預(yù)測模型數(shù)據(jù)處理方法

關(guān)于預(yù)測模型數(shù)據(jù)處理方法

最近幾年，在全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽常常出現(xiàn)預(yù)測模型或是與預(yù)測有關(guān)的題目，例如疾病的傳播，雨量的預(yù)報，人口的預(yù)測等。什么是預(yù)測模型？如何預(yù)測？有那些方法？對此下面作些介紹。

預(yù)測的目的在于認(rèn)識自然和社會發(fā)展規(guī)律，以及在不同歷史條件下各種規(guī)律的相互作用，揭示事物發(fā)展的方向和趨勢，分析事物發(fā)展的途徑和條件，使人們盡早地預(yù)知未來的狀況和將要發(fā)生的事情，并能動地控制其發(fā)展，使其為人類和社會進步服務(wù)。

第2頁,共30頁，星期六，2024年，5月一預(yù)測的前期準(zhǔn)備工作

為保證預(yù)測結(jié)果的精確度，預(yù)測之前必須做一系列的準(zhǔn)備工作：

（一）數(shù)據(jù)的準(zhǔn)備：

數(shù)據(jù)的收集和整理；數(shù)據(jù)的分析和處理；數(shù)據(jù)的內(nèi)涵及數(shù)量；

第3頁,共30頁，星期六，2024年，5月數(shù)據(jù)處理的原則

準(zhǔn)確，處理后的數(shù)據(jù)能正確反映事物發(fā)展的未來趨勢和狀況；及時，數(shù)據(jù)的處理要及時；適用，處理的數(shù)據(jù)能滿足建模的需要；經(jīng)濟，要盡量減少數(shù)據(jù)處理的費用，以降低預(yù)測成本；一致，處理的數(shù)據(jù)在整個比較性。使用期間內(nèi)必須是一致的，具有可比較性第4頁,共30頁，星期六，2024年，5月數(shù)據(jù)處理的方法

（1）判別法通過對歷史數(shù)據(jù)的判斷，選擇其中可代表整個預(yù)測過程中很可能發(fā)生的模式的數(shù)據(jù)作為建模數(shù)據(jù)（2）剔除法如果數(shù)據(jù)量比較大，且非必須具備連續(xù)的數(shù)據(jù)量，這時可剔除數(shù)據(jù)中受隨機干擾的異常值；（3）平均值法在數(shù)據(jù)比較少或需要連續(xù)數(shù)據(jù)時，則可采取平均值法對數(shù)據(jù)進行處理。

第5頁,共30頁，星期六，2024年，5月（4）拉平法由于條件發(fā)生變化，常常使一些厲史數(shù)據(jù)不能反映現(xiàn)時的情況，例如，大型鋼鐵廠、化肥廠、或油氣田的建成投產(chǎn)或開發(fā)，可以使產(chǎn)量猛增，這時歷史數(shù)據(jù)將發(fā)生突變，出現(xiàn)一個轉(zhuǎn)折，如用這類數(shù)據(jù)建模，則需要處理。這時拉平法是一種較好的方法。它的原理是對轉(zhuǎn)折點前的數(shù)據(jù)加一個適當(dāng)?shù)牧恐?，使其與折點后的數(shù)據(jù)走向一致。（5）比例法銷售條件與環(huán)境的變化常常會引起一個企業(yè)產(chǎn)品市場銷售比例的改變。當(dāng)比例變化較大時，說明銷售條件與環(huán)境對銷售的影響己超過其他因素對銷第6頁,共30頁，星期六，2024年，5月售的影響，也說明以前的銷售統(tǒng)計數(shù)據(jù)所體現(xiàn)出的銷售發(fā)展規(guī)律不再適用之于目前的情況了。如果仍然利用這些數(shù)據(jù)建立預(yù)測模型，將無法體現(xiàn)銷售條件和環(huán)境變化后的銷售量變化的規(guī)律，用這樣的模型進行預(yù)測，將會造成較大的誤差。因此，如果還想利用這些數(shù)據(jù)建立模型，進行預(yù)測，就應(yīng)該把它們處理成能體現(xiàn)條件與環(huán)境發(fā)生變化之后的情況的數(shù)據(jù)。對于這類數(shù)據(jù)，比例法就是一種比較有效的處理方法。（6）移動平均和指數(shù)平滑法如果原始數(shù)據(jù)總體走向具有一定規(guī)律性，但因受隨第7頁,共30頁，星期六，2024年，5月機因素干擾，數(shù)據(jù)離散度很大，采用平均值法也難以處理。這時可采用一次、二次、甚至三次移動平均和指數(shù)平滑對數(shù)據(jù)進行平滑，用平滑的數(shù)據(jù)建模。在分解預(yù)測時，為處理季節(jié)數(shù)據(jù)，則必須采用高次冪的移動平均法，對數(shù)據(jù)平滑。（7）差分法有些模型，例如鮑克斯-詹金斯模型只能處理平穩(wěn)數(shù)據(jù)，如果原始數(shù)據(jù)為非平穩(wěn)數(shù)據(jù)，則需釆取差分處理。差分有三種主要類型：前向差分、后向差分、中心差分。第8頁,共30頁，星期六，2024年，5月前向差分：在處理時間數(shù)列時，一階前向差分定義為一階前向差分是當(dāng)時間由t變到t+1時，的改變量。二階前向差分定義為后向差分：在處理時間數(shù)列時，一階后向差分定義為一階后向差分是當(dāng)時間由t遞推到t-1時，的改變量。二階后向差分定義為第9頁,共30頁，星期六，2024年，5月中心差分：在處理時間數(shù)列時，一階中心差分定義為二階中心差分為在處理時間數(shù)列時，主要應(yīng)用后向差分。一次多項式數(shù)據(jù)通過一階差分就可轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)數(shù)據(jù)，二次多項式和三次多項式數(shù)據(jù)分別通過二階和三階差分可轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)數(shù)據(jù)，而三次以上的高次多項式在應(yīng)用中很少采用。第10頁,共30頁，星期六，2024年，5月二預(yù)測的數(shù)學(xué)準(zhǔn)備

在預(yù)測過程中需要很多數(shù)學(xué)知識，主要有微分方程、概率與數(shù)理統(tǒng)計、線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃等等。但使用最多的是統(tǒng)計學(xué)的相關(guān)知識：常用的統(tǒng)計量、參數(shù)的估算、假設(shè)檢驗、區(qū)間估計等。這些我們就不做介紹了。第11頁,共30頁，星期六，2024年，5月定量預(yù)測法

時間序列模型

時間序列模型主要研究事物的自身發(fā)展規(guī)律，借以預(yù)測事物的未來趨勢。主要方法有移動平均、指數(shù)平滑、分解預(yù)測、鮑克斯詹金斯模型、多變量模型以及類推法等。

特點和應(yīng)用范圍時間序列一般指一組按時間順序排列的數(shù)據(jù)，展示了研究對象在一定時期的發(fā)生變化過程。時間序列模型，就是根據(jù)預(yù)測對象時間變化特征，研究事物自身的發(fā)展規(guī)律，探討未來發(fā)展趨勢，是一種重要的定量預(yù)測方法，包括多種模型，主要適用于經(jīng)濟預(yù)測、商業(yè)預(yù)測、需求預(yù)測、庫存預(yù)測等，預(yù)測期限主要為中、短期，不適用于有拐點的長期預(yù)測。第12頁,共30頁，星期六，2024年，5月（一）移動平均值模型移動平均法是一種最簡單的適應(yīng)模型，是在算術(shù)平均的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種預(yù)測方法。算術(shù)平均雖能代表一組數(shù)據(jù)的平均水平，但它不能反映數(shù)據(jù)的變化趨勢，而原始數(shù)據(jù)雖然存在某種趨勢，但數(shù)據(jù)可能是零散的或雜亂無章的，無法直接加以分析。移動平均法克服了上述弱點，其基本方法是，選一個固定的周期N，對數(shù)據(jù)進行平均，每遞推一個周期就加上后一個數(shù)據(jù)，舍去初始數(shù)據(jù)，依次類推，直至把數(shù)據(jù)處理完畢。

第13頁,共30頁，星期六，2024年，5月以N=5為例：

表示第五、第六個周期的一次移動平均值，依次類推。若移動平均的周期為N，則可得到計算移動平均值的一般公式：其中，表示第t期的一次移動平均值第14頁,共30頁，星期六，2024年，5月

可見，移動平均法實際上是對于某一期數(shù)據(jù)，取前N個數(shù)據(jù)進行平均，N個數(shù)權(quán)數(shù)相同，而其它數(shù)據(jù)的權(quán)這樣，經(jīng)過移動平均，將消除數(shù)據(jù)列中異常的因素，對數(shù)據(jù)進行修勻。一般情況下，如果數(shù)據(jù)沒有明顯的周期變化和趨勢變化，可用第t期的一次移動平均值作為t+1期的預(yù)測值，即其一般公式為第15頁,共30頁，星期六，2024年，5月

表1中的的第一列和第二列，即是原始數(shù)據(jù)與一次移動平均值的對比。始取N=3的3期移動平均，則第三期數(shù)據(jù)的移動值為5766.33，是l由（5600＋5796＋5930）/3得到的。如用于預(yù)測，它可以作為第4期的預(yù)測值。在一次移動平均值的基礎(chǔ)上，應(yīng)用移動平均的原理，還可以進行二次甚至多次的移動平均，二次移動平均，就是以一項移動平均值為原始數(shù)據(jù)，再進行一次移動平均，如以N=5為例：其公式為其公式為式中：表示第9期的二次移動平均值，

第16頁,共30頁，星期六，2024年，5月其一般公式為

二次移動平均使原始數(shù)據(jù)得到了進一步修勻，使其顯現(xiàn)線性趨勢。表1中的第三列數(shù)據(jù)為N=3的二次移動平均值。第17頁,共30頁，星期六，2024年，5月移動平均值表（1）

第18頁,共30頁，星期六，2024年，5月式中：τ---預(yù)測超前期數(shù)通過查表（多項式模型參數(shù)估算公式）可知：

對于上表中的數(shù)據(jù)，如以11期數(shù)據(jù)預(yù)測12期值，當(dāng)取N=3時，則有：

在二次移動平均值的基礎(chǔ)上，可建立線性模型：第19頁,共30頁，星期六，2024年，5月預(yù)測方程為第20頁,共30頁，星期六，2024年，5月

使用移動平均法，最重要的是移動周期N的選擇。因為式中：——移動平均值方差——原始數(shù)據(jù)點方差N——數(shù)據(jù)點數(shù)

也就是說，移動平均修勻后的方差，隨著N的加大而減少。也就是N越大，對原始數(shù)據(jù)修勻能力越強。下表數(shù)據(jù)可清楚反映這一規(guī)律。第21頁,共30頁，星期六，2024年，5月（某日用品電器銷售額的移動平均預(yù)測）表（2）

第22頁,共30頁，星期六，2024年，5月

然而修勻能力與對外界變化的反映速度是互相矛盾的，兩者不能兼得。因此，對于N值一般應(yīng)視具體情況，采用折衷辦法確定。根據(jù)過程的實際發(fā)展趨勢，N值大體有如下四種選擇方法：（1）水平式也就是趨勢保持不變，移動平均值是無編差的，M值與N值無關(guān)。（2）脈沖式趨勢僅在某一段時間突然增加或減少，隨后又保持不變，N取得越大，M的誤差越小，因此N應(yīng)取得較大些。

（3）階梯式趨勢僅在開始一段時間保持不變，然后增加或減少到一個新的水平后又保持不變，N取得越小，M的誤差越小，因此N應(yīng)取得較小。第23頁,共30頁，星期六，2024年，5月（4）斜坡式趨勢周期的遞增或遞減，M總是比實際趨向落后，因此N應(yīng)取得越小越好。一般情況下，如欲加大原始數(shù)據(jù)的修句力度，則N宜取大些，如果希望加大對外界變化的反映力度，刨N宜取小些。N的取值范圍一般為3～20。例我國1980～1990年工業(yè)勞動人數(shù)見表，用二次移動平均數(shù)法預(yù)測1991～1994年的勞動人數(shù)。1980～1990年我國工業(yè)勞動人數(shù)（萬人）（表3）第24頁,共30頁，星期六，2024年，5月

首先，選擇移動平均周期N。本例中數(shù)據(jù)趨勢較明顯，呈直線趨勢，為盡量反映近期變化動向，可取N=3。利用移動平均公式，首先計算一次移動平均數(shù)：

……第25頁,共30頁，星期六，2024年，5月在此基礎(chǔ)上再計算二次移動平均數(shù)：……

計算結(jié)果見（表）。根據(jù)表（3）的數(shù)據(jù)可建立線性趨勢模型：第26頁,共30頁，星期六，2024年，5月前已計算得：

則：

由此得1991～1994年勞動人數(shù)分別為8338.7，8638.2，8937.7，和9236.2萬人。第27頁,共30頁，星期六，2024年，5月（二）指數(shù)平滑模型在時間序列預(yù)測過程中，一般來說歷史數(shù)據(jù)對未來發(fā)展的影響是不等價的，數(shù)據(jù)由近及遠(yuǎn)對未來的影響價值遞減。如果這種遞減遵循指數(shù)規(guī)律，并以此進行預(yù)測