2022年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)之圓（含解析及考點(diǎn)卡片）

2022年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)之圓

一、選擇題（共10小題）

1.（2021?武都區(qū)二模）如圖，在°。中，弦AC,BD交于點(diǎn)E,連接他、CD,在圖中

的“蝴蝶"形中，若=AC=5,BE=3,則比）的長為（）

2.（2021?南沼區(qū)二模）臺州.輕軌在緊張施工中，現(xiàn)在已開始隧道挖掘作業(yè)，如圖1,圓

弧形混凝土管片是構(gòu)成圓形隧道的重要部件，如圖2,有一圓弧形混凝土管片放置在水平地

面上，底部用兩個完全相同的長方體木塊固定，為估計隧洞開挖面的大小，甲、乙兩個小組

圖1圖2

A.甲小組B.乙小組

C.兩組都可以D.兩組測量數(shù)據(jù)都不足

3.（2021?洛寧縣模擬）下列關(guān)于圓的說法，正確的是（）

A.弦是直徑，直徑也是弦

B.半圓是圓中最長的弧

C.圓的每一條直徑所在的直線都是它的對稱軸

D.過三點(diǎn)可以作一個圓

4.（2020?鹿城區(qū)模擬）圖中的五個半圓，鄰近的兩半圓相切，兩只小蟲同時出發(fā)，以相同

的速度從A點(diǎn)到B點(diǎn)，甲蟲沿ADA,、AE&、AG8路線爬行，乙蟲沿AC8路線爬

A.甲先到3點(diǎn)B.乙先到3點(diǎn)C.甲、乙同時到3D.無法確定

5.（2019?渝中區(qū)校級一模）如圖，AABC是OO的內(nèi)接三角形，NAO3=110。，則NAC3的

度數(shù)為（）

C.60°D.70°

6.（2019?無錫一模）OO的半徑為5,點(diǎn)尸到圓心。的距離為3,點(diǎn)P與OO的位置關(guān)系

是（）

A.無法確定B.點(diǎn)P在0。外C.點(diǎn)P在OO上D.點(diǎn)P在0。內(nèi)

7.（2019?樂山二模）如圖，AB為OO的直徑，C、。為0O上的點(diǎn)，^AC=CD=DB,

<3

D.

2~2

8.（2019?廣水市模擬）如圖，OO的半徑為6,直徑8過弦斯的中點(diǎn)G,若NE8=60。,

則弦CF的長等于（）

A.6B.6GC.3力D.9

9.（2019?常熟市二模）如圖，四邊形ABCZ）內(nèi)接于OO,連接。4,OC.若。4//3C,

ZBCO=70。.則NABC的度數(shù)為（）

10.（2013?保定模擬）如圖：是AB所對的弦，的中垂線8分別交AB于C,交AB

于。，4）的中垂線EF分別交AB于E,交他于尸，￡）5的中垂線G”分別交AB于G,

交43于4，下列結(jié)論中不正確的是（)

A.AC=CBB.EC=CGC.AE=ECD.EF=GH

二、填空題（共5小題）

11.（2021?市中區(qū)校級一模）把一個圓心為O,半徑為r的小圓面積增加一倍，兩倍，三倍,

分別得到如圖所示的四個圓（包括原來的小圓），則這四個圓的周長之比（按從小到大順

序排列）是

12.（2020?平江縣模擬）如圖所示，MN是。。的直徑，作垂足為點(diǎn)。，連接

AM,AN,點(diǎn)C為AV上一點(diǎn)，且AC=4M,連接CM,交AB于點(diǎn)E,交.AN于點(diǎn)、F,

現(xiàn)給出以下結(jié)論：①NM4N=90。；②=（3）ZACM+ZANM=ZMOB；④

AE=-MF,其中正確結(jié)論的序號是.

13.（2019?秦安縣模擬）如圖所示，弧仞是以等邊三角形A8C一邊四為半徑的四分之一

圓周，P為弧4）上任意一點(diǎn)，若AC=5,則四邊形ACBP周長的最大值是.

14.（2019?鹿城區(qū)校級三模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，OA的圓心坐標(biāo)為（有，⑶半徑為逐，

函數(shù)y=2x-2的圖象被OA截得的弦長為2,則。的值為一.

15.（2018?綏化）如圖，一下水管道橫截面為圓形，直徑為100a“，下雨前水面寬為60a”,

一場大雨過后，水面寬為80a”，則水位上升cm.

三、解答題(共7小題)

16.(2021?楊浦區(qū)二模)已知：如圖，是半圓。的直徑，C是半圓上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A、

3重合)，過點(diǎn)4作AD//OC交半圓于點(diǎn)。，E是直徑43上一點(diǎn)，S.AE=AD,聯(lián)結(jié)CE、

CD.

(1)求證：CE=CD；

(2)如果AO=3C￡>,延長EC與弦")的延長線交于點(diǎn)尸，聯(lián)結(jié)8,求證：四邊形OCFD

43為OO的直徑，弦CD_LAB于點(diǎn)E,己知C￡>=2,

AE=5,則OO的半徑是多少？

18.(2021?涼山州模擬)閱讀下列材料:

平面上兩點(diǎn)6(為，乂)，鳥(七，/)之間的距離表示為I421=)(菁-&；+(乂一%)2，稱為

平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，根據(jù)該公式，如圖，設(shè)P(x,y)是圓心坐標(biāo)為C(a,。)、半徑為，?的

圓上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)尸適合的條件可表示為J(x-a)2+(y-：)2=r,變形可得:

(x-a)2+(y-b)2^r2,我們稱其為圓心為C(a,b),半徑為/?的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

例如：由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-l)2+(>-2)2=25可得它的圓心為(1,2),半徑為5.根據(jù)上述材

料，結(jié)合你所學(xué)的知識，完成下列各題.

(1)圓心為C(3,4),半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；

（2）若已知OO的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-2）2+y2=22,圓心為C,請判斷點(diǎn)43,-1）與的

位置關(guān)系.

19.（2020?東城區(qū)模擬）如圖，AC是RtAOAB斜邊上的高，到點(diǎn)O的距離等于。4的所有

點(diǎn)組成的圖形記為G,圖形G與08交于點(diǎn)。，連接4）.

（1）依題意補(bǔ)全圖形，并求證：AD平分ZR4C；

(2)如果OC=6,tan8=3,求即的長.

4

20.（2019?河南模擬）如圖，他為OO的直徑，C、。是上的兩點(diǎn)，且3￡＞//OC,

求證：AC=CD.

21.（2018?鞍山）如圖，四邊形ABC￡＞內(nèi)接于OO,AC與比＞為對角線，ZBCA=ZBAD,

過點(diǎn)A作AE//8C交CE＞的延長線于點(diǎn)E.

(1)求證：EC=AC.

2

(2)若cosN406=-,BC=10,求。E的長.

5

22.（2013?深圳）如圖所示，該小組發(fā)現(xiàn)8米高旗桿小的影子麻落在了包含一圓弧型小

橋在內(nèi)的路上，于是他們開展了測算小橋所在圓的半徑的活動.小剛身高1.6米，測得其

影長為2.4米，同時測得EG的長為3米，5的長為1米，測得拱高（弧G”的中點(diǎn)到

弦G"的距離，即的長）為2米，求小橋所在圓的半徑.

D

2022年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)之圓

參考答案與試題解析

一、選擇題（共10小題）

1.（2021?武都區(qū)二模）如圖，在OO中，弦AC,BD交于點(diǎn)、E,連接A3、CD,在圖中

的“蝴蝶”形中，若AE=3,AC=5,BE=3,則3Z）的長為（）

A

【答案】B

【考點(diǎn)】相交弦定理

【專題】計算題；兒何直觀；推理能力

【分析】根據(jù)題意求出EC,根據(jù)相交弦定理計算即可.

【解答】解：EC=AC-AE=—,

2

由相交弦定理得，AEEC=DEBE,

貝-空空=工，

BE4

19

:.BD=DE+BE=—,

4

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查的是相交弦定理，掌握圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積

相等是解題的關(guān)鍵.

2.（2021?南涪區(qū)二模）臺州H輕軌在緊張施工中，現(xiàn)在已開始隧道挖掘作業(yè)，如圖1,圓

弧形混凝土管片是構(gòu)成圓形隧道的重要部件，如圖2,有一圓弧形混凝土管片放置在水平地

面上，底部用兩個完全相同的長方體木塊固定，為估計隧洞開挖面的大小，甲、乙兩個小組

對相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行測量方案如表，利用數(shù)據(jù)能夠估算隧道外徑大小的小組是（）

小組測量內(nèi)容

A.甲小組B.乙小組

C.兩組都可以D.兩組測量數(shù)據(jù)都不足

【答案】C

【考點(diǎn)】弧長的計算；垂徑定理的應(yīng)用

【專題】模型思想；等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力；與圓有關(guān)的計算；推理能力

【分析】甲的做法的合理性為可由垂徑定理求出又知KL,由直角三角形的勾股定理

可求出答案；乙組做法的合理性由弧長公式和兩條半徑之間的關(guān)系列方程組求解即可.

【解答】解：甲、乙兩組的做法都可以，

甲組做法的理由：如圖2,根據(jù)測量數(shù)據(jù)可知，HG=KL,GN=HM,

由垂徑定理可求出HK,

在直角三角形中，由勾股定理可求出O”，進(jìn)而求出OL,問題得以解決;

乙組做法的理由：如圖1,由于已知他，可以設(shè)外圓半徑為R,則可表示內(nèi)圓半徑。4,

根據(jù)弧長公式列方程組可求出R即可，

所以甲、乙兩組做法均可，

B

圖1圖2

【點(diǎn)評】本題考查垂徑定理，直角三角形的邊角關(guān)系，弧長的計算，掌握垂徑定理、勾股定

理以及弧長的計算方法是解決問題的關(guān)鍵.

3.（2021?洛寧縣模擬）下列關(guān)于圓的說法，正確的是（）

A.弦是直徑，直徑也是弦

B.半圓是圓中最長的弧

C.圓的每一條直徑所在的直線都是它的對稱軸

D.過三點(diǎn)可以作一個圓

【答案】C

【考點(diǎn)】圓的認(rèn)識：確定圓的條件；軸對稱的性質(zhì)

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力

【分析】根據(jù)弧、弦的概念、對稱軸的概念、過三點(diǎn)的圓的條件判斷即可.

【解答】解：A、弦不一定是直徑，但直徑是弦，本選項說法錯誤，不符合題意；

3、?.?半圓小于優(yōu)弧，

半圓是圓中最長的弧說法錯誤，本選項不符合題意；

C、圓的每一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，本選項說法正確，符合題意：

過不在同一直線上的三點(diǎn)可以作一個圓，本選項說法錯誤，不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查的是圓的概念、軸對稱圖形、過三點(diǎn)的圓，掌握弧、弦的概念、過三點(diǎn)的

圓的條件是解題的關(guān)鍵.

4.（2020?鹿城區(qū)模擬）圖中的五個半圓，鄰近的兩半圓相切，兩只小蟲同時出發(fā)，以相同

的速度從A點(diǎn)到3點(diǎn)，甲蟲沿ADA、4我&、A2FA3.&GB路線爬行，乙蟲沿ACB路線爬

A.甲先到8點(diǎn)B.乙先到B點(diǎn)C.甲、乙同時到8D.無法確定

【答案】C

【考點(diǎn)】圓的認(rèn)識

【專題】應(yīng)用題

【分析】甲蟲走的路線應(yīng)該是4段半圓的弧長，那么應(yīng)該是

g》（A4,+AA+A2A3+=因此甲蟲走的四段半圓的弧長正好和乙蟲走的大半

圓的弧長相等，因此兩個同時到8點(diǎn).

【解答】解：3"/LA,+44+44+48）=3乃、48,因此甲蟲走的四段半圓的弧長正好和

乙蟲走的大半圓的弧長相等，

因此兩個同時到3點(diǎn).

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了圓的認(rèn)識，主要掌握弧長的計算公式.

5.（2019?渝中區(qū)校級一模）如圖，AA8C是OO的內(nèi)接三角形，ZAO?=110°,則NAC8的

度數(shù)為（）

A.35°B.55°C.60°D.70°

【考點(diǎn)】MA：三角形的外接圓與外心；M5：圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系

【專題】559：圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；66：運(yùn)算能力

【分析】直接根據(jù)圓周角定理進(jìn)行解答即可.

【解答】解：?.?NAO8與NAC8是同弧所對的圓心角與圓周角，ZAOB=WO°,

:.ZACB=-ZAOB=55°.

2

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所

對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.

6.（2019?無錫一模）OO的半徑為5,點(diǎn)P到圓心。的距離為3,點(diǎn)尸與OO的位置關(guān)系

是（）

A.無法確定B.點(diǎn)。在OO外C.點(diǎn)P在OO上D.點(diǎn)P在0。內(nèi)

【考點(diǎn)】M8：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

【專題】55A：與圓有關(guān)的位置關(guān)系

【分析】根據(jù)點(diǎn)在圓上，則d=r；點(diǎn)在圓外，d>r;點(diǎn)在圓內(nèi)，“<r（d即點(diǎn)到圓心的距

離，，?即圓的半徑）.

【解答】解：?.?OP=3v5,

.?.點(diǎn)P與的位置關(guān)系是點(diǎn)在圓內(nèi).

故選：D.

【點(diǎn)評】此題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，注意：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的等價關(guān)

系是解決問題的關(guān)鍵.

7.（2019?樂山二模）如圖，4?為0O的直徑，C、。為0。上的點(diǎn)，若AC=CD=DB,

則cosNC4￡>=（)

也

B.C.-

22

【考點(diǎn)】KH：等腰三角形的性質(zhì)；M5：圓周角定理；T7：解直角三角形

【專題】55：幾何圖形

【分析】連接OC,OD,利用圓周角得出NDO3=NDOC=NCO4=60。，進(jìn)而得出

ZB=NC4O=60。，得出NC4D=30。，利用三角函數(shù)解答即可.

.?/R為<30的直徑，C、。為上的點(diǎn)，若AC=CD=DB,

ZDOB=ZDOC=ZCOA=60°,ZA￡>B=90°,

:.ZB=ZCAB=6O°9

:.ZDAB=3O0,

.\ZZMC=30°,

cosZCAD=—,

2

故選：D.

【點(diǎn)評】此題考查圓周角定理，關(guān)鍵是利用圓周角得出"O3=NDOC=NCO4=60。.

8.（2019?廣水市模擬）如圖，OO的半徑為6,直徑CZ）過弦防的中點(diǎn)G,若48=60。,

則弦CF的長等于（）

A.6B.673C.373D.9

【考點(diǎn)】M2：垂徑定理

【專題】H：計算題

【分析】連接。E，根據(jù)垂徑定理得到。E=￡>F,得到/DCP=LNE8=30。，根據(jù)圓周

2

角定理、余弦的定義計算即可.

【解答】解：連接。R,

直徑CD過弦EF的中點(diǎn)G,

DE=DF,

ZDCF=-ZEOD=30°,

2

「CD是OO的直徑，

.?.ZC/D=90°,

CF=CD.cosZDCF=12x—=65/3,

2

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查的是垂徑定理的推論、解直角三角形，掌握平分弦（不是直徑）的直徑垂

直于弦，并且平分弦所對的兩條弧是解題的關(guān)鍵.

9.（2019?常熟市二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于OO,連接。4,OC.若OA//BC,

NBCO=70°.則ZAfiC的度數(shù)為（）

【考點(diǎn)】M6：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；M5：圓周角定理

【專題】559：圓的有關(guān)概念及性質(zhì)

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出/4OC,根據(jù)圓周角定理求出根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的

性質(zhì)計算即可.

【解答】解：?.?Q4//BC,

ZAOC=180°-ZBCO=110°,

由圓周角定理得，ZD=-ZAOC=55°,

2

?.?四邊形ABCD內(nèi)接于OO,

ZABC=180°-ZD=125°,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)是

解題的關(guān)鍵.

10.（2013?保定模擬）如圖：43是所對的弦，AB的中垂線C￡）分別交A8于C,交AB

于D,AD的中垂線燈分別交A3于E,交4?于尸，DB的中垂線GH分別交AB于G,

交回于H,下列結(jié)論中不正確的是（）

4Th

AFlD|H\B

A.AC=CBB.EC=CGC.AE=ECD.EF=GH

【考點(diǎn)】M4：圓心角、弧、弦的關(guān)系

【專題】64：幾何直觀

【分析】由4?是AB所對的弦，的中垂線8分別交AB于C,交AB于O,A￡）的中

垂線即分別交AB于E,交他于尸，的中垂線G”分別交AB于G,根據(jù)垂徑定理與

弦與弧的關(guān)系，即可求得答案，注意排除法在解選擇題中的應(yīng)用.

【解答】解：連接￡G，AE,

的中垂線CD分別交于C,

AC=CB,故A正確；

?.?4）的中垂線EF分別交AB于E,交43于F,￡出的中垂線G”分別交AB于G,

EC=CG,故8正確；

四邊形EFHG是矩形，

：.EF=GH,故。正確.

*/AE>AF=DF，

/.AE>EC,

/.AE>EC,故。錯誤.

【點(diǎn)評】此題考查了弦與弧的關(guān)系以及垂徑定理.此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的

應(yīng)用.

二、填空題（共5小題）

11.（2021?市中區(qū)校級一模）把一個圓心為O,半徑為r的小圓面積增加一倍，兩倍，三倍,

分別得到如圖所示的四個圓（包括原來的小圓），則這四個圓的周長之比（按從小到大順

序排列）是1:近:6:2.

【考點(diǎn)】Ml:圓的認(rèn)識

【分析】設(shè)最小的圓的面積是“，則其它三個圓的面積分別是2〃，3a,4a.由題意得四

個圓是相似形，根據(jù)面積比可求得其相似比，根據(jù)周長比等于相似比即可得到答案.

【解答】解：設(shè)最小的圓的面積是“，則其它三個圓的面積分別是2a,3a,4a,

所有的圓都是相似形，面積的比等于半徑的比的平方，

因而半徑的比是周長的比等于相似比，即半徑的比，是1:A：6：2.

故答案為：1：:6:2.

【點(diǎn)評】本題主要考查了圓相似形時，面積的比等于相似比的平方，周長的比等于相似比.

12.（2020?平江縣模擬）如圖所示，是OO的直徑，作垂足為點(diǎn)。，連接

AM,AN,點(diǎn)C為4V上一點(diǎn)，且AC=AM,連接CM,交AB于點(diǎn)E,交AN于點(diǎn)、F,

現(xiàn)給出以下結(jié)論：①NM4N=9O。；②AM=8M；?ZACM+ZANM=ZMOB;④

AE=^-MF,其中正確結(jié)論的序號是①②③④.

【答案】①②③④.

【考點(diǎn)】圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力

【分析】根據(jù)垂徑定理得出①③正確，利用MN是直徑得出②正確,

AC=AM=BM,得出④正確，結(jié)合②④得出⑤正確即可.

【解答】解：「MN是。。的直徑，ABA.MN,

:.AD=BD,AM=BM,ZMAN=90°,故①②正確,

AC=AM,

AC=AM=BM,

ZACM+ZANM=ZMOB,故③正確，

■：ZMAE=ZAME,

:.AE=ME,

ZEAF+AMAE=ZAME+ZAFM=AMAN,

ZEAF=ZAFM,

：.AE=EF,

AE=-MF,故④正確.

2

故答案為：①②③④.

【點(diǎn)評】此題考查圓周角定理，垂徑定理，以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等

知識.

13.（2019?秦安縣模擬）如圖所示，弧4）是以等邊三角形ABC一邊他為半徑的四分之一

圓周，P為弧45上任意一點(diǎn)，若AC=5,則四邊形AC8P周長的最大值是_15+5夜一

【考點(diǎn)】KK：等邊三角形的性質(zhì)；M4：圓心角、弧、弦的關(guān)系

【專題】16：壓軸題

【分析】因?yàn)镻在半徑為5的圓周上，若使四邊形周長最大，只要AP最長即可（因?yàn)槠溆?/p>

三邊長為定值5）.

【解答】解：由于AC和值固定，點(diǎn)P在弧4）上，而5是圓心，所以PB的長也是定

值，

因此，只要AP的長為最大值，

.?.當(dāng)P的運(yùn)動到。點(diǎn)時，”最長，

?/弧4）是以等邊三角形ABC一邊AB為半徑的四分之一圓周，

：.ZDBA=90o,

由勾股定理得AD的長為572，

周長為5x3+54=15+5收.

故答案為：15+5近.

【點(diǎn)評】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系及勾股定理和最值.本題容易出現(xiàn)錯誤的地方

是對點(diǎn)P的運(yùn)動狀態(tài)不清楚，無法判斷什么時候會使周長成為最大值.

14.（2019?鹿城區(qū)校級三模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，Q4的圓心坐標(biāo)為（百，“）半徑為囪，

函數(shù)y=2x-2的圖象被0A截得的弦長為2,則?的值為—4。-2或-2

【考點(diǎn)】一次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；垂徑定理

【專題】一次函數(shù)及其應(yīng)用；等腰三角形與直角三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；解直角三角

形及其應(yīng)用

【分析】分兩種情況：①作軸于H,交CB于D,作于E,連接A8,由

題意得出OC=?,AC=a,把》=6代入y=2x-2得y=26-2,得出。點(diǎn)坐標(biāo)為（石，

20-2）,得出C￡>=2右一2,由垂徑定理得出CE=3E=，8C=1,由勾股定理得出

2

AE=VAC2-C￡2=2,求出直線y=2x—2與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，得出OG=2,OF=\,

由平行線的性質(zhì)得出NAQE=NCDF=NOGF,求出DE=2AE=4,由勾股定理得出

AD=y/AE2+DE2=275,即可得出結(jié)果.

②同①得：。點(diǎn)坐標(biāo)為（逐，20-2）,得出H0=2百-2,由垂徑定理得出

CE=BE=-BC=\,由勾股定理得出AE=JAC"-=2,求出OF=1,得出FH=^5-\,

2

^DFH^ADAE,得出三一=——，求出小=4,由勾股定理得出A。=,。爐+AE?=26,

DEAE

得出AH=AD-"0=2,即可得出a=—2.

【解答】解：分兩種情況：

①點(diǎn)A在第一象限時，作AHJLx軸于H,交C8于。，作AEJ_C8于E,連接AC,如圖

1,

的圓心坐標(biāo)為（石，a）,

OH=y/5,AH=a,

把彳=后代入y=2x-2得y=2右一2,

.?.￡）點(diǎn)坐標(biāo)為（石，2石-2）,

:.HD=2y/5-2,

-.AELCB,

:.CE=BE=-BC=\,

2

在RtAACE中，AC=也,

AE=y]AC2-CE2=^/5^T=2,

y=2x-2,

當(dāng)x=0時，y=-2；當(dāng)y=0時，x=l,

/.G（0,-2）,尸（1,0）,

OG=2,OF=11

???A〃//y軸，

ZADE=/HDF=NOGF,

AEOF1

?,.tanNADE=—=tanZOGF=—=-,

DEOG2

:.DE=2AE=4,

：.AD=\lAE2+DE2=y/2?+42=2后，

:.a=AH=AD+HD=2>/5+2y/5-2=4y/5-2；

②點(diǎn)A在第四象限時，作軸于"，交C5于￡>,作鉆_LCB于E,連接AC,如圖2:

同①得：。點(diǎn)坐標(biāo)為(行，275-2),

;.HD=2亞-2,

-.■AEVCB,

:.CE=BE=-BC=\,

2

在RtAACE中，AC=y[5,

AE=\IAC2-CE2=^/5^T=2,

'：y=2x-2,

當(dāng)y=0時，x=\,

??.F(1,O),

:.OF=\,

:.FH=45-\,

???ZDHF=ZDEA=90。,ZFDH=ZADE,

:./SDFH^ADAE，

HDFHBn2>/5-275-1

DEAEDE2

解得：DE=4,

AD=jDE2+AE2=742+22=2>/5,

:.AH=AD-HD=2,

a=—2；

綜上所述，4的值為4不-2或-2；

故答案為：4石-2或-2.

【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、一次函數(shù)的應(yīng)用、勾股定理、平行線的性

質(zhì)、解直角三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識.本題綜合性強(qiáng)，有一定難度.

15.（2018?綏化）如圖，一下水管道橫截面為圓形，直徑為100c〃z,下雨前水面寬為60a〃，

一場大雨過后，水面寬為80a”，則水位上升10或70cm.

【考點(diǎn)】垂徑定理的應(yīng)用

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)

【分析】分兩種情形分別求解即可解決問題；

【解答】解：作半徑于C,連接03,

由垂徑定理得：BC=-AB=30（.777,

2

在RIAOBC中，0C=>/502-302=40cm,

當(dāng)水位上升到圓心以下水面寬80cm時,

則OC'=>/502-402=30cm,

水面上升的高度為：40-30=10c/n；

當(dāng)水位上升到圓心以上時，水面上升的高度為：40+30=70?！?

綜上可得，水面上升的高度為10a”或70c〃?.

【點(diǎn)評】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，掌握垂徑定理、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的

關(guān)鍵.

三、解答題（共7小題）

16.（2021?楊浦區(qū)二模）已知：如圖，A5是半圓。的直徑，C是半圓上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、

3重合），過點(diǎn)A作4）//OC交半圓于點(diǎn)。，E是直徑4?上一點(diǎn)，￡LAE=AD,聯(lián)結(jié)CE、

CD.

（1）求證：CE=CD；

（2）如果A￡>=3CD,延長EC與弦4）的延長線交于點(diǎn)尸，聯(lián)結(jié)OD,求證：四邊形OCFD

是菱形.

【答案】（1）證明見解析過程；

（2）證明見解析過程.

【考點(diǎn)】菱形的判定；圓周角定理：垂徑定理

【專題】圖形的全等；推理能力；矩形菱形正方形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)

【分析】（1）由“SAS”可證AmC=A￡AC,可得CE=C￡>；

（2）先求出/4O￡）=/4EC=108。，可證。D//CE,由菱形的判定可得結(jié)論.

【解答】證明：（1）如圖，連接AC,

D

???Q4=OC,

:.ZOAC=ZOCA,

.AD//OC,

.\ZDAC=ZOCA,

:.ZDAC=ZOAC,

在A/MC和AE4C中，

AD=AE

<ADAC=ZEAC,

AC=AC

.?.AZMC=AEAC(SAS),

/.CE=CD；

(2)如圖2,連接C4,

O

圖2

???4。=38,

；,ZAOD=3NCOD,

,;MyIIOC,

.?.ZADO=/DOC,

\OA=OD,

:.ZOAD=ZODAf

???ZAOD+ZOAD+ZADO=180°,

:.5ZADO=\80°,

.?.ZAZX?=36°,

.-.ZAOD=108°,ZDOC=36°,

:OD=OC,

，NO￡>C=72。，

,-.ZAZ）C=108o,

?.?ACMCMAEAC,

ZADC=ZAEC=108°.

:.ZAOD=ZAEC,

:.OD//CE,

又?.?OC/MD,

四邊形ObD是平行四邊形，

5L-.OD=OC,

平行四邊形。6戶。是菱形.

【點(diǎn)評】本題考查了菱形的判定，圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性

質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵.

17.（2021?饒平縣校級模擬）如圖，4?為°。的直徑，弦CD_LAB于點(diǎn)E,已知C￡>=2,

AE=5,則OO的半徑是多少？

【考點(diǎn)】勾股定理；垂徑定理

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力

【分析】連接8,根據(jù)垂徑定理求出DE,根據(jù)勾股定理計算，得到答案.

【解答】解：連接8,設(shè)0O的半徑為，，

?.?AB為OO的直徑，弦C￡>_LAB,CD=2,AE=5,

：.DE^\,OE=5-r,

在RtAODE中，OD2=OE2+DE2,即/=(5一廠＞+],

解得，r=2.6,

答：OO的半徑是2.6.

【點(diǎn)評】本題考查的是垂徑定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦

所對的兩條弧是解題的關(guān)鍵.

18.(2021?涼山州模擬)閱讀下列材料：

平面上兩點(diǎn)4(X1,乂)，鳥(々，%)之間的距離表示為/21=J(X|-工2：+(X-必)2，稱為

平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，根據(jù)該公式，如圖，設(shè)P(x,y)是圓心坐標(biāo)為C(a,。)、半徑為r的

圓上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)尸適合的條件可表示為J(x-a)2+(y-%)2=廠,變形可得：

(x-a)2+(y-b)2=r2,我們稱其為圓心為C(a,b),半徑為/?的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

例如：由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-1)2+(y-2)2=25可得它的圓心為(1,2),半徑為5.根據(jù)上述材

料，結(jié)合你所學(xué)的知識，完成下列各題.

(1)圓心為C(3,4),半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:_(x-3)2+(y-4)2=4_；

(2)若已知OO的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(X-2)2+/=22,圓心為C,請判斷點(diǎn)43,-1)與的

位置關(guān)系.

【答案】(1)(x-3)2+(y-4)2=4.

(2)點(diǎn)A在G)C內(nèi)部.

【考點(diǎn)】方程的定義；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；勾股定理；點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

【專題】與圓有關(guān)的計算；推理能力

【分析】(1)根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的定義求解即可.

(2)求出AC的長，可得結(jié)論.

【解答】解：(1)圓心為C(3,4),半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x-3)2+(y-4)2=4.

故答案為：(x-3)2+(y-4)2=4.

(2)由題意圓心為C(2,0),

A(3,-l),

.?.AC=7(3-2)2+l2=X/2<2,

.,.點(diǎn)A在G)C內(nèi)部.

【點(diǎn)評】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，方程的定義，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理等知識，解

題的關(guān)鍵是理解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的定義，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題.

19.(2020?東城區(qū)模擬)如圖，AC是RtAOAB斜邊上的高，到點(diǎn)O的距離等于OA的所有

點(diǎn)組成的圖形記為G,圖形G與OB交于點(diǎn)￡(,連接45.

(1)依題意補(bǔ)全圖形，并求證：AD平分N84C；

(2)如果OC=6,tanB=-,求比)的長.

【考點(diǎn)】M\：圓的認(rèn)識；T7：解直角三角形

【專題】55E：解直角三角形及其應(yīng)用；559：圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；69：應(yīng)用意識

【分析】(1)圖形G就是圓O,根據(jù)等角的余角可得結(jié)論；

(2)根據(jù)三角函數(shù)的定義設(shè)AC=3x,BC=4x,則他=5x,得。4=臣，根據(jù)勾股定理

4

列方程可得x的值，由線段的和與差可得比?的長.

【解答】(1)證明：如圖，?.?/。由=90。，

:,ZOAD+ZDAB=90°,

???AC是RtAOAB斜邊上的高，

AC.LOB,

..ZACD=ZZMC+ZADO=90。,

??,圖形G是圓。,

:.OA=OD,

ZOAD=ZADO,

.\ZDAB=ZDAC,

.?.AD平分NaAC；

3

(2)解：tanB=—i

4

.OAAC_3

"AB-5C-4'

設(shè)力。=3x,BC=4x,貝ljA8=5x,

OA3~\5x

5x44

RtAAOC中，?.?OC=6,

62+(3x>=(罵2,

4

解得：x=±—，

9

,.?x>0,

24

:.x=一

9

2415?420

.\BD=OC+BC-OD=6+4x-----------x—=—

9493

【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形，圓的認(rèn)識，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是設(shè)未知數(shù)表示

各邊的長，列方程解決問題，屬于中考?？碱}型.

20.（2019?河南模擬）如圖，45為OO的直徑，C、D是。。上的兩點(diǎn)，旦BDUOC,

求證：AC=CD.

【考點(diǎn)】M4：圓心角、弧、弦的關(guān)系

【專題】559：圓的有關(guān)概念及性質(zhì)

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和圓心角、弧、弦的關(guān)系解答即可.

【解答】證明：?.?。3=?！辏?

:.ZD=ZB,

.BD//OC,

;.ZD=NCOD,ZAOC=NB,

ZAOC=ZCOD,

AC=CD.

【點(diǎn)評】此題考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)和圓心角、弧、弦的關(guān)

系解答.

21.（2018?鞍山）如圖，四邊形內(nèi)接于OO,AC與比）為對角線，ZBCA=ZBAD,

過點(diǎn)A作/1E//BC交CE）的延長線于點(diǎn)E.

（1）求證：EC=AC.

2

（2）若cosZAO8=—,BC=\O,求DE的長.

5

【考點(diǎn)】M5：圓周角定理；M6：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；77：解直角三角形

【專題】55C：與圓有關(guān)的計算

【分析】（1）欲證明CE=C4,只要證明NE=N。場即可.

(2)設(shè)AE＞交OO于M,連接DM,作于”.想辦法證明"石=MDBC=10,

解直角三角形求出EH即可解決問題.

【解答】(1)證明：?.?8C7/AE,

:.ZACB=ZEAC,

\ZACB=ZBAD,

:.ZEAC=ZBAD,

.\ZEAD=ZCAB,

?/ZADE+ZAIX：=180°,ZADC+ZA5c=180°,

:.ZADE=ZABC,

\-ZEAD+ZADE+ZE=\S00,ZBAC+ZABC+ZACB=\S00,

.?.NE=NACB=N￡4C,

CE=CA.

(2)解：設(shè)AE交OO于M,連接作MH_L￡＞石于

\AEAD=Z.CAB,

..DM=BC,

：.DM=BC=W,

\-ZMDE+ZMDC=\S009NMDC+NM4C=180。，

:,ZMDE=ZCAM,

vZ￡：=ZC4E,

:.ZE=ZMDE,

.*.A/D=ME=10,-MHX.DE.

；.EH=DH,

?.?ZADB=ZACB=4BAD=NE,

—空二

ME5

:.EH=4,

:.DE=2EH=8.

【點(diǎn)評】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是

學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考常考題型.

22.(2013?深圳)如圖所示，該小組發(fā)現(xiàn)8米高旗桿小的影子所落在了包含一圓弧型小

橋在內(nèi)的路上,于是他們開展了測算小橋所在圓的半徑的活動.小剛身高1.6米，測得其

影長為2.4米,同時測得EG的長為3米，5的長為1米，測得拱高（弧G”的中點(diǎn)到

弦G”的距離,即仞V的長）為2米，求小橋所在圓的半徑.

【考點(diǎn)】KQ-.勾股定理；M3：垂徑定理的應(yīng)用；5A：相似三角形的應(yīng)用

【分析】根據(jù)已知得出旗桿高度，進(jìn)而得出再利用勾股定理求出半徑即可.

【解答】解：；小剛身高1.6米，測得其影長為2.4米,

8米高旗桿。E的影子為：12m,

?.?測得EG的長為3米，所的長為1米,

.-.GH=12-3-1=8(m),

:.GM=MH=4m.

如圖，設(shè)小橋的圓心為O,連接OM、OG.

設(shè)小橋所在圓的半徑為r,

?/MN=2m,

/.OM=—

在RtAOGM中，由勾股定理得:

:.OG2=OM2+42,

解得：r=5,

答：小橋所在圓的半徑為5〃?.

【點(diǎn)評】此題主要考查了垂徑定理以及勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)已知得出關(guān)于的等式是解題

關(guān)鍵.

考點(diǎn)卡片

1.方程的定義

（1）方程的定義：含有未知數(shù)的等式叫方程.

方程是含有未知數(shù)的等式，在這一概念中要抓住方程定義的兩個要點(diǎn)①等式;②含有未知數(shù).

（2）列方程的步驟：

①設(shè)出字母所表示的未知數(shù)；

②找出問題中的相等關(guān)系：

③列出含有未知數(shù)的等式-------方程.

2.坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

1、點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離與這個點(diǎn)的坐標(biāo)是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個方面：①到x軸的距離與縱

坐標(biāo)有關(guān)，到y(tǒng)軸的距離與橫坐標(biāo)有關(guān)；②距離都是非負(fù)數(shù)，而坐標(biāo)可以是負(fù)數(shù)，在由距離

求坐標(biāo)時，需要加上恰當(dāng)?shù)姆?

2、有圖形中一些點(diǎn)的坐標(biāo)求面積時，過已知點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，然后求出相關(guān)的線段長，

是解決這類問題的基本方法和規(guī)律.

3、若坐標(biāo)系內(nèi)的四邊形是非規(guī)則四邊形，通常用平行于坐標(biāo)軸的輔助線用“割、補(bǔ)”法去

解決問題.

3.一次函數(shù)的圖象

（1）一次函數(shù)的圖象的畫法：經(jīng)過兩點(diǎn)（0,b）、（-上，0）或（1,k+b）作直線

k

注意：①使用兩點(diǎn)法畫一次函數(shù)的圖象，不一定就選擇上面的兩點(diǎn)，而要根據(jù)具體情況，所

選取的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)盡量取整數(shù)，以便于描點(diǎn)準(zhǔn)確.②一次函數(shù)的圖象是與坐標(biāo)軸不平行

的一條直線（正比例函數(shù)是過原點(diǎn)的直線），但直線不一定是一次函數(shù)的圖象.如x=a,y

=b分別是與y軸，x軸平行的直線，就不是一次函數(shù)的圖象.

（2）一次函數(shù)圖象之間的位置關(guān)系：直線可以看做由直線）一近平移依個單位而

得至!!.

當(dāng)b>0時，向上平移；。<0時，向下平移.

注意：①如果兩條直線平行，則其比例系數(shù)相等；反之亦然；

②將直線平移，其規(guī)律是：上加下減，左加右減；

③兩條直線相交，其交點(diǎn)都適合這兩條直線.

4.一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

一次函數(shù)丫=區(qū)+6&W0,且&,人為常數(shù)）的圖象是一條直線.它與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（-

上，0）；與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0,b）.

k

直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx+b.

5.等腰三角形的性質(zhì)

（1）等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

（2）等腰三角形的性質(zhì)

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個底角相等.【簡稱：等邊對等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.【三線合一】

（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線.以上四個元素中，從中

任意取出兩個元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論.

6.等邊三角形的性質(zhì)

（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等

腰三角形.

①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；

②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系:等邊三角形是等腰三角形的特殊情況.在等邊三角形中，

腰和底、頂角和底角是相對而言的.

（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°.

等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊

的垂直平分線是對稱軸.

7.勾股定理

（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平

方.

如果直角三角形的兩條直角邊長分別是“，b,斜邊長為C,那么。2+y=°2.

（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

（3）勾股定理公式。2+廿=。2的變形有：a=dc2f2,b=*二^及c=席忑.

（4）由于/+62=02>/,所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜邊大于該直角三角形

中的每一條直角邊.

8.菱形的判定

①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等=菱形）;

②四條邊都相等的四邊形是菱形.

幾何語言：；4B=8C=C￡>=D4...四邊形ABCD是菱形；

③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形"）.

幾何語言：?.?4CL8Z）,四邊形A8C。是平行四邊形平行四邊形ABCD是菱形

（1）圓的定義

定義①：在一個平面內(nèi)，線段0A繞它固定的一個端點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn)A所形成

的圖形叫做圓.固定的端點(diǎn)0叫做圓心，線段叫做半徑.以0點(diǎn)為圓心的圓，記作

讀作“圓?！?

定義②：圓可以看做是所有到定點(diǎn)。的距離等于定長r的點(diǎn)的集合.

（2）與圓有關(guān)的概念

弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等.

連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫圓弧，簡稱

弧，圓的任意一條直徑的兩個端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做

優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧.

（3）圓的基本性質(zhì)：①軸對稱性.②中心對稱性.

10.垂徑定理

（1）垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

（2）垂徑定理的推論

推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.

推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.

11.垂徑定理的應(yīng)用

垂徑定理的應(yīng)用很廣泛，常見的有：

（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

（2）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問

題.

這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方

法一定要掌握.

12.圓心角、弧、弦的關(guān)系

（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等.

（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它

們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.

說明：同一條弦對應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”

是指同為優(yōu)弧或劣弧.

（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系

三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，

三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等.這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即