河北省唐山市十縣一中聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

唐山市十縣一中聯(lián)盟2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡相應(yīng)位置上，將條形碼橫貼在答題卡上“條形碼粘貼處”．2．作答選擇時(shí)，選出每小顧答案后，用2B鉛竿將答顧卡對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑：如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案涂在試卷上一律無效．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上：如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答無效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線l：斜率和在x軸上的截距分別為()A.，3 B.， C.，3 D.，2.已知點(diǎn)、分別為點(diǎn)在坐標(biāo)平面和內(nèi)的射影，則()A. B. C. D.3.直線：，直線：，則與之間的距離為()A. B.2 C. D.44.已知空間三點(diǎn)O(0，0，0)，A(1，，2)，B(，-1，2)，則以O(shè)A，OB為鄰邊平行四邊形的面積為()A.8 B.4 C. D.5.已知圓的半徑為且圓心在軸上，圓與圓相交于兩點(diǎn)，若直線的方程為，則()A.， B.，C， D.，6.已知直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱，且直線過點(diǎn)，則()A. B. C. D.7.在棱長(zhǎng)為的正四面體中，，，則()A. B. C. D.8.已知是圓上一動(dòng)點(diǎn)，，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則()A.為定值 B.為定值C.為定值 D.為定值二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9.已知平行六面體，則下列各式運(yùn)算結(jié)果是的為()A. B.C. D.10.直線，則()A.點(diǎn)在上 B.的傾斜角為C.的圖象不過第一象限 D.的方向向量為11.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)M，N，P，Q分別為棱A1D1，B1B，AB，D1D的中點(diǎn)，則()A. B.直線MN與直線BQ相交C.點(diǎn)Q到直線MN的距離為 D.點(diǎn)D到平面MNP的距離為12.已知、，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則()A.的最大值為 B.的最大值為C.到直線距離的最大值為 D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13已知向量，，，則__________．14.設(shè)直線：，直線：，若∥，則實(shí)數(shù)a＝____________．15.已知圓錐PO(P為圓錐頂點(diǎn)，O為底面圓心)的軸截面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，A，B，C為底面圓周上三點(diǎn)，空間一動(dòng)點(diǎn)Q，滿足，則的最小值為____________．16.設(shè)直線l：與圓C：交于兩點(diǎn)，則的取值范圍是___________．四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、，求：(1)邊上的中線所在直線的方程；(2)邊上的高所在直線的方程；(3)的平分線所在直線的方程．18.已知長(zhǎng)方體中，，，，點(diǎn)M，N分別在棱CD，上，且，．(1)若，求；(2)若平面，求．19.在正三棱柱中，AB=2，AA1=，點(diǎn)M為BB1的中點(diǎn)．(1)求AB與平面MAC所成角的正弦值；(2)證明：平面MA1C1⊥平面MAC．20.已知圓O：與圓C：相外切．(1)求m值；(2)若直線l與圓O和圓C都相切，求滿足條件的所有l(wèi)的方程．21.如圖，四邊形為正方形，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且二面角為直二面角，為棱上一點(diǎn)．(1)求直線與所成角；(2)當(dāng)為何值時(shí)，平面與平面夾角的余弦值為？22.已知圓C：，四點(diǎn)P1(1，1)，P2(0，2)，P3(1，)，P4(1，-)中恰有三點(diǎn)在圓C上．(1)求圓C的方程；(2)設(shè)以k為斜率的直線l經(jīng)過點(diǎn)Q(4，-2)，但不經(jīng)過點(diǎn)P2，若l與圓C相交于不同兩點(diǎn)A，B．①求k的取值范圍；②證明：直線P2A與直線P2B的斜率之和為定值．唐山市十縣一中聯(lián)盟2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡相應(yīng)位置上，將條形碼橫貼在答題卡上“條形碼粘貼處”．2．作答選擇時(shí)，選出每小顧答案后，用2B鉛竿將答顧卡對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑：如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案涂在試卷上一律無效．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上：如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答無效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線l：的斜率和在x軸上的截距分別為()A.，3 B.， C.，3 D.，【答案】B【解析】【分析】由可得，據(jù)此可得答案.【詳解】，則直線斜率為，又令，則，故直線在x軸上的截距分別為.故選：B2.已知點(diǎn)、分別為點(diǎn)在坐標(biāo)平面和內(nèi)的射影，則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式可求得的值.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)、分別為點(diǎn)在坐標(biāo)平面和內(nèi)的射影，則、，因此，.故選：A.3.直線：，直線：，則與之間的距離為()A. B.2 C. D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行線的距離公式求解即可.【詳解】，故選:C.4.已知空間三點(diǎn)O(0，0，0)，A(1，，2)，B(，-1，2)，則以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形的面積為()A.8 B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出OA，OB長(zhǎng)度和夾角，再用面積公式求出的面積進(jìn)而求得四邊形的面積.【詳解】因?yàn)镺(0，0，0)，A(1，，2)，B(，-1，2)，所以，，，所以，以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形的面積為.故選：D.5.已知圓的半徑為且圓心在軸上，圓與圓相交于兩點(diǎn)，若直線的方程為，則()A.， B.，C， D.，【答案】C【解析】【分析】分析可知圓心在直線上，可求得，求出圓心的坐標(biāo)，可求得圓心到直線的距離，利用勾股定理可求得的值.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，易知點(diǎn)在直線上，所以，，因?yàn)閳A心在直線上，則圓心為線段的中點(diǎn)，易知過圓心且與直線垂直的直線的方程為，該直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，.故選：C.6.已知直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱，且直線過點(diǎn)，則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分析可知，直線經(jīng)過點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，由此可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意可知，直線過點(diǎn)，則，解得.故選：A.7.在棱長(zhǎng)為的正四面體中，，，則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將用、、表示，利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得.【詳解】因?yàn)?，所以，，又因?yàn)?，則，所以，，所以，，由空間向量的數(shù)量積可得，因此，.故選：B.8.已知是圓上一動(dòng)點(diǎn)，，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則()A.為定值 B.為定值C.為定值 D.為定值【答案】B【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)，可得，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用平面兩點(diǎn)間的距離公式化簡(jiǎn)可得出合適的選項(xiàng).【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，可得，則點(diǎn).圓的圓心為，半徑為.對(duì)于A選項(xiàng)，不是定值，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，不是定值，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，不是定值，D錯(cuò).故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9.已知平行六面體，則下列各式運(yùn)算結(jié)果是的為()A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用空間向量的加法化簡(jiǎn)可得出合適的選項(xiàng).【詳解】如下圖所示：對(duì)于A選項(xiàng)，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，D錯(cuò).故選：ABC.10.直線，則()A.點(diǎn)在上 B.的傾斜角為C.的圖象不過第一象限 D.的方向向量為【答案】BC【解析】【分析】利用點(diǎn)與直線的位置關(guān)系可判斷A選項(xiàng)；求出直線的斜率，可得出直線的傾斜角，可判斷B選項(xiàng)；作出直線的圖象可判斷C選項(xiàng)；求出直線的方向向量，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，所以，點(diǎn)不在上，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，直線的斜率為，故的傾斜角為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，如下圖所示：由圖可知，直線不過第一象限，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，直線的一個(gè)方向向量為，而向量與這里不共線，D錯(cuò).故選：BC.11.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)M，N，P，Q分別為棱A1D1，B1B，AB，D1D的中點(diǎn)，則()A. B.直線MN與直線BQ相交C.點(diǎn)Q到直線MN的距離為 D.點(diǎn)D到平面MNP的距離為【答案】AC【解析】【分析】A選項(xiàng)：用勾股定理可求出長(zhǎng)度；B選項(xiàng)：作的平行線與相交，則可判斷是否為異面直線；C選項(xiàng)：求出三邊長(zhǎng)度，即可求出結(jié)果；D選項(xiàng)：過點(diǎn)做，利用線面平行將點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，等體積轉(zhuǎn)化得到，求體積和面積計(jì)算距離.【詳解】A選項(xiàng)：，故A正確；B選項(xiàng)：連接，則與相交，，則與為異面直線，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：連接，則，，，由勾股定理可知：，所以到直線的距離即為，故C正確；D選項(xiàng)：過點(diǎn)做，平面，平面，則平面，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，點(diǎn)到直線的距離為，，又點(diǎn)到平面的距離為2，所以，又，，，，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則有，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC12.已知、，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則()A.的最大值為 B.的最大值為C.到直線距離的最大值為 D.【答案】ABD【解析】【分析】求出點(diǎn)到直線的最大距離，結(jié)合三角形的面積公式可判斷A選項(xiàng)；求出的最大值，可得出到直線距離的最大值，可判斷C選項(xiàng)；利用平面兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合圓的方程可判斷D選項(xiàng)；利用圓的幾何性質(zhì)可判斷B選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，圓上的一點(diǎn)到直線的最大距離為圓的半徑，故的最大值為，A對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，如下圖所示：點(diǎn)到直線的距離為，圓的圓心為原點(diǎn)，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，此時(shí)最大，則點(diǎn)到直線的距離取最大值，連接，則，則，故，因此，點(diǎn)到直線的距離為，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)，則，所以，，D對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為直線與圓的交點(diǎn)，且點(diǎn)在線段上時(shí)，等號(hào)成立，所以，的最大值為，B對(duì).故選：ABD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，，，則__________．【答案】【解析】【分析】分析可得，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?，則，解得.故答案為：.14.設(shè)直線：，直線：，若∥，則實(shí)數(shù)a＝____________．【答案】2【解析】【分析】由兩直線與平行，可得，由此列式求出的值，然后再檢驗(yàn)即可．【詳解】若∥，則，解得或，當(dāng)時(shí)，直線：，直線：，符合題意；當(dāng)時(shí)，直線：，直線：，兩直線重合，不符合題意.故答案為：2．15.已知圓錐PO(P為圓錐頂點(diǎn)，O為底面圓心)的軸截面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，A，B，C為底面圓周上三點(diǎn)，空間一動(dòng)點(diǎn)Q，滿足，則的最小值為____________．【答案】【解析】【分析】化簡(jiǎn)向量關(guān)系式證明四點(diǎn)共面，結(jié)合軸截面特征可求的最小值.【詳解】因?yàn)椋?，，所以共面，又A，B，C為底面圓周上三點(diǎn)，所以點(diǎn)為平面上一點(diǎn)，由已知平面，所以，又圓錐PO的軸截面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以，所以的最小值為，故答案為：,16.設(shè)直線l：與圓C：交于兩點(diǎn)，則的取值范圍是___________．【答案】【解析】【分析】由直線系方程求得直線所過定點(diǎn)，求出圓心到定點(diǎn)的距離，再確定弦長(zhǎng)最短和最長(zhǎng)時(shí)的位置，求得弦長(zhǎng)，即可得到的取值范圍．【詳解】直線l：即為，由，解得,可得直線l過定點(diǎn)，圓C：的圓心坐標(biāo)為，半徑，由于,故在圓C：內(nèi)，，則當(dāng)直線時(shí)，最小，，的最大值即為圓的直徑，∴的取值范圍是故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為、、，求：(1)邊上的中線所在直線的方程；(2)邊上的高所在直線的方程；(3)的平分線所在直線的方程．【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)求出線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)式可得出邊上的中線所在直線的方程；(2)求出直線的斜率，可得出邊上的高所在直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出所求直線的方程；(3)分析可得，數(shù)形結(jié)合可得出的平分線所在直線的方程.【小問1詳解】解：的中點(diǎn)為，所以邊上的中線所在直線的方程為，整理可得.【小問2詳解】解：，則邊上的高所在直線的斜率為，所以邊上的高所在直線的方程為，整理可得.【小問3詳解】解：，，所以，所以，的平分線所在直線的方程為.18.已知長(zhǎng)方體中，，，，點(diǎn)M，N分別在棱CD，上，且，．(1)若，求；(2)若平面，求．【答案】(1)(2)【解析】【分析】以A為原點(diǎn)，以，，為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，(1)得出與的坐標(biāo)，由已知得出，即可列式解出答案；(2)得出與的坐標(biāo)，求出平面的法向量，即可根據(jù)已知平面，列式求解得出答案.【小問1詳解】以A為原點(diǎn)，以，，為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，，即，解得；【小問2詳解】由(1)得，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取由平面，得，解得.19.在正三棱柱中，AB=2，AA1=，點(diǎn)M為BB1的中點(diǎn)．(1)求AB與平面MAC所成角的正弦值；(2)證明：平面MA1C1⊥平面MAC．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系,利用線面角公式即可算出答案；利用兩個(gè)平面的法向量的數(shù)量積為零，即可證明.【小問1詳解】解：取AC的中點(diǎn)O，則，以O(shè)為原點(diǎn)．以，為x，y軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．即O(0，0，0)，A(1，0，0)，C(-1，0，0)，B(0，，0)，M(0，，)所以，，設(shè)平面MAC的法向量為，則取所以故AB與平面MAC所成角的正弦值為【小問2詳解】解：由(1)得A1(1，0，)，C1(-1，0，)，則設(shè)平面的法向量為，則取所以，即，故平面MA1C1⊥平面MAC．20.已知圓O：與圓C：相外切．(1)求m的值；(2)若直線l與圓O和圓C都相切，求滿足條件的所有l(wèi)的方程．【答案】(1)(2)或或【解析】【分析】(1)把兩圓相外切轉(zhuǎn)化圓心間距離等于半徑和,計(jì)算求解即可.(2)先設(shè)直線再滿足直線和圓相切即圓心到直線距離等于半徑,計(jì)算得解.【小問1詳解】圓O的圓心為O(0，0)，半徑由圓C：得，．所以圓C的圓心C(3，4)，半徑因?yàn)閮蓤A相外切，所以，,即，解得【小問2詳解】由(1)得圓C：①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)l的方程為依題意，解得，即l的方程為②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為，依題意，所以當(dāng)時(shí)，，代入上式可得，解得，即所以此時(shí)l的方程為當(dāng)時(shí)，代入上式可得，解得即所以此時(shí)l的方程為故滿足題設(shè)的l的方程為或或．21.如圖，四邊形為正方形，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且二面角為直二面角，為棱上一點(diǎn)．(1)求直線與所成角；(2)當(dāng)為何值時(shí)，平面與平面夾角的余弦值為？【答案】(1)(2)【解