2022-2023學(xué)年山東省濱州市成考專升本高等數(shù)學(xué)二自考真題(含答案)

2022-2023學(xué)年山東省濱州市成考專升本高

等數(shù)學(xué)二自考真題(含答案)

學(xué)校:班級(jí):姓名:考號(hào):

一、單選題(30題)

設(shè)Z=8S(/y),則尊=

1.力

sin(x2y)

A.A.

B，sin，y)

2

c-sin(xj)

-x2sin(x2y)

2設(shè)隨機(jī)變量￡取非負(fù)整*為值.且-土,則￡的數(shù)學(xué)期望-

A.A,-1B.0C,1D,2

3.設(shè)函數(shù)f(sinx)=sin2x,則f'(x)等于()。

A.2cosxB.-2sinxcosxC.%D.2x

4.

已知/(*)=?+lnx,g(x)=e,，則言/[g⑸]等于().

B.I+Je

e

5.

設(shè)函數(shù)二=/(/_/),/(“)二階可導(dǎo),則江三

dxdy

A.//(x:-x^2x-2y)

B./'(x、y2)(4xy)

C./r(x2-y2)(-4xy)

D./-J,*)(4孫)

6.當(dāng)XTO時(shí)，若Sil)2x與必是等價(jià)無窮小量，則女=()

A.1/2B.1C,2D.3

7：二枳分jJ"''arctanx+cossx)clr=.

8.下列廣義積分收斂的是()o

r+?

AJInxdx

r*

B.J,工

--1

In|xIdx

C.J

0+0O

/dr

D.Ji

9.設(shè)f(x)=xe2(xC)，則在x=l處的切線方程是()。

A.3x-y+4=0B.3x+y+4=0C.3x+y-4=0D.3x-y-2=0

10.若f'(x)<O(a<xSb),且f(b)>0,則在(a,b)內(nèi)必有().

A.A.f(x)>0B.f(x)<0C.f(x)=0D.f(x)可正可負(fù)

fic|lnx|dx=

11.?

A.A.gi「Inxdx

JiInxdx-J*Inxdx

-|JInxdx+J*Inxdx

C.；

Inxdx-j*Inxdx

D.

?力正?敷?■.、()o

A.0B.1C.nD.n!

13.

若r(x)<0(a<xWb)且/(b)>0,則在(a力)內(nèi)必有

A./(x)>0B./(x)<0C./(x)=0D.f(x)符號(hào)不定

..x-I

hm——二

]4.1sinx

A.A.OB.lC.-1/sinlD.2

函數(shù)/（工）在點(diǎn)工。處有定義是/（x）在點(diǎn)孔處連續(xù)的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

15.c.充分必要條件D.既非必要又非充分條件

16.已知/(x)=lnarccotx,則/'(1)=

2

A.兀

2

B.?

x

C.2

x

D.~2

A.-1/4B.0C,2/3D.l

A.0B工c

18.YiD」

若/（W）為偶函數(shù)，則「/（￡）山是

Jo

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.周期函數(shù)

20.

設(shè)其中—>.r=『,且張興都存在.則髀于(

A,更.一也B.好?―亞?2y

fl?5?,dudr

C.紅…2?.黑D.必亞.2/

N，orHudv

21.下列命題正確的是()o

A.函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，一定不是f(x)的極值點(diǎn)

B.若x0為函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)，則x0必為f(x)的極值點(diǎn)

C.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處有極值，且F(xO)存在，貝IJ必有f(x0)=0

D.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)XO處連續(xù)，則F(xO)一定存在

當(dāng)XT0時(shí)，若Silfx與d是等價(jià)無窮小量，則4=

A.-B.1C.2D.3

22.2

23.曲線y=x3的拐點(diǎn)坐標(biāo)是()。

A.(-l,-l)B.(0,0)C,(l,1)D,(2,8)

24.

J：[2+xln(l+x2)]dx=

A.4B.2C.0D.-2

曲線、=怒4?的垂直漸近線是

下列命題肯定正確的是

A.若?存在.liEg(;r),則lim[/必不存在

若lirnf《工》與limg(上)都不存在,則晨工)]必不存在

B.

若存在?lim#(工)不存在?則lim[/《幻?g(G]必不存在

C.

27.設(shè)100件產(chǎn)品中有次品4件，從中任取5件的不可能事件是

()O

A.“5件都是正品”B."5件都是次品”C.“至少有1件是次品”D.“至少有1

件是正品”

設(shè)/(x)=J+cf+lM(a>0且的常數(shù))，則/'(1)=

A.o(l+lna)B.a(l-lna)C.alnaD.a+—

28.”

29.函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo處有定義，是f(x)在點(diǎn)xo處連續(xù)的()。

A.必要條件，但非充分條件B.充分條件，但非必要條件C.充分必要條

件D.非充分條件，亦非必要條件

30.設(shè)f(x)=xa+axlna,(a>0且a4l),則f(1)=

A.A.a(l+lna)B.a(l-lna)C.alnaD,a+(l+a)

二、填空題(30題)

31.當(dāng)f(0)=時(shí)，f(x)=ln(l+kx嚴(yán)x在x=0處連續(xù).

32.設(shè)y=i+cos2%,則寸=__.

世二元函數(shù)z二ein(上+/)?則產(chǎn)—.

33.

34.設(shè)函數(shù)y=x2Inx,貝I］y(5)=.

35.

函數(shù)y=|sinx|在h=。處的導(dǎo)數(shù)為

A.-1B.0C.1D.不存在

36.

已知f(x)W0,且/(x)在［a,b］上連續(xù)，則由曲線y=/(x)x=a,4&及討軸圍成的平面

圖形的面積A=.

37.

設(shè)z=f(“，v),“=e",v=ln(x2+y2),一是可微函數(shù)，則生三

dx

38.

&z=f(x2+y2),則y狂.

axdy

39.

].八一工一瓜

媽二十工―2

71c巳知工=蔣是/(?r)=asin_r十Jsm”的極值點(diǎn),則u=

40.3'

41.若％=0是函數(shù)y=sinx-ax的一個(gè)極值點(diǎn)，則a=

42.

37

設(shè)z=arccot(x+y),510—=.

43.

設(shè)『明則嚴(yán)".

已知1啊/一空必V,求常數(shù)k的值.2=一—

44.1'''/-3

45.

.-V”M.H-r(l+2x)-/(I-X)_

設(shè)函數(shù)/(X)在工=】可導(dǎo),則1吁工---------L----------

A./(l)B.2/(l)C.3/(1)D--/(1)

.一.Ltinrcoadx^

46.''

47

48.

設(shè)函數(shù)fix+2)=二一2工+3,則=

A.3B.0C.1D.2

49.

不定積分[[2dH=.

J1+x

50.

已知f(x)=lnx,則f)dx=.

設(shè)f(i)=lim/(-----Y,則f.

51.1x-t

設(shè)二元函數(shù)z=sin式，則歿■=.

52.y

HtnH..(/-sinzWz

極限!四廠7乙—=----------'

53.

0-Je'dz?W!6(x)

54.

55.設(shè)/(T)=4J-+1)'°.MJ/(x)dr=.

56.

函數(shù))=%—ln(l+Z2)的單調(diào)增區(qū)間為

57若J(『sinx+%2)d%="，貝!]a=?

<Q設(shè)z=ln(xy),則1?二

58.d?3r--------

3_

lim(]+2i)，=

59.…

60.

i-sin5x

lim-=.

LOtanZx----------------

三、計(jì)算題（30題）

求不定積分］—

61.+

,c巳知函數(shù)z=/e”，求急

62.a^ay

,jnjdx

63.1十sinz

64求微分方程-r.v.v'=1一工’的通斛.

,,設(shè)函數(shù)W=G'+y')e求dz與島

65.

66設(shè)函數(shù)y=y(r)由方程y=(iu)'?確定?求,?

計(jì)算］（+32-=）（Lrdy,其中D為d+y&1.

67.f>

68設(shè)z=uv+41《.而u=e，.u=co”.求石.

69,計(jì)算定叫”+3

70.求函數(shù)f(x)=(x2-1)3+3的單調(diào)區(qū)間和極值.

71.求微分方程3+5工-5y'=0的通解.

72,求函數(shù)/(外二m：在定義域內(nèi)的最大值和最小值.

73.設(shè)函數(shù)y=x4sinx,求dy.

計(jì)算定程分

75求不定積分［e"+ln(l

76川溪

77求南數(shù)/(了)=5-1)，的單■區(qū)間與極值點(diǎn).

78,設(shè)函數(shù),幡器

79.求函數(shù)f(x,y)=x?+y2在條件2x+3y=l下的極值.

80.若已知=e，sin2x.求3

81求餐分方程yd.r,(/一€r>dy=0的通解.

xmn一?x#0?

時(shí)波函效/(x)-J”在1=0處連續(xù)性與可導(dǎo)性.

82.0.x-0

83設(shè)函數(shù)八，)-G-a)g(jr),其中K(r＞在點(diǎn)x=a處連續(xù).求/'(a).

84設(shè)：…伊.其中仆)可導(dǎo).求虐+埼.

85.設(shè)函數(shù)y=x3cosx，求dy

計(jì)算一重積分“%.其中D是由■物殘/-x及直線v==-2H8成.

86.4

設(shè)函數(shù)Z=/仔，?),/具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求生.立三.

87.'2,3xdxdy

88.上半部為等邊三角形，下半部為矩形的窗戶(如圖所示)，其周長(zhǎng)為

12m,為使窗戶的面積A達(dá)到最大，矩形的寬1應(yīng)為多少？

求極限lim/1+—\er.

89.一、-r1

90設(shè)義工〉二je"dr,求jx/（x）dx.

四、綜合題（1。題）

%證明K當(dāng)0V*V1時(shí)，9，rV1一f+1?

過點(diǎn)P?1?0）作拗物線y-下的初級(jí)，域切線與上述拋物線及，軸國成-平面圖

92.七?收此圖形貨丁仲發(fā)轉(zhuǎn)一網(wǎng)所成的能轉(zhuǎn)體的體根.

證明1當(dāng)，1nt.In:'

93.1-f

94.求函數(shù)/。）=，，在定義域內(nèi)的最大值和最?。╥l

已知曲線與曲線1yHln/F在點(diǎn)（工。.“）處有公切線.試求：

（1）常數(shù)a和切點(diǎn)（工。?“）1

95.（2）兩曲線與工軸圉成的平面圖形的面積S.

。女求由曲線、，=r44與y=）/所圍成的平面圖形的面枳.

9o.工

97.

設(shè)/(x)在區(qū)間［a.瓦］上可導(dǎo)，且/(a)=fib)=0.證明：至少存在一點(diǎn)儲(chǔ)山).使得

/＜$)+3f*/(f)=0.

98.

一房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租.當(dāng)月租金定為2000元時(shí),公寓會(huì)全部租出去.當(dāng)月

租金每增加10。元時(shí)?就會(huì)多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花費(fèi)200元的維修

費(fèi).試問租金定為多少可獲得最大收入？最大收入是多少？

99.

設(shè)函數(shù)FGr)='工)―/(“)(工＞0),其中/(x＞在區(qū)間［a?+8)上連續(xù)./"(工)在

x-a

(a?+8)內(nèi)存在且大于零.求證:FU)在(u,+8)內(nèi)單調(diào)遞增.

100.

求由曲線,V=X2與直線1=1.1=2及y=°圍成平面圖形的面積s以及該圖形燒

r軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體的體積?

五、解答題(10題)

計(jì)算部-l|dx,

101.

102.（本題滿分10分）

計(jì)算［'-7V-

103.

設(shè)y=ennx,求y'.

104.

計(jì)算rsjnOnx)^

JX

105.

已知函數(shù)/(x)連續(xù),Jtf(.x—t)dt=1—cosx,求J：/(x)dr的值.

106.求y=f(x)=2x3-3x2-12x+14的極值點(diǎn)和極值，以及函數(shù)曲線的凸凹性

區(qū)間和拐點(diǎn).

計(jì)算期修券

107.

設(shè)函數(shù)，(幻=o?+在工=】處取得極大值5一

(1)求常數(shù)a和如

108,(2)求函數(shù)五G的極小值.

109.

設(shè)計(jì)一幅廣告畫,要求畫面面積為4840cm，畫面上、下各留8cm,左右各留5cm的空白

邊.問怎樣確定畫面的長(zhǎng)和寬.才能使廣告畫整幅所用紙張的面積最小。

110戶"分8分)來回陰

六、單選題(0題)

111.

已知/(*).gin右，則尸信)等于().

B.；

A.D.#

亨42

參考答案

1.D

手=-sin(x2y)-(x2y)=一/sin(，y)

dyay

2.C

3.D

本題的解法有兩種：

解法1：先用換元法求出f(x)的表達(dá)式，再求導(dǎo)。

設(shè)sinx=u,貝If(x)=U2,所以f'(u)=2u,BPf'(x)=2x,選Do

解法2：將f(sinx；)作為f(x),u=sinx的復(fù)合函數(shù)直接求導(dǎo)，再用換元法

寫成f’(x)的形式。

等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)得

f’(sinx)-cosx=2sinxcosx,f'(sinx)=2sinx。

用x換sinx,得f'(x)=2x,所以選D。

4.B

答應(yīng)選B.

分析本題考查的知識(shí)點(diǎn)是復(fù)合函數(shù)的概念及其求導(dǎo)計(jì)算?

本題的關(guān)鍵是正確寫出復(fù)合函數(shù)/[gG)]的表達(dá)式后再對(duì)x求導(dǎo)?

根據(jù)函數(shù)概念可知：

/[<<*)]=<(x)+lng(x)=e"+Ine*=e*+*,

*^T-/[g(?)J=e，+l,所以選B.

dx

5.C

[解析]因?yàn)樯?x.

dx

所以^L=2xf,(xI-y2)(-2y)=-4i)/,(*2-/).

6.C

當(dāng)左=2時(shí)，有l(wèi)im駕±=lim(空三)2=1,選C.

x->0%'x^Ox

所以當(dāng)左=2時(shí)，有sin2%?父.

7.16/15

8.B

9.D

因?yàn)閒(x)=(l+2x)e2(x-D,f(l)=3,則切線方程的斜率k=3,切線方程為

y-l=3(x-l),即3x-y—2=0,故選D。

10.A

利用函數(shù)單調(diào)的定義.

因?yàn)閒'(x)<0(a<x<b),則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)下降,即f(x)>

f(b)>0,故選A.

ll.C

-Inx

由|Inx|="e

Inx

IvxWe

所以j*|lnx|dx=—jiInxdx+J*Inxdx.

12.D

［解析］因?yàn)閒\x)<oX6(Q，b)

所以f(x)單調(diào)減少xe(a,b)

又f(b)>0所以/(x)>0xe(a,b)

14.A

因?yàn)閘im(x2-1)=0.而sin1w0.故選A.

15.A

16.B

因?yàn)?歷康卜力）‘所以"0=*%￡?

4

17.C或

18.B

19.A

記F(H)=J/(t)dz.

?

則F(-x)=￡V<t)d<'"￡/(-u)(~du)(a/(x)為偶函數(shù)，故/(H)=〃-H))=-JV(u)du=-F(x),

所以F(工)是奇函數(shù).

20.B

答應(yīng)選B.

分析本翹考查的知識(shí)點(diǎn)是二元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算.

次dfdudr第df

dyduitydydu加

所以選B.

21.C

根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)xo處取極值的必要條件的定理，可知選項(xiàng)C是正確的。

[解析1當(dāng)修2時(shí)，有l(wèi)im吧?=lim(吧>=1,選c

JTTOX，XTOx

22.C所以當(dāng)后2時(shí)，有sin?x?/.

23.B

解題指導(dǎo)本題考查的知識(shí)點(diǎn)是曲線上拐點(diǎn)的概念及拐點(diǎn)坐標(biāo)的求法.

由于是單項(xiàng)選擇題，所以當(dāng)求得y”=6#工0得彳=0時(shí)，可知y=0,此時(shí)無需驗(yàn)證當(dāng)x<0

時(shí)/<0,x>0時(shí)y”>0,即可確定正確選項(xiàng)必為B.

24.A解析：

因?yàn)閤ln(l+，)是奇函數(shù)

所以￡![2+Xln(l+X2)]dx=2^2dx=4

25.x=l

26.A

27.B

不可能事件是指在一次試驗(yàn)中不可能發(fā)生的事件。由于只有4件次

品，一次取出5件都是次品是根本不可能的，所以選B。

[解析)/z(x)=(xa)'+(a1)'+(Ina)'=axa~lIna

所以/'(l)=a+alna=a(l+lna),選A.

2o.A

29.A

30.A

f(x)=(xa)'+(ax)'+(lna)'=axI1_1+axlna,所以f(1)=a+alna=a(1+lna),選

Ao

lim/(x)=limlnd+fcr)"=limln(1+fcr)E'**=Ine**=km

31.mk………。所以當(dāng)

f(O)=km時(shí)，f(x)在x=0處連續(xù).

32.應(yīng)填一2sin2x.

用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式計(jì)算即可.『=-sin2x,(2x),=-2sin2x.

33.

34.應(yīng)填4/x3.

【解析)先求廣，再求y⑷及y⑸.

24>2/44

y*=2xlnx+x,y*=21n“+3,4=-1/=--

Xrr

35.D

36J：|/(x)1dx口/(初出解析,注意到f(x)位0,則有A=jjf(x)|dx

37.

-丁+y"解析:

dzdzdudzHv次a及1△

—=---+----=—e盯y+--7---7X2JC

dxdudxdvdxduovxy

2x

3斤+77K

設(shè)〃=，+)?，則z=/(u)

次

由dzBudz個(gè)

-------—=-----2x

dxduaxdu

d-z=-d--z---d--u-=--d-z--2_y

dydwdydu

于是y李■一'=2w獸-2外獸=0

38.00解析：axdydudu

39.

73

18

73

18

40.22

41.應(yīng)填

1

【解析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是極值的必要條件：若％是/(*)的極值點(diǎn)，且/(工)在/處可

導(dǎo),則必有/(%)=0.

因此有V'|=(cosx-a)=0,得0=1.

42.

dz_ia,"i

…一zzz,(JQ-Iy)"""一■—■■■,

dy1+(x4-y)2dyl+(x+y)2

43.?"e?a"e?解析：產(chǎn)=/e"

44.-3

45.C

46.1/4

47.

48.D

49.

ln(x24-l)+C

ln(x2+l)+C

50.

因?yàn)閞(x)=,，則尸(e、)=

所以f/'G)dx=-er

1

(1+2/)/'

因?yàn)閒(f)=lim/(遼與=tlim(l+212，**

［解析J

isx-rx-r

=rliml(l+—P］2/-lim(l+—X

x-ti-x-r

?,2，

=/e

所以f(t)=c2*+ze21x2=(1+2t)cZt

51.

X.X1X3y.HzXarX、IX

―^sin-----z-cos-［解析］—=cos—?-=-cos一,

yyyydxydx{yjyy

d2zxdf113fx11x1?xdf

=cos—--1?—14--—cos_=—ycos——sin—,—??

dxdyydy{yjydy\y)yyyydy^.

1XX.X

----TCOS—+-ySHl—?

52.yyyy

X.X1X3y.dzxdfxyIX

—sin--------jcos-［解析］—=cos-?——=-cos-

yyyyax?町方y(tǒng)y

53.

54.

55.

吉(工+1)12-1)”+C

56.(-GO，+OO)

57.應(yīng)填1.

被積函數(shù)的前一部分是奇函數(shù)，后一部分是偶函數(shù)，因此有

/4-2\j2：232

(xsinx+x)dx=-x

To=亍解得(/=1.

58應(yīng)填0.

ds_J_2/甥內(nèi)二°

用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)得z=lnx+lny,再求偏導(dǎo)得旅一工aJdxdy

3i

lim(l+2x)T=lim(l+2x)z^*6=e6.

59d一°一。

60.5/2

sin5z

..sin5x..5x5x5

州記豆=/…?菽一?五=T

2JC

61.

解法一：第一換元積分法

原式=M—Jfd(l+/)H(1--;7-d(l+x

2J(1+“，)+2J(1+?)十

=十“”+1')T-(1+/)T]d(l+.)

=>/1+x*H—:“]…；+C?

vTT7r

解法二：第二換元枳分法

原式令一:[嘩?sec”，

Jsecr

=f網(wǎng)空.cos/dr

Jcos/

-f1一%立d(cw)

-U-d(cos/>4-fd(cosz)

cosrJ

----+cost+C

cos/

+—izz=+C.

解法一3第一換元積分法

原式=M—JjdC+="工If(1十.):1水1+/)

2J(1+二)，2J(i+x?)i

-yj[(l+_r')T—(I+/)T]d(l+/)

=vT+T-+--■-1-+Ci

八+?

解法二：第二換元枳分法

原式—[瞥?低”，

Jsec/

fsin」,

=----r-?cosra/

Jcosr

=~f-c?s-d(COM)

Jcost

=-1—^-d(cos/>+Id(cosr)

JcosrJ

-----------Fcosr+C

cos/

=yi+x*+1+c.

y/TTV

'：圭=2ze"=(2z+z，)e”,

dx

/.=上%“+(21+了"丘"1=《3〉+zU)e”.

62.drdy

*/—=2JC4V+i，e'"=(2JT4-jr2y)e0.

dx

:.=Ve"+(2/+工'立”]=(3x24-x1>)eO.

dxdy

被積函數(shù)分子分母同乘(I-sinz),得

[但L=f-dx-fmn一業(yè)

JI-ninxJcos”J

=-f"理—―f(sec2x-1)dx

JcosxJ

-------------Isec2xdx4-|(Lr-

63.couJJ=1/cosx-tanx+x+C

被積函數(shù)分子分母同乘(1一4皿),得

「.」

-si-n-x：-(--1--sinx).fsin-r.2

n-----dr=-----p-dr-ItanxcLr

1-smxJcosJ-J

n-f—[(sec^x-1)dx

Jcos\rJ

一.Isc<-I(iz-Idr<.一

co"JJ=1/cosx-tanx+x+C

所給方程是可分離變量方程.先將方程分離變量，得

1一—?

ydy=-----chr,

兩邊積分

jydy=1工dr.

可得

=-4-x*4-In|x|+In|C1,

即l(x?4-y)=In|Cr1，

從而可得x24->2=ln(Cr)J

64.為原方程的通解,其中C為不等于零的任意常數(shù).

所給方程是可分離變鼠方程，先將方程分離變量?得

._1—x2j

ydy=-----eLr,

兩邊積分

卜dy=J----dj?>

可得

另2=—4-In|X14-In|C1,

即—(JT14-y)=In1Cr|?

從而可得x2+y2=ln(Cr)2

為原方程的通解.其中C為不等于零的任意常數(shù).

65.

?噫工2工--〃+小(2j+>)e2

2

臣=2ye,—(x+/)e?(2?―—M,

3y

dz=e皿若[(2jr+y)d_r+(2y-H)dy],

2

V空=2_reid-(*?+y)e(2i+y)e*"'**?.

dz

dy

；.dz=e皿*[(2工+y)dH+(2y-H)dy],

cfz

d^rdy

y=[(Inj)*]'?工皿+(Inx),?《”)'

=[e'AM]'?I1**+(lnx)r?”3)'

=e八…：ln(lnx)+i?士?外，"+(InxV?eh，,?21nx?1

=(Inx),,?rln(litr)+"]?x1**+2(lnj")<+,?xla,*.

66.Llnj-J

y=[(lor)T?工2+(Inj)*?(”)'

=[e‘xa']'?+(lnx)'.(eto，O

In(liur)+?r?：—?―2+(lar),?e5?21nx?1

Inxx

~(Inx)'?rln(Inx)+p-]?x1**+2(lnx)<+l*x1**-1

67.

根據(jù)枳分區(qū)域與被積函數(shù)的特點(diǎn),讀二重積分用極坐標(biāo)計(jì)算比用直角坐標(biāo)計(jì)

算簡(jiǎn)便.

積分區(qū)域Q由尸十丁41化為『&I4842n.故

(/r：+—xy)dxdv(r-/coMsiMrdrdd

=Jcwj(r1—rJcos5sin^)dr

=(-ycosdsintf|]d8

=—:J,*inMsin8

根據(jù)積分區(qū)域與被積函數(shù)的特點(diǎn),讀二重積分用極坐標(biāo)計(jì)算比用直角坐標(biāo)計(jì)

算簡(jiǎn)便.

積分區(qū)域/)由一+/工1化為1,0&842n,故

jj(qf，—xv)<Lrdy=jj(r-coMsin^)rdrdG

7詞:(/—rJcos5sin^)dr

=rs~—co^sinl9|]d夕

=；夕1—sinMsinff

.1*一1%?川：=\x.

dzdzdu.dzdv.dzdzdzdu.dzdv.dz

SZ?，??，—r---■■■■r■■一

d/dudfdvdtdtdt3uAtdvd/dt

=ve1-wsinZ+cos/=ve1—wsinZ+cos/

=efcos/-e'sin/卜cos/=ercos/-ezsin/+cost

68.=e'(「()、/sin/)+cos/.=er(cos/-sin/)4-cos/.

令■=tr*

原式aJln(1+1)?2/dz

=|Ind+八d(〃)

八E"+，”：-￡￡7山

=g2-￡三井1山7n2-J：(，一】++四

=加2—[9(，一】＞'|+ln(f+l)1]

=ln2—(?！?)一(ln2-0)

=JL

69.2,

原式ln(/+1)?2tdt

=Jjn(l+t)d(?)=tl?一，TT~id,

In2一二井：7n2—

14-1

-4-ln?+

一(5/)一(ln2'0)

1

2?

70.函數(shù)的定義域?yàn)?-8,+00),且

f(x)=6x(x2-l)2

令f(x)=0,得

Xl=0,X2=-l,X3=L

列表如下：

X(-?1)-1(-1.0)0(0.1)1

---

-0-00

"0)=2為極小值?

由上表可知，函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(-8,0),單調(diào)增區(qū)間為(0,

+8)；f(0)=2為極小值.

原方程變形為

分離變依得

5dy=(3/+5*)dx.

積分得

5y-x*+-|-x*+Ct.

故通解為

71.

原方程變形為

5?'=3工，+5a-,

ctr

分離變量得

5d>=Ox1+5力業(yè).

積分得

t

5y——+11r+Ct，

故通解為

72.

函數(shù)/(J)=xe-J的定義域?yàn)?-8.+8)，且/(x)處處可導(dǎo);

因?yàn)椤?,工)=—jre'=bFl—1).令f(x)—0

得駐點(diǎn)工=1.且工V1時(shí).，(T)>O.x>1時(shí)./(工)<0

所以八1)=e?=工為函數(shù)/(幻的最大值.

e

又lim/(x)=limxe'=—oo；

limf(jr)=limjre4=lim-=lim-y=0.

于是f(x)定義域內(nèi)無最小值。

函數(shù)/（工）=我、的定義域?yàn)椋?8,+8）.且/（工）處處可導(dǎo);

因?yàn)閒（1）—e~*—are*=（1—工）.令f（x）—0

得駐點(diǎn)工=1.且彳V1時(shí).，（工）＞0,x＞1時(shí).，（了）＜0

所以八1）=e'=工為函數(shù)/（幻的最大值.

e

又lim/（x）=limxe,=-8,

X**~,■一，》，

lim/（x）=limze'=Mlim-=lim--=0.

4i1r**+yee

于是f(x)定義域內(nèi)無最小值。

73.因?yàn)閥'=4x3sinx+x4cosx,所以dy=（4x3sinx+x4cosx）dx

=2ln2-4.

74.4

原式=1/ln.rd/

1

=-1-!nx?xx2?—da

x

=2ln2—xdx=21n2—j-xL

q

=21n2——.

4

e’'+ln(1+-r)Jdj,=-^-Je2/d(2x)+ln(1+x)(Lr

二-x-e2j+“l(fā)n(1+1)—「—dr

/J1+JF

=4-eJj+xln(1+?r)-f[l~；—Jdar

iJ1+i

+jln(1+x)—?r+ln(1+x)+C.

75.

e"+ln(1+j-)Jdxrd(2x)+ln(I+x)dx

4-e2^+J,ln(1+1)一

=le--bxln(l+x)-|Cl-rl-JcLr

+xln(1-Fx)—x+ln(1+”)+C.

76.

令x=atan/(-yV/V/),作輔助三角形,如圖所

示?則

dx=aserrck.

>/xi-Fa2=\/aztan2/+af=a\/tan*/+1=asec/.

由輔助三角形，如圖所示，則seer="十'ttan/

于是

d/sec/d/

>/r2+a2

=In|secz+tan/|4-Ct

網(wǎng)代

周二++G

ln(x++I)+(j-ITUI

ln(x4-J￡+a?)+C(C=C|-Ina).

令l=V作輔助三角形,如圖所

示，則

djr==asec;fdf.

+J=Ja-an2fH0T=av/tan2/+f=asec/.

由輔助三角形，如圖所示?則sec/=0短.tanr=三■?

aa

于是

空空編pec/d/

asect

=In|secz+tan/1+C\

型|n|尹弊？|+C

=ln(x+，/，+a?)+G-ITUI

=ln(x++d)+C(C=C1-Ina).

77.

求/（x）的導(dǎo)數(shù)?得/（JOHI:+'G—1）工、=‘工:?令//（彳）=0,

Js

得駐點(diǎn)工=看.此外.點(diǎn)工=0是，"）不存在的點(diǎn),它們將區(qū)間分成3個(gè)部分區(qū)間,列表討論

如下I

2

JT0（0奇）(~