湖北省部分省級示范高中2022-2023學年高二上學期期末數(shù)學試題（含解析）

湖北省部分省級示范高中2022~2023學年上學期期末測試高二數(shù)學試卷命題人：武漢市第二十三中學一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共0分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.橢圓的焦距是()A.16 B.8 C.2 D.42.在等差數(shù)列中，，則()A.14 B.16 C.18 D.283.已知雙曲線的離心率，則其漸近線的方程為()A. B. C. D.4.已知圓，過點(1，2)的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為()A.1 B.2C.3 D.45.設，是空間中兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是()A.若，，,則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，，則6.在長方體中，已知，，，為的中點，則的長等于()A B. C. D.7.已知橢圓的左右焦點分別為，過點且斜率為的直線l與C在x軸上方的交點為A．若，則C的離心率是()A. B. C. D.8.17世紀法國數(shù)學家費馬在著作中證明，方程表示橢圓，費馬所依據(jù)的是橢圓的重要性質若從橢圓上任意一點P(異于A，B兩點)向長軸引垂線，垂足為Q，記，則()A.方程表示的橢圓的焦點落在x軸上B.C.M的值與P點在橢圓上的位置無關D.M越來越小，橢圓的離心率越來越小二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知數(shù)列，則下列說法正確的是()A.此數(shù)列的通項公式是B.是它第23項C.此數(shù)列的通項公式是D.是它的第25項10.已知圓和圓，則()A. B.圓半徑是4 C.兩圓相交 D.兩圓外離11.已知拋物線的準線與軸相交于點，過拋物線的焦點的直線與拋物線相交于兩點，且兩點在準線上的投影點分別為，則下列結論正確的是()A. B.的最小值為4C.為定值 D.12.很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體．如圖，這是一個棱數(shù)，棱長為的半正多面體，它所有頂點都在同一個正方體的表面上，可以看成是由一個正方體截去八個一樣的四面體所得的．下列結論正確的有()A.該半正多面體的表面積為 B.平面C.點到平面距離為 D.若為線段的中點，則異面直線與所成角的余弦值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13若直線與直線垂直，則_____________．14.記為等差數(shù)列的前項和，若，，則_____．15.已知A，B是平面上的兩定點，，動點M滿足，動點N在直線上，則距離的最小值為___________．16.已知是橢圓和雙曲線的交點，，是，的公共焦點，，分別為，的離心率，若，則的取值范圍為______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知等差數(shù)列的前n項和為．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求，并求的最大值．18.已知拋物線過點.(1)求拋物線的方程，并求其準線方程;(2)過該拋物線的焦點，作傾斜角為的直線，交拋物線于兩點，求線段的長度.19.如圖，在棱長為1的正方體中，E為線段的中點，F(xiàn)為線段的中點.(1)求直線與直線所成角的余弦值；(2)求點到平面的距離.20.如圖，某海面上有O、A、B三個小島(面積大小忽略不計)，A島在O島的北偏東方向距O島千米處，B島在O島的正東方向距O島20千米處以O為坐標原點，O的正東方向為x軸的正方向，1千米為單位長度，建立平面直角坐標系圓C經(jīng)過O、A、B三點．(1)求圓C的標準方程；(2)若圓C區(qū)域內有未知暗礁，現(xiàn)有一船D在O島的南偏西方向距O島40千米處，正沿著北偏東行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險？21.如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點，且．(1)求；(2)求二面角的余弦值．22.已知圓和定點，是圓上任意一點，線段的垂直平分線交于點M，設動點M的軌跡為曲線E，且曲線E與直線相切．(1)求曲線E的方程；(2)若過點且斜率為k的直線l與曲線E交于A，B兩點，求面積的最大值．

湖北省部分省級示范高中2022~2023學年上學期期末測試高二數(shù)學試卷命題人：武漢市第二十三中學一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共0分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.橢圓的焦距是()A.16 B.8 C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓方程求出的值，即可得焦距.【詳解】由可得，，所以，可得，所以焦距，故選：.2.在等差數(shù)列中，，則()A.14 B.16 C.18 D.28【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列等差中項求解即可.【詳解】因為等差數(shù)列中，，，故選：.3.已知雙曲線的離心率，則其漸近線的方程為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用雙曲線的離心率和性質求解即可.【詳解】因為雙曲線的離心率，所以由得，所以，即漸近線方程為，故選：A4.已知圓，過點(1，2)的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為()A.1 B.2C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】當直線和圓心與點的連線垂直時，所求的弦長最短，即可得出結論.【詳解】圓化為，所以圓心坐標為，半徑為，設，當過點的直線和直線垂直時，圓心到過點的直線的距離最大，所求的弦長最短，此時根據(jù)弦長公式得最小值為.故選：B.【點睛】本題考查圓的簡單幾何性質，以及幾何法求弦長，屬于基礎題.5.設，是空間中兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是()A.若，，,則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，，則【答案】B【解析】【分析】根據(jù)面面平行性質可說明可能異面可能平行，判斷A;利用平面的法向量的關系可判斷B;根據(jù)，，，可判斷可能平行，不一定垂直，判斷C;根據(jù)面面平行的判定可判斷D.【詳解】對于A，若，，，則可能異面可能平行，A錯誤；對于B，若，，則可在直線m上取向量作為平面的法向量，可在直線n上取向量作為平面的法向量，因為，故，所以，B正確；對于C，若，，，則可能平行，不一定垂直，C錯誤；對于D,若，，，，由于可能是平行直線，此時可能相交，D錯誤，故選：B.6.在長方體中，已知，，，為的中點，則的長等于()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】以為坐標原點建立空間直角坐標系，由向量模長的坐標運算可求得.【詳解】以坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，即的長為.故選：A.7.已知橢圓的左右焦點分別為，過點且斜率為的直線l與C在x軸上方的交點為A．若，則C的離心率是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)的正切值，求出的余弦值，在用余弦定理求出用表示，再求解.【詳解】設則，又，在中，由余弦定理得：故選：A8.17世紀法國數(shù)學家費馬在著作中證明，方程表示橢圓，費馬所依據(jù)的是橢圓的重要性質若從橢圓上任意一點P(異于A，B兩點)向長軸引垂線，垂足為Q，記，則()A.方程表示的橢圓的焦點落在x軸上B.C.M的值與P點在橢圓上的位置無關D.M越來越小，橢圓的離心率越來越小【答案】C【解析】【分析】對選項A，根據(jù)橢圓的定義即可判斷A錯誤，對選項B，根據(jù)題意得到，故B錯誤，對選項C，分別討論焦點在軸和軸的情況，即可判斷C正確，對選項D，根據(jù)，即可判斷D錯誤.【詳解】對選項A，方程，化簡為.當時，則，方程表示焦點在軸的橢圓，故A錯誤.對選項C，設，橢圓的焦點在軸上，，，，因為為常數(shù)，所以的值與點在橢圓上的位置無關.設，橢圓的焦點在軸上，，，，因為為常數(shù)，所以的值與點在橢圓上的位置無關，故C正確.對選項B，當橢圓的焦點在軸時，，.當橢圓焦點在軸時，，所以，綜上，故B錯誤.對選項D，因為，所以越來越小，橢圓的離心率越來越大，故D錯誤.故選：C二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知數(shù)列，則下列說法正確的是()A.此數(shù)列的通項公式是B.是它的第23項C.此數(shù)列的通項公式是D.是它的第25項【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)已知條件求得數(shù)列的通項公式，由此對選項進行分析，從而確定正確選項.【詳解】數(shù)列，所以，A選項正確，C選項錯誤.，B選項正確，，D選項錯誤.故選：AB10.已知圓和圓，則()A. B.圓半徑是4 C.兩圓相交 D.兩圓外離【答案】AC【解析】【分析】先根據(jù)配方法確定兩個圓的圓心和半徑，再根據(jù)圓心距和半徑的關系即可判斷兩圓的位置.【詳解】對于B，因為圓，所以圓的標準方程為，圓心為，半徑為，故B錯誤；對于A，因為圓，所以圓的標準方程為，圓心為，半徑為，所以，故A正確；對于CD，因為，所以兩圓相交，故C正確，D錯誤.故選：AC.11.已知拋物線的準線與軸相交于點，過拋物線的焦點的直線與拋物線相交于兩點，且兩點在準線上的投影點分別為，則下列結論正確的是()A. B.的最小值為4C.為定值 D.【答案】ABD【解析】【分析】由焦點到準線的距離可得的值，進而求出拋物線的方程，可判斷A正確；設直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出兩根之和及兩根之積，由拋物線的性質可得弦長的表達式，再由參數(shù)的范圍可得其最小值，判斷B正確；分別表示出可判斷C不正確；表示出，，由可判斷D正確．【詳解】對于A，因為拋物線的準線，所以，則，故A正確；對于，拋物線，過焦點的直線為，則，整理可得，設，可得，，，所以，當時取等號，最小值為4，所以正確；對于C，，所以所以，所以C不正確；對于D，，，，所以，故D正確.故選：ABD.12.很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體．如圖，這是一個棱數(shù)，棱長為的半正多面體，它所有頂點都在同一個正方體的表面上，可以看成是由一個正方體截去八個一樣的四面體所得的．下列結論正確的有()A.該半正多面體的表面積為 B.平面C.點到平面的距離為 D.若為線段的中點，則異面直線與所成角的余弦值為【答案】BCD【解析】【分析】將該半正多面體補成正方體，即可求出正方體的棱長，再建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得.【詳解】解：將該半正多面體補成正方體，因為該半正多面體的棱長為，所以正方體的棱長為，所以該幾何體的表面積為，故A錯誤；建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，所以，，，所以，，即，，，平面，所以平面，故B正確；，，，設平面的法向量為，所以，即，所以，則點到平面的距離，故C正確；若為線段的中點，則，所以，，則異面直線與所成角的余弦值，故D正確；故選：BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若直線與直線垂直，則_____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線垂直滿足求解.【詳解】因為直線與直線垂直所以故答案為：14.記為等差數(shù)列的前項和，若，，則_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質求出，再根據(jù)其通項即可得出.【詳解】解：等差數(shù)列中，，，所以，且，即，所以，解得，所以，故答案為：9.15.已知A，B是平面上的兩定點，，動點M滿足，動點N在直線上，則距離的最小值為___________．【答案】【解析】【分析】以為原點建立平面直角坐標系，根據(jù)定義可得點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，則MN距離的最小值為圓心到直線的距離減去半徑.【詳解】如圖，以為原點，為軸建立平面直角坐標系，則，設動點，則由可得，整理可得，故點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，易得直線的方程為，則由圖可知MN距離的最小值為圓心到直線的距離減去半徑，則圓心到直線的距離為，所以MN距離的最小值為.故選：C.16.已知是橢圓和雙曲線的交點，，是，的公共焦點，，分別為，的離心率，若，則的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)橢圓與雙曲線的定義把用來表示，然后在中用余弦定理求出的關系，然后再用函數(shù)求解.【詳解】設因為點在橢圓上，所以①又因為點在雙曲線上，所以②則①②得；①②在中由余弦定理得：即即，即即所以，令，則所以.故答案：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知等差數(shù)列的前n項和為．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求，并求的最大值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)化成的方程組解決.(2)求出，判斷單調性，求最值.【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為，則，【小問2詳解】當時，，當時，所以18.已知拋物線過點.(1)求拋物線的方程，并求其準線方程;(2)過該拋物線的焦點，作傾斜角為的直線，交拋物線于兩點，求線段的長度.【答案】(1)，.(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)拋物線過得點可求得p值，即可求得答案；(2)寫出直線的方程，聯(lián)立拋物線方程，得到根與系數(shù)的關系，結合拋物線定義可求得拋物線弦長.【小問1詳解】拋物線過點，則，故拋物線的方程為，其準線方程為.【小問2詳解】拋物線的方程為，焦點為，則直線的方程為，聯(lián)立，可得，，設，則，由拋物線定義可得，故.19.如圖，在棱長為1的正方體中，E為線段的中點，F(xiàn)為線段的中點.(1)求直線與直線的所成角的余弦值；(2)求點到平面的距離.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)建立空間直角坐標系，利用向量法求得直線與直線的所成角的余弦值.(2)利用向量法求得點到平面的距離.【小問1詳解】建立如圖所示空間直角坐標系，，設直線與直線的所成角為，所以.【小問2詳解】，，設平面的法向量為，，故可設.設到平面的距離為，則.20.如圖，某海面上有O、A、B三個小島(面積大小忽略不計)，A島在O島的北偏東方向距O島千米處，B島在O島的正東方向距O島20千米處以O為坐標原點，O的正東方向為x軸的正方向，1千米為單位長度，建立平面直角坐標系圓C經(jīng)過O、A、B三點．(1)求圓C標準方程；(2)若圓C區(qū)域內有未知暗礁，現(xiàn)有一船D在O島的南偏西方向距O島40千米處，正沿著北偏東行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險？【答案】(1)(2)該船沒有觸礁危險【解析】【分析】(1)由圖中坐標系得坐標，設出圓的一般方程，代入三點坐標求解，然后把一般方程配方得標準方程；(2)先求出航行方向所在直線方程，再求出圓心到直線的距離，與半徑比較可得．【小問1詳解】如圖所示