(完整版)Kronecker積及其應(yīng)用

(完整版)Kronecker積及其應(yīng)用(完整版)Kronecker積及其應(yīng)用(完整版)Kronecker積及其應(yīng)用矩陣的Kronecker積及其應(yīng)用陳蔚(集美大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系2005屆，廈門(mén)361021）[摘要］本文主要介紹了矩陣?yán)碚撝械腒ronecker積，通過(guò)對(duì)概念的引入，性質(zhì)、定理的推導(dǎo)，簡(jiǎn)單地體現(xiàn)出矩陣的Kronecker積在求解幾類矩陣方程中的應(yīng)用.［關(guān)鍵詞]Kronecker積,特征值，拉直，矩陣方程，＋矩陣方程，－矩陣方程,矩陣微分方程0、引言眾所周知，我們學(xué)習(xí)到的矩陣運(yùn)算中，普遍提及的均是乘積問(wèn)題，兩矩陣可以相乘的條件是：前面矩陣的列數(shù)必須等于后面矩陣的行數(shù),如果不滿足這個(gè)條件，則我們就無(wú)法求解這兩個(gè)矩陣的乘積,但我們卻可以求它們的Kronecker積。對(duì)于矩陣的Kronecker積問(wèn)題，絕大多數(shù)人是陌生的。本文主要介紹了Kronecker積的定義、性質(zhì)、應(yīng)用，讓大家一起來(lái)領(lǐng)略這個(gè)新知識(shí)點(diǎn)的風(fēng)采。文中所用到的符號(hào)均可從參考文獻(xiàn)[1—11]中找到。矩陣的Kronecker積的概念設(shè),，則稱如下的分塊矩陣為與的Kronecker積（也稱為直積或張量積）。是一個(gè)塊的分塊矩陣,所以上式還可以簡(jiǎn)寫(xiě)為=。例1.1設(shè)，，求和.解=,=。這個(gè)例子表明,矩陣的Kronecker積與乘積一樣不滿足交換律，即≠。矩陣的Kronecker積的性質(zhì)、定理及推論由定義1.1，容易證明性質(zhì)2.1。性質(zhì)2.2設(shè)與為同階矩陣，則（1）。（2）.性質(zhì)2.3()=（）.性質(zhì)2.4設(shè)=,=，=，=,則（）()=。證（)（）=====.推論2。1(1）=。(2）=。上面兩個(gè)式子只要等號(hào)右邊有意義，則左邊也有意義，而且兩邊相等.推論2.2若為階矩陣，為階矩陣，則=.利用性質(zhì)2.1—2。4及推論2。1，可以得到以下常用到的性質(zhì)。設(shè)是階矩陣,是階矩陣。性質(zhì)2.5若、都可逆,則也可逆，且。證根據(jù)性質(zhì)2.4，，，∴。推論2.3若均為方陣,且均可逆（=1，2,…）,則。證運(yùn)用歸納法.當(dāng)=2時(shí)，由性質(zhì)2.5知:等式成立。設(shè)當(dāng)=時(shí),成立.則當(dāng)=+1時(shí)，根據(jù)性質(zhì)2。5，有：==，從而，等式成立.推論2。4.證由性質(zhì)2.4、2。5知：=。性質(zhì)2。6若、均為上（下）三角矩陣，則也是上（下)三角矩陣.性質(zhì)2.7若、均為對(duì)角陣，則也是對(duì)角陣.性質(zhì)2。8若、均為對(duì)稱矩陣,則也是對(duì)稱矩陣.定義2.1酉變換在酉空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣稱為酉矩陣，即滿足：.性質(zhì)2.9若、均為酉矩陣，則也為酉矩陣。定義2。2Hermite變換在酉空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣稱為Hermite矩陣，即滿足：.性質(zhì)2.10若、均為Hermite矩陣，則也為Hermite矩陣。性質(zhì)2.11設(shè)=，=，則，.性質(zhì)2。12設(shè)=,=，則rank()=rankrank.證設(shè)rank=，rank=.對(duì)矩陣，必存在可逆矩陣、,使得，其中=。對(duì)矩陣，必存在可逆矩陣、，使得，其中=.則由性質(zhì)2。4知：==。由性質(zhì)2。5知：、仍為可逆矩陣?！呔仃嚦艘钥赡婢仃嚭?，其秩不變?！鄏ank（）=rank(）==rankrank.設(shè)是個(gè)線性無(wú)關(guān)的維列向量,是個(gè)線性無(wú)關(guān)的維列向量，則個(gè)維列向量(=1,2，…,；=1，2，…,）線性無(wú)關(guān)。反之，若向量組（=1,2，…,;=1，2，…，)線性無(wú)關(guān)，則和均線性無(wú)關(guān)。證令,=（）=，==，則有rank=，rank=。∵=，∴(）==.又∵是×矩陣，∴是列滿秩矩陣，即的列向量組是線性無(wú)關(guān)的。反之，若列向量組是線性無(wú)關(guān)的，則是列滿秩的，∴rank()==rankrank.下證rank=，rank=.假設(shè)rank＜,則rank必＞，矛盾.∴有rank=.同理,得:rank=.即、為列滿秩的矩陣.∴和是線性無(wú)關(guān)的。性質(zhì)2.13設(shè)為階矩陣，為階矩陣,則有相似于.三、矩陣的Kronecker積的特征值考慮由變量、組成的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式和階矩陣其中,為階矩陣，為階矩陣。例3。1設(shè)，把寫(xiě)成：=，于是，.特別地，若=，則有。定理3。1設(shè)是階矩陣的特征值，為的對(duì)應(yīng)于的特征向量；是階矩陣的特征值，是的對(duì)應(yīng)于的特征向量，則個(gè)數(shù)2,…,為的特征值，是對(duì)應(yīng)于的特征向量.證由知：?！?===.推論3.1的特征值是個(gè)值,對(duì)應(yīng)的特征向量是.推論3。2的特征值是，其對(duì)應(yīng)的特征向量是.推論3.3(推論3。2的推廣)的特征值為，其對(duì)應(yīng)的特征向量為.類似的，的特征值為，其對(duì)應(yīng)的特征向量為。注意：對(duì)矩陣，我們將其稱為矩陣和的Kronecker和（或稱為直和）,記作.性質(zhì)3.1設(shè)為階矩陣,特征值為;為階矩陣，特征值為，則.證一由推論3。1知:=.證二由性質(zhì)2。4知:，且，又由性質(zhì)2。13知:相似于,即，∴。性質(zhì)3.2設(shè)為階矩陣,特征值為；為階矩陣，特征值,則trtrtr.證∵tr=trtr。對(duì)于矩陣的Kronecker積也存在冪的定義.定義3。1記,稱為Kronecker積的冪.設(shè)=，=，則。矩陣的Kronecker積的應(yīng)用定義4。1設(shè)=，記，令=，則稱為矩陣A的列拉直（列展開(kāi))。定義4。2設(shè)=,記令，則稱為矩陣的行拉直（行展開(kāi)）.定理4.1設(shè),則（1)。(2）。證(1)記,；，，則.而，∴.（2）設(shè)=,，則==，即.推論4.1+。推論4.2.推論4.3設(shè)為階矩陣,為階矩陣，,則（1）。(2）。（3)，。證（1）∴根據(jù)定理4。1知:同理可證。（2）仿（1）可證得.（3）∵,∴根據(jù)(1）、(2）知：==.同理可證.推論4。4設(shè),則.接下來(lái),我們就用矩陣Kronecker積和拉直概念相結(jié)合,看看它們?cè)谄渌I(lǐng)域的運(yùn)用。在系統(tǒng)控制等工程領(lǐng)域,經(jīng)常遇到兩類特殊的線性矩陣方程:＋和－。它們?cè)谙到y(tǒng)穩(wěn)定性、控制性問(wèn)題中有著基本的作用,廣泛的應(yīng)用.而這兩個(gè)方程又是型矩陣方程的特殊情況.4.1型矩陣方程一般的線性矩陣方程可表示為：（1）其中，為階矩陣，為階矩陣(=1,2，…，）均是已知矩陣，是未知矩陣.利用矩陣的Kronecker積和拉直，可以給出該線性矩陣方程的可解性及其解法.矩陣是矩陣方程（1）的解的充分必要條件為=vec()是該線性方程組的解。證對(duì)(1）兩邊同時(shí)列拉直,得：（）=。又根據(jù)定理4.1知:,∴該矩陣方程組與矩陣方程（1）等價(jià),即解相同。定理4。3矩陣是矩陣方程（1）的解的充分必要條件為=是該線性方程組的解.例4。1求解矩陣方程.其中.解設(shè),則根據(jù)定理4.2知:...則得：∴.推論4.5由定理4.2和線性方程組的可解性條件知：矩陣方程（1）有解的充分必要條件為:系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，即：rank(）=rank[vec（）]有唯一解的充分必要條件為（=）可逆.4。2＋矩陣方程矩陣方程＋中為階矩陣，為階矩陣，.下面運(yùn)用矩陣的Kronecker積和拉直來(lái)給出該方程的求解過(guò)程及其解.首先，對(duì)方程的兩邊列拉直，得:vec(＋）=vec（).由推論4.3（3）知：有.（2）再由推論4。5知：方程有解的充分必要條件為:rank=rank。且方程有唯一解的充分必要條件為:矩陣可逆.類似的,若是對(duì)方程兩邊行拉直,則方程有解的充分必要條件為：rank=rank[］。注意到：即為矩陣和的Kronecker和，所以上式也可以寫(xiě)為：rank=rank[］且方程有唯一解的充分必要條件為：矩陣可逆。例4.2求解矩陣方程＋其中，。解設(shè).∴，則。得：∴。定理4。4設(shè)是階矩陣的特征值，是階矩陣的特征值，則＋矩陣方程有唯一解的充分必要條件為：，即和—沒(méi)有共同的特征值.證∵＋矩陣方程等價(jià)于線性方程組（2),則由推論3。2知：矩陣的特征值是.又∵＋矩陣方程有唯一解的充分必要條件為矩陣可逆，∴其特征值均非零，即。定理4。5設(shè)為階矩陣，為階矩陣，且、為穩(wěn)定矩陣，即、的特征值均具有負(fù)實(shí)部,則＋矩陣方程有唯一解，且解可表示成:=。推廣（1）設(shè)是階矩陣的特征值，是階矩陣的特征值，則齊次方程＋0有非零解的充分必要條件為：存在,使得=0。（2)設(shè)為階矩陣,則齊次方程－一定有非零解。4。3－矩陣方程－矩陣方程常出現(xiàn)在系統(tǒng)穩(wěn)定性研究中,對(duì)于它的求解我們同樣可以運(yùn)用矩陣的Kronecker積和拉直來(lái)解決.設(shè)為階矩陣，為階矩陣，.首先對(duì)方程兩邊進(jìn)行列拉直，得：。則根據(jù)推論4。5知:－矩陣方程有解的充分必要條件為rank=rank[］,且有唯一解的充分必要條件為：矩陣可逆。定理4。6設(shè)是階矩陣的特征值，是階矩陣的特征值，則－矩陣方程有唯一解的充分必要條件為：。證明同定理4。4，此略.4。4矩陣微分方程運(yùn)用Kronecker積性質(zhì)和拉直定義，可將矩陣微分方程的求解轉(zhuǎn)化為常系數(shù)齊次線性微分方程組初值問(wèn)題的求解，從而變?yōu)槲覀兯煜さ慕夥?再進(jìn)一步求出矩陣微分方程的初值問(wèn)題.矩陣微分方程的解為其中，為階矩陣，為階矩陣，。證對(duì)矩陣微分方程的兩邊進(jìn)行行拉直，得：，則問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求解常系數(shù)齊次線性微分方程組初值問(wèn)題。再根據(jù)滿足初始條件的矩陣微分方程解的定理及定理4.1（2）知:,∴矩陣微分方程初值問(wèn)題的解為。例4.3求解矩陣微分方程的初值問(wèn)題.解令=，=，=?！逜的特征值為1,2.其中，特征值1的基礎(chǔ)解系為，特征值2的基礎(chǔ)解系為，∴存在可逆矩陣=，使得：=。又∵是對(duì)角矩陣，∴。則由定理4.7知：==.致謝語(yǔ)本文在撰寫(xiě)過(guò)程中得到黃朝霞副教授的悉心指導(dǎo)，在此表示衷心的感謝！參考文獻(xiàn)［1］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