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解）解：由題意，的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解可作為的列向量。，故同解方程組為由此有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解，故（思考：是否唯一）設(shè)是秩為2的矩陣，是齊次線性方程組的解向量，求的解空間S的一個(gè)正交規(guī)范基。解：是秩為2的矩陣可得，為求的解空間S的一個(gè)正交規(guī)范基只需選擇兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解正交規(guī)范化即可。顯然是無(wú)關(guān)的。令，令，即為所求。（思考為什么齊次方程組一組解正交規(guī)范化后仍是齊次方程組一組解）求一個(gè)齊次線性方程組，使它的基礎(chǔ)解系為：。（提示：由通解消去任意常數(shù)得方程組）法一：由題意知道，即，由消去得即為所求。法二：（分析：齊次方程組系數(shù)矩陣的行與方程組的每一個(gè)解正交，這只需要與一個(gè)基礎(chǔ)解系中每個(gè)解正交即可）解：設(shè)所求方程組為，設(shè)系數(shù)矩陣的行向量為，則有，故的行向量組為的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解。解方程組系數(shù)矩陣，故的同解方程組是得的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解為，故設(shè)都是階方陣，且，(1)證明：；（2）若，證明：（提示：的列向量是的解向量）證明：（1）知的列向量是的解，故的列向量組的秩小于等于解空間的維數(shù)，這意味著，又，故有。（2）由有，由得是階方陣，為的伴隨矩陣，證明：（提示：根據(jù)，再利用5題的結(jié)果）證明：當(dāng)時(shí)，有。又由可得可逆且，故。當(dāng)時(shí)，有，又由可得，故故。當(dāng)時(shí)，則有一個(gè)階子式不為零，故為非零矩陣，故，從而當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，每一個(gè)階子式均為零，故，故已知三階方陣，且的每個(gè)列向量都是方程組的解，=1\*GB3①求的值；=2\*GB3②證明：。解：=1\*GB3①因?yàn)?，所以方程組有非零解，故系數(shù)矩陣行列式即，故由題意有，故，又（為什么）故，所以設(shè)是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，證明也是基礎(chǔ)解系。解：顯然能線性表示，又故能線性表示，故與等價(jià)。故由是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系可知解空間維數(shù)。且，故，顯然也是方程組的解，從而是方程組的無(wú)關(guān)解，且，故也是基礎(chǔ)解系。已知線性方程組（=1\*ROMANI）基礎(chǔ)解系為，，…，，寫出線性方程組（=2\*ROMANII）的通解。解：記（=1\*ROMANI）的系數(shù)矩陣為，基礎(chǔ)解系之矩陣為，則出線性方程組（=1\*ROMANI）為，線性方程組（=2\*ROMANII）為；且，從而，故的列向量是線性方程組（=2\*ROMANII）的解。由，，…，是線性方程組（=1\*ROMANI）的基礎(chǔ)解系，故它們線性無(wú)關(guān)，故，易知為線性方程組（=1\*ROMANI）解空間維數(shù)。故，可得，，故，即的列向量是線性方程組（=2\*ROMANII）的個(gè)線性無(wú)關(guān)的解。又可得線性方程組（=2\*ROMANII）為解空間維數(shù)為。故的列向量組是線性方程組（=2\*ROMANII）的基礎(chǔ)解系。從而可得線性方程組（=2\*ROMANII）的基礎(chǔ)解系。為階矩陣，若存在正整數(shù)，使有解向量，且，證明：是線性無(wú)關(guān)的。證明：由有解向量可得，進(jìn)一步對(duì)有。設(shè)，得即故即為，得即可得同理可得，故是線性無(wú)關(guān)的。設(shè)向量組是的基礎(chǔ)解系，向量使，證明：線性無(wú)關(guān)。證明：法一：向量組是的基礎(chǔ)解系，故線性無(wú)關(guān)，則線性無(wú)關(guān)，否則能由線性表示，故是的解，即，與矛盾。故。易知與等價(jià)。故，故線性無(wú)關(guān)。法二：設(shè)，即得即故故也為由設(shè)向量組是的基礎(chǔ)解系知線性無(wú)關(guān)，故又由得故線性無(wú)關(guān)。設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，作以下線性組合，證明：線性無(wú)關(guān)。證明：設(shè)，即有由線性無(wú)關(guān)可得故線性無(wú)關(guān)。

§4非齊次線性方程組下列方程組是否有解？有解時(shí)求其解。（1）（2）（3）討論為何值時(shí)，方程組有唯一解？有無(wú)窮多解？無(wú)解？有解時(shí)求通解。解：系數(shù)矩陣行列式由克拉姆法則知，即時(shí)方程組有唯一解。當(dāng)時(shí)增廣矩陣，故當(dāng)，故無(wú)解當(dāng)時(shí)增廣矩陣故當(dāng)時(shí)有，故無(wú)解。故當(dāng)時(shí)有，有無(wú)窮多解，此時(shí)，即方程組同解于，故故當(dāng)時(shí)，有通解。設(shè)，，其中，求的解。解：由于，所以有唯一解。由克拉姆法則知，其中，為的列換為故，。故唯一解為設(shè)四元非齊次線性方程組系數(shù)矩陣的秩為3，已知是它的三個(gè)解向量，其中，求方程組的通解。解：四元非齊次線性方程組系數(shù)矩陣的秩為3，故其導(dǎo)出組解空間維數(shù)為。又是導(dǎo)出組的解，從而也是導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。故四元非齊次線性方程組通解為設(shè)是非齊次線性方程組的一個(gè)解，是對(duì)應(yīng)齊次方程的基礎(chǔ)解系，證明：（1）線性無(wú)關(guān)；（2）線性無(wú)關(guān)。（提示：（1）可由定義證明；（2）可用定義或證與（1）等價(jià)證明）見前面§3，Ex11設(shè)矩陣，其中線性無(wú)關(guān)，,向量，求方程的通解。解：由線性無(wú)關(guān)且，可知。故導(dǎo)出組解空間維數(shù)為，又即，即是導(dǎo)出組的解，也為導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。由可知是的解，故方程的通解為設(shè)是非齊次線性方程組的個(gè)解，為實(shí)數(shù)，滿足，證明：也是它的解。證明：，故也是的解。設(shè)非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，是它的個(gè)線性無(wú)關(guān)解，證明：它的任一解可表示為（其中）。證明：顯然是的解。設(shè)，即由線性無(wú)關(guān)可得，故線性無(wú)關(guān)。又的系數(shù)矩陣的秩為，故解空間維數(shù)為，故是一個(gè)基礎(chǔ)解系。故任一解可表示為即令故其中設(shè)向量組能由向量組線性表示為：=其中為矩陣，且組線性無(wú)關(guān)，證明：組線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是矩陣的秩。證明：記若矩陣的秩。對(duì)于齊次方程組，由線性無(wú)關(guān)知只有零解。若線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)使得。由若矩陣的秩知線性無(wú)關(guān)，故，由不全為零，故。由及=可得這意味著有非零解，矛盾。故若矩陣的秩時(shí)組線性無(wú)關(guān)。若組線性無(wú)關(guān)而，故線性相關(guān)，存在不全為零的數(shù)使得，故=即存在不全為零的數(shù)使得，與組線性無(wú)關(guān)矛盾。故若組線性無(wú)關(guān)而

第五章特征值與特征向量§1特征值與特征向量填空題：（1）已知方陣的一個(gè)特征值為，其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為。則的一個(gè)特征值為；的一個(gè)特征值為；的一個(gè)特征值為。（2）已知可逆矩陣的一個(gè)特征值為，其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為，則其逆矩陣的一個(gè)特征值為；其伴隨矩陣的一個(gè)特征值為。為可逆矩陣，故特征值。對(duì)特征值為的一個(gè)特征向量，有，故即有，故是逆矩陣的特征值。對(duì)特征值為的一個(gè)特征向量，有，故即有，故是的特征值。（3）已知三階矩陣的特征值為，則=30，900。2．求下列方陣的特征值與特征向量。（1）（2）故3．，已知它的特征值為，求。解：由，得4。設(shè)，已知為的特征值，求。即即即5．證明若，則的特征值只能是1或-1。證明：設(shè)的特征值的為，其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為，則由定義知，即是的特征值。又對(duì)任意的非零向量有，故對(duì)特征值都為。故，即的特征值只能是1或-1。6．設(shè)是方陣的對(duì)應(yīng)于兩個(gè)不同特征值的特征向量，討論是否為的特征向量？解：若是的特征向量，設(shè)其對(duì)應(yīng)的特征值為，則有得得得由是方陣的對(duì)應(yīng)于兩個(gè)不同特征值的特征向量知的線性無(wú)關(guān)性得故，矛盾。7．證明與有相同的特征值。（提示：根據(jù)特征多項(xiàng)式）證明：，即與有相同的特征多項(xiàng)式，故有相同的特征值8．證明：若，則是的特征值。證明：即，故，則是的特征值。9．求的特征值與特征向量。解：注意到，其中，故是的特征值，且是它的一個(gè)特征值。，故，故，所以是的特征值解，有，，，，它們是的特征值0的個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故0至少是重特征值，又有特征值。故。§2相似矩陣1．與相似，則，。（提示：相似矩陣的特征值相同且等于對(duì)角線上的元素之和，相似矩陣的行列式相等。）2．為階方陣，，證明與相似。證明：，故可逆。，即與相似。3．3階方陣的特征值分別為，對(duì)應(yīng)的特征向量為求。解：令，則。于是4．階方陣的特征值為，方陣與A相似，則=。與A相似，故的特征值也為。故的特征值為故5．設(shè)三階方陣A的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為。求，其中。解：方法一：易知道方法二令由，則，得6．設(shè)與相似，證明與相似。證明：由與相似可知存在可逆矩陣，滿足，故有,故與相似7．若二階矩陣的特征值為和，求。解：二階矩陣的特征值為和，故矩陣是可對(duì)角化的，故存在二階可逆矩陣滿足，故

§3實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化判斷正誤。（1）是實(shí)對(duì)稱矩陣，它們的特征多項(xiàng)式相同，則相似。（）（2）實(shí)對(duì)稱矩陣的非零特征值的個(gè)數(shù)等于它的秩。()（3）若都是的特征向量，則將它們先正交化，再單位化后仍為的特征向量。()已知為正交矩陣，求的值。解：正交矩陣有性質(zhì)：任意一行（列）的平方和為1，任意兩行（列）向量正交。且是維列向量，，證明：為對(duì)稱的正交矩陣。證明：注意意味著。故為對(duì)稱的矩陣。故為對(duì)稱的正交矩陣。正交，證明都是正交矩陣。證明：是正交矩陣，故，。是正交矩陣是正交矩陣是正交矩陣求正交矩陣，將下列矩陣對(duì)角化。（1）；（2）

三階實(shí)對(duì)稱方陣的特征值為，若已知對(duì)應(yīng)6的特征向量為，求A。解：設(shè)特征值３對(duì)應(yīng)的特征向量為，故與正交，故，故為特征值３的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。故，即，其中

第七章二次型§1二次型及矩陣用矩陣記號(hào)表示下列二次型。（1）；（2）；（3）

寫出下列矩陣所對(duì)應(yīng)的二次型。（1）；（2）。

§2用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型判斷正誤。二次型在正交變換下一定化為標(biāo)準(zhǔn)型。()已知為階矩陣，為維列向量，如果不對(duì)稱，則不是二次型。（）二次型的秩為，則3。（）用正交變換把下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型，寫出正交變換的矩陣和該二次型的正負(fù)慣性指數(shù)及符號(hào)差。（1）解：=1\*GB3①先寫出對(duì)應(yīng)的對(duì)稱方陣。，=2\*GB3②求的特征值。由，得，，。=3\*GB3③求對(duì)應(yīng)的特征向量，得，，。=4\*GB3④把正交化單位化得，，。所求的正交變換的矩陣為，慣性指數(shù)為。符號(hào)差為。（2）（3）解：

§3用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型并寫出所用的變換矩陣。1．解：，先把配出一個(gè)完全平方。于是繼續(xù)把配成一個(gè)完全平方。于是。于是令，，其中。。2．

3．解：由于這里沒(méi)有平方項(xiàng)，先作一次變換構(gòu)造一個(gè)平方項(xiàng)來(lái)。得，，。然后再用前法，得變換。最終為所求的變換。

§4正定二次型判斷正誤。（1）若為階實(shí)對(duì)稱矩陣，且二次型正定，則的特征值全為正。(（2）若為階實(shí)對(duì)稱矩陣，且二次型正定，則的一切順序主子式全為正。（）（3）若為階實(shí)對(duì)稱矩陣，且二次型正定，則的主對(duì)角線上的元素全為正。（）（4）若為階實(shí)對(duì)稱矩陣，且二次型正定，則對(duì)一切維列向量，全為正。（）判別二次型的正定性。（1）解：寫出對(duì)應(yīng)的方陣，計(jì)算的順序主子式或特征值可知二次型的正定性。（2）解：求的取值范圍，使為（1）正定的；（2）負(fù)定的。解：為階實(shí)對(duì)稱矩陣，的特征值的全體為，則當(dāng)?shù)娜≈捣秶鸀闀r(shí)，正定。原因是。證明：為階正定矩陣，則。證明：（提示：方陣的行列式等于其所有的特征值的積）為階實(shí)對(duì)稱矩陣，如對(duì)任意維向量，有，則。證：為階實(shí)對(duì)稱矩陣，故存在正交矩陣，使得其中，是矩陣的特征值。，對(duì)，由可逆知道存在，滿足故設(shè)為可逆方陣，，證明為正定二次型。證明：，當(dāng)時(shí)，（為什么？）。故為正定二次型。為階正定矩陣，證明存在可逆矩陣，使得。證明：為階正定矩陣，則存在正交矩陣，使得，其中。取即可。二次型通過(guò)正交變換化為。求；（2）當(dāng)時(shí)，的最大值為5。解：（1）二次型所對(duì)應(yīng)的矩陣的特征值為。當(dāng)時(shí)，，原因是。又。的最大值為5。

自測(cè)題一一、判斷題(正確填T，錯(cuò)誤填F。每小題2分，共10分)1．若，則有或。（）2．A、B是階方陣，則。（）3．設(shè)是矩陣，若有無(wú)窮多解，則非零解。（）4．若向量組線性相關(guān)，則存在一向量可以由其它向量線性表出。（）5．設(shè)A、B是階實(shí)對(duì)稱矩陣，且有相同的特征值，則與相似。（）二、填空題（每小題5分，共30分）1．計(jì)算階行列式=。2．為3階矩陣，為伴隨矩陣，，則=。3．設(shè)，，則=。4．已知，為三階非零矩陣，且，則時(shí)，。5．若，則當(dāng)=時(shí)，線性相關(guān)。6．若均為正交矩陣，并且，則。三、計(jì)算下列各題（每小題10分，共50分）。設(shè)為三階矩陣，為三階單位矩陣，滿足：，其中，求矩陣。已知向量組。（1）求；（2）求向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無(wú)關(guān)組線性表出。討論為何值時(shí)，方程組無(wú)解？有唯一解，無(wú)窮多解？4．設(shè)三階方陣的特征值為：，。求的特征值；求及的值。5．已知二次型通過(guò)正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)型，求參數(shù)及所用的正交變換矩陣。四．證明題（每小題5分，共10分）。1．若，則的充要條件是。2．設(shè)為階實(shí)對(duì)稱矩陣，討論t為何值時(shí)，為負(fù)定矩陣。

自測(cè)題二一．填空題(每小題2分，共10分)1．已知的特征值全為1，則________，。2.已知，則_______。3.已知，則________。4已知四階方陣且線性無(wú)關(guān)，。則方程組的通解為。5.已知，，則。二.單項(xiàng)選擇題(每小題2分,共10分)1.已知線性無(wú)關(guān)，則下列向量組中一定線性無(wú)關(guān)的是（）。(A)，，；(B），，；(C)，，；（D)，，。２.若都是三階可逆矩陣，則下列結(jié)論不一定正確的是()。(A)；(B)；(C)；(D)。3.若經(jīng)過(guò)初等行變換為，則（）。（A）的行向量組與的行向量組等價(jià)；（B）的列向量組與的列向量組等價(jià)；（C）的行向量組與的列向量組等價(jià)；（D）的列向量組與的行向量組等價(jià)。4.若為三階矩陣，為三階數(shù)量矩陣，則下列結(jié)論不一定正確的是（）。（）與可換；（）與可換；（）與可換；（）與可換。5.已知是一個(gè)向量空間，則（）。（A）中一定有零向量；(B)中一定有非零向量；(C)中一定有線性無(wú)關(guān)向量；(D)中一定有無(wú)窮多個(gè)向量。三.判斷題(正確填T,錯(cuò)誤填F。每小題２分，共10分)1．若為階方陣，且的一切順序主子式全為正，則一定是正定矩陣。()2.若為階方陣，且任意維非零列向量都是的特征向量，則一定是單位矩陣。()3．如果，則。()4.非齊次方程組有無(wú)窮多個(gè)解的充分必要條件是它有兩個(gè)不同的解。()5．若線性相關(guān)，也線性相關(guān)。()四.計(jì)算題(每題10分)1．求正交矩陣,使為對(duì)角陣,其中。2．解線性方程組。3．已知３階方陣的特征值為１，－１，２，求的特征值及相似對(duì)角陣。4.設(shè)，求。5．求向量組，，，的所有極大線性無(wú)關(guān)組。6．計(jì)算行列式。五．證明題(10分)1．已知，證明如果是的一個(gè)特征值，則也是的一個(gè)特征值。2．已知，且方程組有形如的非零解。證明向量組線性相關(guān)。

自測(cè)題三一．填空題(每小題2分，共10分)1．設(shè),且,則__________。2.設(shè)，且非齊次方程組有唯一解向量，則增廣矩陣的秩_______。3.已知維列向量線性無(wú)關(guān)，，如果線性相關(guān)，則___________。4．若級(jí)排列的逆序數(shù)為，則級(jí)排列的逆序數(shù)____________。5.若不是的特征值,又，其中,則。二.單項(xiàng)選擇題(每小題2分,共10分)1.設(shè)，，，,其中是任意數(shù)，記，則（）。(A)等于４；(B）等于３；(C)與有關(guān)；（D)與無(wú)關(guān)。２.二次型是()。(A)負(fù)定的；(B)半負(fù)定的；(C)正定的；(D)半正定的。3.設(shè)為階方陣，且，則（）。（A）；（B）；（C）；（D）。4.設(shè)為矩陣，則有（）。（A）若，則有無(wú)窮多解；（B）若，則有非零解，且基礎(chǔ)解系含有個(gè)線性無(wú)關(guān)解向量；（C）若有階子式不為零，則有唯一解；（D）若有階子式不為零，則僅有零解。5.設(shè)三階矩陣，，其中均為三維行向量，已知，，則（）。（A）1；(B)2(C)3；(D)4．三.判斷題(正確填T,錯(cuò)誤填F。每小題２分，共10分)1.若，則對(duì)任意向量組，一定線性相關(guān)。()2.如果行列式,則一定是常數(shù)。()3.若齊次方程組中方程的個(gè)數(shù)少于未知量的個(gè)數(shù),則一定有非零解。()4.若均為階方陣，則當(dāng)時(shí)，一定不相似。()5.若、、均為階方陣，當(dāng)，時(shí)，一定有。（）四.計(jì)算題(10分)。已知，求。五.計(jì)算題(10分)。判別二次型的正定性。六.計(jì)算題(10分)。已知矩陣的特征值，求及的特征向量。七.計(jì)算題(10分)。求二次型的正慣性指數(shù)。八.計(jì)算題(10分)。取什么值時(shí)，線性方程組有解？有解時(shí)，何時(shí)有唯一解？何時(shí)有無(wú)窮個(gè)解？九.計(jì)算題(10分)。設(shè)階方陣，求。十.證明題(10分)。設(shè)為n階方陣,如果,證明:線性無(wú)關(guān)。習(xí)題四答案(A)1．求下列矩陣的特征值與特征向量:(1)(2)(3)(4)(5)(6)解（1）矩陣的特征多項(xiàng)式為，所以的特征值為．對(duì)于，解對(duì)應(yīng)齊次線性方程組，可得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值2的全部特征向量為(為任意常數(shù))．對(duì)于，解對(duì)應(yīng)齊次線性方程組，可得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值4的全部特征向量為(為任意常數(shù))．（2）矩陣的特征多項(xiàng)式為，所以的特征值為，，．對(duì)于，解對(duì)應(yīng)齊次線性方程組，可得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值-1的全部特征向量為(為任意常數(shù))．對(duì)于，解對(duì)應(yīng)齊次線性方程組，可得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值1的全部特征向量為(為任意常數(shù))．對(duì)于，解對(duì)應(yīng)齊次線性方程組，可得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值3的全部特征向量為(為任意常數(shù))．(3)矩陣的特征多項(xiàng)式為，所以的特征值為，，．對(duì)于，解對(duì)應(yīng)齊次線性方程組，可得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值1的全部特征向量為(為任意常數(shù))．對(duì)于，解對(duì)應(yīng)齊次線性方程組，可得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值4的全部特征向量為(為任意常數(shù))．對(duì)于，解對(duì)應(yīng)齊次線性方程組，可得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值-2的全部特征向量為(為任意常數(shù))．(4)矩陣的特征多項(xiàng)式為，所以的特征值為（二重），．對(duì)于，解對(duì)應(yīng)齊次線性方程組，可得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值1的全部特征向量為(為任意常數(shù))．對(duì)于，解對(duì)應(yīng)齊次線性方程組，可得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值2的全部特征向量為(為任意常數(shù))．(5)矩陣的特征多項(xiàng)式為，所以的特征值為，（二重）．對(duì)于，解對(duì)應(yīng)齊次線性方程組，可得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值0的全部特征向量為(為任意常數(shù))．對(duì)于，解對(duì)應(yīng)齊次線性方程組，可得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值2的全部特征向量為(為任意常數(shù))．(6)矩陣的特征多項(xiàng)式為，所以的特征值為，（二重）．對(duì)于，解對(duì)應(yīng)齊次線性方程組，可得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值6的全部特征向量為(為任意常數(shù))．對(duì)于，解對(duì)應(yīng)齊次線性方程組，可得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，，所以的屬于特征值2的全部特征向量為(為不全為零的任意常數(shù))．2．設(shè)為階矩陣，(1)若，且存在正整數(shù)，使得(稱為冪零矩陣)，證明:的特征值全為零；(2)若滿足(稱為冪等矩陣)，證明:的特征值只能是0或1；(3)若滿足(稱為周期矩陣)，證明:的特征值只能是1或．證明：設(shè)矩陣的特征值為，對(duì)應(yīng)的特征向量為，即.（1）因，而故.又因，故，得（2）因，而故，即又因，故，得或1.（3）同（2）可得，即又因，故，得或.3．設(shè)分別為階矩陣的屬于不同特征值和的特征向量，證明:不是的特征向量．是的特征向量，相應(yīng)的特征值為，則有，即.又因分別為矩陣的屬于特征值和的特征向量，即，，則，即.因是矩陣的屬于不同特征值的特征向量,故線性無(wú)關(guān)，于是可得，即，矛盾.4．證明定理4.4.若是階矩陣的特征值，則(1)設(shè)，則是的特征值，其中；(2)若可逆，則，且是的特征值，是的伴隨矩陣的特征值．證明：設(shè)矩陣屬于特征值的特征向量為，即.（1）因故是的特征值.（2）因可逆，故.而為的特征值之積，故的特征值.用左乘兩端得.因，故，即是的特征值.因，故是的伴隨矩陣的特征值．5．證明:矩陣可逆的充分必要條件是的特征值全不等于零．證明：因矩陣可逆，故.由是的全部特征值）得，故.6．已知三階矩陣的特征值為1，2，3，求的特征值．解：由矩陣的特征值的性質(zhì)得的特征值為，，；的特征值為；因的特征值為.7．是三階矩陣，已知，求．解：因，故三階矩陣的全部特征值為－1，2，3.因此的特征值為于是.8．已知向量是矩陣的逆矩陣的特征向量，求常數(shù)的值．解：因是的特征向量，故也是的特征向量.設(shè)對(duì)應(yīng)的特征值為，于是由可得，解得或.9．證明:如果矩陣可逆，則．證明：因，且可逆，則．10．如果，證明：存在可逆矩陣，使得．證明：因，故存在可逆矩陣，使得.將上式兩端右乘，得，即.11．如果，，證明:．證明：因，，故存在可逆矩陣，使得.于是有.而可逆，故.12．已知為二階矩陣，且，證明:存在可逆矩陣，使得為對(duì)角矩陣．證明：為二階矩陣，且，故必有兩個(gè)不等特征值，因此必存在可逆矩陣，使得為對(duì)角矩陣．13．已知矩陣與矩陣相似，求(1)常數(shù)和的值；(2)可逆矩陣，使得．解：（1）因，故有相同的特征值.而的特征值為，故－1，2也是的特征值.而.將代入上式中得.于是可得，故有的特征值為，因此.（2）由（1）知的特征值為，（二重）．對(duì)應(yīng)的無(wú)關(guān)特征向量為，對(duì)應(yīng)的無(wú)關(guān)特征向量為，，令，則可逆，且.14．設(shè)三階矩陣的特征值為1，2，3，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，，，求(1)；(2)．解：（1）令，則.而則.（2）因，所以，故.15．判斷第1題中各矩陣是否可以對(duì)角化?若可以對(duì)角化，求出可逆矩陣，使得為對(duì)角陣．解：由第1題結(jié)果知(1)可以對(duì)角化，；(2)可以對(duì)角化，；(3)可以對(duì)角化，；(4)(5)不可以對(duì)角化；(6)可以對(duì)角化，．16．證明正交矩陣的實(shí)特征值只能是1或．證明：設(shè)為正交矩陣，則.設(shè)矩陣的特征值為，對(duì)應(yīng)的特征向量為，即.將上式兩端取轉(zhuǎn)置得.將上面兩式左右相乘得，即.而為非零常數(shù)，故.17．設(shè)，求正交矩陣，使得為對(duì)角陣．解：矩陣的特征多項(xiàng)式為，所以的特征值為（二重），．對(duì)于，解對(duì)應(yīng)齊次線性方程組，可得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，．將其正交化，取，，再單位化，得；對(duì)于，解對(duì)應(yīng)齊次線性方程組，可得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為．將其單位化，得．令，則．18．設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為，屬于的特征向量為，求屬于的特征向量及矩陣．解：設(shè)屬于的無(wú)關(guān)特征向量為.因是實(shí)對(duì)稱矩陣，故的特征向量必正交，于是，即是齊次線性方程組的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解向量.求得上述方程組的基礎(chǔ)解系為，，故取，，因此屬于的全部特征向量為(不全為零)；令，則.而，故．(B)1．設(shè)階矩陣的各行元素之和為常數(shù)，證明:是矩陣的一個(gè)特征值，是對(duì)應(yīng)的特征向量．證明：設(shè)，其中.由知是矩陣的一個(gè)特征值，是對(duì)應(yīng)的特征向量．2．設(shè)都是非零向量，且，記，求(1)；(2)的特征值與特征向量．解：（1）由得，于是.（2）由A組第2題（1）知的特征值為0.求的特征向量.，因都是非零向量，故必存在某個(gè)和不為零，因此中元素，不妨設(shè).將做初等行變換得，即，故齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含有個(gè)解向量.令為，，，得，，，于是所求特征向量為，不全為零）.3．已知三階矩陣的特征值為2，3，4，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，，．令向量，（1）將用線性表示；（2）求(為正整數(shù))．解：（1）由得.（2）．4．設(shè)為三階實(shí)對(duì)稱矩陣，，且滿足條件，求矩陣的全部特征值．解：設(shè)矩陣的特征值為，則由得，故或.因?yàn)槿A實(shí)對(duì)稱矩陣，故必與某三階對(duì)角矩陣相似.因，故，所以的對(duì)角線元素有兩個(gè)－２和一個(gè)0.因此的全部特征值為（二重），．5．設(shè)四階矩陣滿足，求的一個(gè)特征值．解：因，故矩陣可逆.由知得.因得是矩陣的一個(gè)特征值，因此的一個(gè)特征值為．6．設(shè)有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，求與滿足的條件．解：矩陣的特征多項(xiàng)式為，所以的特征值為，（二重）．因有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為1，即.而，于是．7．問(wèn)階矩陣與是否相似，為什么?解：令，，則.矩陣的特征值為重），.對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為故屬于的無(wú)關(guān)特征向量有個(gè)；對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為故屬于的無(wú)關(guān)特征向量有1個(gè).因此矩陣有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故可對(duì)角化，且因?yàn)?，故的特征值必?和非零數(shù)值.因，故特征值0有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以0的重?cái)?shù)至少為，則的非零特征值為，因此矩陣的特征值為重），.因?yàn)閷?shí)對(duì)稱矩陣，故必可對(duì)角化，且，于是.8．設(shè)為階矩陣，，且存在正整數(shù)，使得，證明不能對(duì)角化．解：反證法.假設(shè)可對(duì)角化，由A組第2題（1）知，的特征值都為0，故，即存在可逆矩陣，使得，則，矛盾.9．設(shè)矩陣矩陣，求．解：矩陣的特征方程為，所以的特征值為，，（二重）．因矩陣是實(shí)對(duì)稱矩陣，故屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量必有2個(gè)，即.因，則的特征值只有0，－２，3（二重），且屬于3的線性無(wú)關(guān)的特征向量也有2個(gè)，即.因1不是矩陣的特征值，故，即.因此.線性代數(shù)課后題詳解第一章行列式1.利用對(duì)角線法則計(jì)算下列三階行列式：相信自己加油（1）；（2） （3）；（4）.解注意看過(guò)程解答（1）==（2）（3）（4）2.按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序，求下列各排列的逆序數(shù)：耐心成就大業(yè)（1）1234；（2）4132；（3）3421；（4）2413；（5）13…24…；（6）13……2.解（1）逆序數(shù)為0（2）逆序數(shù)為4：41，43，42，32（3）逆序數(shù)為5：32，31，42，41,21（4）逆序數(shù)為3：21，41，43（5）逆序數(shù)為：321個(gè)52，542個(gè)72，74，763個(gè)…2，4，6，…，個(gè)（6）逆序數(shù)為321個(gè)52，542個(gè)…2，4，6，…，個(gè)421個(gè)62，642個(gè)…2，4，6，…，個(gè)的項(xiàng).解由定義知，四階行列式的一般項(xiàng)為，其中為的逆序數(shù)．由于已固定，只能形如□□，即1324或1342.對(duì)應(yīng)的分別為或和為所求.4.計(jì)算下列各行列式：多練習(xí)方能成大財(cái)（1）；（2）；（3）；（4）解(1)===0(2)=0(3)===(4)===5.證明:(1)=;(2)=;(3);(4);(5).證明(1)(2)(3)(4)=====(5)用數(shù)學(xué)歸納法證明假設(shè)對(duì)于階行列式命題成立，即所以，對(duì)于階行列式命題成立.階行列式,把上下翻轉(zhuǎn)、或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)、或依副對(duì)角線翻轉(zhuǎn)，依次得，，，證明.證明同理可證7.計(jì)算下列各行列式（）：(1),其中對(duì)角線上元素都是，未寫出的元素都是0；(2);(3);提示：利用范德蒙德行列式的結(jié)果．(4);(5);(6),.解(1)()(2)將第一行乘分別加到其余各行，得再將各列都加到第一列上，得(3)從第行開始，第行經(jīng)過(guò)次相鄰對(duì)換，換到第1行，第行經(jīng)次對(duì)換換到第2行…，經(jīng)次行交換，得此行列式為范德蒙德行列式(4)由此得遞推公式：即而得(5)=(6)8.用克萊姆法則解下列方程組：解(1)(2)()．9.有非零解？解，齊次線性方程組有非零解，則即得不難驗(yàn)證，當(dāng)該齊次線性方程組確有非零解.10.有非零解？解齊次線性方程組有非零解，則得不難驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，該齊次線性方程組確有非零解.第二章矩陣及其運(yùn)算1．已知線性變換：求從變量到變量的線性變換．解由已知：故2．已知兩個(gè)線性變換求從到的線性變換．解由已知所以有3．設(shè),求解4．計(jì)算下列乘積：(1);(2);(3);(4);(5);(6).解(1)(2)(3)(4)(5)(6)5．設(shè),，問(wèn)：(1)嗎?(2)嗎?(3)嗎?解(1),則(2)但故(3)而故6．舉反列說(shuō)明下列命題是錯(cuò)誤的:（１）若,則;（２）若,則或;（３）若,且,則.解(1)取,但(2)取