湖南省郴州市城南第二中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期摸底試題含解析

湖南省郴州市城南第二中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集是（）A．（﹣3，1） B．（﹣1，3） C．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）參考答案：B【考點(diǎn)】一元二次不等式的解法．【分析】把不等式x2﹣2x﹣3＜0化為（x+1）（x﹣3）＜0，求出解集即可．【解答】解：不等式x2﹣2x﹣3＜0可化為（x+1）（x﹣3）＜0，解得﹣1＜x＜3，∴不等式的解集是（﹣1，3）．故選：B．2.雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)P，設(shè)為雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)，為雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，,則的面積為（

）

A．8

B．16

C．5

D．4

參考答案：B略3.已知f（x）為R上的減函數(shù)，則滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)x的取值范圍是(

)A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，1） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【分析】由函數(shù)的單調(diào)性可直接得到的大小，轉(zhuǎn)化為解分式不等式，直接求解或特值法均可．【解答】解：由已知得解得x＜0或x＞1，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，屬基本題．4.已知數(shù)列{an}：a1=1，，則an=（）A．2n+1﹣3 B．2n﹣1 C．2n+1 D．2n+2﹣7參考答案：A【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【分析】由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列{an+3}是以4為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案．【解答】解：由，得an+1+3=2（an+3），∵a1+3=4≠0，∴數(shù)列{an+3}是以4為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則，∴．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，是中檔題．5.如圖，三棱錐D-ABC中，，，平面DBC⊥平面ABC，M，N分別為DA和DC的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)CM與BN所成角的余弦值為（

）A. B. C. D.0參考答案：A【分析】取BC中點(diǎn)O，連結(jié)OD，OA，則OD⊥BC，OA⊥BC，OD⊥OA，以O(shè)為原點(diǎn)，OC為x軸，OA為y軸，OD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線(xiàn)CM與BN所成角的余弦值．【詳解】取BC中點(diǎn)O，連結(jié)OD，OA，∵三棱錐D-ABC中，，平面DBC⊥平面ABC，M，N分別為DA和DC的中點(diǎn)，∴OD⊥BC，OA⊥BC，OD⊥OA，以O(shè)為原點(diǎn)，OC為x軸，OA為y軸，OD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，C（，0，0），A（0，，0），D（0，0，），M（0，，），N（，0，），B（-，0，0），=（-，,），=（，0，），設(shè)異面直線(xiàn)CM與BN所成角的平面角為θ，則cosθ=．∴異面直線(xiàn)CM與BN所成角的余弦值為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查異面直線(xiàn)所成角的余弦值的求法，考查空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．6.已知函數(shù)，則方程在區(qū)間上的根有（）A．3個(gè)

B．2個(gè)

C．1個(gè)

D．0個(gè)參考答案：D略7.下列說(shuō)法正確的是(

)A．命題“若x＜1，則﹣≤x≤1”的逆否命題是“若x≥1，則x＜﹣1或x≥1”B．命題“?x∈R，ex＞0”的否定是“?x∈R，ex≤0”C．“a＞0”是“函數(shù)f（x）=|（ax﹣1）x|在區(qū)間（﹣∞，0）上單調(diào)遞減”的充要條件D．已知命題p：?x∈R，lnx＜lgx；命題q：?x0∈R，x03=1﹣x02，則“（￢p）∨（￢q）為真命題”．參考答案：D【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專(zhuān)題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)復(fù)合命題以及函數(shù)的單調(diào)性分別對(duì)A、B、C、D各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：命題“若x＜1，則﹣≤x≤1”的逆否命題是“若x＜﹣1或x≥1，則x≥1”，故A錯(cuò)誤；命題“?x∈R，ex＞0”的否定是“?x∈R，ex≤0，故B錯(cuò)誤；函數(shù)f（x）=|（ax﹣1）x|在區(qū)間（﹣∞，0）上單調(diào)遞減”的充要條件是：a≥0，故C錯(cuò)誤；已知命題p：?x∈R，lnx＜lgx；由lnx﹣lgx=lnx﹣=lnx（1﹣），∵1﹣＞0，∴x＞1時(shí)，lnx＞lgx，0＜x＜1時(shí)，lnx＜lgx，故命題p是假命題，￢p是真命題；故不論命題￢q真假，則“（￢p）∨（￢q）總為真命題，故D正確；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)合命題的判斷，考查函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，是一道綜合題．8.設(shè)△的三邊長(zhǎng)分別為△的面積為，內(nèi)切圓半徑為，則.類(lèi)比這個(gè)結(jié)論可知：四面體的四個(gè)面的面積分別為內(nèi)切球的半徑為，四面體的體積為，則＝參考答案：C9.直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)(－1,2)且與直線(xiàn)垂直，則l的方程是A. B. C. D.參考答案：C∵直線(xiàn)2x?3y+4=0的斜率為，由垂直可得所求直線(xiàn)的斜率為，∴所求直線(xiàn)的方程為y?2=(x+1)，化為一般式可得3x+2y?1=0本題選擇C選項(xiàng).10.下列說(shuō)法正確的是（

）A．如果兩條直線(xiàn)都平行于同一個(gè)平面，那么這兩條直線(xiàn)互相平行；B．過(guò)一條直線(xiàn)有且只有一個(gè)平面與已知平面垂直；C．如果一條直線(xiàn)平行于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線(xiàn)，那么這條直線(xiàn)平行于這個(gè)平面；D．如果兩條直線(xiàn)都垂直于同一平面，那么這兩條直線(xiàn)共面.參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.冪函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的解析式為

。參考答案：略12.命題“ax2－2ax+3>0恒成立”是假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.參考答案：或13.已知點(diǎn)P（m，4）是橢圓+=1（a＞b＞0）上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若△PF1F2的內(nèi)切圓的半徑為，則此橢圓的離心率為．參考答案：

【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，由橢圓的定義可得m+n=2a，再由三角形的面積公式以及內(nèi)切圓的圓心與三個(gè)頂點(diǎn)將三角形△PF1F2分成三個(gè)小三角形，分別求面積再求和，得到a，c的方程，由離心率公式計(jì)算即可得到．【解答】解：設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，由橢圓的定義可得m+n=2a，由三角形的面積公式可得=×2c×4=4c，由△PF1F2的內(nèi)切圓的半徑為，則=×（m+n+2c）=（2a+2c）=（a+c），即有4c=（a+c），即為5c=3a，則離心率e==．故答案為：．14.曲線(xiàn)，所圍成的封閉圖形的面積為_(kāi)__________．參考答案：略15.已知（4，2）是直線(xiàn)l被橢圓+=1所截得的線(xiàn)段的中點(diǎn)，則l的方程是

．參考答案：x+2y﹣8=0【考點(diǎn)】橢圓的應(yīng)用；橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】設(shè)直線(xiàn)l與橢圓交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2），由“點(diǎn)差法”可求出直線(xiàn)l的斜率k==﹣=﹣=﹣=﹣．再由由點(diǎn)斜式可得l的方程．【解答】解：設(shè)直線(xiàn)l與橢圓交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2），將P1、P2兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程相減得直線(xiàn)l斜率k==﹣=﹣=﹣=﹣．由點(diǎn)斜式可得l的方程為x+2y﹣8=0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的中點(diǎn)弦方程，解題的常規(guī)方法是“點(diǎn)差法”．16.若兩平行直線(xiàn)3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之間的距離為，則的值為_(kāi)_______．參考答案：±117.P為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若使△F1PF2為直角三角形的點(diǎn)P共有8個(gè)，則橢圓離心率的取值范圍是

▲

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（1）已知a，b，c∈R，且2a+2b+c=8，求（a﹣1）2+（b+2）2+（c﹣3）2的最小值．（2）請(qǐng)用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=（n≥2，n∈N*）．參考答案：【考點(diǎn)】RG：數(shù)學(xué)歸納法；RA：二維形式的柯西不等式．【分析】（1）使用柯西不等式證明；（2）先驗(yàn)證n=2成立，假設(shè)n=k成立，推導(dǎo)n=k+1成立即可．【解答】解：（1）由柯西不等式得：（4+4+1）×[（a﹣1）2+（b+2）2+（c﹣3）2]≥[2（a﹣1）+2（b+2）+c﹣3]2，∴9[（a﹣1）2+（b+2）2+（c﹣3）2]≥（2a+2b+c﹣1）2．∵2a+2b+c=8，∴（a﹣1）2+（b+2）2+（c﹣3）2≥，∴（a﹣1）2+（b+2）2+（c﹣3）2的最小值是．（2）證明：①當(dāng)n=2時(shí)，左邊=1﹣=，右邊==，所以等式成立．②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2，k∈N+）時(shí)，等式成立，即

（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=（k≥2，k∈N+）．當(dāng)n=k+1時(shí)，（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）=?==，∴當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立．∴對(duì)n≥2，n∈N+時(shí)，等式成立．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了柯西不等式的應(yīng)用，屬于歸納法證明，屬于中檔題．19.計(jì)算下列定積分。（本小題滿(mǎn)分10分）（1）

（2）

參考答案：1）

（2）=

==

==

=1略20.已知甲、乙兩煤礦每年的產(chǎn)量分別為200萬(wàn)噸和300萬(wàn)噸，需經(jīng)過(guò)東車(chē)站和西車(chē)站兩個(gè)車(chē)站運(yùn)往外地，東車(chē)站每年最多運(yùn)280萬(wàn)噸煤，西車(chē)站每年最多運(yùn)360萬(wàn)噸煤，甲煤礦運(yùn)往東車(chē)站和西車(chē)站的運(yùn)費(fèi)價(jià)格分別為1元/噸和1.5元/噸，乙煤礦運(yùn)往東車(chē)站和西車(chē)站的運(yùn)費(fèi)價(jià)格分別為0.8元/噸和1.6元/噸.煤礦應(yīng)怎樣編制調(diào)運(yùn)方案，使總運(yùn)費(fèi)最少？參考答案：解析：設(shè)甲煤礦調(diào)往東站的煤為萬(wàn)噸，乙煤礦調(diào)往東站的煤為萬(wàn)噸，則那么總運(yùn)費(fèi)：萬(wàn)元，即，而滿(mǎn)足，作出可行域，（略）設(shè)直線(xiàn)與軸交點(diǎn)為，則.把直線(xiàn)向上平移至M時(shí)最小。所以甲煤礦生產(chǎn)的煤全部運(yùn)往西站；乙煤礦向東站運(yùn)280萬(wàn)噸，向西站云20萬(wàn)噸時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最少。21.已知函數(shù)f（x）=+cosx+1．（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和值域；（2）若a為第三象限角，且，求的值．參考答案：考點(diǎn)：二倍角的余弦；兩角和與差的正弦函數(shù)．專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：（1）由三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)可得函數(shù)解析式為f（x）=，由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求得最小正周期和值域；（2）由根據(jù)（1）可得sinα，結(jié)合a為第三象限角，可求cosα的值，由二倍角公式化簡(jiǎn)所求即可得解．解答： （本題滿(mǎn)分12分）解：（1）∵=…=…∴函數(shù)f（x）的周期為2π，值域?yàn)椋?）∵，∴，即…∵==…=，…又∵α為第三象限角，所以…∴原式=…點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，同角三角函數(shù)的關(guān)系式的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．22.已知函數(shù)f（x）=x3﹣4x+m，（m∈R）．（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求f（x）在[0，3]上的最值．參考答案：【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間