七年級下冊數(shù)學平行線中拐點問題

七下數(shù)學-平行線中的拐點問題【考點一平行線間一個拐點問題】例題：（四川南充·九年級期中）如圖，，若，，則∠E=______．【變式訓練】1．（寧夏固原·七年級期末）如圖，，，，則的度數(shù)是_____．2．（甘肅·涼州區(qū)洪祥鎮(zhèn)九年制學校七年級期末）如圖，若ABCD，則，，則______．【考點二平行線間兩個拐點問題】例題：（云南·彌勒市朋普中學七年級階段練習）如圖所示，、BEFD是AB、CD之間的一條折線，則∠1+∠2+∠3+∠4=_____．【變式訓練】1．（浙江·蘭溪市實驗中學七年級期中）如圖，直線l1∥l2，若∠1=40°，∠2比∠3大10°，則∠4=____．2．（安徽·潛山市羅漢初級中學七年級階段練習）如圖，，點E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點，點M位于AB與CD之間且在EF的右側．（1）若，則______°；（2）若，與的角平分線交于點N，則的度數(shù)為______．（用含n的式子表示）【考點三平行線間多個拐點問題】例題:（湖北·洪湖實驗初中七年級期中）如圖，ABCDEF，CBDEFG，如果，則∠2=_____________．【變式訓練】1．（山西臨汾·七年級統(tǒng)考期中）如圖，直線，則的度數(shù)為___________°．2．（山東濟南·八年級?？茧A段練習）探究：(1)如圖①，已知ABCD，圖中∠1，∠2，∠3之間有什么關系？(2)如圖②，已知ABCD，圖中∠1，∠2，∠3，∠4之間有什么關系？(3)如圖③，已知ABCD，請直接寫出圖中∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之間的關系；【考點四平行線中在生活上的拐點問題】例題：（四川瀘州·七年級期末）如圖是三島的平面圖，島在島的北偏東方向，在島的北偏西方向，則____________．【變式訓練】1．（黑龍江·哈爾濱德強學校七年級期中）如圖，汽車燈的剖面圖，從位于點的燈發(fā)出光照射到凹面鏡上反射出的光線，都是水平線，若，，則的度數(shù)為______．【過關檢測】一、選擇題1．（山東菏澤·七年級?？茧A段練習）如圖，，則等于（

）A．45° B．55° C．135° D．145°2．（廣東深圳·七年級校考期中）某同學在研究傳統(tǒng)文化“抖空竹”時有一個發(fā)現(xiàn)：他把它抽象成數(shù)學問題，如圖所示，已知，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．3．（全國·八年級專題練習）一條公路修到湖邊時，需拐彎繞道而過，第一次拐彎的度數(shù)為，第二次拐彎的度數(shù)為，到了點后需要繼續(xù)拐彎，拐彎后與第一次拐彎之前的道路平行，則的度數(shù)為（）A．100° B．160° C．140° D．120°4．（全國·七年級專題練習）已知，點E在連線的右側，與的角平分線相交于點F，則下列說法正確的是（）；①；②若，則；③如圖（2）中，若，，則；④如圖（2）中，若，，則．A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④二、填空題5．（內(nèi)蒙古烏?！て吣昙壭？计谥校┤鐖D，AB∥EF，則∠A，∠C，∠E滿足的數(shù)量關系是______．6．（遼寧丹東·七年級?？计谀┤鐖D，，與相交于點，且，，若，則______．7．（四川成都·七年級?？计谥校┤鐖D所示，已知ABCD，，，則的度數(shù)為______度．8．（福建三明·七年級統(tǒng)考期中）觀察下列圖形：已知，在第一個圖中，可得，根據(jù)規(guī)律，則______度．三、解答題9．（八年級課時練習）已知：如圖，，求證：．10．（八年級課時練習）已知：如圖，求證：．11．（黑龍江齊齊哈爾·七年級?？茧A段練習）下列各圖中的與平行．(1)圖①中的度，圖②中的度，圖③中的度，圖④中的度第⑨個圖中的度(2)第n－1個圖中的12．（江西贛州·七年級統(tǒng)考期中）根據(jù)下列敘述填依據(jù)．(1)已知如圖1，，求∠B+∠BFD+∠D的度數(shù)．解：過點F作所以∠B+∠BFE=180°（

）因為、（已知）所以（

）所以∠D+∠DFE=180°（

）所以∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD+∠D=360°(2)根據(jù)以上解答進行探索．如圖（2）（3）ABEF、∠D與∠B、∠F有何數(shù)量關系（請選其中一個簡要證明）備用圖：(3)如圖（4）ABEF，∠C=90°，∠與∠、∠有何數(shù)量關系（直接寫出結果，不需要說明理由）13．（全國·八年級專題練習）綜合與探究，問題情境：綜合實踐課上，王老師組織同學們開展了探究三角之間數(shù)量關系的數(shù)學活動．(1)如圖1，，點A，B分別為直線，上的一點，點P為平行線間一點且，，求度數(shù)；問題遷移(2)如圖2，射線與射線交于點O，直線，直線m分別交于點A，D，直線n分別交于點B，C，點P在射線上運動．①當點P在A，B（不與A，B重合）兩點之間運動時，設，．則之間有何數(shù)量關系？請說明理由；②若點P不在線段上運動時（點P與點A，B，O三點都不重合），請你直接寫出間的數(shù)量關系．14．（全國·七年級專題練習）如圖1，已知，點，分別在射線和上，在內(nèi)部作射線，，使平行于．(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)小穎發(fā)現(xiàn)，在內(nèi)部，無論如何變化，的值始終為定值，請你結合圖2求出這一定值；(3)①如圖3，把圖1中的改為，其他條件不變，請直接寫出與之間的數(shù)量關系；②如圖4，已知，點，分別在射線，上，在與內(nèi)部作射線，，使平行于，請直接寫出與之間的數(shù)量關系．

平行線中的拐點問題（解析版）【考點一平行線間一個拐點問題】例題：（四川南充·九年級期中）如圖，，若，，則∠E=______．【答案】##66度【分析】如圖所示，過點E作，則，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等分別求出，則．【詳解】解：如圖所示，過點E作，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，正確作出輔助線求出是解題的關鍵．【變式訓練】1．（寧夏固原·七年級期末）如圖，，，，則的度數(shù)是_____．【答案】##100度【分析】通過作平行線的方式，將∠G分成∠EGQ和∠QGF，利用平行線的性質求出∠EGQ和∠QGF，度數(shù)即可求解．【詳解】解：過G點作，∴，∵，，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查平行線的性質，屬于經(jīng)典題目，學會作輔助線是關鍵．2．（甘肅·涼州區(qū)洪祥鎮(zhèn)九年制學校七年級期末）如圖，若ABCD，則，，則______．【答案】##20度【分析】過點作，利用平行線的性質可得的度數(shù)，進而可得的度數(shù)，再結合可得，進而可得的度數(shù)．【詳解】解：如圖，過點作，則，，，，．故答案為：．【點睛】本題主要考查平行線的性質，構造合適的輔助線是解題關鍵．【考點二平行線間兩個拐點問題】例題：（云南·彌勒市朋普中學七年級階段練習）如圖所示，、BEFD是AB、CD之間的一條折線，則∠1+∠2+∠3+∠4=_____．【答案】【分析】連接BD，根據(jù)平行線的性質由AB∥CD得到∠ABD+∠CDB=180°，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得到∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，于是得到結論．【詳解】解：連接BD，如圖，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB=180°，∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB=540°，即∠1+∠2+∠3+∠4=540°．故答案為：540°．【點睛】本題考查了平行線性質：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．【變式訓練】1．（浙江·蘭溪市實驗中學七年級期中）如圖，直線l1∥l2，若∠1=40°，∠2比∠3大10°，則∠4=____．【答案】30°##30度【分析】過A點作AB直線l1，過C點作CD直線l2，由平行線的性質可得∠5=∠1=40°，∠4=∠8，∠6=∠7，結合∠2比∠3大10°可得∠5+∠6-∠7-∠8=10°，進而可求解．【詳解】解：過A點作AB直線l1，過C點作CD直線l2，∴∠5=∠1=40°，∠4=∠8，∵直線l1l2，∴ABCD，∴∠6=∠7，∵∠2比∠3大10°，∴∠2-∠3=10°，∵∠5+∠6=∠2，∠7+∠8=∠3，∴∠5+∠6-∠7-∠8=10°，∴40°-∠4=10°，解得∠4=30°．故答案為：30°．【點睛】本題主要考查平行線的性質，角的計算，作適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．2．（安徽·潛山市羅漢初級中學七年級階段練習）如圖，，點E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點，點M位于AB與CD之間且在EF的右側．（1）若，則______°；（2）若，與的角平分線交于點N，則的度數(shù)為______．（用含n的式子表示）【答案】

270

【分析】（1）過點M作MPAB，則ABCDMP，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得答案；（2）過點N作NQAB，則ABCDNQ，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等和角平分線的定義可得答案．【詳解】解：（1）過點M作MPAB，∵ABCD，∴ABCDMP，∴∠1=∠MEB，∠2=∠MFD，∵∠M=∠1+∠2=90°，∴∠MEB+∠MFD=90°，∵∠AEM+∠MEB+∠CFM+∠MFD=180°+180°=360°，∴∠AEM+∠CFM=360°-90°=270°．故答案為：270；（2）過點N作NQAB，∵ABCD，∴ABCDNQ，∴∠3=∠NEB，∠4=∠NFD，∴∠NEB+∠NFD=∠3+∠4=∠ENF，∵∠BEM與∠DFM的角平分找交于點N，∵∠NEB=∠MEB，∠DFN=∠MFD，∴∠3+∠4=∠BEN+∠DFN=（∠MEB+∠MFD），由（1）得，∠MEB+∠MFD=∠EMF，∴∠ENF=∠EMF=n°．故答案為：n°．【點睛】本題考查平行線的判定和性質，熟練掌握平行線的性質定理和角平分線的定義是解題關鍵．【考點三平行線間多個拐點問題】例題:（湖北·洪湖實驗初中七年級期中）如圖，ABCDEF，CBDEFG，如果，則∠2=_____________．【答案】110°##110度【分析】先求出與的度數(shù)，再根據(jù)平行線性質，即可求出兩角的度數(shù)．【詳解】解：，，．，．，．故答案為：110°．【點睛】本題主要考查了兩直線平行內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補的性質，熟練掌握并運用性質是解題的關鍵．【變式訓練】1．（山西臨汾·七年級統(tǒng)考期中）如圖，直線，則的度數(shù)為___________°．【答案】360【分析】過E作EF∥CD，過G作GH∥CD，過M作MN∥CD，根據(jù)平行線的判定得出EF∥GH∥MN∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質得出即可．【詳解】過E作EF∥CD，過G作GH∥CD，過M作MN∥CD，如圖所示：∵CD∥AB，∴EF∥GH∥MN∥AB∥CD，∴∠1=∠BEF，∠GEF+∠EGH=180°，∠HGM+∠GMN=180°，∠NMC=∠5，∵∠2=∠BEF+∠GEF，∠3=∠EGH+∠HGM，∠4=∠GMN+∠NMC，∴．故答案為：360．【點睛】本題考查了平行線的性質，能靈活運用平行線的性質進行推理是解此題的關鍵．2．（山東濟南·八年級?？茧A段練習）探究：(1)如圖①，已知ABCD，圖中∠1，∠2，∠3之間有什么關系？(2)如圖②，已知ABCD，圖中∠1，∠2，∠3，∠4之間有什么關系？(3)如圖③，已知ABCD，請直接寫出圖中∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之間的關系；【答案】(1)∠1＋∠3＝∠2；(2)∠1＋∠3＝∠2＋∠4；(3)∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠4．【分析】（1）過點E作EMAB，根據(jù)平行線的性質及角的和差求解即可；（2）過點F作NFAB，結合（1）并根據(jù)平行線的性質及角的和差求解即可；（3）過點G作GMAB，結合（2）并根據(jù)平行線的性質及角的和差求解即可．（1）解：如圖①，過點E作EMAB，∵ABCD，∴ABCDEM，∴∠1＝∠NEM，∠3＝∠MEF，∴∠1＋∠3＝∠NEM＋∠MEF，即∠1＋∠3＝∠2；（2）如圖②，過點F作NFAB，∵ABCD，∴ABCDFN，∴∠4＝∠NFH，由（1）知，∠1＋∠EFN＝∠2，∴∠1＋∠EFN＋∠NFH＝∠2＋∠4，即∠1＋∠3＝∠2＋∠4；（3）如圖③，過點G作GMAB，∵ABCD，∴ABCDGM，∴∠5＝∠MGN，由（2）得，∠1＋∠3＝∠2＋∠FGM，∴∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠FGM＋∠MGN，即∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠4．【點睛】此題考查了平行線的性質，熟記兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解題的關鍵．【考點四平行線中在生活上的拐點問題】例題：（四川瀘州·七年級期末）如圖是三島的平面圖，島在島的北偏東方向，在島的北偏西方向，則____________．【答案】【分析】根據(jù)方位角的概念，過點作輔助線，構造兩組平行線，利用平行線的性質即可求解．【詳解】如圖，作，∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴．故答案為：．【點睛】本題考查了方位角的概念，解答題目的關鍵是作輔助線，構造平行線．兩直線平行，內(nèi)錯角相等．【變式訓練】1．（黑龍江·哈爾濱德強學校七年級期中）如圖，汽車燈的剖面圖，從位于點的燈發(fā)出光照射到凹面鏡上反射出的光線，都是水平線，若，，則的度數(shù)為______．【答案】##60度【分析】如圖所示，過點O作，則，根據(jù)平行線的性質求解即可．【詳解】解：如圖所示，過點O作，∵光線，都是水平線，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，熟知兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解題的關鍵．【過關檢測】一、選擇題1．（山東菏澤·七年級?？茧A段練習）如圖，，則等于（

）A．45° B．55° C．135° D．145°【答案】C【分析】過點作，可得，根據(jù)平行線的性質可得，根據(jù)已知求得，進而即可求解．【詳解】解：如圖，過點作，∴，∴,∵，∴，．故選C．【點睛】本題考查了平行公理的推論，平行線的性質，掌握平行線的性質是解題的關鍵．2．（廣東深圳·七年級?？计谥校┠惩瑢W在研究傳統(tǒng)文化“抖空竹”時有一個發(fā)現(xiàn)：他把它抽象成數(shù)學問題，如圖所示，已知，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】延長交于，依據(jù)，，可得，再根據(jù)三角形外角性質，即可得到．【詳解】解：如圖，延長交于，∵，，，又，，．故選：B．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，解決問題的關鍵是掌握：兩直線平行，同位角相等．3．（全國·八年級專題練習）一條公路修到湖邊時，需拐彎繞道而過，第一次拐彎的度數(shù)為，第二次拐彎的度數(shù)為，到了點后需要繼續(xù)拐彎，拐彎后與第一次拐彎之前的道路平行，則的度數(shù)為（）A．100° B．160° C．140° D．120°【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質即可求解．【詳解】解：過點作，如圖，∵，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴．故選：．【點睛】本題主要考查平行線的性質，掌握平行線的性質是解題的關鍵．4．（全國·七年級專題練習）已知，點E在連線的右側，與的角平分線相交于點F，則下列說法正確的是（）；①；②若，則；③如圖（2）中，若，，則；④如圖（2）中，若，，則．A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④【答案】C【分析】分別過、作，，再根據(jù)平行線的性質可以得到解答．【詳解】解：分別過、作，，∵，∴，∴，，∴，即，①正確；∵，，∴，∵，∴，，∴，②正確，與上同理，，∴，∴，③正確，由題意，④不一定正確，∴①②③正確，故選：C．【點睛】本題考查平行線的應用，熟練掌握平行線的性質及輔助線的作法和應用是解題關鍵．二、填空題5．（內(nèi)蒙古烏?！て吣昙壭？计谥校┤鐖D，AB∥EF，則∠A，∠C，∠E滿足的數(shù)量關系是______．【答案】【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補可直接得到答案．【詳解】如下圖所示，過點C作，∵，∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），∵，，∴，∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），∴，∴，∴在原圖中，故答案為：．【點睛】本題考查平行直線的性質，解題的關鍵是熟練掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．6．（遼寧丹東·七年級?？计谀┤鐖D，，與相交于點，且，，若，則______．【答案】3【分析】過點作，根據(jù)平行線的性質可得，再根據(jù)平行線的性質可得，，依此即可求解．【詳解】解：如圖，過點作，∵，∴，∴，，，∴，∵，，∴，∴．故答案為：3．【點睛】本題考查了平行線的性質，關鍵是熟練掌握平行線的性質：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．7．（四川成都·七年級?？计谥校┤鐖D所示，已知ABCD，，，則的度數(shù)為______度．【答案】50【分析】過點E作EGCD，由∠BAE=3∠ECF，∠ECF=25°，即可求得∠BAE的度數(shù)，又由ABCD求得∠DFE的度數(shù)，再由EGCD得到∠ECF=∠CEG=25°，∠DFE=∠FEG=75°，最后利用∠AEC=∠FEG-∠CEG求解即可．【詳解】解：過點E作EGCD∵∠BAE=3∠ECF，∠ECF=25°，∴∠BAE=75°，∵ABCD，∴∠DFE=∠BAE=75°，∵EGCD∴∠ECF=∠CEG=25°，∠DFE=∠FEG=75°，∴∠AEC=∠FEG-∠CEG=75°-25°=50°，故答案為：50．【點睛】此題考查了平行線的性質．此題比較簡單，解題的關鍵是掌握平行線的性質定理，注意數(shù)形結合思想的應用．8．（福建三明·七年級統(tǒng)考期中）觀察下列圖形：已知，在第一個圖中，可得，根據(jù)規(guī)律，則______度．【答案】【分析】分別過P1、P2、P3作直線AB的平行線P1E，P2F，P3G，由平行線的性質可得出：∠1+∠MPE=180°，∠3+∠4=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠2=180°，根據(jù)規(guī)律得到∠1+∠2+∠P1+∠P2+∠P3+∠P4=5×180°．【詳解】解：如圖，分別過、、作直線的平行線，，，，∴，由平行線的性質可得出：，，，，∴（1），（2），（3），（4），∴．故答案為：900°【點睛】本題考查的是平行線的性質，根據(jù)題意作出輔助線，利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補是解答此題的關鍵．三、解答題9．（八年級課時練習）已知：如圖，，求證：．【答案】見解析【分析】根據(jù)平行線的性質定理，進而得出，則，即可得出．【詳解】證明：過點C作，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】此題主要考查了平行線的判定與性質，熟練掌握相關的定理是解題關鍵，解題時注意：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．10．（八年級課時練習）已知：如圖，求證：．【答案】見解析【分析】過點P作，即得出，再根據(jù)平行線的性質可得出，，最后由，即可證．【詳解】證明：如圖，過點P作．∴．∵，∴，∴．∵，∴．【點睛】本題考查平行線的判定和性質．正確作出輔助線是解題關鍵．11．（黑龍江齊齊哈爾·七年級校考階段練習）下列各圖中的與平行．(1)圖①中的度，圖②中的度，圖③中的度，圖④中的度第⑨個圖中的度(2)第n－1個圖中的【答案】(1)180、360、540、720、1620(2)【分析】（1）根據(jù)圖形結合平行線的性質即可得出結論；（2）根據(jù)（1）中結果，即可找出變化規(guī)律即可求解．（1）如圖：∵，∴=180°，如圖②，過作，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補有：，，又∵，∴，同理可得：圖③中：，圖④中：，第⑨個圖中：；故答案為：180、360、540、720、1620．（2）結合（1）的結果可知：第n個圖中的，故答案為：．【點睛】此題主要考查了兩直線平行同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，內(nèi)錯角相等的性質，過角的頂點作AB的平行線，構造同旁內(nèi)角或內(nèi)錯角是解題的關鍵，此題規(guī)律性較強，需熟練掌握．12．（江西贛州·七年級統(tǒng)考期中）根據(jù)下列敘述填依據(jù)．(1)已知如圖1，，求∠B+∠BFD+∠D的度數(shù)．解：過點F作所以∠B+∠BFE=180°（

）因為、（已知）所以（

）所以∠D+∠DFE=180°（

）所以∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD+∠D=360°(2)根據(jù)以上解答進行探索．如圖（2）（3）ABEF、∠D與∠B、∠F有何數(shù)量關系（請選其中一個簡要證明）備用圖：(3)如圖（4）ABEF，∠C=90°，∠與∠、∠有何數(shù)量關系（直接寫出結果，不需要說明理由）【答案】(1)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；，平行于同一直線的兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(2)見解析(3)【分析】（1）過點F作，得到∠B+∠BFE=180°，再根據(jù)、得到，∠D+∠DFE=180°，最后利用角度的和差即可得出答案；（2）類比問題（1）的解題方法即可得解；（3）類比問題（1）的解題方法即可得解．（1）解：過點F作，如圖，∴∠B+∠BFE=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角相等），∵、（已知）∴（平行于同一直線的兩直線平行），∴∠D+∠DFE=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），∴∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD+∠D=360°；故答案為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；，平行于同一直線的兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；（2）解：選圖（2），∠D與∠B、∠F的數(shù)量關系為：∠BDF+∠B=∠F；理由如下：過點D作DC//AB，∴∠B=∠BDC，∵，，∴，∴∠CDF=∠F，∴∠BDF+∠BDC=∠F，即∠BDF+∠B=∠F；選圖（3），∠D與∠B、∠F的數(shù)量關系：∠BDF+∠B=∠F過點D作，∴∠B=∠BDC，∵，，∴，∴∠CDF=∠F，∴∠BDF+∠BDC=∠F，即∠BDF+∠B=∠F∠BDF+∠B=∠F；（3）解：如圖（4）所示，過點C作，過D作，∴，，∵，，∴，∴，