2019-2020學(xué)年高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

2019-2020學(xué)年高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題（本題共9小題，每小題5分，共45分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.（5分）直線x-①+1=0的傾斜角為（）

A.—B.—C.22LD.5幾

6336

2.（5分）己知△48C的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a,b,c,若A=60°,。=次,則——空——

sinB+sinC

等于（）

A.AB.MC.返D.2

22

3.（5分）已知以C（-4,3）為圓心的圓與圓W+y2=l相內(nèi)切，則圓C的方程為（）

A.（%-4）2+（y+3）2=36B.（x+4）2+（y-3）2=16

C.（x+4）2+（y-3）2=36D.（x-4）2+（y+3）2=16

4.（5分）如圖，在正方體A8CD-4B1C1O1中，二面角Q|-8C-。的大小為（）

A.—B.—C.—D.—

6432

5.（5分）若加，%2,…，的方差為3,則2x1,2x2,…，2x8的方差為（）

A.返B.273C.6D.12

6.（5分）已知球的半徑與圓錐的底面半徑都為2,若它們的表面積相同，則圓錐的高為（）

A.A/5B.4&C.2A/15D.8

7.（5分）已知△ABC的內(nèi)角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,若2acosC=8,則4ABC

的形狀一定是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等邊三角形

8.（5分）下列命題說法錯誤的是（）

A.若a〃a,b-La,則

B.若a〃0,。0丫=〃，00丫=4PBJa//h

C.若。〃0,a_La,則

D.若a_l_Y，P-Ly?則?！?

9.（5分）在△ABC中，點(diǎn)。在邊3C上，且滿足AQ=3O=2CD,3tar?8-2ta"+3=0,

則N3的大小為（）

A.—B.—C.—D.

63412

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題.每小題5分，共15分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分）.

10.（5分）已知△ABC的內(nèi)角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,根據(jù)下列條件解三角形,

有兩解的是（）

A.a=>/2）b=2,B=120°B.67=2,b=\[3>B=45°

C.b=3,c=V3>B=60°D.a=2V3>b=V10?B=60°

11.（5分）已知直線/與圓C：/+y2+2r-4y+q=0相交于A,B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)為M（0,

1）,則實(shí)數(shù)〃的取值可為（）

A.1B.2C.3D.4

12.（5分）如圖，已知四棱錐P-ABC。中，B4_L平面ABC。，底面A8CZ）為矩形，AP=6,

AB=a.若在直線BC上存在兩個不同點(diǎn)Q,使得直線PQ與平面ABCD所成角都為工.則

3

實(shí)數(shù)4的值為（）

A.1B.2C.3D.4

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.（5分）口袋中有若干紅球、黃球與藍(lán)球，摸出紅球的概率為0.4,摸出黃球的概率為0.2,

則摸出紅球或藍(lán)球的概率為.

14.（5分）已知點(diǎn)A（1,3）與直線I：3x+y+4=0,則點(diǎn)A關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為.

15.（5分）如圖，為測量兩座山頂之間的距離MC,已知山高BC=5方加，MN=1.5km,

從觀測點(diǎn)A分別測得時點(diǎn)的仰角NMAN=30°,C點(diǎn)的仰角/CA8=45°以及/MAC=

60°,則兩座山頂之間的距離MC=km.

16.(5分)如圖，三棱錐8-AC。中，平面2CQ_L平面AC￡>,CD=6,ZBDC=60°,若

BC=y［^D,AC=2AD,則該三棱錐的體積的最大值為.

四、解答題(本大題共6小題，計(jì)70分.應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.)

17.(10分)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,2cosA(ccosB+fecosC)=

a.

(1)求角4;

(2)若a=2M，△ABC的面積為JE，求△ABC的周長.

18.(12分)已知矩形ABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)E(1,0),AD邊所在直線的方程為

2x+y+2=0.點(diǎn)F(2,-1)在A8邊所在直線上.求：

(1)A8邊所在直線的方程；

(2)C。邊所在直線的方程.

19.(12分)某醫(yī)院為促進(jìn)行風(fēng)建設(shè)，擬對醫(yī)院的服務(wù)質(zhì)量進(jìn)行量化考核，每個患者就醫(yī)后

可以對醫(yī)院進(jìn)行打分，最高分為100分.上個月該醫(yī)院對100名患者進(jìn)行了回訪調(diào)查，

將他們按所打分?jǐn)?shù)分成以下幾組：第一組［0,20),第二組［20,40),第三組［40,60),

第四組［60,80),第五組［80,100］,得到頻率分布直方圖，如圖所示.

(1)求所打分?jǐn)?shù)不低于60分的患者人數(shù)；

(2)該醫(yī)院在第二、三組患者中按分層抽樣的方法抽取6名患者進(jìn)行深入調(diào)查，之后將

從這6人中隨機(jī)抽取2人聘為醫(yī)院行風(fēng)監(jiān)督員，求行風(fēng)監(jiān)督員來自不同組的概率.

"篥率

赤

0.0175...............................................

0.0150............................................................

0.012S

0.0100.................................

0.0075

O.OOSO-------------------

0.0025---------

0_________________________________

20406080100分?jǐn)?shù)

20.（12分）如圖，在直三棱柱ABC-451cl中，AC=BC=CC[=2a,ZACB=—9點(diǎn)、D

2

為3C中點(diǎn)，連接AC、AC1交于點(diǎn)E,點(diǎn)F為。。中點(diǎn).

（1）求證：EF〃平面ABC；

（2）求證：平面4cB_L平面A。。；

（3）求點(diǎn)C到平面A。。的距離.

21.（12分）如圖，我炮兵陣地位于4處，兩移動觀察所分別設(shè)于C,D.已知△ACO為正

三角形.當(dāng)目標(biāo)出現(xiàn)于B時;測得BC=1千米，30=2千米.

（1）若測得NO3C=60°,求△ABC的面積;

（2）若我方炮火的最遠(yuǎn)射程為4千米，試問目標(biāo)8是否在我方炮火射程范圍內(nèi)？

22.（12分）己知圓Ci：（工-〃）2+,2=J（/＞（））,圓心Ci在直線2x+y+4=0上，且直線

X+J5，+4=0被圓Ci截得的弦長為2M.

（1）求圓。的方程；

（2）過圓C2：（X-6）2+y2=4上任一點(diǎn)Q（劉，川）作圓C1的兩條切線，設(shè)兩切線分

別與y軸交于點(diǎn)M和N,求線段A/N長度的取值范圍.

2019-2020學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、單項(xiàng)選擇題（本題共9小題，每小題5分，共45分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.（5分）直線x-①，+1=0的傾斜角為（）

A.—B.—c.22LD.

6336

【分析】因?yàn)橹本€的斜率是傾斜角的正切值，所以要求傾斜角，先求直線的斜率，把直

線方程化為斜截式，就可求出斜率，再根據(jù)斜率求出傾斜角.

【解答】解：直線X-乃，+1=0互為斜截式，得>=返什返

33

直線x-J5，+i=od的斜率為亨，設(shè)傾斜角為e

則tan。=返，.?.e=2L

36

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系，以及根據(jù)直線方程求斜率，平

時學(xué)習(xí)過程中，對一些概念性的東西要熟記.

2.（5分）已知△ABC的內(nèi)角4,8,C的對邊分別為a,6,c,若4=60°,.=百,則——空——

sinB+sinC

等于（）

A.AB.J3C.返D.2

22

【分析】由已知結(jié)合正弦定理即可直接求解.

【解答】解：A=60°,Q=?,

由正弦定理可得，—=g=2,

sinBsinCsinA73

.?.0=2sin8,c=2sinC,

則一殳上一=2.

sinB+sinC

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題.

3.（5分）已知以C（-4,3）為圓心的圓與圓7+丁=1相內(nèi)切，則圓C的方程為（)

A.(x-4)2+(y+3)2=36B.(x+4)2+(y-3)2=16

C.(x+4)2+(y-3)2=36D.(x-4)2+(y+3)2=16

【分析】結(jié)合圓內(nèi)切的性質(zhì)可求圓的半徑，進(jìn)而可求圓的方程.

【解答】解：根據(jù)圓內(nèi)切的性質(zhì)可得，|r-11=7(-4-0)2+(3-0)2=5,

故r=6,或r=-4(舍)，

所求圓的方程為(x+4)2+(y-3)2=36.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查了圓的內(nèi)切性質(zhì)在求圓的方程中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題.

4.(5分)如圖，在正方體ABCD-4B1C1D1中，二面角￡)|-8C-。的大小為()

A.—B.—C.—D.—

6432

【分析】由8cl.平面DCC\D\,得BCLDC,BCVD\C,從而NOC￡>i是二面角D\-BC

-O的平面角，由此能求出二面角-BC-。的大小.

【解答】解：在正方體ABC。-AiBiCiOi中，

；8C_L平面DCC\D\,

：.BCLDC,BCLD\C,

：.ZDCD\是二面角Di-BC-。的平面角,

'：DDi±DC,DD\=DC,

兀

：.ZDCD\=—f

4

二面角D\-BC-D的大小為三.

4

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查二面角的大小的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等

基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

5.（5分）若xi,xi,,,,,X8的方差為3,貝！2x2,…，2x8的方差為（）

A.瓜B.2MC.6D.12

【分析】利用方差的性質(zhì)直接求解.

【解答】解：???樣本數(shù)據(jù)XI,X2,…，X8的方差為3,

,數(shù)據(jù)2x1,2x2,…，2x8的方差為：

22X3=12.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查方差的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意方差性質(zhì)的合理運(yùn)

用.

6.（5分）已知球的半徑與圓錐的底面半徑都為2,若它們的表面積相同，則圓錐的高為（）

A.匹B.4&C.2怖D.8

【分析】根據(jù)球的半徑求出球的表面積，設(shè)圓錐的高為兒求出圓錐的母線長和表面積，

列方程求得h的值.

【解答】解：球的半徑為2,則球的表面積為S球=4TTX22=16H；

圓錐的底面半徑為2,設(shè)圓錐的高為/?,則圓錐的母線長為/=亞"^=北m；

所以圓錐的表面積為S網(wǎng)徘=TTX22+nX2XJ4+h2=4Tr+2n{d+h2；

由題意知，4n+2nAy4+卜2=164,解得〃=W/；

所以圓錐的高為4&.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了球和圓錐的表面積計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題.

7.（5分）已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若2acosC=b,則△ABC

的形狀一定是（)

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等邊三角形

【分析】根據(jù)正弦定理、內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式、兩角和與差的正弦公式化簡已知的式

子，由內(nèi)角的范圍即可判斷出△ABC的形狀.

【解答】解：'：h=2acosC,

由正弦定理得sinB=2sin4cosC>

(A+C),

sin(A+C)=2sio4cosC,

貝!]sinAcosC+cosAsinC=2sinAcosC,

sinAcosC-cosAsinC=0>即sin(A-C)=0,

；A、C￡(0,Tt),

.".A-CG(-n,TT),則A-C=0,

A=Ct

...△ABC是等腰三角形.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用：邊角互化，考查化簡、變形能力，屬于

中檔題.

8.(5分)下列命題說法錯誤的是()

A.若a〃a,bVa,貝!I

B.若支〃0,any=a,0(~1丫=匕，則a〃6

C.若0〃0,a±a,則

D.若a_Ly，PJ-Y，貝a〃0

【分析】根據(jù)線線，線面，面面的有關(guān)判定，性質(zhì)和結(jié)論即可判斷各命題的真假.

【解答】解：對A,若a〃a,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，存在平面0,有“邙，an°=c,

使得a//c,

由于匕J_a,所以6J_c,即有〃_!_%,A正確；

對8,根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知，8正確；

對C,根據(jù)一條直線和兩個平行平面中的一個垂直，則它和另一個平面也垂直，C正確;

對。，若aJ_y,P±Y>則a與p可能平行，也可能相交，力錯誤.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查線線，線面，面面的有關(guān)判定，性質(zhì)和結(jié)論的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

9.(5分)在△48C中，點(diǎn)。在邊BC上，且滿足AD=BD=2CD,3tan2B-2tanA+3=0,

則NB的大小為()

A.—B.—C.—D.5兀

63412

【分析】設(shè)CD=f,則AO=BD=2f,在△4OC中，運(yùn)用正弦定理和三角函數(shù)的誘導(dǎo)公

式、和差公式和同角的商數(shù)關(guān)系，解方程可得所求角.

【解答】解：可設(shè)CD=t,則AD=BD=2t,在△AQC中，可得^——皿——=-^—=

sin(A-B)sinC

AD

sin(A+B)

可得----------=----------,即為sinAcosB+cosAsin8=2(sinAcosB-cosAsinB),

sin(A-B)sin(A+B)

化為sinAcosB=3cosAsinB,即有tanA=3tan5,

又3tan2B-2tanA+3=0,可得-6tan8+3=0,

解得tanB=1,

由B為三角形的內(nèi)角，可得8=工，

4

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查三角形的正弦定理和三角函數(shù)的恒等變換，考查方程思想和運(yùn)算能力,

屬于基礎(chǔ)題.

二、多項(xiàng)選擇題(本大題共3小題.每小題5分，共15分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得S分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分).

10.(5分)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為mb,c,根據(jù)下列條件解三角形,

有兩解的是()

A.a=y[2>b=2,B=120°B.a=2,B=45°

C.b=3,c=V3>B=60°D,a=2?,b=710-B=60°

【分析】利用正弦定理求出對應(yīng)角的三角函數(shù)值，結(jié)合大邊對大角的定理，對選項(xiàng)中的

命題分析，判斷解的個數(shù)即可.

【解答】解：對于A,：a=&,b=2,8=120°,ZVIBC是鈍角三角形，只有一解；

對于B,4=2,b=M，B=45°,由正弦定理得」——,解得siM=坐，

sinAsin45愿

又a>b,且（0,n）,所以A有個值，三角形有兩解；

對于C,b—3,c=J^，B=60°,由正弦定理得---------=A解得sinC=工，

sin600sinC2

由匕〉c,所以B>C,所以C=30°,三角形只有一解：

對于D,〃=2?,B=60°,由正弦定理得工—,解得sinA=—^,

sinAsin6071Q

又b〈a,所以A>60°,所以A有兩個值，三角形有兩解.

故選：BD.

【點(diǎn)評】本題主要考查了利用正弦定理求解三角形及解的個數(shù)判斷問題，解題中要善于

結(jié)合大邊對大角定理，是中檔題.

II.（5分）已知直線/與圓C：/+y2+2r-4y+a=0相交于4,B兩點(diǎn)、,弦AB的中點(diǎn)為M（0,

1）,則實(shí)數(shù)。的取值可為（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】由弦AB的中點(diǎn)為仞（0,1）可得點(diǎn)M在圓內(nèi)，可得：-3+a<0,即。<3,故

選出答案.

【解答】解：由題意弦A8的中點(diǎn)為M（0,1）,則可得〃點(diǎn)在圓內(nèi)，將點(diǎn)M坐標(biāo)代入

圓的方程可得：-3+“<0,即a<3,

故選：AB.

【點(diǎn)評】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

12.（5分）如圖，已知四棱錐P-ABC。中，B4_L平面A8CZ）,底面48CD為矩形，AP=6,

AB=a.若在直線BC上存在兩個不同點(diǎn)。，使得直線PQ與平面ABCD所成角都為工.則

3

實(shí)數(shù)a的值為（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】由題意畫出圖形，求出使NPBA=9■的〃值，即可求得滿足直線BC上存在兩

不同點(diǎn)Q，使直線P。與平面ABCO所成角都為工的〃的范圍，結(jié)合選項(xiàng)得答案.

3

【解答】解：如圖，當(dāng)/月m=工時，

3

由AB=a,得PB—2a,又雨=6,

2

4a=cr+3f）1即a=2^3-

若AB>2?,則直線BC上不存在點(diǎn)Q,使直線P。與平面ABC。所成角為工.

3

若AB=2我，則直線BC上存在唯一一個點(diǎn)。，使直線尸。與平面A8CD所成角為二.

3

若ABV2我，則直線BC上存在兩不同點(diǎn)。，使直線PQ與平面A8CC所成角都為工.

3

結(jié)合選項(xiàng)可知，。的值可以是1,2,3.

故選：ABC.

【點(diǎn)評】本題考查空間中直線與平面所成角，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題.

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.（5分）口袋中有若干紅球、黃球與藍(lán)球，摸出紅球的概率為0.4,摸出黃球的概率為0.2,

則摸出紅球或藍(lán)球的概率為0.8.

【分析】利用互斥事件概率計(jì)算公式和對立事件概率計(jì)算公式能求出摸出紅球或藍(lán)球的

概率.

【解答】解：口袋中有若干紅球、黃球與藍(lán)球，

摸出紅球的概率為0.4,摸出黃球的概率為0.2,

摸出紅球或藍(lán)球的概率為P=1-0.2=0.8.

故答案為：0.8.

【點(diǎn)評】本題考查概率的求法，考查互斥事件概率計(jì)算公式和對立事件概率計(jì)算公式等

基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

14.（5分）已知點(diǎn)A（l,3）與直線/：3x+y+4=0,則點(diǎn)A關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為（-

5,1)

【分析】設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為Q（a,b）,可得3X31L+且3+4=0,^1

22a-1

=工，聯(lián)立解得小b.

3

【解答】解：設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為Q（a,b）,則3X311+^13+4=0,上3

22a-1

_1

3

聯(lián)立解得a=-5,b—\.

...點(diǎn)A關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為（-5,1）.

故選：

【點(diǎn)評】本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查了推理能力

與計(jì)算能力，屬于中檔題.

15.（5分）如圖，為測量兩座山頂之間的距離A/C,已知山高8c=5'京機(jī)，MN=15km,

從觀測點(diǎn)A分別測得M點(diǎn)的仰角NM4V=30°,C點(diǎn)的仰角NCAB=45°以及NK4C=

60°,則兩座山頂之間的距離

【分析】由題意，可先求出AC、AM的值，從而由余弦定理可求MC的值.

【解答】解：在RtZ\ABC中，ZCAB=45°,BC=5-/^m,所以AC=10h".

在RtAAMN中，NMAN=30°,MN=1.5km,所以AM=15fon,

在△MCA中，AM=\5km,AC=l0km,NMAC=60°

由余弦定理得：MC2=AM2+AC2-2AAfACcos60°=225+100-2X15X10X工=175切？

2

...山頂間距MC=5y/7-

故答案為：5。^.

【點(diǎn)評】本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用，屬于中檔題.

16.（5分）如圖，三棱錐B-4CD中，平面BCDJ_平面4CD,CD=6,N8OC=60°,若

AC^2AD,則該三棱錐的體積的最大值為』

【分析】由題意畫出圖形，結(jié)合已知求得△BC。為直角三角形，再由已知求得A點(diǎn)的軌

跡，得到A到C。距離的最大值，則答案可求.

【解答】解：如圖，在△8C。中，設(shè)BD=m,則

222

又CZ>=6,ZBDC=60°,(^3m)=m+6-2*6,m*cos600,

即《?+3機(jī)-18=0,解得〃?=3或，〃=-6(舍).

：.BD=3,BC^373>8=6.

則81^+3^=CD2,即N。8c為90°.

在平面AC。中，以8中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以C。所在直線為x軸，

以CD的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

貝I」C(-3,0),D(3,0),設(shè)A(x,y),

由AC=2AD,得J(x+3)2+丫2=聞6-3)2+y*

即(x-5)2+),2=]6,則A在以(5,0)為圓心，以4為半徑的圓上.

要使三棱錐的體積取最大值，則A到CD的距離最大為4.

...該三棱錐的體積的最大值為v=lx—X3X3V3X4=6/§-

故答案為：6^3-

【點(diǎn)評】本題考查多面體體積最值的求法，考查軌跡方程的求法，考查空間想象能力與

思維能力，是中檔題.

四、解答題(本大題共6小題，計(jì)70分.應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.)

17.(10分)已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,2cosACccosB+bcosC)=

a.

(1)求角A；

(2)若。=2仃，△ABC的面積為JE，求△4BC的周長.

【分析】(1)由已知結(jié)合和差角公式進(jìn)行化簡可求cosA,進(jìn)而可求A；

(2)由已知結(jié)合三角形的面積公式可求be,然后結(jié)合余弦定理可求6+c,進(jìn)而可求周長.

【解答】解(1)由已知及正弦定理得：2cosA(sinCcosB+sinBcosC)=sinA,

2cosAsin(B+C)=sinA,

在△ABC中，sin(B+C)=sin(TT-A)=sinA,

2cos4sinA=siaA,

VsinA^O,

?41

,?cosA=q，

VAG(0,n),

,/兀

"可

⑵7SAABC^-besinA)

.171r-

?,ybcsin-^-^3'

：.bc=4,

由已知及余弦定理得：12=廬+02-2bccosA,

?">12=(b+c)2-2bc-2bccos^_,

；.b+c=2V^，

AABC的周長為2?+2A/6.

【點(diǎn)評】本題主要考查了和差角公式，余弦定理及三角形的面積公式在求解三角形中的

應(yīng)用，屬于中檔試題.

18.(12分)已知矩形ABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)E(1,0),AD邊所在直線的方程為

2x+y+2=0.點(diǎn)F(2,-1)在AB邊所在直線上.求：

(1)AB邊所在直線的方程；

(2)8邊所在直線的方程.

【分析】(1)由邊AO所在直線方程及AOJ_AB,求得AB邊所在直線當(dāng)斜率，再由直線

方程的點(diǎn)斜式求AB邊所在直線的方程；

(2)由AB〃CD,設(shè)直線C。的方程為x-2j+"?=0,再由E到AB與C。的距離相等列

式求得加值，則答案可求.

【解答】解：⑴???ABC。為矩形，

??工。邊所在的直線方程為：2x+y+2=0,所在直線的斜率為女妞=/.

VF(2,-1)在48邊所在直線上，邊所在直線的方程為：y+1=-l(x_2),

即x-2y-4=0；

(2)...A8CD為矩形，設(shè)直線CD的方程為x-2y+m=0.

由矩形性質(zhì)可知點(diǎn)￡到AB、CO的距離相等，明了』網(wǎng).

VWVW

解得m=2或m=-4(舍).

???CD邊所在的直線方程為x-2y+2=0.

【點(diǎn)評】本題考查直線平行、垂直與斜率的關(guān)系，訓(xùn)練了利用待定系數(shù)法求直線方程，

是基礎(chǔ)題.

19.(12分)某醫(yī)院為促進(jìn)行風(fēng)建設(shè)，擬對醫(yī)院的服務(wù)質(zhì)量進(jìn)行量化考核，每個患者就醫(yī)后

可以對醫(yī)院進(jìn)行打分，最高分為100分.上個月該醫(yī)院對100名患者進(jìn)行了回訪調(diào)查，

將他們按所打分?jǐn)?shù)分成以下幾組:第一組［0,20),第二組［20,40),第三組［40,60),

第四組［60,80),第五組［80,100］,得到頻率分布直方圖，如圖所示.

(1)求所打分?jǐn)?shù)不低于60分的患者人數(shù)；

(2)該醫(yī)院在第二、三組患者中按分層抽樣的方法抽取6名患者進(jìn)行深入調(diào)查，之后將

從這6人中隨機(jī)抽取2人聘為醫(yī)院行風(fēng)監(jiān)督員，求行風(fēng)監(jiān)督員來自不同組的概率.

八頻率

as

0.0175..................................................

0.01S0..............................................................

0.0123

0.0100---------------------------

0.0075

0.0050------------------

0.0025--------

20406080100分散

【分析】（1）由直方圖知，求出所打分值［60,100）的頻率，然后求解所打分?jǐn)?shù)不低于

60分的患者的人數(shù).

（2）根據(jù)分層抽樣的方法，抽出的6人中，第二組和第三組的人數(shù)之比為1：2,則第二

組有2人，記為A,B；第三組有4人，記為a,b,c,d.列出從中隨機(jī)抽取2人的所有

情況，兩人來自不同組的情況，然后求解兩人來自不同組的概率.

【解答】解（1）由直方圖知，所打分值［60,100）的頻率

為0.0175X20+0.0150X20=0.65,

人數(shù)為100X0.65=65（人）

答：所打分?jǐn)?shù)不低于6（0分）的患者的人數(shù)為65人.

（2）由直方圖知，第二、三組的頻率分別為0.1和0.2,則第二、三組人數(shù)分別為10人

和20人，所以根據(jù)分層抽樣的方法，抽出的6人中，第二組和第三組的人數(shù)之比為1：2,

則第二組有2人，記為A,B；第三組有4人，記為a,b,c,d.

從中隨機(jī)抽取2人的所有情況如下：AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bh,Be,Bd,ah,ac,

ad,he,hd,cd共15種.

其中，兩人來自不同組的情況有：Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Be,Bd共8種.?.兩人來

自不同組的概率為且

15

答：行風(fēng)監(jiān)督員來自不同組的概率為旦.

15

【點(diǎn)評】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了頻率、頻數(shù)與樣本容量的應(yīng)

用問題，古典概型概率的求法，是基礎(chǔ)題.

20.（12分）如圖，在直三棱柱A5C-Ai81cl中，AC=8C=CG=2a,點(diǎn)O

2

為BC中點(diǎn),連接4C、AC1交于點(diǎn)E,點(diǎn)F為。。中點(diǎn).

（1）求證：EF〃平面A8C；

（2）求證：平面4CBJ_平面AC1。；

（3）求點(diǎn)C到平面AGO的距離.

【分析】(1)證明四邊形ACC14為平行四邊形，推出EF//AD,然后證明EF〃平面ABC.

(2)證明A1C_LACi.CiC_L平面ABC,推出CiC±BC,8C_LAC,證明BCL平面ACCAi.得

至結(jié)合4CJ_ACi,證明ACiL平面ACS,然后證明平面AC1O_L平面4cB.

(3)法一：連接。E,設(shè)點(diǎn)C到平面AGO的距離為人通過力,_=Vr_4r亦轉(zhuǎn)化

1I

求解點(diǎn)C到平面A。。的距離.

方法二：作CGLAZ),垂足為G,連接CiG,作CHLCiG,垂足為H.推出CHJ_平面

AC\D,CH為點(diǎn)C到平面4。。的距離，通過求解三角形求解即可.

【解答】解：(1)證明：：直三棱柱ABC-AiBCi,.?.四邊形4CC1A1為平行四邊形，

...E為4cl的中點(diǎn)，

：尸為OC1的中點(diǎn)，EF//AD,

又EFC平面ABC,AOu平面ABC,

；在〃平面ABC.

(2):四邊形ACC1A1為平行四邊形，AC=CC1,

???平行四邊形ACC14為菱形，即AiCLACi.

:三棱柱ABC-AiBiCi為直三棱柱，

.?.CiCJ_平面ABC,

BCu平面ABC,；.CiClBC,

??/jr

?ZACB=-^->

.'.BC-LAC,

VBCICiC,CiCClAC^C,

CiC,ACu平面ACC14,

，BC_L平面4CC1A1.

YACiu平面ACCiAi,ABClACi,

VAiCXACi,BCHA\C=C,

BC,AiCu平面AiCB,...ACi，平面4CB,

YACiu平面AC13,...平面AC1OJ_平面A\CB.

（3）法一：（等體積法）連接OE,設(shè)點(diǎn)C到平面AC1O的距離為人,

臼

???C1CJ_平面ABC,CA,COu平面ABC,

ACiClCA,CiC±CD,CiC為三棱錐G-AC。高，

在直角△C1C4中，AC=CC\=2a,/.=2^2

在直角△ClCZ）中，CD=a,CC1=2〃，-*?QJ）:=\^5a

在直角△ACC中，CD=a,AC=2a,：.AD=V5a./.c；AACD=a2

在等腰△AC。中，DA=D"=^a,ACi=2企a，

..DE=V3a1??S=V6a2,,V_=V_

ADACcACDCACD'

11

2灰

.112aXa

幡XC/XSAO號XhXSgDhqhTa，

.?.點(diǎn)C到平面A。。的距離為逅a-

3a

方法二：（綜合法）作CG，A。，垂足為G,連接CiG,作C//LC1G,垂足為

K

AB

CiCJ_平面ABC,AQu平面4BC,

：.C\C±AD,

,：CG±AD,CGCCiC=C,CG,CiCu平面CiCG,

平面CCG,

；CHu平面CiCG,：.ADLCH,

:CHLCiG,ADClCiG=G,C\G,AOu平面AC1￡）,

CH_L平面AC\D即CH為點(diǎn)C到平面ACiD的距離，

在直角△AC。中，CG華；在直角aCiCG中，cC=2a,CG二算，

V51v5

.cJlCXCG2ax,逅

%G二信a''

.?.點(diǎn)C到平面A。。的距離為返a-

3

【點(diǎn)評】本題考查直線與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，直線與平面平行的判斷定理的應(yīng)

用，空間點(diǎn)線面距離的求法，考查空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想以及邏輯推理能力.

21.（12分）如圖，我炮兵陣地位于A處，兩移動觀察所分別設(shè)于C,D.已知△4CO為正

三角形.當(dāng)目標(biāo)出現(xiàn)于8時，測得BC=1千米，BO=2千米.

（1）若測得NQBC=60°,求的面積；

（2）若我方炮火的最遠(yuǎn)射程為4千米，試問目標(biāo)B是否在我方炮火射程范圍內(nèi)？

【分析】（1）由已知結(jié)合余弦定理及三角形的面積公式可求；

（2）由已知結(jié)合余弦定理及正弦定理可表示AB,然后結(jié)合輔助角公式進(jìn)行化簡后，利

用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求.

【解答】解（1）在△BCD中，根據(jù)余弦定理得：CD'BCZ+BD2-2BD?BC?cosNDBC,

5=1+4-2=3,

VBD2=CD2+BC^,

../BCD丁,

?17—/兀兀、

,,S^ABC

(2)設(shè)/CBC