2020-2021學(xué)年江蘇省常州市溧陽市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（附答案詳解）

2020-2021學(xué)年江蘇省常州市漂陽市高二（上）期末數(shù)學(xué)

試卷

一、單選題（本大題共20小題，共100.0分）

1.命題“Vx>0,log?》>?！钡姆穸ㄊ牵ǎ?/p>

A.V%>0,log2x<0B.V%<0,log2x<0

C.3%>0,log2x<0D.<0,log2x<0

2.雙曲線?一?=1的焦距為（）

A.10B.V7C.2^/7D.5

3.某校有學(xué)生800人，其中女生有350人，為了解該校學(xué)生的體育鍛煉情況，按男、

女學(xué)生采用分層抽樣法抽取容量為80的樣本，則男生抽取的人數(shù)是（）

A.35B.40C.45D.60

4.某興趣小組從包括甲、乙的小組成員中任選3人參加活動，若甲、乙至多有一人被

選中的概率5，則甲、乙均被選中的概率是（）

A.410B.410C.12D.410

5.“橢圓式+正=1的離心率為在”是“m=4”的（）

9m3

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

6.某工廠從一批產(chǎn)品中抽取一個容量為n的樣本，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)分成[2,4）,[4,6）,[6,8）,

[8,10）,[10,12]四組，得到頻率分布直方圖如圖所示.若樣本數(shù)據(jù)落在[6,10）內(nèi)的個

數(shù)是66,則?1=（）

A.150B.300C.600D.1200

7.某籃球隊有籃球運動員15人，進行投籃訓(xùn)練，每人投籃100個，命中球數(shù)如表:

命中球數(shù)90959798100

頻數(shù)12372

則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別為（）

A.97,2B.98,2C.97,98D.98,98

8.已知拋物線C：y2=4x,過點力（1,1）的直線/與拋物線C交于M,N兩點，若A為

線段的中點，則直線/的斜率是（）

A.iB.2C.-D.4

24

9.已知某企業(yè)有職工8000人，其職工年齡情況和綠色出行情況分別如圖1和圖2所

示，則下列說法正確的是（）

A.該企業(yè)老年職工綠色出行的人數(shù)最多

B.該企業(yè)青年職工綠色出行的人數(shù)最多

C.該企業(yè)老年職工綠色出行的人數(shù)和青年職工綠色出行的人數(shù)之和與中年職工綠

色出行的人數(shù)相等

D.該企業(yè)綠色出行的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的80%

10.已知。為△ABC內(nèi)一點，且瓦5+2而+3元=6,現(xiàn)將一粒黃豆隨機撒在AABC內(nèi),

則黃豆落在AAB。內(nèi)的概率為（）

A.：B.iC.iD.I

6323

11.在三棱錐P-ABC中，PA,AB,AC兩兩垂直，。為棱PC上一動點，PA=AC=2,

4B=3.當(dāng)3。與平面PAC所成角最大時，AO與平面尸8c所成角的正弦值為（）

A.叵B.出C.2D.包

11111111

12.已知橢圓C；竽+[=1的右焦點是凡直線丫=依（卷0）與橢圓（7交于4B兩

3620

點，則14H2+2|B尸|2的最小值是（）

A.36B.48C.72D.96

第2頁，共38頁

13.設(shè)XWR,貝IJ“2方>4”是“％2+2%-3>0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

14.已知等差數(shù)列｛an｝的前n項和為若%=12,S5=90,則等差數(shù)列｛an｝的公差d=

A.2B.|C.3D.4

15.若對于任意的xe[0,2],不等式/一2x+a>0恒成立，則“的取值范圍為（）

A.（-00,1）B.（1,4-00）C.（0,4-00）D.[1,+00）

16.著名物理學(xué)家李政道說：“科學(xué)和藝術(shù)是不可分割的”.音樂中使用的樂音在高度

上不是任意定的，它們是按照嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法確定的，我國明代的數(shù)學(xué)家、音樂理

論家朱載填創(chuàng)立了十二平均律是第一個利用數(shù)學(xué)使音律公式化的人，十二平均律的

生律法是精確規(guī)定八度的比例，把八度分成13個半音，使相鄰兩個半音之間的頻

率比是常數(shù),如表所示,其中%,a2,…,%3表示這些半音的頻率，它們滿足（管=

2。=1,2，…,12）.若某一半音與D#的頻率之比為短，則該半音為（）

頻率的?4a7。8alQ的ia12a13

半音CC#DnEFG（;ABc（八度）

A.F#B.GC.G#D.A

17.已知在正方體ABCD-a/iGDi中，M,N分別為47,AC上的點，且滿足=

3MD,AN=2NC,則異面直線MN與Q。1所成角的余弦值為（）

A.獨B.匹C.—交

553

18.航天器的軌道有很多種，其中“地球同步轉(zhuǎn)移軌道”是

一個橢圓軌道，而且地球的中心正好是橢圓的一個焦點

小若地球的半徑為r,地球同步轉(zhuǎn)移軌道的遠(yuǎn)地點4（即

橢圓上離地球表面最遠(yuǎn)的點）與地球表面的距離為;r,近

地點B與地球表面的距離為打，則地球同步轉(zhuǎn)移軌道的離心率為（）

8

A-3

19.設(shè)。為坐標(biāo)原點，直線x=a與雙曲線C：條一總=1缶>0?>0）的兩條漸近線分

別交于。，E兩點，若△ODE的面積為8,貝嚀+加最小值為（）

A-fB.V2C.苧D.2夜

20.如圖，已知直三棱柱ZBC-AiBiG中，P是底面從B1G內(nèi)一

動點，直線PA和底面ABC所成角是定值，則滿足條件的點

尸的軌跡是（）

A.直線的一部分

B.圓的一部分

C.拋物線的一部分

D.橢圓的一部分

多選題（本大題共4小題，共20.0分）

21.下列結(jié)論正確的是（）

12

則-<-

A.若Q>b>0,Q匕

B.右小b>0,4b+a=ab,則a+b的取小值為10

C.函數(shù)/（x）=W+x的最小值是3

D.若a>b>c,Q+Z?+C=0,則a-cb—c

22.如圖，正方體4。。。-4當(dāng)6。1的棱長為1,則下列四個命題正確的是（）

A.直線8c與平面4BC也所成的角等于:

B.點C到面ABC"］的距離為立

第4頁，共38頁

C.兩條異面直線。傳和BG所成的角為?

D.二面角C—BCi—。的平面角的余弦值為一日

23.已知曲線C；—+=1,()

mn

A.若?71>九>0,則。是焦點在X軸上的橢圓

B.若m=2n(n>0),則C是橢圓，且其離心率為當(dāng)

C.若mn<0,則C是雙曲線，其漸近線方程為過+”=0

mn

D.若m=—2n,則C是雙曲線，其離心率為百或漁

2

24.已知等比數(shù)列｛斯｝的公比q=-%等差數(shù)列｛為｝的首項仇=18,若。8>為且。9>

仇，則以下結(jié)論正確的有()

A.CLQ>(Z9B.Gg,Ug<0C.bg>Z)gD.瓦。<0

三、單空題(本大題共8小題，共40.0分)

25.某校歌手大獎賽上，選手A的得分分別為9.4,9.5,9,0,8,7,9.8,則選手A的平

均分是.

26.在四棱錐P-4BC0中，底面ABCO是矩形，。為矩形ABCQ外接圓的圓心.若評=

x~AB+y~AD+zAP>則x+y-z=.

27.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S=.①的]

丁

/輸*s]

28.已知雙曲線C：5一?=1的左、右焦點分別是a,尸2，點M關(guān)于a,七對稱的點

分別是A,B,線段MN的中點在雙曲線C的右支上，則|AN|-|BN|=.

29.己知點4(1,2,3),8(0,1,2),AP=PB,則|前|=.

30.已知雙曲線C過點(3,迎)且漸近線為y=±?x,則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

31.某市要建一個橢圓形場館，其中橢圓的長軸長為200米，短軸長為120米.現(xiàn)要在該

場館內(nèi)劃定一個頂點都在場館邊界上的矩形區(qū)域，當(dāng)這個區(qū)域的面積最大時，矩形

的周長為米.

32.如圖，已知直線/：、=乂與曲線。：y=logix,設(shè)P］為曲線C上縱坐標(biāo)為1的點，

2

過P1作y軸的平行線交/于Q2,過Q2作y軸的垂線交曲線C于「2；再過P2作了軸的

平行線交/于點Q3,過Q3作y軸的垂線交曲線C于P3；……，設(shè)點Pl，P2,P3,…，

匕的橫坐標(biāo)分別為由,a2,。3，…若。2019=t?則。2020=用［表示).

四、解答題(本大題共12小題，共140.0分)

22

33.已知p：\TH—1|>>0),q：方程---1—--=1表示雙曲線.

5-mm-2

(1)若4是真命題，求機的取值范圍；

(2)若p是q的充分不必要條件，求Q的取值范圍.

34.某地區(qū)臍橙近幾年的產(chǎn)量統(tǒng)計如表:

年份20152016201720182019

年份代碼X12345

年產(chǎn)量y(萬噸)77.17.27.47.8

第6頁，共38頁

(1)求年產(chǎn)量y(萬噸)關(guān)于年份代碼X的線性回歸方程y=bx+a；

(2)根據(jù)(1)中所求的回歸方程預(yù)測該地區(qū)2021年臍橙的年產(chǎn)量.

參考公式Sxv=X，計比以+…=--44入4)2+…b=冬a

nxnsx

y—bx?

35.已知拋物線C：丫2=2「雙口＞0)的焦點為產(chǎn)，點｛4M)在拋物線(；.上，且△OAF的

面積為12(。為坐標(biāo)原點).

(1)求拋物線C的方程；

(2)直線/：、=/?:+1與拋物線(7交于聞，N兩點，若OM10N,求直線/的方程.

36.某校為了了解高三學(xué)生某次月考數(shù)學(xué)成績的情況，抽取這次月考100名學(xué)生的數(shù)學(xué)

成績(分?jǐn)?shù)都在［50,150］內(nèi))，按數(shù)學(xué)成績分成［50,70),［70,90),［90,110),［110,130),

［130,150］這5組，得到頻率分布直方圖如圖所示.

(1)估計這次月考該校高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)(結(jié)果保留一位小數(shù))；

(2)若從數(shù)學(xué)成績在［110,150］內(nèi)的學(xué)生中采用分層抽樣的方法隨機抽取5人，再從

這5人中隨機抽取2人，求至少有1人的數(shù)學(xué)成績在［130,150］內(nèi)的概率.

37.如圖，在三棱柱ABC—ABiG中，平面BCGBi_L平面ABC,

底面48c是等邊三角形，側(cè)BCGBI是菱形，且NBiBC=60。,

。是BC的中點.

(1)證明：〃平面4的0；

(2)求二面角4一4的一。的余弦值.

38.已知橢圓C；'+卷=l(a>b>0)的離心率為今短軸長為2.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)點。(4,0),斜率為左的直線/不過點D,且與橢圓C交于A,B兩點,44。。=4BDO；

第8頁，共38頁

(。為坐標(biāo)原點).直線/是否過定點？若過定點，求出定點坐標(biāo)；若不過定點，說明

理由.

39.在①a”+i-a”=一￡，②cin+i=即+n-8,③誓'=一［這三個條件中任選一個,

3Un4

補充下面的問題：設(shè)分是數(shù)列｛an｝的前〃項和，且g=4,,補充完后.

(1)求｛an｝的通項公式；

(2)判斷又是否存在最大值(說明理由).

40.如圖，在四棱錐S—ABCD中，底面ABC。是邊長為4

的正方形，SDABCD,E,尸分別為AB,SC的中

點.

(1)證明：EFLCD.

(2)若SD=8,求直線EF與平面A8C。所成角的正弦值.

EB

41.已知數(shù)列｛。"的前“項和無滿足店=aH+2(7iN2,n€N),且臼=4.

(1)求數(shù)列｛即｝的前n項和S”及通項公式即

(2)記勾=7^，”為｛4｝的前〃項和，求疆.

an-an+l

42.如圖，在四棱錐S—ABCD中，ABCD為直角梯形，

AD//BC,BC1CD,平面SCO_L平面ABC。，xSCD是

以C￡＞為斜邊的等腰直角三角形，BC=2AD=2CD=4,

E為線段BS上一點，BE=AES.

(1)若4=2,證明：SD〃平面ACE；

(2)若二面角S-AC—E的余弦值為求;I的值.

第10頁，共38頁

43.圓錐曲線有著令人驚奇的光學(xué)性質(zhì)，這些性質(zhì)均與它

們的焦點有關(guān).如：從橢圓的一個焦點處出發(fā)的光線照

射到橢圓上，經(jīng)過反射后通過橢圓的另一個焦點；從

拋物線的焦點處出發(fā)的光線照射到拋物線上，經(jīng)反射

后的光線平行于拋物線的軸.某市進行科技展覽，其中

有一個展品就利用了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，此展品的

一個截面由一條拋物線G和一個“開了孔”的橢圓C2構(gòu)成(小孔在橢圓的左上方).

如圖，橢圓與拋物線均關(guān)于x軸對稱，且拋物線和橢圓的左端點都在坐標(biāo)原點，

尸2為橢圓C2的焦點，同時&也為拋物線G的焦點，其中橢圓的短軸長為2b，在尸2處

放置一個光源，其中一條光線經(jīng)過橢圓兩次反射后再次回到尸2經(jīng)過的路程為8.由尸2

照射的某些光線經(jīng)橢圓反射后穿過小孔，再由拋物線反射之后不會被橢圓擋住.

(1)求拋物線G的方程；

(2)若由尸2發(fā)出的一條光線經(jīng)由橢圓上的點P反射后穿過小孔，再經(jīng)拋物線上的

點。反射后剛好與橢圓相切，求此時的線段Q&的長；

(3)在(2)的條件下，求線段PQ的長.

44.已知橢圓C：捻+3=1((1>/7>0)的右焦點尸的坐標(biāo)為(1,0),左焦點為尸'，且橢

圓C上的點與兩個焦點F,F'所構(gòu)成的三角形的面積的最大值為舊.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)如圖，己知尸，。兩點是位于x軸同側(cè)的橢圓上的兩點，且直線PF,QF的斜率

之和為0,試問APFQ的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值：若不存

在，請說明理由.

第12頁，共38頁

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：命題是全稱命題，

則否定是：3x>0,log2x<0,

故選：C.

根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題進行判斷即可.

本題主要考查含有量詞的命題的否定，根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題是解決本題的關(guān)

鍵，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程下，由c2=a2+b2,易于求得C,而雙曲線的焦距是2c,則問題

解決.

【解答】

解：由題意得c2=+岳=16+9=25,

所以c=5,則雙曲線的焦距為2c=10.

故答案選：A.

3.【答案】C

【解析】解：某校有學(xué)生800人，其中女生有350人，為了解該校學(xué)生的體育鍛煉情況，

按男、女學(xué)生采用分層抽樣法抽取容量為80的樣本，

則男生抽取的人數(shù)是80x端把=45,

80。

故選：C.

用樣本容量乘以男生所占的比列，即為所求.

本題主要考查分層抽樣的定義和方法，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，記“甲、乙均被選中”為事件A,

則］為甲、乙沒有都被選中，即甲、乙至多有一人被選中，則P（1）=V，

則P（G=.

故選:B.

根據(jù)題意，記“甲、乙均被選中”為事件A,分析其對立事件7,由對立事件的概率性

質(zhì)分析可得答案.

本題考查對立事件的概率性質(zhì)，注意分析事件之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：因為橢圓至+竺=1的離心率為更，

9m3

所以F4或

解得m=4或?n=

4

故“橢圓三+”=1的離心率為正”是“巾=4”的必要不充分條件.

9m3

故選：C.

先等價轉(zhuǎn)化橢圓g+g=1的離心率為更,再利用充分條件與必要條件的定義判斷即可.

97713

本題考查了充分條件與必要條件的判斷，解題的關(guān)鍵是掌握充分條件與必要條件的判斷

方法，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解：由頻率分布直方圖得：

［6,10）內(nèi)的頻率為：（0.12+0.10）x2=0.44,

?樣本數(shù)據(jù)落在［6,10）內(nèi)的個數(shù)是66,

：?n=a-=150.

0.44

故選：A.

由頻率分布直方圖得［6,10）內(nèi)的頻率為0.44,再由樣本數(shù)據(jù)落在［6,10）內(nèi)的個數(shù)是66,

第14頁，共38頁

能求出n.

本題考查頻數(shù)的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是

基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：由表中數(shù)據(jù)知，這組數(shù)據(jù)按照從小到大排列后,

排在中間的位置是98,所以中位數(shù)是98；

出現(xiàn)次數(shù)最多的是98,所以眾數(shù)是98.

故選：D.

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，利用中位數(shù)和眾數(shù)的定義，寫出即可.

本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)的定義與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

8.【答案】B

【解析】解：由于/<4x2,可得P在拋物線C：V=4x的開口之內(nèi)，

設(shè)N(X2，y2)，則資=4%1，yl=4x2,

相減可得(%-y2)Oi+丫2)=4(%i-x2),

由P為MN的中點可得力+、2=2,

則直線/的斜率為邛=*7=3=2，

xi~x2yi+yzn

故選：B.

判斷P在拋物線的開口之內(nèi)，設(shè)出M,N的坐標(biāo)，運用點差法，結(jié)合線段的中點坐標(biāo)公

式和直線的斜率公式，計算可得所求值.

本題考查拋物線的方程和運用，以及直線和拋物線的位置關(guān)系，線段的中點坐標(biāo)公式和

直線的斜率公式，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題.

9.【答案】D

【解析】解：對于A,該企業(yè)老年職工綠色出行的人數(shù)為:

8000x30%x90%=2160,

該企業(yè)中年職工綠色出行的人數(shù)為：

8000x(1-30%-30%)x80%=2560,

二企業(yè)中年職工綠色出行的人數(shù)大于該企業(yè)老年職工綠色出行的人數(shù)，故A錯誤；

對于8,該企業(yè)青年職工綠色出行的人數(shù)為：

8000x30%x70%=1680人，

???該企業(yè)中年職工綠色出行的人數(shù)最多，故8錯誤.

對于C,該企業(yè)老年職工綠色出行的人數(shù)和青年職工綠色出行的人數(shù)之和為：

2060+1680=3840人，

中年職工綠色出行的人數(shù)為2560人，故C不相等；

對于D,該企業(yè)綠色出行的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的：216°+:：：+168°義I。。％=80%,故。正確.

oOOu

故選：D.

利用企業(yè)職工年齡情況的扇形統(tǒng)計圖和綠色出行情況的條形圖直接求解.

本題考查命題真假的判斷，考查扇形統(tǒng)計圖、條形圖等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力,

是基礎(chǔ)題.

10.【答案】C

【解析】解：如圖.A，M,N是圓O的圓周上的三等分點，B為

0M的中點，

ON=30C，此時滿足萬？+2而+3元=6，

設(shè)圓。的半徑r=3,則4AB。的面積為二x3x三x@

2228

△48。的面積為這+3*3*1乂立+三*三*1*更=辿，

8222224

9近

則黃豆落在△ABO內(nèi)的概率P=蚩=也

4

故選：C.

根據(jù)向量關(guān)系，作出圖象，求出三角形的面積，利用幾何概型的概率公式進行計算即可.

本題主要考查幾何概型的概率的計算，求出相應(yīng)的三角形的面積，結(jié)合概率公式是解決

本題的關(guān)鍵，是中檔題.

11.【答案】c

第16頁，共38頁

【解析】解：???在三棱錐P-ABC中，PA,AB,AC

兩兩垂直,

AB1平面PAC,BD與平面PAC所成角為N40B,

4e483

tanZ-ADrlB=—=—

ADAD

當(dāng)A。取得最小值時，NADB取得最大值,

在等腰RtAPAC中，當(dāng)。為PC的中點時，A。取最小值,

以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則4(0,0,0),8(3,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),0(0,1,1),

則而=(0,1,1),PC=(0,2,-2),fit=(-3,2,0),

設(shè)平面尸BC的法向量亢=(x,y,z),

nPC=2y-2z=0

則取y=3,得針=(2,3,3),

ri-沃=-3%+2y=0

五拓_6_3VH

VCOS

<n,AD>=\n\'\AD\-V22V2—11

二當(dāng)BD與平面幺C所成角最大時,4。與平面P8C所成角的正弦值為警.

故選：C.

由AB_L平面尸AC,得80與平面PAC所成角為乙4DB,當(dāng)A。取得最小值時，乙4DB取

得最大值，在等腰RtAPAC中，當(dāng)。為PC的中點時，取最小值，以A為原點，AB

為x軸，AC為y軸，A尸為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出當(dāng)8。與平

面PAC所成角最大時，AO與平面PBC所成角的正弦值.

本題考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知

識，考查運算求解能力，是中檔題.

12.【答案】D

【解析】解：由對稱性可知，|4F|+\BF\=2a=12,

設(shè)|BF|=m,則|4F|=12-m,

：.\AF\2+2\BF\2=(12-m)2+2m2=3(m-4)2+96,

由題意可知：a-c<m<a+c,即2cm<10,

??.|4F|2+2|BF|2的最小值為96.

故選：D.

由橢圓的對稱性可知，\AF\+\BF\=2a,可將代數(shù)式+2|BF|2換成含有一個變量

的式子，利用二次函數(shù)求最值的方法直接求解.

本題考查了橢圓的定義，直線與橢圓的對稱性，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】A

【解析】解：由2》>4=%>2,

由/+2x-3>0=(x-1)(%+3)>0,解得：x<-3或x>1,

由x>2,能夠推出/+2x-3>0,

故“2工>4”是+2%-3>0”的充分條件,

由x<-3或x>l,不能夠推出差>4,

故“2*>4”是+2刀一3>0”的不必要條件.

故選：A.

解不等式，根據(jù)取值范圍即可判斷邏輯關(guān)系.

本題考查了不等式的解法，充分條件和必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】C

【解析】解：?.?的=12,S5=90,

5x12+—2d=90,

解得d=3.

故選：C.

利用等差數(shù)列的求和公式即可得出.

本題考查了等差數(shù)列的求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

15.【答案】B

【解析】解：不等式--2%+a>0,轉(zhuǎn)化為a>-x?+2x,

設(shè)/(久)=一/+2x,xe[0,2],則/(x)=—(x—+1,

當(dāng)X=1時，/Q)取得最大值為/(?max=/(I)=1，

所以實數(shù)4的取值范圍是(1,+8).

故選：B.

不等式--2x+a>0恒成立轉(zhuǎn)化為a>-/+2%恒成立，求出/'(x)=—x2+2.x,xG

第18頁，共38頁

[0,2]的最大值，即可得出實數(shù)a的取值范圍.

本題考查了不等式解法與應(yīng)用問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

16.【答案】B

【解析】解：???（箕產(chǎn)=20=1,2，…,12）,

...（署）12=2,...箸=2專，

二數(shù)列｛an｝是公比q=2方的等比數(shù)列，

4

?4—D'，a8=a4Q=D#x（2三）"=D#xV2=G>

???…，

故選：B.

由題意可知等=2招，所以數(shù)列｛即｝是公比q=2專的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項

公式即可求出結(jié)果.

本題主要考查了簡單的合情推理，考查了等比數(shù)列的實際應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

17.【答案】4

【解析】

【分

本題主要考查了異面直線所成角的度量，解題的關(guān)鍵是找出異面直線所成角，同時考查

了學(xué)生的運算求解的能力.

根據(jù)異面直線所成角的定義先找出所成角，取線段AO上一點E,使4E=2ED,連接

ME、NE,NMNE為異面直線MN與GDi所成角，然后解三角形即可求出所求.

【解答】

解：取線段A。上一點E,使4E=2ED,連接ME、NE,如圖所示：

因為&D=3MD,AN=2NC,

CNDE1

所以港=就=而=9

所以NE〃CD,MEf/AA^又CD〃C\D[,

所以NMNE為異面直線用N與GDI所成角，

設(shè)正方體的棱長為3m

o-1

則EN=jCZ)=2a,ME==a,

所以在Rt△MNE中，MN=VME2+EN2=y/a2+(2a)2=遍a,

所以cos/MNE=—=空

MN5

故選：A.

18.【答案】D

【解析】解：由題意可得：\AFr\=a+c=\+r=|r,

19

\BF-iI=a—c=-r+r=-r,

11188

聯(lián)立解得：a=r,c=^-r,

lolo

所以橢圓的離心率為e=￡=L

a19

故選：D.

利用橢圓的幾何性質(zhì)即可求出用a,c,/?表示的M&|,田&|,聯(lián)立即可求解.

本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)以及學(xué)生的運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

19.【答案】B

【解析】解：雙曲線C的漸近線方程為y=±《x,

???D(a,b)fF(a/—b),

第20頁，共38頁

???△ODE的面積為8,

-a-2b=8,即ab=8,

...工+2=處竺2巫=絲假=企，當(dāng)且僅當(dāng)工=:即。=&，b=4立時，等號成

ababab8ab

立，

.4+加最小值為叵

故選：B.

由雙曲線C的漸近線方程可得點。，E的坐標(biāo)，再由三角形的面積公式推出ab=8,然

后利用基本不等式，即可得解.

本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，還涉及利用基本不等式解決最值問題，考查學(xué)生的邏輯推

理能力和運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

20.【答案】B

【解析】解：設(shè)點P在平面ABC上的投影為P',

因為直線PA和底面A8C所成角是定值，

所以4PAP'為定值，即taMPZP'為定值，

因為PP'為定值，所以4P'也為定值，

設(shè)4P'=a,所以點P'到點A的距離恒為定值a,

又因為P'為點尸在平面ABC的投影，

所以點尸到點4的距離恒為a,

由圓的定義可知，點尸的軌跡為圓的一部分.

故選：B.

設(shè)點P在平面ABC上的投影為P',將直線PA和底面ABC所成角是定值，轉(zhuǎn)化為點P'到

點A的距離恒為定值a,從而得到點P到點4的距離恒為a,即可判斷得到答案.

本題考查了動點軌跡的求解，涉及了空間幾何體的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將直線附和底

面ABC所成角是定值，轉(zhuǎn)化為點P到點%的距離恒為定值.

21.【答案】AD

【解析】解：對于A,由a>b>0,則0<工<3故工<3正確，故A正確，

abab

對于8,由。，/?>0,4b+Q=ab='+：=1,a+b=(Q+b)(±+J)=5+"+f之

ab、八ab，ab

5+4=9,故8錯誤，

對于C,當(dāng)％<0時，/(%)<0,故C錯誤，

對于D,由Q>b>c=Q—c>0,b—C>0,Q—c>b—c,所以由a>b>c,

a—cb-c

Q+b+c=0=cV0,所以/->三，故。正確.

a-cb-c

故選：AD.

A利用不等式的基本性質(zhì)可判斷，B利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出，C

利用特殊值可判斷，。利用不等式的基本性質(zhì)可判斷.

本題考查了基本不等式的性質(zhì)，不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

22.【答案】AB

【解析】解：如圖，取BQ的中點”，連接CH,易證

CH_L平面ABCi%

所以NC/C是直線BC與平面4BQ01所成的角，為%

故A正確；

點C到平面4BC1%的距離為CH的長度，為當(dāng)，故3

正確:

易證BCJ/ADi，所以異面直線DiC和BCi所成的角為乙1D1C或其補角,

因為AACDi為等邊三角形，所以兩條異面直線DiC和BQ所成的角為以故C錯誤；

連接。H,由BD=OCi，所以。HIBCi，又CH1BQ,

所以NCHD為二面角C-BG-。的平面角，

易求得在，又CD=1,CH

22

由余弦定理可得COS4CHD=DH2+CHZ-CD2=遺，故。錯誤.

2DHCH3

故選:AB.

根據(jù)線面角的定義及求法即可判斷4由點到平面的距離的求法即可判斷以由異面直

線所成角的定義及求法即可判斷C；由平面角的定義及余弦定理即可判斷D

第22頁，共38頁

本題主要考查命題真假的判斷，空間角與空間距離的求法，屬于中檔題.

23.【答案】ACD

【解析】解：曲線C：-+^=1,

mn

若m>n>0,則。是焦點在r軸上的橢圓，故A正確；

若m=2n(n>0),則C是橢圓，且e=￡=^=遮，故8錯誤；

若mn<0,則C是雙曲線，其漸近線方程為亡+1=0,故C正確；

mn

若m=-2九，則C是雙曲線，當(dāng)n>0,可得雙曲線的焦點在y軸上，

可得6=率=6，當(dāng)n<0,可得雙曲線的焦點在x軸上，

可得e=2^i=在，故。正確.

故選：ACD.

由m>n>0,可得C為焦點在x軸上的橢圓，可判斷A；由7n=2n(n>0),求得離心

率,可判斷B；由mn<0,求得雙曲線的漸近線方程,可判斷C；由m=-2n,討論n>0,

n<0,求得離心率，可判斷。.

本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查方程思想、分類討論思想和運算能力，屬于中檔題.

24.【答案】8Q

【解析】解：因為等比數(shù)列｛an｝的公比q=-p所以a8-a9<0,B正確；

設(shè)等差數(shù)列｛b｝的公差為d,所以的(一》7>i8+7d,%(-｝8>i8+8d,

顯然為H0,若%>0,則18+7dV0,即d<0,所以為一仇=d<0,bio=18+9d=

18+7d+2d<0,a8<a9,

若的<0,則18+8d<0,即dV0,所以優(yōu)一仇=d<0,與0=18+9d=18+8d+

d<0,a8>a9,

所以A無法確定，C錯誤，D正確.

故選：BD.

由等比數(shù)列｛an｝公比為負(fù)數(shù)，可知B正確；設(shè)等差數(shù)列出n｝的公差為由根據(jù)題意可得，

Q1(一3)7>18+7d,。式—&)8>18+8df

就的的正負(fù)分類討論，即可判斷人0<0,d<0,所以C錯誤，O正確，4無法確定.

本題主要考查等差數(shù)列，等比數(shù)列通項公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

25.【答案】9.28

【解析】解：由題意計算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是

-1

x=|x(9.4+9.5+9.0+8.7+9.8)=9.28.

故答案為：9.28.

根據(jù)平均數(shù)的定義計算即可.

本題考查了平均數(shù)的計算問題，是基礎(chǔ)題.

26.【答案】一2

【解析】

【分析】

本題主要考查空間向量的加減法以及數(shù)乘運算，考查空間向量的基本定理，屬于中檔題.

由已知可得。為對角線AC與8。連線的交點，由向量加法的三角形法則和平行四邊形

法則求解即可.

【解答】

解：因為底面A2CO是矩形，。為矩形A3C。外接圓的圓心，

所以。為對角線AC與連線的交點，且。為80中點，

如下圖所示：

所以而=-P0=+PD)

第24頁，共38頁

=-^(AB-AP+AD-AP)

=--AB--AD+AP,

22

又OP=xAB-VyAD+z4P，

所以x=-5y=z=i,

所以x+y-z=-2.

故答案為-2.

27.【答案】190

【解析】解：模擬程序的運行，可得該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量5=

1+1+2+3+4+…+19的值，

可得s=1+24-3+4+-+19=^22=190.

故答案為：190.

由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量S=1+2+

3+4+-+19的值，利用等差數(shù)列的求和公式即可求解.

本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，考查了等差數(shù)列的求和，解題時應(yīng)模擬程序框圖的運

行過程，以便得出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題.

28.【答案】16

【解析】解：設(shè)MN的中點為P,連接PF1，PF2,

??點M關(guān)于&,尸2對稱的點分別是A,B,

??.Fi，?2分別為AM,的中點，

\AN\=2\PFT\,\BN\=2\PF2\,

由雙曲線的定義知，|PFJ—|PF2|=2a=8,

二|4N|-\BN\=2x8=16.

=2\PFA\-2\PF2\

故答案為：16.

設(shè)MN的中點為尸，連接PFi，+6,由中位線的性質(zhì)知，|4N|=2|P&|,|BN|=2|P4|，

再結(jié)合雙曲線的定義，得解.

本題考查雙曲線的定義，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想、邏輯推理能力和運算能力，屬于中

檔題.

29.【答案】3

2

［解析］解:設(shè)P(x,y,z),而=(X-1,y-2,z-3),而=(一x,1—y,2—z),且*'=PB,

(%—1,y—2,z—3)=(—%,1—y,2—z),

(i

x=-2

(x—1=-x3

y—2=1-y,解得《y=-,

z—3=2-zs

Iz=-2

...|jp|=^.

故答案為：更.

2

可設(shè)P(x,y,z),然后根據(jù)存=而即可求出x,y,z的值，進而得出向量麗的坐標(biāo)，從

而可得出|而|的值.

本題考查了根據(jù)點的坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)的方法，相等向量的坐標(biāo)關(guān)系，根據(jù)向量的坐標(biāo)

求向量長度的方法，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2

30.【答案】￡—y2=1

【解析】解：根據(jù)題意，雙曲線的一條漸近線方程為為、=土當(dāng)X,

設(shè)雙曲線方程為9一9=4(400),

???雙曲線C過點(3,迎),

第26頁，共38頁

???所求雙曲線方程為W-y2=i.

3J

故答案為：-y2=1.

3J

根據(jù)題意，雙曲線的一條漸近線方程為y=土當(dāng)x,可設(shè)雙曲線方程為9一9=A(2H0),

又由雙曲線過點P,將點P的坐標(biāo)代入可得;I的值，進而可得答案.

本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線的幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于

基礎(chǔ)題，特別要掌握已知漸近線方程時，如何設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

31.【答案】320立

【解析】解：由題意可知，2a=200,2b=120,即a=100,b=60,

22

所以橢圓方程為：命+嬴=1，

即橢圓的參數(shù)方程為：「漂鬻,

所以矩形在第一象限的頂點坐標(biāo)可設(shè)為：器。6(0,今，

根據(jù)對稱性可知矩形的長為2x,寬為2y,

所以矩形的面積S=4xy=12000sin2。，當(dāng)且僅當(dāng)時，面積S取到最大值，

此時，矩形的周長為4a+y)=4x(lOOcos04-60sind)=4x(100xy+60xy)=

320vL

故答案為：320立.

由橢圓的定義，以及橢圓的性質(zhì)，所以矩形的中心在坐標(biāo)原點，且關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，可

將橢圓方程設(shè)為參數(shù)形式，即可解決.

本題考查橢圓的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

32.【答案】2-t

【解析】解：因為R為曲線c-.y=/。。/上縱坐標(biāo)為1的點，所以點匕的橫坐標(biāo)％=p

由題意可得點Qn+i與點匕的橫坐標(biāo)相等，點Qn+i與點Pn+i的縱坐標(biāo)相等,

因為點Qn+i在直線y=x上，所以它的橫縱坐標(biāo)相等，都是an，

從而得到點匕+1的縱坐標(biāo)是與，

點匕+1在曲線c：、=/。9/上，由縱坐標(biāo)得到它的橫坐標(biāo)為G產(chǎn)，

即an+i=^尸"，

若。2019=力則。2020=(2)￡=2

故答案為：2T.

由題意分析可得點益+1的縱坐標(biāo)是即，由點pn+i在曲線c上，由縱坐標(biāo)得

到它的橫坐標(biāo)為(》即，可得遞推公式即+1=(》而，由此可求得結(jié)論.

本題主要考查函數(shù)與數(shù)列的綜合，由題意求出遞推公式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

33.【答案】解：(1)由題意可得(5—機)(加一2)<0,

解得m<2或7n>5.

故m的取值范圍為(一8,2)U(5,+8).

(2)由題意可得p：m>a4-1或?n<—a+1.

因為〃是4的充分不必要條件，

所以(-8,—a+1)u(Q+1,4-oo)基(-co,2)U(5,+oo).

所以「警送2,解得a2

la4-1>5

故a的取值范圍為［4,+8).

【解析】(1)利用含有絕對值的不等式的解法進行求解即可；

(2)先將。進行等價轉(zhuǎn)化為巾>a+1或m<-a+l,然后利用充分條件與必要條件的定

義將P是4的充分不必要條件轉(zhuǎn)化為集合的關(guān)系進行研究，列式求解即可.

本題考查了充分條件與必要條件的應(yīng)用，涉及了絕對值不等式的解法、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程

的理解和應(yīng)用，屬于中檔題.

34.【答案】解：(1)由題意知)=1+2+；+4+5=3,1=7+7.1+7；+7.4+7.8=7.3,

c1X7+2X7.1+3X7.2+4X7.4+5X7.8°~。八℃

SXy=-------------------------3X7.3=0.38,

(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2

Sc專2=----------5--------------=2Q，

Q38——

b=-Y=0.19,a=y-bx=7.3-0.19x3=6.73，

第28頁，共38頁

???年產(chǎn)量y（萬噸）關(guān)于年份代碼為X的線性回歸方程為：y=0.19X+6.73-

（2）由題意可知2021年對應(yīng)的年份代碼為7,即x=7,

則y=0.19X7+6.73=8.06（萬噸），

二預(yù)測該地區(qū)2021年臍橙的年產(chǎn)量為8.06萬噸.

【解析】（1）分別求出，y,Sxy,S3進而求出。，a,由此能求出年產(chǎn)量y（萬噸）關(guān)于

年份代碼為x的線性回歸方程.

（2）2021年對應(yīng)的年份代碼為7,即x=7,由此能預(yù)測該地區(qū)2021年臍橙的年產(chǎn)量.

本題考查回歸方程、年產(chǎn)量的預(yù)測值的求法，考查線性回歸方程等基礎(chǔ)知識，考查運算

求解能力，是中檔題.

m2=8P

i,,12,解得P=2,

(-x-Px|m|=-p2r

所以拋物線C的方程為必=4%；

(2)證